Bài giảng slide phương pháp số _ bài 03 _trị riêng và véc tơ riêng của ma trận vuông

Bài giảng slide phương pháp số _ bài 03 _trị riêng và véc tơ riêng của ma trận vuông

PHƯƠNG PHÁP SỐ

Bài 3 Trị riêng và véc-tơ riêng

của ma trận vuông

Trị riêng và véc-tơ riêng

Trường hợp ma trận A xác định dương

4

Tr riêng và véc-t riêng ị riêng và véc-tơ riêng ơ riêng

Định nghĩa: Cho một ma trận vuông A cấp n

Số được gọi là giá trị riêng (eigenvalue) và véc-tơ được gọi là véc-tơ riêng (eigenvector) của A, nếu thỏa mãn điều kiện:

Tr riêng và véc-t riêng ị riêng và véc-tơ riêng ơ riêng

Nhận xét:

 là hệ phương trình ẩn

 Hệ phương trình trên có nghiệm tầm thường

 Nếu thì là nghiệm duy nhất → điều kiện để hệ

có nghiệm là

•

Tr riêng và véc-t riêng ị riêng và véc-tơ riêng ơ riêng

Tr riêng và véc-t riêng ị riêng và véc-tơ riêng ơ riêng

Định lý: Nếu ma trận A đối xứng thì các trị

riêng là thực, các véc-tơ riêng ứng với trị riêng khác nhau là véc-tơ thực, trực giao và độc lập tuyến tính

n n n

Tr riêng và véc-t riêng ị riêng và véc-tơ riêng ơ riêng

Nhận xét:

 Có thể tìm trị riêng bằng cách giải phương trình

 Nhưng nếu lớn thì việc giải phương trình là

không khả thi

 Khi đó, cần dùng phương pháp khác

•

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

 Định lý 1: Nếu là véc-tơ riêng của ma trận A

ứng với trị riêng (tức ) thì với mọi , cũng là

véc-tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

 Định lý 2: Nếu là véc-tơ riêng của ma trận A

ứng với trị riêng (tức ) thì với mọi , cũng là

véc-tơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

 Giả thiết: Ma trận A thực, các trị riêng thực,

mỗi trị riêng bội có đủ véc-tơ riêng độc lập

tuyến tính

 Kiểm tra giả thiết:

 Chấp nhận giả thiết, áp dụng phương pháp

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

 Sắp các trị riêng theo thứ tự giảm dần của giá trị tuyệt đối:

 Các véc-tơ riêng tương ứng là:

 Vì các véc-tơ riêng là độc lập tuyến tính nên với mọi véc-tơ ta có:

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Trị riêng có trị tuyệt đối lớn nhất được gọi là trị riêng trội

Có 3 trường hợp:

 là nghiệm đơn của phương trình

 là nghiệm bội của phương trình

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

 Như vậy, nếu đặt thì khi đủ lớn:

→ là xấp xỉ véc-tơ riêng ứng với trị riêng

 Kí hiệu là tọa độ thứ của Khi đó:

n

n k

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Lưu ý: Để tránh lỗi tràn số, trước khi tiến hành

Bước 4 cần thực hiện phép biến đổi:

k i i

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

 Như vậy, nếu đặt thì khi đủ lớn:

→ là xấp xỉ véc-tơ riêng ứng với trị riêng

→ Trở lại Slide 16, 17, 18

•

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Thuật toán chung

cho 3 trường hợp

Ph ươ riêng ng pháp lũy th a ừa

Ph ươ riêng ng pháp xu ng thang ống thang

 Phương pháp lũy thừa cho phép tìm trị riêng trội

 Phương pháp xuống thang cho phép tìm trị

riêng trội tiếp theo

Ph ươ riêng ng pháp xu ng thang ống thang

x

i x

Ph ươ riêng ng pháp xu ng thang ống thang

 Giả sử A có các trị riêng:

 Các véc-tơ riêng tương ứng:

 Trong đó véc-tơ đã được chia cho tọa độ có trị tuyệt đối lớn nhất (tọa độ thứ ):

Ph ươ riêng ng pháp xu ng thang ống thang

Tr ường hợp ma trận A xác định dương ng h p ma tr n A xác đ nh d ợp ma trận A xác định dương ận A xác định dương ị riêng và véc-tơ riêng ươ riêng ng

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là xác định dương (positive-definite matrix) nếu

Tr ường hợp ma trận A xác định dương ng h p ma tr n A xác đ nh d ợp ma trận A xác định dương ận A xác định dương ị riêng và véc-tơ riêng ươ riêng ng

Tìm trị riêng đầu tiên

 Nếu là trị riêng và véc-tơ riêng thì

 Trước hết, tìm nghiệm có

•

Tìm tr riêng đ u tiên ị riêng và véc-tơ riêng ầu tiên

Là hệ ẩn:

 Giải bằng phương pháp lặp

1 1

1 1

1 1

1 1

j n

j n

j n

Tìm tr riêng đ u tiên ị riêng và véc-tơ riêng ầu tiên

Tìm trị riêng tiếp theo

Sau khi tìm được và , ta sẽ tìm trị riêng tiếp

theo là và véc-tơ riêng tương ứng là

•

Tìm tr riêng ti p theo ị riêng và véc-tơ riêng ếp theo

Tìm tr riêng ti p theo ị riêng và véc-tơ riêng ếp theo

1 1

n

ij in j j i j

c y y i n y

Ví dụ

Ki m tra tính đ i x ng và xác đ nh d ểm tra tính đối xứng và xác định dương ống thang ứng và xác định dương ị riêng và véc-tơ riêng ươ riêng ng

Tìm nghi m đ u tiên ệm đầu tiên ầu tiên

Tìm nghi m đ u tiên ệm đầu tiên ầu tiên

Tìm nghi m th hai ệm đầu tiên ứng và xác định dương

Tìm nghi m th hai ệm đầu tiên ứng và xác định dương

Tìm nghi m th ba ệm đầu tiên ứng và xác định dương