Bài giảng slide phương pháp số _ bài 01 _ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính

Bài giảng slide phương pháp số _ bài 01 _ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính

PHƯƠNG PHÁP SỐ

Bài 1 Ma trận và

hệ phương trình đại số tuyến tính

Gi i thi u ch ới thiệu chương 2 ệu chương 2 ương 2 ng 2

nghiên cứu về không gian véctơ, hệ

phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng

 Bài toán cơ bản:

Ax = b, trong đó

 A là một ma trận

 b, x là những véctơ

Đ nh nghĩa ma tr n ịnh nghĩa ma trận ận

Ma trận chữ nhật A có kích thước là một bảng

các số thực gồm dòng và cột và được ký hiệu là:

Ma trận vuông:

•

Các d ng đ c bi t c a ma tr n vuông ạng đặc biệt của ma trận vuông ặc biệt của ma trận vuông ệu chương 2 ủa ma trận vuông ận

•

Các d ng đ c bi t c a ma tr n vuông ạng đặc biệt của ma trận vuông ặc biệt của ma trận vuông ệu chương 2 ủa ma trận vuông ận

•

Ma tr n chuy n v ận ển vị ịnh nghĩa ma trận

là mà trận :

•

Phép bi n đ i s c p trên ma tr n ến đổi sơ cấp trên ma trận ổi sơ cấp trên ma trận ơng 2 ấp trên ma trận ận

•

Phép bi n đ i s c p trên ma tr n ến đổi sơ cấp trên ma trận ổi sơ cấp trên ma trận ơng 2 ấp trên ma trận ận

•

Phép bi n đ i s c p trên ma tr n ến đổi sơ cấp trên ma trận ổi sơ cấp trên ma trận ơng 2 ấp trên ma trận ận

các hàng/cột khác

•

Hoán v ch n và hoán v l ịnh nghĩa ma trận ẵn và hoán vị lẻ ịnh nghĩa ma trận ẻ

 là một hoán vị của tập

 là cặp số (từ ) thỏa mãn

 Nếu thì được gọi là cặp ngược

 Nếu trong , tổng số cặp ngược là số chẵn thì được gọi là hoán vị chẵn, ngược lại, được gọi là hoán

vị lẻ.

•

Hoán v ch n và hoán v l ịnh nghĩa ma trận ẵn và hoán vị lẻ ịnh nghĩa ma trận ẻ

Đ nh nghĩa đ nh th c ịnh nghĩa ma trận ịnh nghĩa ma trận ức

Định thức của ma trận vuông A cấp được kí hiệu là và xác định bởi công thức

 detA là tổng của số hạng, mỗi số hạng là tích của phần tử của ma trận với dấu + hoặc ‒

 ứng với mỗi , từ hàng thứ lấy phần tử thứ (tức )

→ từ mỗi hàng, mỗi cột lấy đúng 1 phần tử.

•

Đ nh nghĩa đ nh th c ịnh nghĩa ma trận ịnh nghĩa ma trận ức

•

Tính ch t c a đ nh th c ấp trên ma trận ủa ma trận vuông ịnh nghĩa ma trận ức

1

2 Nếu A, B cùng cấp:

3 Nếu A có một hàng (cột) toàn 0 thì

4 Đổi chỗ hai hàng (cột) của A thì đổi dấu

5 Nếu A có hai hàng (cột) bằng nhau thì

6 Nếu nhân một hàng (cột) của A với thì thay

đổi lần (tức )

•

Tính ch t c a đ nh th c ấp trên ma trận ủa ma trận vuông ịnh nghĩa ma trận ức

7 Tách hàng (cột) thành tổng

•

Tính ch t c a đ nh th c ấp trên ma trận ủa ma trận vuông ịnh nghĩa ma trận ức

8 Nếu A có một hàng (cột) là tổ hợp tuyến tính

của các hàng (cột) khác thì

9 Nếu cộng vào một hàng (cột) của A tổ hợp

tuyến tính của các hàng (cột) khác thì không đổi

•

Ph ương 2 ng pháp tính đ nh th c ịnh nghĩa ma trận ức

3 Khai triển Laplace

Ma tr n ngh ch đ o ận ịnh nghĩa ma trận ảo

Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n

H ph ệu chương 2 ương 2 ng trình đ i s tuy n tính ạng đặc biệt của ma trận vuông ố tuyến tính ến đổi sơ cấp trên ma trận

H ph ệu chương 2 ương 2 ng trình đ i s tuy n tính ạng đặc biệt của ma trận vuông ố tuyến tính ến đổi sơ cấp trên ma trận

thu được từ A khi thay cột thứ bởi

j j

A x

A



H ph ệu chương 2 ương 2 ng trình đ i s tuy n tính ạng đặc biệt của ma trận vuông ố tuyến tính ến đổi sơ cấp trên ma trận

Gi i h dùng ma tr n ngh ch đ o ảo ệu chương 2 ận ịnh nghĩa ma trận ảo

Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo gồm 2 bước

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss

Nhận xét: các phép biến đổi sơ cấp theo hàng

trên ma trận B dẫn đến một hệ tương đương!

Ý tưởng: áp dụng phép biến đổi sơ cấp để

đưa hệ về dạng tam giác trên

n n

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss



Nhận xét: tại bước chỉ biến đổi các hàng từ

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss-Jordan ử Gauss

Ý tưởng: áp dụng phép biến đổi sơ cấp để

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss-Jordan ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss-Jordan ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss-Jordan ử Gauss

Gi i h b ng ph ảo ệu chương 2 ằng phương pháp khử Gauss ương 2 ng pháp kh Gauss-Jordan ử Gauss

ng d ng ph ng pháp kh Gauss-Jordan Ứng dụng phương pháp khử Gauss-Jordan ụng phương pháp khử Gauss-Jordan ương 2 ử Gauss

Giải đồng thời nhiều

hệ phương trình

1

Tìm ma trận nghịch đảo

2

Gi i đ ng th i nhi u h ph ảo ồng thời nhiều hệ phương trình ời nhiều hệ phương trình ều hệ phương trình ệu chương 2 ương 2 ng trình

Gi i đ ng th i nhi u h ph ảo ồng thời nhiều hệ phương trình ời nhiều hệ phương trình ều hệ phương trình ệu chương 2 ương 2 ng trình

Gi i đ ng th i nhi u h ph ảo ồng thời nhiều hệ phương trình ời nhiều hệ phương trình ều hệ phương trình ệu chương 2 ương 2 ng trình

THE END

OF PART 1

Ph n 2 Cài đ t thu t toán ần 2 Cài đặt thuật toán ặc biệt của ma trận vuông ận

Bi u di n ma tr n ển vị ễn ma trận ận

typedef double t_matrix[10][10];

typedef double t_vector[10];

t_matrix a;

t_vector x;

vấn đề quản lý bộ nhớ

hạn ở giá trị nhỏ

Khai tri n Laplace ển vị

for (i=0; i<n; i++){

t = xóa_dòng_cột(a,i,0); //Khai triển theo cột 1

}

L y minor ấp trên ma trận

kmatran minor){

for(i=0; i<row; i++){

for(j=0; j<col; j++) minor[i][j] = a[i][j];

for(j=col+1; j<n; j++) minor[i][j-1] = a[i][j]; }

for(i=row+1; i<n; i++){

for(j=0; j<col; j++) minor[i-1][j] = a[i][j];

for(j=col+1; j<n; j++) minor[i-1][j-1] = a[i][j]; }

}

Tính đ nh th c: quy v d ng tam giác trên ịnh nghĩa ma trận ức ều hệ phương trình ạng đặc biệt của ma trận vuông

int swap_count=0; double det;

if(swap_count%2 == 0) det = 1; else det = -1;

for(int i=0; i<n; i++) det *= a[i][i];

}

Gi i h : ph ảo ệu chương 2 ương 2 ng pháp kh Gauss ử Gauss

Gi i h : ph ảo ệu chương 2 ương 2 ng pháp kh Gauss-Jordan ử Gauss

int GaussJordan(t_matrix b, int n, t_vector x){

int i,j,r,c,max_index; double t;

for(i=0; i<n; i++) x[i] = b[i][n];