Bài giảng Thống kê y học - Bài 12: Một số những phân phối lấy mẫu quan trọng

[r]

M T S  NH NG PHÂN PH I L Y M U QUAN TR NG.Ộ Ố Ữ Ố Ấ Ẫ Ọ Mục tiêu

Sau khi nghiên c u ch  đ , h c viên có kh  năng:ứ ủ ề ọ ả

­ Phân bi t đệ ượ ực s  khác bi t c a phân ph i xác su t c a giá tr  cá th  và  phân ph iệ ủ ố ấ ủ ị ể ố   xác su t c a các ấ ủ ướ ược l ng l y m uấ ẫ

­ Trình bày được công th c tính phân ph i xác su t c a  trung bình m u, hi u s  trungứ ố ấ ủ ẫ ệ ố   bình m u, t  l  và hi u s  t  l  c a m u.ẫ ỉ ệ ệ ố ỉ ệ ủ ẫ

1 Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn

M u xác su t là m u rút t  dân s  theo cách sao cho m i ph n t  trong dân s  đ u cóẫ ấ ẫ ừ ố ọ ầ ử ố ề  

m t xác su t độ ấ ược đ a vào m u.ư ẫ

M u có c  m u n đẫ ỡ ẫ ược rút t  trong dân s  có N ph n t   sao cho m i cách l y m u cừ ố ầ ử ọ ấ ẫ ỡ 

n đ u có m t xác su t l a ch n nh  nhau, m u đó đề ộ ấ ự ọ ư ẫ ược g i là m u ng u nhiên đ n.ọ ẫ ẫ ơ

Phương pháp l y m u còn đẫ ẫ ược chia theo 2 lo i: phạ ương pháp l y m u có hoàn l i vàấ ẫ ạ  

l y m u không hoàn l i. Trong phấ ẫ ạ ương pháp l y m u hoàn l i,m t ph n t  sau khiấ ẫ ạ ộ ầ ử  

được rút ch n đ  đ a vào m u v n có kh  năng đọ ể ư ẫ ẫ ả ược rút ch n thêm ­ nh  v y, m tọ ư ậ ộ  

ph n t  có th  làm đ i di n cho dân s  1, 2, 3 hay nhi u h n l n. Trong phầ ử ể ạ ệ ố ề ơ ầ ương pháp 

l y m u không hoàn l i, nh ng ph n t  đấ ẫ ạ ữ ầ ử ược rút ch n r i s  không đọ ồ ẽ ược ch n m tọ ộ  

l n n a. Do đó m t ph n t  có th  đầ ữ ộ ầ ử ể ược đ a vào m u t i đa 1 l n.ư ẫ ố ầ

Thí d : Gi  s  trong m t dân s  g m m u đụ ả ử ộ ố ồ ẫ ường huy t lúc đói c a 150 đ i tế ủ ố ượng.  Hãy dùng phương pháp rút ch n ng u nhiên đ n đ  ch n ra m t m u ng u nhiên cóọ ẫ ơ ể ọ ộ ẫ ẫ  

c  m u b ng 10. Tính đỡ ẫ ằ ường huy t trung bình trong m u đó.ế ẫ

2.Phân phối lấy mẫu

Phân ph i c a t t c  các giá tr  (trung bình) đố ủ ấ ả ị ược tính t  các m u ng u nhiên có cừ ẫ ẫ ỡ 

m u b ng nhau đẫ ằ ược g i là phân ph i l y m u (c a trung bình).ọ ố ấ ẫ ủ

­ Ngoài tính giá tr  trung bình, ngị ười ta có th  tính các giá tr  khác nh  đ  l ch chu n, tể ị ư ộ ệ ẩ ỉ 

l  v.v.ệ

­ N u dân s  là h u h n ta có th  tìm đế ố ữ ạ ể ượ ấ ảc t t c  các m u c  n có th  có và sau đóẫ ỡ ể   tính phân ph i. Nh ng n u dân s  là vô h n hay có kích thố ư ế ố ạ ướ ớc l n thì không th  li t kêể ệ  

t t c  các m u, ch  có th  nghiên c u phân ph i trên m t s  l n nh ng m u mà thôi.ấ ả ẫ ỉ ể ứ ố ộ ố ớ ữ ẫ

3 Phân phối của trung bình của mẫu

Thí d :Gi  s  chúng ta có m t dân s  có c  m u N = 5, bao g m tu i c a năm đ a trụ ả ử ộ ố ỡ ẫ ồ ổ ủ ứ ẻ 

là b nh nhân ngo i trú c a m t trung tâm s c kh e tâm th n. Tu i các đ a tr  là nhệ ạ ủ ộ ứ ỏ ầ ổ ứ ẻ ư  sau: x1 = 6, x2 = 8, x3 = 10, x4 = 12, x5 = 14. Tu i trung bình c a dân s  này là ổ ủ ố Σxi /N = 

10 và có phương sai σ2 = 8

N u chúng ta ch n m u có hoàn l i, có th  có đ n 25 m u. Sau đó ta có th  xây d ngế ọ ẫ ạ ể ế ẫ ể ự   phân ph i l y m u c a ố ấ ẫ ủ x b ng cách li t kê t t c  các giá tr  c a ằ ệ ấ ả ị ủ x   m t c t và t nở ộ ộ ầ  

su t xu t hi n   c t kia.ấ ấ ệ ở ộ

Và khi đó chúng ta có th  tính để ược trung bình c a ủ x

µx = 250 / 25 = 10

và   σ2 = 4

Ð nh lí gi i h n trung tâm: Cho m t dân s  v i b t kì hình dn g phân ph i nào v iị ớ ạ ộ ố ớ ấ ạ ố ớ   trung bình là µ và phương sai là σ2 , phân ph i l y m u c a ố ấ ẫ ủ x, tính t  m u c  n c aừ ẫ ỡ ủ   dân s  này s  có phân ph i x p x  bình thố ẽ ố ấ ỉ ường v i trung bình là ớ µ và phương sai là 

σ2/n, khi c  m u l n (c  m u ỡ ẫ ớ ỡ ẫ ≥ 30)

­ L u ý:ư

. Khi các giá tr  c a phân ph i đã là phân ph i x p x  bình thị ủ ố ố ấ ỉ ường thì đ nh lí trên đúng,ị   không c n đi u ki n c  m u l n.ầ ề ệ ỡ ẫ ớ

. khi m u c  n là m u không hoàn l i t  m t dân s  h u h n, phân ph i l y m u c aẫ ỡ ẫ ạ ừ ộ ố ữ ạ ố ấ ẫ ủ  

x, tính t  m u c  n c a dân s  này s  có phân ph i x p x  bình thừ ẫ ỡ ủ ố ẽ ố ấ ỉ ường v i trung bìnhớ  

là (và phương sai là [(N­n)/(N­1)]σ2/n, khi c  m u l n (c  m u ỡ ẫ ớ ỡ ẫ ≥ 30). H  s  (N­n)/(N­ệ ố 1) được g i là h  s  hi u ch nh dân s  h u h n. Thông thọ ệ ố ệ ỉ ố ữ ạ ường người ta không quan  tâm đ n h  s  này tr  khi c  m u l n h n 5% quy mô c a dân s ế ệ ố ừ ỡ ẫ ớ ơ ủ ố

4 Ứng dụng

N u chúng ta bi t chi u dài xế ế ề ương s  là phân ph i x p x  bình thọ ố ấ ỉ ường v i trung bìnhớ  

là 185,6 mm và đ  l ch chu n 12,7 mm. Tính xác su t m u có c  m u 10 rút ra t  dânộ ệ ẩ ấ ẫ ỡ ẫ ừ  

s  này có trung bình l n h n 190.ố ớ ơ

Bài gi i:ả

Phân ph i l y m u c a trung bình c a chi u dài xố ấ ẫ ủ ủ ề ương s  s  có phân ph i x pọ ẽ ố ấ  

x  bình thỉ ường v i trung bình là 185,6 mm và đ  l ch chu n = 12.7/ớ ộ ệ ẩ √10 = 4,02

Giá tr  chi u dài xị ề ương s  190 tọ ương  ng v i z = (190­185,6)/4,02 =1,09.ứ ớ

T  b ng phân ph i chu n, ta bi t di n tích ph n bên ph i 1,09 là 0,1379 hayừ ả ố ẩ ế ệ ầ ả   xác su t m t m u có c  m u 10 có trung bình l n h n 190 là 0,1379.ấ ộ ẫ ỡ ẫ ớ ơ

5 Phân phối của hiệu số của hai trung bình mẫu

Thí d : Gi  s  chúng ta có hai dân s  ­ m t dân s  g m nh ng đ a tr  b  suy dinhụ ả ử ố ộ ố ồ ữ ứ ẻ ị  

dưỡng lúc nh  và m t dân s  g m nh ng tr  không b  suy dinh dỏ ộ ố ồ ữ ẻ ị ưỡng. Phân ph i c aố ủ  

thương s  thông minh c a hai dân s  này là x p x  bình thố ủ ố ấ ỉ ường và có đ  l ch chu nộ ệ ẩ   kho ng 20. N u chúng ta l y m t m u g m 15 ngả ế ấ ộ ẫ ồ ười trong m i dân s  và tính thỗ ố ươ  ng

s  thôngminh c a m i nhóm có k t qu  nh  sau ố ủ ỗ ế ả ư x1 = 92, x2  = 105. N u không có sế ự  khác bi t v  trí thông minh gi a hai nhóm tr  em. Tính xác su t có th  quan sát đệ ề ữ ẻ ấ ể ượ  c

s  khác bi t này ho c khác bi t nhi u h n c a hi u s  (ự ệ ặ ệ ề ơ ủ ệ ố x1 ­x2 ) gi a hai trung bìnhữ  

m u.ẫ

Áp d ng công th c:ụ ứ

( 1 2) ( 1 2)

12 1 2 2 2

Ta tính được z = ­1,78

Do đó n u không có s  khác bi t v  trung bình dân s , xác su t có đế ự ệ ề ố ấ ượ ực s  khác bi tệ  

gi a trung bình dân s  ữ ố≥ 13 là 0,0375

6 Phân phối của tỉ lệ của mẫu

Thí d : N u chúng ta bi t trong dân s  t  l  mù màu ụ ế ế ố ỉ ệ π là 0,08. N u chúng ta ch n ng uế ọ ẫ   nhiên trong dân s  150 đ i tố ố ượng , xác su t đ  t  l  mù màu p lên đ n 0,15.ấ ể ỉ ệ ế

Theo công th c:ứ

n

p z

1 (

Ta tính được  z= 3,15. Tra b ng phân ph i chu n ta có xác su t quan sát đả ố ẩ ấ ược p≥ 0,08 

là 0,0008. Do v y tìm đậ ược m t m u nh  v y là m t s  ki n hi m.ộ ẫ ư ậ ộ ự ệ ế

7 Phân phối của hiệu số của hai tỉ lệ mẫu

Thí d : Trong m t dân s  ngụ ộ ố ười ta bi t r ng t  l  tr  em trai b  béo phì ế ằ ỉ ệ ẻ ị π1 = 10%. Giả 

s  cũng có t  l  tr  em gái b  béo phì ử ỉ ệ ẻ ị π2 = 10%, tìm xác su t m t m u g m 250 tr  traiấ ộ ẫ ồ ẻ  

và 200 tr  gái s  cho giá tr  pẻ ẽ ị 1 ­ p2 ≥ 0,06

Theo công th cứ

2

2 2 1

1 1

2 1 2 1

) 1 ( ) 1 (

) (

) (

n n

p p z

Ta tính được z = 2,11. V y xác su t này là 0,0174.ậ ấ

Bài tập

Bài t p phân ph i l y m uậ ố ấ ẫ

1. N u chúng ta bi t chi u dài xế ế ề ương s  là phân ph i x p x  bình thọ ố ấ ỉ ường v i trungớ   bình là 185,6 mm và đ  l ch chu n 12,7 mm. Tính xác su t m u có c  m u 10 rút ra tộ ệ ẩ ấ ẫ ỡ ẫ ừ  dân s  này có trung bình l n h n 190.ố ớ ơ

2. N u trung bình và đ  l ch chu n c a s t huy t thanh   ngế ộ ệ ẩ ủ ắ ế ở ười đàn ông kh e m nhỏ ạ  

là 120 và 15 microgram/100 ml, tính xác su t m t m u ng u nhiên g m 50 ngấ ộ ẫ ẫ ồ ười đàn  ông có trung bình s t huy t thanh   gi a 115 và 125 microgram/100 ml.ắ ế ở ữ

3. Gi  s  chúng ta có hai dân s  ­ m t dân s  g m nh ng đ a tr  b  suy dinh dả ử ố ộ ố ồ ữ ứ ẻ ị ưỡ  ng lúc nh  và m t dân s  g m nh ng tr  không b  suy dinh dỏ ộ ố ồ ữ ẻ ị ưỡng. Phân ph i c a thố ủ ươ  ng

s  thông minh c a hai dân s  này là x p x  bình thố ủ ố ấ ỉ ường và có đ  l ch chu n kho ngộ ệ ẩ ả  

20. N u chúng ta l y m t m u g m 15 ngế ấ ộ ẫ ồ ười trong m i dân s  và tính thỗ ố ương số  thôngminh c a m i nhóm có k t qu  nh  sau ủ ỗ ế ả ư x1 = 92, x2   = 105. N u không có sế ự  khác bi t v  trí thông minh gi a hai nhóm tr  em. Tính xác su t có th  quan sát đệ ề ữ ẻ ấ ể ượ  c

s  khác bi t này ho c khác bi t nhi u h n c a hi u s  (ự ệ ặ ệ ề ơ ủ ệ ố x1 ­x2 ) gi a hai trung bìnhữ  

m u.ẫ

4. Trong m t dân s  nam thanh niên và n  thanh niên 17 tu i, trung bình và đ  l chộ ố ữ ổ ộ ệ   chu n c a chi u dày n p g p da   vùng dẩ ủ ề ế ấ ở ướ ươi x ng  b  vai là nh  sau: nam 9,7 vàả ư   6,0; n  15,6 và 9,5. M t m u ng u nhiên đ n g m 40 nam và 35 n  đữ ộ ẫ ẫ ơ ồ ữ ược ch n t  dânọ ừ  

s  này. Tính xác su t s  khác bi t gi a trung bình m u (ố ấ ự ệ ữ ẫ xnu ­ xnam ) s  l n h n 10?ẽ ớ ơ

5.  N u chúng ta bi t trong dân s  t  l  mù màu là 0,08. N u chúng ta ch n ng u nhiênế ế ố ỉ ệ ế ọ ẫ   trong dân s  150 đ i tố ố ượng , xác su t đ  t  l  mù màu lên đ n 0,15.ấ ể ỉ ệ ế

6. Trung tâm y t  d  phòng t nh C n th  cho bi t t  l  tr  em 12­18 tháng tiêm ch ngế ự ỉ ầ ơ ế ỉ ệ ẻ ủ   phòng ch ng đ    6 b nh EPI là 90%. Ch n m t m u ng u nhiên đ n g m 200 trố ủ ệ ọ ộ ẫ ẫ ơ ồ ẻ  trong l a tu i này và ki m tra tình tr ng tiêm ch ng. Tính xác su t t  l  tiêm ch ngứ ổ ể ạ ủ ấ ỉ ệ ủ   trong m u này dẫ ưới 85%

7. Trong m t dân s  ngộ ố ười ta bi t r ng 10% nh ng tr  em trai b  béo phì. Gi  s  cũngế ằ ữ ẻ ị ả ử  

có 10% tr  em gái b  béo phì, tìm xác su t m t m u g m 250 tr  trai và 200 tr  gái sẻ ị ấ ộ ẫ ồ ẻ ẻ ẽ  cho giá tr  pị 1 ­ p2 ≥ 0,06

Bài gi iả

1 Phân ph i l y m u c a trung bình c a chi u dài xố ấ ẫ ủ ủ ề ương s  s  có phânọ ẽ  

ph i x p x  bình thố ấ ỉ ường v i trung bình là 185,6 mm và đ  l ch chu n =ớ ộ ệ ẩ   12.7/√10 = 4,02

Do   đó,   giá   tr   chi u   dài   xị ề ương   s   190   tọ ương   ng   v i   z   =   (190­ứ ớ 185,6)/4,02 =1,09

P (x >190) = P (z >1,09) = 1 ­ P(z ≤ 1,09) = 1 ­ 0,8621 = 0,1379 

2.  Theo đ nh lí gi i h n trung tâm, giá tr  trung bình s t huy t thanh trungị ớ ạ ị ắ ế   bình x  c a 50 ngủ ười đàn ông s  có phân ph i bình thẽ ố ường (trung bình là 120 

và đ  l ch chu n = 15/ộ ệ ẩ √50 = 2,12. 

Khi đó

P (115  < x ≤ 125) = P{(115 ­ 120)/2.12 < z ≤(125 ­ 120)/2.12)} = P(­ 2,36 < z ≤ 2,36)

= 0,9909 ­ 0,0091 = 0,9818

3. Theo th ng kê v  phân ph i c a hi u s  gi a hai trung bình m u, ta cóố ề ố ủ ệ ố ữ ẫ

2

2 2 1

2 1

2 1 2

(

n n

x x z

có phân ph i chu n. V iố ẩ ớ

µ1  là trung bình dân s  c a thố ủ ương s  trí tu    nhóm 1ố ệ ở

µ2 là trung bình dân s  c a thố ủ ương s  trí tu     nhóm 2 = ố ệ ở µ1   n u haiế   nhóm tr  có gì khác bi t v  trí tu ẻ ệ ề ệ

x1  là trung bình m u c a thẫ ủ ương s  trí tu    nhóm 1 (nhóm tr  em suyố ệ ở ẻ   dinh dưỡng) = 92,  

x2 là trung bình m u c a thẫ ủ ương s  trí tu     nhóm 2 (nhóm tr  khôngố ệ ở ẻ  

b  suy dinh dị ưỡng) = 105

σ1  phương sai c a thủ ương s  thông minh   nhóm 1,ố ở

σ2  phương sai c a thủ ương s  thông minh   nhóm 2, ố ở σ2 = 202 = 400

n1 là c  m u c a nhóm 1,ỡ ẫ ủ

n2 là c  m u c a nhóm 2, nỡ ẫ ủ 1 = n2 = 15.

Ta tính được z = ­1,78

P (x1 ­x2 <­13) = P (z < ­1,78) = 0,0375

Do đó n u không có s  khác bi t v  trung bình dân s , xác su t có đế ự ệ ề ố ấ ược sự  khác bi t gi a trung bình dân s  ệ ữ ố≥ 13 là 0,0375

4. Theo th ng kê v  phân ph i c a hi u s  gi a hai trung bình m u, ta cóố ề ố ủ ệ ố ữ ẫ

nu nu

nam nam

có phân ph i chu n. V iố ẩ ớ

µnu  là trung bình dân s  c a chi u dày n p g p da    nhóm n  = 15,6ố ủ ề ế ấ ở ữ

µnam là trung bình dân s  c a chi u dày n p g p da    nhóm nam = 9,7ố ủ ề ế ấ ở

 x nu là trung bình mẫu của chiều dày nếp gấp da ở nhóm nữ

xnam là trung bình m u c a chi u dày n p g p da    nhóm nam, ẫ ủ ề ế ấ ở xnu 

­xnam = 10

σ2

nu phương sai c a chi u dày n p g p da    nhóm n  = 9,52 = 90,25ủ ề ế ấ ở ữ

σ2 nam phương sai c a chi u dày n p g p da    nhóm nam = 62 = 36ủ ề ế ấ ở

nnu là c  m u c a nhóm n  = 35,ỡ ẫ ủ ữ

nnam là c  m u c a nhóm nam =40,ỡ ẫ ủ

Ta tính được z = 2,20

P (x1 ­x2 >13) = P (z > 2,20) = 0,0375 = 1 ­ 0,9861 =0,0139 Xác su t có đấ ượ ực s  khác bi t chi u dày l p m  dệ ề ớ ỡ ưới da trung bình gi ã namư  

và n  > 10 là 0,0139.ữ

5. Theo th ng kê v  phân ph i t  l  c a m u, ta cóố ề ố ỉ ệ ủ ẫ

n

p z

1 (

có phân ph i bình thố ường

v i ớ π: t  l  mù màu  trong trong dân sỉ ệ ố = 0,08

p: t  l  mù màu trong m u = 0,15ỉ ệ ẫ n: c  m u = 150ỡ ẫ

Ta tính được  z= 3,15

P(p > 0.15) = P(z > 3,15) = 1 ­ P(z ≤ 3,15) = 1 ­ 0,9992 = 0,0008

Xác su t này là r t hi mấ ấ ế

6. Theo th ng kê v  phân ph i t  l  c a m u, ta cóố ề ố ỉ ệ ủ ẫ

p z

1 (

có phân ph i bình thố ường

v i ớ π: t  l  tiêm ch ng trong dân sỉ ệ ủ ố = 0,90

p: t  l  tiêm ch ng trong  m u = 0,85ỉ ệ ủ ẫ n: c  m u = 200ỡ ẫ

Ta tính được  z= ­2,36

Do đó:

P(pâ ≤ 0.85) = P(z ≤ ­2,36) = 0,0091 ≈ 1/100

7. Theo th ng kê v  phân ph i t  l  c a m u, ta cóố ề ố ỉ ệ ủ ẫ

2

2 2 1

1 1

2 1 2 1

) 1 ( ) 1 (

) (

) (

n n

p p z

có phân ph i bình thố ường v iớ

v i ớ π1: t  l  béo phì  trong dân s  nam = 0,10ỉ ệ ố

π2: t  l  béo phì  trong dân s  n  = 0,10ỉ ệ ố ữ

p1: t  l  béo phì  trong m u g m 250 namỉ ệ ẫ ồ

p2: t  l  béo phì  trong m u g m 200 n , pâ1 ­ pâ2 = 0,06ỉ ệ ẫ ồ ữ

n1 là c  m u c a nhóm nam = 250ỡ ẫ ủ

n2 là c  m u c a nhóm n  = 200ỡ ẫ ủ ữ

Do đó P{(p1 ­ p2 )≥ 0,06} = P(z ≥ 2,11) = 1 ­ P(z ≤ 2,11) = 1­ 0,9826 = 0,0174