[r]
Trang 1Đáp án và thang điểm chấm chi tiết
Đề thi tuyển vào chuyên toán Lam Sơn
Vòng thi thứ hai
Câu 1.
a)
Điều kiện:
3 4
x
x
Đặt f(x)=x2- 2m2x + 2m4- 7m2+6
(1) <=> f(x)=0
Xét
4 2
4 2
m
Vậy để phơng trình có ngiệm duy nhất
' 0
b)
(2) <=>4x4-4x3+4x2-4x-y2-2xy+2=0 (3)
(1)<=> 2x2 +2y2 =1 (4)
Từ (3) và (4) ta có:
( 4x4- 4x3+ x2)+( 4x2- 4x+1) +( y2 – 2xy +x2) = 0
<=> ( 2x-1 )2( x2+1) + ( y-x)2 =0
<=>
x
x y
y x
Thử lại thấy nghiệm thỏa mãn
Câu 2
Nhận thấy x=y=0 là nghiệm
Với x,y0
(1) <=> y2 ( x2- 7)= (x+y)2 (2)
(2) x2 – 7 phải là bình phơng của số nguyên
Hay: x2 – 7 = a2
x2 – a2 = 7
(x a x)( a) 7
7
1
x a
x a
Thay x =- 4, ta đợc: y=1; y=-2
Thay x = 4, ta đợc: y= 1; y=2
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là:
(0; 0); (-4; 1); ( -4; -2); (4; 1); (4; 2)
Câu 3
Ta chứng minh đợc:
1 1 1
3 điểm 1,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
1,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 1,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 1,5 điểm 0,25 điểm
Trang 3Đặt: A= x + y + z 1
Q
2 29
27 29 25
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z =
1
3.
Vậy min Q=29
Câu 4
Vì AN* nên 3m2 + 6n - 610
Ta có: 3m2 + 6n – 61 chia cho 3 d 2
=> 3m2 + 6n – 61= 3k + 2 (kN)
=> A 33k2 4 9.27k 4
Vì: 27= 1( mod 13) => 27k.9 = 9( mod 13)
=> A 13
Vì A là số nguyên tố => A=13
33k 2 9 3m + 6n - 61=22
m22n 21 0
2 21
m
và m lẻ
=> m2=1 hoặc m2=9
* m2 =1 => m = 1 => n=10
* m2 =9 => m=3 => n=6
Câu 5.
a)
Ta có :
ATB đồng dạng với ACT
AT2 = AB AC = 2.6=(
2
Mặt khác: AT=AT’
Vậy ta có quỹ tích T và T’ thuộc đờng tròn(A; 2 3)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
1 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3 điểm
1 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
P M
B
A T'
T
O C
Trang 4b)
Tơng tự câu a) AT2=AM.AP
Mặt khác: ATOvuông
=> AT2= AO2- OT2
mà OT=OC => AM.AP= AO2- OT2
c)
Tam giác BCM vuông
=> Quỹ tích các điểm M là đừơng thẳng qua C và vuông góc với d
Quỹ tích các điểm P là đờng tròn đờng kính AB
1 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm
1 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm