được tính bằng trung bình qua toàn bộ các hàm riêng theo biến không gian (tương ứng các trạng thái vi mô của hệ lượng tử) dựa trên ma trận. thống kê[r]
Trang 1Ma trận thống kê lượng tử
KE
Trang 23.1 – Mở đầu
• Trong bài toán thống kê lượng tử, hệ được xem như vô số các hạt lượng tử
• Trạng thái vi mô của hệ xem là trạng thái của các hạt lượng tử mô tả bởi các hàm sóng
• Các hàm sóng và các
mức năng lượng của hệ
được xác định bằng cách
giải phương trình Schrodinger
Trang 33.1 – Mở đầu
• Nói chung các mức năng lượng của hệ lượng tử
là gián đoạn
• Tuy nhiên đối với hệ vĩ mô, số lượng các mức năng lượng là vô cùng lớn, nên sự phân bố các mức trên phổ năng lượng là gần như liên tục
nhau (dày đặc) Khoảng cách 2 vạch kề nhau
là rất bé
• Vì thế năng lượng của bất kỳ một loại tương tác nào đó đều lớn hơn rất nhiều so với khoảng cách của hai mức năng lượng liên tiếp
Trang 4Trung bình thống kê lượng tử
• Thực tế, hệ vĩ mô không thể ở một trạng thái dừng hoàn toàn tức là không thể mô tả trạng thái vĩ mô của một hệ lượng tử chính xác bằng một hàm sóng được
• Như vậy, tại một thời điểm xác định, trạng
thái vĩ mô của một hệ lượng tử có thể được
mô tả bằng rất nhiều hàm sóng khác nhau ứng với nhiều trạng thái lượng tử khác
nhau
• Việc tính trung bình đại lượng được thực hiện trên các trạng thái vi mô xác định bởi các hàm sóng thông qua một đại lượng trung gian là ma trận thống kê
Trang 5• GiBBS: Tính trung
bình theo thời gian
được tính bằng trung
bình qua toàn bộ các
hàm riêng theo biến
không gian (tương
ứng các trạng thái vi
mô của hệ lượng tử)
dựa trên ma trận
thống kê
Trung bình thống kê lượng tử
Xem các loa phát âm liên tiếp nhau bằng các trạng thái lượng tử
Trang 63.1 – Tính trị trung bình
• Giả sử ở thời điểm cho trước, hệ ở trạng thái
lượng tử mô tả bởi hàm sóng (q,t) với q là ký hiệu toàn bộ tọa độ của hệ Trị trung bình của đại lượng F tính qua toán tử F theo biểu thức:
) 1 3 ( dq
) t , q ( Fˆ
).
t , q (
Vì có nhiều hàm sóng (q,t) nên giá trị trung bình thống kê được tính bởi trung bình lấy theo các hàm sóng:
) 2 3 ( Fˆ
Trang 7Bài tập 3.1
• Tính trị trung bình của toán tử toạ độ x
Trong bài toán electron ở giếng thế sâu vô hạn
có độ rộng a Hàm sóng mô tả trạng thái
electron là :
) a
x
n sin(
a
2 )
x k
sin(
a
2 )
x
n
Trang 83.1 – Mở đầu
Toán tử mômen xung lượng có các hàm riêng trực giao n và các trị riêng l n thỏa biểu thức: (Chuyển L vì hàm sóng không phụ thuộc t)
Để thuận tiện ta chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn mômen xung lượng:
) 3 3 ( P
x rˆ
) 4 3 ( /
) q (
) q ( Lˆ
nm m
n
n n
Trang 93.2 – Trung bình thống kê
• Chỉ số n là ký hiệu tập hợp các lượng tử số đặc trưng một trạng
thái riêng Khai triển hàm (q,t) theo các hàm n (q) trong L
1
Thay biểu thức 3.5 vào 3.2 và viết lại như sau:
) 6 3 ( C
Fˆ C
Fˆ
* F
k
* k
* k
Vì tích phân (TP) và tổng là giao hoán, đưa hằng số ra ngoài TP:
) 7 3 ( F
C C
j ,
* k
Trang 103.3 – Ma trận thống kê
• Phần tử ma trận của toán tử F (trong L biểu diễn) được tính là:
) 8 3 ( dq
) q ( Fˆ
) q ( Fˆ
Định nghĩa phần tử ma trận thống kê là
) 9 3 ( C
K kJ
Tập hợp n các giá trị của (3.9) tạo thành một ma trận vuông gọi là ma trận thống kê ký hiệu là:
Đưa kết quả 3.9 và 3.8 vào biểu thức trung bình của F:
) 11 3 (
M
nn 2
n 1
n
21 22
21
n 1 12
11
) 10 3 ( F
.
j