Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

1 LỜI NÓI ĐẦU Dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò quan trọng phục vụ cho việc tính toán trong phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học : TS PHẠM VĂN QUỐC

Hà Nội - 2015

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 2

Một số kiến thức chuẩn bị 2

1 Dãy số 2

1.1 Một số khái niệm về dãy số 2

1.2 Cách xác định một dãy số 2

1.3 Một số dãy số đặc biệt 2

2 Một số tính chất số học 3

2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên 3

2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương 4

Chương 2 5

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 5

1 Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa 5

2.Phương pháp sai phân 10

2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất 10

2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát 11

3 Phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số bằng định hướng bởi công thức lượng giác 20

Chương 3 30

Một số bài toán liên quan đến công thức tổng quát của dãy số 30

1 Tính tổng của một dãy số 30

2 Dãy số và tính chất số học của dãy số 34

2.1 Tính chính phương của dãy số 34

2.2 Toán chia hết và phần nguyên 43

3 Dãy số và giới hạn của dãy số 52

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

1

LỜI NÓI ĐẦU

Dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò quan trọng phục vụ cho việc tính toán trong phương trình hàm, lý thuyết biểu diễn, hay cụ thể hơn là những bài toán thực tế như tính lãi xuất ngân hàng, tính số nhiễm sắc thể, tính

số phân bào… Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập tới các bài toán dãy số Tuy nhiên tài liệu này chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm công thức tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan như tính tổng, xét tính chất

số học, tính giới hạn một vài dãy số…

Mục đích của luận văn là khái quát một cách hệ thống những phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số hay dùng và một số bài toán liên quan hay được đưa ra trong các kỳ thi học sinh giỏi, OLYMPIC 30/4, hay một

số kỳ thi khác Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Luận văn tóm tắt một số định nghĩa và tính chất số học hay dùng

Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Chương này tác giả đề cấp tới 3 phương pháp chính để tìm công thức tổng quát của dãy số: phương pháp đổi biến đưa về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa; phương pháp sai phân; phương pháp sử dụng định hướng bởi công thức lượng giác

Chương 3: Một số bài toán liên quan tới công thức tổng quát của dãy số Chương này đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học của dãy số, giới hạn của dãy số

Luận văn được hoàn thành với sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình, chu đáo

của TS PHẠM VĂN QUỐC Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điều kiện giúp đỡ

về mọi mặt để luận văn hoàn thành đúng thời hạn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình giảng dạy cung cấp thêm cho chúng em kiến thức

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến những người thân, bạn bè và các đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12/2015

Tác giả

Hoàng Văn Khánh

2

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1 Dãy số

1.1 Một số khái niệm về dãy số

Định nghĩa 1: Dãy  u n (hoặc  u n ) là dãy các số u1, u2 , , u tuân theo n

một quy luật nào đó được gọi là dãy số

+ Nếu dãy  u n có vô hạn phần tử ta nói dãy  u n là dãy số vô hạn

+ Nếu dãy  u n có hữu hạn phần tử ta nói dãy  u n là dãy số hữu hạn

+ Số u được gọi là số hạng đầu của dãy, 1 u được gọi là số hạng thứ i của dãy i

2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên

Định nghĩa 4 : Cho , a bZ ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a là bội của b hoặc b là ước của a nếu k Z  sao cho abk

Trường hợp ngược lại ta nói a không chia hết cho b (kí hiệu a b )

Định nghĩa 5 : Cho số pZ ; p2, ta nói p là số nguyên tố nếu p chỉ có 2 ước nguyên dương 1 và p

Định nghĩa 6 : Ta nói số a đồng dư b modul m nếu a và b cùng có số dư khi

chia cho m

Kí hiệu : ab(mod )m

Tính chất :

5

Chương 2

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

1 Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa

Một dãy số bất kỳ, sau một hoặc một vài phép đổi biến khéo léo ta sẽ đưa dãy

số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Từ đó sẽ tìm được công thức tổng quát của dãy số mới và dãy số đã cho

Cấp số cộng:

Nếu u n1 u n  d; n thì công thức tổng quát u n  u1 (n1)d (n2)

Cấp số nhân:

Nếu u n1u q n ;n thì công thức tổng quát u n u q1 n1 (n2)

Dãy lũy thừa:

u  u n thì công thức tổng quát u n u1k n1 (n2)

Chúng ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ hơn phương pháp này

Bài toán 1 Cho dãy số :

1 1

Do v là một cấp số nhân với n v1   2 ;q 2 nên: v n v q1 n1 2n

Vậy u n   2n 3 là công thức tổng quát của dãy đã cho

Bài toán 2 Cho dãy số :

1

1

7

1 1

1 1

8

Đặt y n  v n 7, có dãy: 1

1

433

Bài toán 6 Tìm công thức tổng quát dãy u : n

1 1 1

n

u

n u

n

n

v v v

v v v

18

.42

10

Đặt v n 2u n 1 hay 1

2

n n

v

u   ta có

2 1

2 1

  , ở đó v12u1 1 6 Như vậy ta thu được dãy lũy thừa v và tính được n v n v12n1 62n1

Vậy công thức tổng quát 1 2 1

Ta thu được dãy lũy thừa v và tính được n v n v14n1 54n1

Vậy công thức tổng quát của dãy

1

4

.2

2.Phương pháp sai phân

2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất có dạng

TH1 : Phương trình (2) có đủ i nghiệm phân biệt

Khi đó phương trình (1) có nghiệm là :

x là nghiệm phương trình sai phân tổng quát (3), n

x là nghiệm phương trình sai phân thuần nhất (1), n

Để rõ hơn về phương pháp này ta đi xét một số bài toán cụ thể sau

Bài toán 1 Cho dãy số

Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng : x n  A.( 2) n B.(3)n

Có các nghiệm  1 nên nghiệm riêng x*n anb

Thay vào phương trình (*) :

a a

Có các nghiệm  3 nên nghiệm riêng x*n (anb).3n

Thay vào phương trình (*) :

Việc giải các bài toán này khó tìm ra cách giải tổng quát Ta tự tìm ra phương pháp truy hồi, đổi biến rồi mới đưa bài toán trở về đơn giản Ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ

Bài toán 7 Cho dãy

Bài toán 10 Cho dãy số

19

1 2 2 1 2

12

n n

n

x x

Vậy ta thu được phương trình x n 4x n1x n2

Bài toán 11 Cho dãy số

2 1 2

4

n n

n

x x

20

3 Phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số bằng định hướng bởi công thức lượng giác

Trong phần này ta sẽ xét một số bài toán tìm công thức tổng quát của dãy

số, được giải bằng cách dựa trên các đặc trưng của một đa thức đại số sinh bởi hàm số lượng giác Để rõ hơn ta xem xét một số bài toán cụ thể sau

Bài toán 1 Cho dãy số xác định bởi

22

Một số bài toán chưa cho trực tiếp ở dạng một công thức lượng giác x2 ; x3

ta cần đổi biến để làm xuất hiện công thức đã biết Đôi khi ta cũng gặp phải những công thức lượng giác ít sử dụng như x4 ; x5 Để làm rõ vấn đề này ta

Như vậy : + Nếu y1 1thì 1

n n

23

3 1

3 1

1 3 1

(*)

n n

u

u u

n n

27

1 1

n

u

n u

12

2

n n

u

n u

1 2

3

( 2)

n n

n

u

n u

29

sin6

Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm  1

Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s n  A.1n  A

20

1.6

a a

a a

Tuy nhiên ta sẽ giải bài toán theo phương pháp tổng quát :

Ta có s n s n1 3n

Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm  1

Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s n  A.1n  A

n n

Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm  1

Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s n  A.1n  A

1 ( 1)

n n

2 Dãy số và tính chất số học của dãy số

2.1 Tính chính phương của dãy số

Trong chương này ta cần xét tính chính phương của các phần tử trong dãy Nội dung bài toán đó là: cho một dãy số dưới dạng truy hồi hoặc chưa ở dạng tổng quát, ta chỉ cần chỉ ra một phần tử trong dãy là chính phương Việc giải bài toán sẽ theo hai xu hướng:

+Ta tìm trực tiếp công thức tổng quát của dãy từ đó tìm được phần tử đang xét và chỉ ra nó là chính phương

+Việc tìm công thức tổng quát khó khăn ta phải mò mẫm biến đổi hoặc dự đoán sự biến đổi để được điều mong muốn

Chúng ta sẽ xét một số bài toán sau:

n n

A B

n

k n k n

A B

n

k n k n

đó có lời giải dễ dàng hơn

Bài toán 3 Cho dãy số

2 2

Bài toán 5 Cho dãy số

.2

Vậy a n 1 chính phương khi n0 ,1

Bài toán 6 Cho dãy số

43

Có

51! 2! 3! 4! !

n n

Kết luận : với n1; 3 ta có u u là số chính phương 1; 3

2.2 Toán chia hết và phần nguyên

Bài toán này ta sẽ chỉ ra dãy số u hay một phần tử nào đó của dãy số thỏa n mãn hay không thỏa mãn tính chất chia hết hoặc ta đi xác định phần nguyên của nó Để làm việc này ta sẽ sử dụng một số tính chất của phép chia, tính chất đồng dư, tính chất phần nguyên của số

Bài toán 1 (Chọn đội tuyển Moldova năm 2011)

  không chia hết cho 5  n 0

Với  x là phần nguyên của x

46

3 3 3 0

mod 17mod 17 2 mod 17 0 mod 17

Vậy s không chia hết cho 17 n n 

Bài toán 4 Cho dãy

n n

n n

47

Những bài toán về phép chia hết và phần nguyên có thể đa dạng hơn Ví dụ ta xét bài toán tính số ước số của một dãy Bài toán này có hình thức bên ngoài khá khó, thế nhưng việc tìm lời giải lại tương đối đơn giản Ta đi xét bài toán sau để làm rõ

Bài toán 5 Cho dãy số

B A

Trong một bài toán về xét tính chất chia hết hay phần nguyên của dãy số, ta

có thể gặp tới 2 hay 3 dãy số trong cùng một bài toán Như vậy việc giải bài toán này ta cố gắng biệt lập các dãy số riêng biệt để giải quyết từng dãy số

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 7 Cho dãy

Do a0 20,a1100 nên

255

20

62

6

n n

Tức là 4x1996 0(mod1997) mà (4 ,1997) 1

Bài toán 9 (Đề OLYMPIC 30/4/2000 khối 11)

n n

n

x x x

i i

2

n n

3 Dãy số và giới hạn của dãy số

Việc xác định giới hạn dãy số cũng khá giống vấn đề về tính chính phương của dãy số Đó là có những bài toán ta sử dụng phương pháp đã trình bày ở chương 2 để tìm số hạng tổng quát của dãy số sau đó mới đi tìm giới hạn Một số bài toán khác thì phức tạp hơn ta không tìm giới hạn theo một số nguyên lý hội tụ hay chứng minh quy nạp

Một số giới hạn đã biết hay gặp để tính giới hạn :

1

x Chúng ta sẽ xét một số bài toán sau để làm rõ hơn

Bài toán 1 (Đề học sinh giỏi TP Hà Nội 2011-2012)

Cho dãy số 1

1

1

53

Tìm giới hạn :

1

lim n n

x x x

Bài toán 4 (Đề thi vô địch Bungari)

Gọi a và n b là hai số nguyên dương thỏa mãn hệ thức n

a b

Bài toán 6 (Đề thi Olympic 30/04/2011)

Cho dãy số  x n như sau :

Bài toán 7 (Đề thi 30/04/2013)

Tìm giới hạn của dãy số  x n xác định bởi

Suy ra limy n 0 Vậy limx n 1

Một số giới hạn của dãy số liên quan tới biểu diễn của một công thức lượng giác, ta thực hiện tìm công thức tổng quát đã xét ở chương 2 để từ đó giải quyết tiếp vấn đề xét giới hạn dãy số

Bài toán 8 Cho dãy số

2

n n

Bài toán 9 Cho dãy

22

n n

n n

u

n u

1

1 2

Tham số trong một bài toán là vấn đề không thể thiếu trong mọi bài toán Dãy

số cũng vậy việc tồn tại thêm các tham số làm bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều Tuy vậy tham số trong bài toán dãy số thường không ngăn trở ta tìm công thức tổng quát của dãy số vấn đề ta cần giải quyết đó là xét tham số trong những dãy số đã tìm công thức tổng quát Ta có một số bài toán sau để làm rõ

Bài toán 11 (HSG QG bảng A-2004)

Cho dãy xác định bởi :

n x

n n

n

u v

( 1)2( 1)

2( 1)

n n

n n x

a x

Bài toán 16 (Chọn HSG TP Hà Nội 2/10/2015)

Cho dãy số xác định bởi 1

2016 1

1

Như vậy ta có điều phải chứng minh

b Theo giả thiết 12016

68

KẾT LUẬN

Các bài toán về tìm công thức tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan được đề cập ở hầu hết các tài liệu về giải tích, đại số, … đã được tác giả tóm tắt sơ bộ qua những bài toán, nội dung chính trong luận văn Đồng thời luận văn cũng trình bày sơ lược các phương pháp tìm công thức tổng quát hay dùng, các bài toán liên quan đến công thức tổng quát hay gặp trong các kỳ thi Thường các bài toán được đưa ra đã được giải một cách khéo léo qua những phép đổi biến, hay những bước biến đổi truy hồi hay phân tích Tuy vậy nó không phải là những phương pháp tổng quát, phương pháp chung Tác giả mong muốn từ một số bài toán trên, bạn đọc sẽ tìm thêm nhiều hướng biến đổi, cách giải phong phú tạo nên sự đa dạng trong kho tàng toán học nhân loại

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội

[2] Nguyễn Hữu Điển (2003), Phương pháp quy nạp toán học, Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Phan Huy Khải (2006), Số học và dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục

[4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục

[5] Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định (2012), Phương pháp sai phân, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội