Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng

Từ đó, nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộngcác kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh dạngngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định xem[1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ

HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ

HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả nêutrong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất cứ một công trình nào khác

NCS Phạm Thế Anh

2 Điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn

3 Ứng dụng vào phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 60

Kết luận và kiến nghị 73

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

Graph(T) Đồ thị của toán tử ngẫu nhiên T

MỞ ĐẦU

Trong toán học, điểm bất động (đôi khi còn được gọi là điểm cố định,hay điểm bất biến) của một ánh xạ, là điểm mà ánh xạ biến điểm đóthành chính nó Từ những năm đầu thể kỉ 20, các nguyên lý điểm bấtđộng lần lượt ra đời trong đó đáng nói đến nhất là: nguyên lý điểm bấtđộng Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach [7] (1922) và định lýđiểm bất động Schauder [51] (1930) Các kết quả này đã được mở rộngđối với các lớp ánh xạ khác nhau, trong các không gian khác nhau và đãđược ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học Ta có thể thấy ứngdụng của các nguyên lý điểm bất động trong việc giải quyết vấn đề tồntại lời giải của phương trình (toán tử, vi phân, tích phân, ), trong cácbài toán xấp xỉ nghiệm,

Tiếp theo các kết quả trong trường hợp không ngẫu nhiên, rất nhiềukết quả về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu Vàogiữa thập niên 1950, O Hans và A Spacek ở trường Đại học Tổng hợpPrague đã khởi xướng những nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động củatoán tử ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan (xem [28, 53]) Các tác giả đãđưa ra các điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất độngngẫu nhiên Sau các công trình của O Hans và A Spacek, một số dạngtương tự của các định lý điểm bất động tất định nổi tiếng khác cho trườnghợp ngẫu nhiên cũng đã được chứng minh Cùng với việc nghiên cứu cácvấn đề về điểm bất động ngẫu nhiên, các vấn đề về phương trình toán

tử ngẫu nhiên cũng đã được quan tâm đến Các nghiên cứu về phươngtrình toán tử ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phươngtrình toán tử tất định Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý

thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa về bàitoán điểm bất động ngẫu nhiên để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệmngẫu nhiên.

Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫunhiên thực sự được quan tâm nghiên cứu sau sự ra đời cuốn sách Randomintegral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems inprobabilistic analysis (1976) của A T Bharucha-Reid (xem [15, 16]).Trong bài báo của mình, A T Bharucha-Reid đã chứng minh định lýđiểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là dạng ngẫu nhiêncủa nguyên lý ánh xạ co Banach và định lý điểm bất động Schauderdạng ngẫu nhiên Từ đó, nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộngcác kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh dạngngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (xem[11, 21, 32, 37, 60]) Vào những năm 1990, một số tác giả như H K Xu,

K K Tan, X Z Yuan, đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫunhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nhấtđịnh, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất địnhthì toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (xem [14, 54, 60]).Gần đây, một số tác giả như N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal

đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộngcác kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó dạng ngẫu nhiên củanhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh(xem [47, 50]) Đặc biệt, trong bài báo [57] các tác giả D H Thang và T

N Anh đã chứng minh các kết quả tổng quát về sự tương đương tồn tạinghiệm của phương trình tất định với phương trình ngẫu nhiên, sự tồntại điểm bất động của toán tử tất định và toán tử ngẫu nhiên

Tiếp theo bài toán điểm bất động ngẫu nhiên, bài toán điểm bất độngngẫu nhiên chung của nhiều toán tử ngẫu nhiên cũng đã được nghiên cứumột cách kỹ lưỡng Tuy nhiên, điều kiện để nhiều toán tử có điểm bất độngchung thường là phức tạp, do đó bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đãđược quan tâm nghiên cứu Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đượcnghiên cứu nhiều đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị vàtoán tử đa trị (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]).Một cách tổng quát, có thể xem toán tử ngẫu nhiên như một ánh xạbiến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên Bêncạnh đó, ta coi mỗi phần tử của không gian metric như là một biến ngẫunhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1 Với cách quanniệm như vậy, ta có thể đồng nhất không gian metric X như tập con

nhiên X-giá trị Từ đó, với mỗi toán tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào

Φ trên X trùng với f Ngoài ra mối liên hệ giữa sự tồn tại điểm bất độngngẫu nhiên của f và Φ cũng được thiết lập Với mục đích mở rộng miềnxác định của toán tử ngẫu nhiên, trong [1, 5, 58] các tác giả đã đưa rakhái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ biến mỗi biếnngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiênnhận giá trị trong không gian metric Sử dụng các tính toán thuần túyxác suất, các tác giả đã chứng minh được một số kết quả ban đầu tương

tự như của O Hadzic và E Pap về điểm bất động của toán tử hoàn toànngẫu nhiên

Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫunhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài

toán về điểm bất động, điểm trùng nhau và bài toán về phương trình toán

tử hoàn toàn ngẫu nhiên Ngoài ra luận án đề cập đến các kết quả nghiêncứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫunhiên, từ đó áp dụng các định lý điểm bất động và định lý điểm trùngnhau để tìm nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.Luận án gồm 3 chương

Chương 1 trình bày tổng quan về các khái niệm và kết quả đã biếtcủa các tác giả khác liên quan đến định lý điểm bất động và điểm trùngnhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên Các kết quả của chươngnày được trích dẫn và bỏ qua chứng minh chi tiết

Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định

lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên,tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Tiếp theo,chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một

số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Cuối cùng, một số kết quả vềđiểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến.Nội dung chính của chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động

và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểmbất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Cácứng dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tửhoàn toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên

để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên Nội dung chính củachương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên

Các kết quả của luận án đã được trình bày tại Seminar của Bộ môn

Xác suất - Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học KHTN

- ĐHQGHN, tại Hội thảo Xác suất Thống kê mừng thọ GS Nguyễn DuyTiến 70 tuổi (Hà Nội, 18/08/2012), tại Đại hội Toán học Việt Nam lầnthứ 8 (Nha Trang, 10-14/08/2013), và được công bố trong các bài báo[1, 2, 3] trang 77 của luận án

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH ĐặngHùng Thắng Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc vàchân thành tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướngdẫn và chỉ bảo tác giả trong suốt những năm cuối đại học, quá trình họccao học và trong quá trình nghiên cứu sinh

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán Cơ Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tác giả nhiều tàiliệu bổ ích

-Tác giả xin cảm ơn các thành viên tham dự Seminar Toán tử ngẫunhiên của bộ môn Xác suất - Thống kê đã tạo điều kiện cho tác giả đượctrình bày và giúp đỡ tác giả kiểm tra các kết quả nghiên cứu

Tác giả xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quanHọc viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điềukiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, bạn bè đã luônđộng viên, chia sẻ giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành được quá trìnhhọc tập của mình

Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2015

Nghiên cứu sinhPhạm Thế Anh

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản và trìnhbày một cách tổng quan các kết quả về điểm bất động, điểm trùng nhaucủa các toán tử ngẫu nhiên mà chúng tôi sẽ sử dụng làm tiền đề để xâydựng các kết quả trong các phần sau của luận án Các kết quả được tríchdẫn và không được chứng minh chi tiết

Cho Ω là tập khác ∅, được gọi là không gian mẫu Họ F các tập con của

Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn các tính chất ∅ ∈ F , Ω \ A ∈ Fvới mọi A ∈ F và

∞Sn=1

tử của σ-đại số F được gọi là một tập đo được Cặp (Ω, F ) gọi là mộtkhông gian đo được Ánh xạ P : F → [0; 1] được gọi là độ đo xác suấtnếu thỏa mãn P (∅) = 0, P (Ω) = 1 và P

n=1

xác suất của tập A σ-đại số F gọi là đầy đủ với độ đo xác suất P nếumọi tập con của tập có xác suất 0 là tập đo được Bộ ba (Ω, F , P ) gọi

là không gian xác suất Một không gian xác suất gọi là đầy đủ nếu F làσ-đại số đầy đủ Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là khônggian Polish (xem [29])

Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X là σ-đại

số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X Trong toàn bộ luận án, khinói đến σ-đại số các tập con của không gian metric ta hiểu đó là σ-đại sốBorel

Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được Khi đó σ-đại số trên

X × Y ký hiệu bởi A × B được xác định là σ-đại số nhỏ nhất chứa cáctập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B Với hai không gian tôpô X, Y bất kỳ

ta có B(X × Y ) chứa B(X) × B(Y ) Tuy nhiên nếu X và Y là các khônggian Polish thì B(X × Y ) = B(X) × B(Y ) (xem [54])

Cho (Ω, F ) là không gian đo được và X là không gian metric Ánh xạ

ξ : Ω → X gọi là F -đo được nếu

với mọi B ∈ B(X) Nếu (Ω, F , P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X

là ánh xạ F -đo được thì ξ được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trịtrong X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị Tập hợp tất cả các lớp tương

trang bị tô pô hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫunhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω 7→ f (ω, x) là mộtbiến ngẫu nhiên Y -giá trị Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X được gọi làtoán tử ngẫu nhiên trên X Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R được gọi làphiếm hàm ngẫu nhiên

Với mỗi x cố định, f (ω, x) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong

Y Do đó ta có thể coi toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y như một quy tắccho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong

Y Nói cách khác, toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y chính là ánh xạ từ Xvào LY0 (Ω)

Nhận xét 1.1.2 Các ví dụ về toán tử ngẫu nhiên có thể được tìm thấytrong các tài liệu [1, 55, 56] và nhiều tài liệu khác

Định nghĩa 1.1.3 Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên.Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếuvới mọi x ∈ X

Ta thấy tập các ω mà f (ω, x) 6= g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x.Theo quan điểm xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c thì

có thể coi là trùng nhau Vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao của nó xác

thể đồng nhất toán tử ngẫu nhiên với bản sao của nó

đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là F × B(X)-đo được

2 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi

ω quỹ đạo f (ω, ) của f là ánh xạ liên tục từ X vào Y

3 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz (ngẫunhiên) nếu tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mọi

x, y ∈ X

4 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co (ngẫu nhiên) nếu

f là toán tử Lipschitz với k(ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω

Định lý 1.1.5 ([29, Định lý 6.1]) Cho X, Y là các không gian Polish và

f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục Khi đó f là toán tử ngẫunhiên đo được Hơn nữa nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì ánh xạ

ω 7→ f (ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị

Nhận xét 1.1.6 Từ Định lý 1.1.5 ta thấy với toán tử ngẫu nhiên, tínhLipschitz suy ra tính liên tục, tính liên tục suy ra tính đo được.

Định nghĩa 1.1.7 (Điểm bất động ngẫu nhiên) Biến ngẫu nhiên ξ :

Ω → X gọi là điểm bất động (ngẫu nhiên) của toán tử ngẫu nhiên f :

rõ về điểm bất động ngẫu nhiên và tất định

Định nghĩa 1.1.8 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phươngtrình có dạng

với f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y

định với hầu hết Ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi

ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho

Khi đó u(ω) gọi là nghiệm tất định của phương trình (1.5)

2 Phương trình (1.5) được gọi là có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại biếnngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho

Khi đó ξ gọi là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1.5).

Lịch sử phát triển của bài toán điểm bất động bắt đầu từ các định lýđiểm bất động của L E J Brouwer, S Banach và J Shauder Đầu tiên,

ta xem xét bài toán điểm bất động của toán tử liên tục tổng quát và củatoán tử thỏa mãn các điều kiện co Vào đầu thế kỉ 20, L E J Browder

đã ghi dấu ấn đầu tiên bằng việc đưa ra định lý điểm bất động cho hàmliên tục từ hình cầu đóng vào chính nó Sau đó là nguyên lý ánh xạ cocủa S Banach được chứng minh năm 1922 ([7]) và định lý điểm bất động

J Shauder năm 1930 ([51])

Đối với điểm bất động ngẫu nhiên, năm 1957 trong bài báo của mình

O Hans ([28]) đã bước đầu đưa ra các điều kiện đảm bảo một ánh xạngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên dưới dạng xấp xỉ đến nghiệmcủa phương trình ngẫu nhiên

Cùng với sự phát triển của các định lý điểm bất động trong trườnghợp tất định, các định lý điểm bất động ngẫu nhiên cũng đã bắt đầu đượcnghiên cứu nhiều sau bài báo của O Hans Năm 1976 trong bài báo tổngquan của mình, tác giả A T Bharucha-Reid ([16]) đã chứng minh định

lý điểm bất động cho toán tử co ngẫu nhiên

Định lý 1.2.1 ([16, Định lý 7]) Cho T : Ω × X → X là toán tử co ngẫunhiên, X là không gian Banach khả ly Khi đó T có điểm bất động duynhất

Cũng trong bài báo [16], tác giả A T Bharucha-Reid đã xét đếnphương trình giá trị riêng ngẫu nhiên dạng (T (ω) − λI)x = y(ω) (tác

giả ký hiệu T (ω, x) bởi T (ω)x) và đưa ra điều kiện để phương trình cónghiệm.

Định lý 1.2.2 ([16, Định lý 8]) Cho T (ω) là toán tử co từ không gianBanach khả ly X vào chính nó, k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm nhậngiá trị thực bị chặn h.c.c Khi đó với mỗi số thực λ 6= 0 sao cho k(ω) < |λ|h.c.c đều tồn tại toán tử ngẫu nhiên S(ω) là nghịch đảo của T (ω) − λI,với I là toán tử đồng nhất trên X

Ngoài ra trong bài báo [16], tác giả A T Bharucha-Reid chứng minhdạng ngẫu nhiên của định lý điểm bất động Schauder, tức là đưa ra điềukiện để một toán tử ngẫu nhiên liên tục có điểm bất động

Định lý 1.2.3 ([16, Định lý 10]) Cho E là tập compact, lồi trong khônggian Banach khả ly X và T (ω, x) là toán tử ngẫu nhiên liên tục trên E.Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên E-giá trị ξ(ω) là điểm bất động của T Năm 1979 trong bài báo [31], tác giả S Itoh đã chứng minh hệ quả

về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên compact

Hệ quả 1.2.4 ([31, Hệ quả 2.2]) Cho E là tập compact (hoặc khả ly vàđóng) trong không gian Banach X, T : Ω × E → E là toán tử ngẫu nhiêncompact theo nghĩa T (ω, ) là compact với mọi ω ∈ Ω Khi đó T có điểmbất động

Đến năm 1993 trong bài báo [54], các tác giả K K.Tan và X Z Yuan

đã có những chứng minh đầu tiên về mối liên hệ giữa điểm bất động tấtđịnh và điểm bất động ngẫu nhiên Không gian Suslin là không gian tôpôHausdorff và là ảnh liên tục của không gian Polish Tập con Suslin củakhông gian tôpô là không gian con của không gian tôpô và cũng là không

gian Suslin Ký hiệu I và J lần lượt là tập các dãy con vô hạn và hữu hạncủa tập số nguyên dương Gọi G là họ các tập hợp nào đó và F : J → G là

σ∈I

∞T

n=1

F (σ/n) được gọi là nhận được từ G bằng toán tử Suslin

Từ đó, nếu mọi tập con nhận được từ G theo cách như trên cũng thuộc

G, thì G gọi là họ Suslin Sử dụng phương pháp hàm chọn, các tác giả đãthu được các kết quả sau

Định lý 1.2.5 ([54, Định lý 2.3]) Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là

điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức

Định lý 1.2.6 ([54, Định lý 2.5]) Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là họ

động ngẫu nhiên khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức là với

Năm 1995, tác giả B S Choudhury trong [18] đã sử dụng dãy lặpIshikawa để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên nếudãy lặp hội tụ trong không gian Hilbert

Định lý 1.2.7 ([18, Định lý 1]) Cho X là không gian Hilbert khả ly,

T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao cho tồn tại ánh xạ u :

Ω → X (không yêu cầu đo được) thỏa mãn ||T (ω, x)ưu(ω)|| 6 ||xưu(ω)||

dãy biến ngẫu nhiên (ξn(ω)) xác định bởi dãy lặp Ishikawa

n=1

Trong bài báo [12] năm 2006, các tác giả I Beg và M Abbas sử dụngphương pháp lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tửngẫu nhiên co yếu

Định lý 1.2.8 ([12, Định lý 5.2]) Cho F là tập con lồi, đóng của khônggian Banach khả ly X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếutheo nghĩa với bất kỳ x, y ∈ F

trong đó f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, không giảm, f (t) = 0

Cũng trong bài báo [12], các tác giả I Beg và M Abbas đã chứngminh định lý về quá trình lặp đến điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên

co yếu

Định lý 1.2.9 ([12, Định lý 5.3]) Cho F là tập con lồi, đóng của khônggian Banach khả ly X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu

(xem [38]), xác định bởi công thức

n = 0, 1, 2, , trong đó 0 6 αn 6 1,

∞Pn=1

Năm 2010 trong bài báo [57], các tác giả D H Thang và T N Anhbằng phương pháp hàm chọn đã chứng minh kết quả sau đối với phươngtrình toán tử ngẫu nhiên

Định lý 1.2.10 ([57, Định lý 2.3]) Cho X, Y là các không gian Polish

và f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên đo được Khi đó phươngtrình ngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khiphương trình có nghiệm tất định với hầu hết ω ∈ Ω

Hơn nữa nếu với hầu hết ω ∈ Ω phương trình f (ω, ) = g(ω, ) códuy nhất nghiệm tất định, thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có duy nhấtnghiệm ngẫu nhiên

Từ định lý này, các tác giả đã thu được kết quả sau chỉ ra mối liên hệgiữa sự tồn tại điểm bất động tất định và điểm bất động ngẫu nhiên.Định lý 1.2.11 ([57, Định lý 3.1]) Cho X là các không gian Polish,

f : Ω × C → X là toán tử ngẫu nhiên đo được Khi đó f có điểm bất độngngẫu nhiên khi và chỉ khi với hầu hết ω ∈ Ω, ánh xạ f (ω, ) có điểm bấtđộng tất định

Định lý 1.2.11 cho thấy đối với trường hợp toán tử ngẫu nhiên đođược, vấn đề tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên tương đương với sự tồntại điểm bất động tất định cho hầu hết ω Mặt khác vấn đề điểm bấtđộng tất định đã được nghiên cứu gần như đầy đủ, với số lượng rất lớncác công trình Như vậy trước khi có bài báo [57], việc chứng minh sựtồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên đo được mà

sử dụng kết quả trong trường hợp tất định kết hợp với định lý hàm chọnđến đây không còn nhận được nhiều sự quan tâm nữa Vì thế, để đưa

ra các kết quả về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đo được, cáctác giả thường chứng minh trực tiếp thông qua phương pháp dãy lặp màkhông sử dụng cách chứng minh dựa trên định lý hàm chọn như trước.Đến bây giờ nhiều dạng dãy lặp đã được sử dụng, điển hình là các dãylặp Picard, dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp ba bước, dãy lặp ẩn, Sử dụng phương pháp lặp, số các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiênđược chứng minh phong phú hơn rất nhiều so với sử dụng phương pháphàm chọn

nhiên

Tiếp theo sự xuất hiện bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên,bài toán điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên cũng đã được quantâm đến Lần lượt các công trình [11] năm 1994, [17] năm 1995, [45] năm

2000, [46] năm 2000, [40] năm 2003, [47] năm 2004, [33] năm 2004 , [41]năm 2005, [48] năm 2005, [49] năm 2006, [34] năm 2006, [22] năm 2006,[35] 2007, [36] năm 2008, [42] năm 2010, [20] năm 2010, [57] năm 2010,[25] năm 2011 đã đưa ra nhiều kết quả quan trọng về điểm trùng nhaucủa các toán tử ngẫu nhiên

nhiên Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi là điểm trùng nhau (ngẫu nhiên)

Định nghĩa 1.3.2 Ánh xạ đo được ξ : Ω → X được gọi là điểm trùngnhau (ngẫu nhiên) của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X và toán

tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → CB(X) nếu với mọi ω ∈ Ω ta có

f (ω, ξ(ω)) ∈ T (ω, ξ(ω))

đạo đủ (xem [40])

Định lý 1.3.3 ([40, Định lý 3.1]) Cho X là không gian Banach khả ly,

S, T : Ω × X → CB(X) là hai toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục, f :

Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên sao cho S(ω, X) ∪ T (ω, X) ⊆ f (ω, X),

(1.11)với mọi x, y ∈ X, mọi ω ∈ Ω và α : Ω → (0; 1) là ánh xạ đo được Khi đótồn tại duy nhất điểm trùng nhau của S, T và f

Dựa trên phương pháp lặp, năm 1994 các tác giả I Beg, N Shahzad

đã chứng minh định lý về điểm trùng nhau của một toán tử ngẫu nhiên

và một toán tử ngẫu nhiên đa trị

Cho (X, d) là không gian Polish Ánh xạ T : X → CB(X) và f :

X → X gọi là tương thích nếu với bất kỳ dãy (xn) thuộc X thỏa mãn

limnf xn ∈ limnT xn (nếu các giới hạn tồn tại) thì limnH(f T xn, T f xn) =

0 Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X và T : Ω × X → CB(X) gọi làtương thích nếu f (ω, ) và T (ω, ) là tương thích với mọi ω ∈ Ω (xem [8],[9])

Định lý 1.3.4 ([11, Định lý 5.1]) Cho T : Ω × X → CB(X) là toán tửngẫu nhiên đa trị và f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục saocho T (Ω, X) ⊆ f (ω, X) với mọi ω ∈ Ω Nếu f , T là tương thích và vớimọi x, y ∈ X, ω ∈ Ω,

và phát triển của bài toán điểm bất động và điểm trùng nhau của cáctoán tử ngẫu nhiên

Chương 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA CÁC TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN

Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y có thể coi là một tác động biếnphần tử x trong X thành đầu ra ngẫu nhiên f (ω, x) nhận giá trị trong

Y Trong một số trường hợp, ngay cả đầu vào cũng bị ảnh hưởng bởi môitrường ngẫu nhiên, một tác động biến các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trong X thành đầu ra ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y được gọi làtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên từ X vào Y

Chương này trình bày kết quả về sự thác triển toán tử ngẫu nhiênthành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Tiếp theo đó, các kết quả về điểmbất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên đượcxét đến Chú ý rằng định lý điểm bất động và điểm trùng nhau của cáctoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên không được suy ra một cách trực tiếp từcác định lý tương ứng trong trường hợp tất định, hay trong trường hợpngẫu nhiên

Nội dung chương này bao gồm các mục: 2.1 Toán tử hoàn toàn ngẫunhiên, 2.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, 2.2 Điểmtrùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Các kết quả trongchương này được công bố trong các bài báo [1, 2, 3] trang 76 của luận án

Trong các chương tiếp theo, chúng tôi xét X là không gian Banach khả ly

và (Ω, F , P ) là không gian xác suất đầy đủ Giả sử f : Ω×X → X là toán

tử ngẫu nhiên liên tục Theo Định lý 1.1.5, nếu f là toán tử ngẫu nhiên

liên tục thì với mọi biến ngẫu nhiên u : Ω → X, ánh xạ ω 7→ f (ω, u(ω))

đo được và cũng là biến ngẫu nhiên Do đó ta có thể xét

Khi đó có thể coi X là tập con các biến ngẫu nhiên suy biến (biếnngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể cố định với xác suất 1) của tập các

tử ngẫu nhiên f Từ đó, ta nhận được Φ là sự mở rộng của f lên toàn bộ

với nhiều metric khác nhau (sự hội tụ theo các metric đó tương đươngvới sự hội tụ theo xác suất) Khi đó ta có thể coi Φ như là một ánh xạgiữa hai không gian metric Tuy nhiên ở đây chúng tôi xét đến góc độxác suất của toán tử Φ, với các giả thiết dựa trên các biểu thức xác suất

Sau đây là định nghĩa toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Định nghĩa 2.1.1 ([1, Định nghĩa 3.3.1]) Cho X, Y là các không gianBanach khả ly

nhiên

2 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục nếu với mỗi dãy

(un) thuộc LX0 (Ω) thỏa mãn limnun = u h.c.c., ta có limnΦun = Φuh.c.c.

3 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục theo xác suất

được gọi là mở rộng của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y nếu với mỗi

Định lý 2.1.3 Cho f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên có bản sao liên

xác định tốt Thật vậy, theo Định lý 1.1.5, g : Ω × X → Y là đo được, vìvậy ω 7→ g(ω, u(ω)) là đo được Tiếp theo ta sẽ chứng minh nếu h là bảnsao liên tục khác của f thì

Do X là không gian khả ly, tồn tại dãy (xn) trù mật trong X Với mỗi xn,

∞T

n=1

hội tụ đến u(ω) Từ tính liên tục của ánh xạ x 7→ g(ω, x) và ánh xạ

x 7→ h(ω, x)

lim

Từ (2.15) dễ dàng chứng minh được toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ

là liên tục và là mở rộng của f

toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

1 Φ được gọi là k(ω)-Lipschitz nếu tồn tại biến ngẫu nhiên nhận giá

Chú ý rằng tập bỏ được phụ thuộc vào u, v

2 Φ được gọi là k(ω)-Lipschitz theo xác suất nếu tồn tại biến ngẫu

và t > 0

3 Φ được gọi là k(ω)-co nếu Φ là k(ω)-Lipschitz với k(ω) < 1 h.c.c

4 Φ được gọi là k(ω)-co theo xác suất nếu Φ là k(ω)-Lipschitz theo xácsuất với k(ω) < 1, ∀ω ∈ Ω.

5 Φ được gọi là không giãn nếu Φ là 1-Lipschitz

6 Φ được gọi là không giãn theo xác suất nếu Φ là 1-Lipschitz theo xácsuất

Nhận xét 2.1.5 Nếu Φ là k(ω)-Lipschitz thì Φ là k(ω)-Lipschitz theo xácsuất

Sau khi thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫunhiên, bài toán tìm điều kiện để toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục,liên tục theo xác suất được xét đến Tính chất liên tục của toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên được sử dụng trong quá trình chuyển qua giới hạn củadãy lặp đến điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

nhiên Khi đó tính liên tục của Φ suy ra tính liên tục theo xác suất củaΦ

không hội tụ đến Φu theo xác suất Khi đó tồn tại t > 0,  > 0 và dãy

0 = lim

và suy ra mẫu thuẫn.

nhiên k(ω)-Lipschitz thì Φ liên tục

k(ω)-Lipschitz theo xác suất thì Φ liên tục theo xác suất

Chứng minh Khẳng định đầu tiên dễ dàng chứng minh, ta chứng minh

P (kΦu − Φvk > t) 6P (kku − vk > t)

=P (kku − vk > t, ku − vk 6 r) + P (ku − vk > r)

≤P (rk > t) + P (ku − vk > r)

=P (k > t/r) + P (ku − vk > r)

Vì vậy với mỗi r > 0

lim supn

Cho r → 0 ta nhận được

lim supn

Vì toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên không giãn theo xác suất là trườnghợp riêng của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên k(ω)-Lipschitz theo xác suất,nên toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên không giãn theo xác suất là liên tụctheo xác suất

2.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn

ngẫu nhiên

Cho f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ

là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f nếu

gọi là điểm bất động của Φ nếu

Tiếp theo, ta chứng minh định lý điểm bất động của toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên co yếu Định lý điểm bất động của toán tử hoàn toànngẫu nhiên co yếu là mở rộng của định lý về điểm bất động của toán tửhoàn toàn ngẫu nhiên co Trước hết, ta có các định nghĩa sau

Định nghĩa 2.2.2 Cho f : Ω × [0; +∞) → [0; +∞) là ánh xạ sao chovới mỗi ω ∈ Ω, f (ω, t) = 0 khi và chỉ khi t = 0 và với mọi t ∈ [0; +∞)

thì f (ω, t)6 t h.c.c Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω)

kΦu(ω) − Φv(ω)k 6 ku(ω) − v(ω)k − f (ω, ku(ω) − v(ω)k) h.c.c (2.23)Nhận xét 2.2.3 Nếu Φ là k(ω)-co thì Φ là f (ω, t)-co yếu với f (ω, t) =(1 − k(ω))t

Định nghĩa 2.2.4 Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) là ánh xạ sao cho f (t) =

0 khi và chỉ khi t = 0 và f (t) 6 t với mọi t thuộc [0; +∞) Toán tử hoàn

xác suất với f (t) = (1 − k)t, k ∈ (0, 1)

• Nếu Φ là f (t)-co yếu theo xác suất thì Φ là không giãn theo xác suất,

do đó Φ liên tục theo xác suất

nhiên f (ω, t)-co yếu, và với mỗi ω ∈ Ω, hàm t 7→ f (ω, t) là không giảm.Khi đó Φ có duy nhất điểm bất động

Từ (2.23), với mỗi cặp (i, j)

Do đó tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D và với mọi cặp(i, j)

Đặc biệt, với mỗi ω ∈ D và với mọi cặp (i, j)

Ta chứng minh rằng L(ω) = 0 với mọi ω ∈ D

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên với i = 0, 1, , n − 1, ta nhận đượcvới mọi n

điều này dẫn đến mâu thuẫn

Cố định ω ∈ D Với mỗi  > 0 cho trước, từ khẳng định 1 tồn tại N

là dãy Cauchy với mỗi ω ∈ D, điều đó dẫn đến khẳng định 2

Vì Φ là liên tục, từ (2.25) cho n → ∞ ta nhận được ξ = Φξ h.c.c Do

đó ξ là điểm bất động của Φ

Giả sử rằng η là điểm bất động khác của Φ Khi đó tồn tại tập D0 với

Ví dụ 2.2.8 Giả sử (Ω, F , P ) là không gian xác suất với Ω = [0; 1], F

là σ-đại số Lebesgue các tập con của [0; 1] và P là độ đo Lebesgue trên

xác định bởi

nhưng Φ không phải là co yếu

Tiếp theo, giả sử Φ là co yếu, ta có

(2.29)

Chọn biến ngẫu nhiên v(ω) = 0, ∀ω ∈ Ω, ta có Φv = 0 Từ đó, (2.29) suyra

1

Φ không phải là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu

Để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của các toán tử hoàn toàn ngẫunhiên dạng f (t)-co yếu, ta xét thêm điều kiện đặt lên hàm f (t)

Điều kiện (A) Cho hàm số f : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn f (t) = 0khi và chỉ khi t = 0 và f (t) < t, ∀t > 0 Hàm số f (t) gọi là thỏa mãn điềukiện (A) nếu hàm số h(t) xác định bởi

Trong trường hợp này, Φ có duy nhất điểm bất động

(q0p)n

với M = EkΦu0 − u0kp, q0 = 1 − h(t).

với mọi p > 0

Khi đó

f (t) = (1 − g(t)) t hay t − f (t) = tg(t)

P (kΦu − Φvk > t) 6 P (ku − vk − f (ku − vk) > t)

Chú ý rằng q(t) < 1 vì h(t) > 0, từ đó với mỗi n ≥ 2 ta nhận được



< q (t) Bằng phương pháp quy nạp và bất đẳngthức Chebyshev ta nhận được

trong (2.32), vì Φ là liên tục theo xác suất ta nhận được ξ = Φξ h.c.c.Giả sử η là điểm bất động khác của Φ Khi đó với mỗi t > 0

P (kξ − ηk > t) = P (kΦξ − Φηk > t)

≤

≤ P (kξ − ηk > t/q0n)với mọi n > 0 Cho n → ∞ ta có P (kξ − ηk > t) = 0 với mỗi t > 0,tức là ξ = η h.c.c Vì vậy Φ có duy nhất điểm bất động

min(q 0 ;1)

(1 − q

p 1+p

Định nghĩa 2.2.10 Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, tăng

q)-co theo xác suất nếu Φ là (f, q)-Lipschitz theo xác suất với q < 1.Nhận xét 2.2.11 Nếu Φ là q-Lipschitz theo xác suất thì Φ là (f, q)-Lipschitz theo xác suất với f (t) = t Đặc biệt, nếu Φ là q-co theo xácsuất thì Φ là (f, q)-co theo xác suất với f (t) = t

suất thì Φ liên tục theo xác suất

Chứng minh Cho trước t > 0, gọi g = f−1 là hàm ngược của f Đặt

ta nhận được

lim

Do đó Φ là liên tục theo xác suất

nhiên (f, q)-co theo xác suất

1 Nếu Φ có điểm bất động thì điểm bất động đó là duy nhất Hơn nữa,

M = sup

t>0