Chương I. §3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

[r]

Trang 1

I - Lý thuyết:

1 - Định lí Vi-et cho phơng trình bậc hai.

Nếu phơng trình : ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1; x2 thì

x x

a

ỡùù + ùùù

x x x

a

ỡùù + + ùù

=-ùù

ớù ùù

ù <a ùùợ

c)  < x1 < x2 

0 a.f( ) 0 S

ù >a ùùợ

d)  < x1 <  < x2 

a.f( ) 0 a.f( ) 0

ỡ a >

ùù

ớù b <

ùợe) x1 <  < x2 <  

a.f( ) 0 a.f( ) 0

ỡ a <

ùù

ớù b >

ùợf)

4 - Tính chất của cấp số cộng.

a) Cho cấp số cộng (un) với công sai d Khi đó ta có

Trang 2

b) Cho x1; x2; x3 khi đó ta có x1 + x3 = 2x2.

5 - Tính chất của cấp số nhân.

a) Cho cấp số nhân (un) với công bội q Khi đó ta có

2

u - .u + = u

.b) Cho cấp số nhân x1; x2 ; x3 khi đó ta có x1.x3 = x2

6 - Cực trị của hàm số bậc ba.

Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

a) Hàm số không có cực trị  Phơng trình f’(x) = 0 vô ngiệm hoặc có nghiệm kép

b) Hàm số có cực trị (Gồm 1 cực đại và 1 cực tiểu)  Phơng trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

8) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba.

Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

y

x O

y

x O

y

x O

y

x O

y

x O

y

Trang 3

a) Đồ thị (C) tiếp xúc với đồ thị (C ’) khi hệ phơng trình sau có nghiệm.

A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

Bài toán 1: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại

ba điểm phân biệt

HD:

Cách 1: (Nếu phơng trình hoành độ giao điểm nhẩm đợc nghiệm)

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Chuyển về giải bài toán phơng trình bậc hai

Cách 2: (Nếu phơng trình hoành độ giao điểm không nhẩm đợc nghiệm)

Cách 3: (Nếu phơng trình hoành độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế).

Phơng trình hoành độ giao điểm tơng đơng với phơng trình: g(x) = h(m)

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt

ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn  < x1< x2 < x3

HD:

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 thoả mãn

 < x1< x2 < x3

Chuyển về giải bài toán theo tam thức bậc hai bậc hai

Bài toán 

f'(x)=0 co' 2 nghiệm phân biệt lớn hơn

y y 0 a.f( ) 0

Cách 3: (Nếu phơng trình hoành độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế)

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn  < x1< x2 < x3

ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1<  < x2 < x3

HD:

x1<  < x2 < x3

Bài toán 

f'(x)=0 co' 2 nghiệm phân biệt, nghiệm lớn nhất lớn hơn

y y 0 a.f( ) 0

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1<  < x2 < x3

ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 <  < x3

HD:

Trang 4

x1< x2 <  < x3

Bài toán 

f'(x)=0 co' 2 nghiệm phân biệt, nghiệm nhỏ nhất nhỏ hơn

y y 0 a.f( ) 0

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 <  < x3

ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3< 

HD:

x1< x2 < x3 < 

Bài toán 

f'(x)=0 co' 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn

y y 0 a.f( ) 0

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3 thoả mãn x1< x2 < x3< 

Bài toán 6: : Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

HD :

Cách 1:

Bài toán 

f '(x) 0 co ' hai nghiệm phân biệt

Điểm uốn I thuộc trục Ox

ùù ớù ùợ

Cách 2:

Phơng trình hoành độ giao điểm: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 lập thành một cấp số cộng

áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số cộng ta có

ùợ  x2 = ? thay vào phơng trình hoành độ giao điểm ta đợc m = ?

Điều kiện đủ: Với m tìm đợc thay vào phơng trình hoành độ giao điểm Nếu phơng trình có

ba nghiệm phân biệt thì giá trị m tìm đợc thoả mãn bài toán

Kết luận:

ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân

HD :

Phơng trình hoành độ giao điểm: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Điều kiện cần: Giả sử phơng trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm phân biệt x1; x2 ;x3 lập thành một cấp số nhân

áp dụng Định lí Vi-ét và tính chất của cấp số nhân ta có

Trang 5

ùùợ  x2 = ? thay vào phơng trình hoành độ giao điểm ta đợc m = ?

Điều kiện đủ: Với m tìm đợc thay vào phơng trình hoành độ giao điểm Nếu phơng trình có

ba nghiệm phân biệt khác 0 thì giá trị m tìm đợc thoả mãn bài toán

Kết luận:

B - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.

Bài toán 8: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tạihai điểm phân biệt

HD:

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Bài toán trở thành tìm m sao cho

Cách 3: (Nếu phơng trình hoành độ giao điểm chuyển đợc tham số m sang một vế).

Bài toán trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai

điểm phân biệt

Bài toán 9: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tạihai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn  < x1< x2

HD:

Cách 1: (Nếu phơng trình hoành độ giao điểm nhẩm đợc nghiệm).

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn  <

x1< x2

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn  < x1< x2

Bài toán 10: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1<  < x2

HD:

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1<

 < x2

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1<  < x2

Bài toán 11: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < 

HD:

Trang 6

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1

< x2 < 

có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn y

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn x1 < x2 < 

C - Đồ thị hàm số bậc ba tiếp xúc với trục Ox

Bài toán 12: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) tiếp xúc với trục Ox

HD: (C m) tiếp xúc với trục Ox khi hệ phơng trình sau có nghiệm.

D - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại một điểm.

Bài toán 13: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm

HD:

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm

'( ) 0 '( ) 0

Bài toán trở thành tìm m sao cho đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại một

điểm

Bài toán 14: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ x1 thoả mãn  < x1

HD:

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm x1 thoả mãn  < x1

'( ) 0 '( ) 0

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 thoả mãn  < x1

Bài toán 15: Cho (C m): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại một điểm có hoành độ x1 thoả mãn x1 < 

HD:

Bài toán  Phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 1 nghiệm x thoả mãn x < 

Trang 7

'( ) 0 '( ) 0

Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số y = g(x) cắt đờng thẳng y = h(m) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 thoả mãn x1 < 

III - Bài tập:

A - Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

Bài tập 1: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.

a) Ta có phơng trình hoành độ giao điểm (x2 – 2mx – m + 2)(x + 1) = 0

Bài toán trở thành tìm m sao cho phơng trình x2 – 2mx – m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Bài toán trở thành tìm m sao cho yCĐyCT < 0  (m + 27)(m - 5) < 0  - 27 < m < 5

c) Phơng trình hoành độ giao điểm x3 + x2 + mx + 3 = 0  - m =

Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m > 5  m < - 5

d) Ta có phơng trình hoành độ giao điểm x3 + mx2 – 7x – 4 = 0  - m =

3 2

Trang 8

- -  -

Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m là - m < 2  m > - 2

Bài tập 2: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ;x3

2 2 3 0

4 12 0

1 3

2 7 0

m

m m

C CT

m m

Từ bảng biến thiên ta có kết quả của m là 2 < - m < 10  - 10 < m < -2

d) Phơng trình hoành độ giao điểm - m =

Trang 9

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - 5/ 2 < - m < - 1  1 < m < 5/2.

a) Phơng trình hoành độ giao điểm (x – 3)(x2 + 2mx + m - 2) = 0

Bài toán trở thành tìm m sao cho pt x2 + 2mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 khác 3 thoả mãn x1 < 1 < x2

b) Phơng trình hoành độ giao điểm (x + 3)(x2 – 2mx +m + 2) = 0

Bài toán thành tìm m sao cho PT: x2 – 2mx +m + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2sao cho – 2 <x1 < x2

CD CT

m m

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 49/3  m < - 49/3

e) Phơng trình hoành độ giao điểm - m =

Trang 10

y 1 +

0

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m < 0  m > 0

f) Phơng trình hoành độ giao điểm - m =

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m > 7  m < - 7

a) Phơng trình hoành độ giao điểm (x - 3)(x2 – 2mx + 2m + 3) = 0

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 – 2mx + 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,

x2 thoả mãn x1 < x2 < 2



2

3 1

b) Phơng trình hoành độ giao điểm (x + 2)(x2 + 2mx + 3m + 4) = 0

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 + 2mx + 3m + 4 = 0 có hai nghiẹm phân biệt x1, x2khác - 2thoả mãn x1 < 1 < x2

CD CT

m m

Trang 11

e) Phơng trình hoành độ giao điểm: - m =

3 2

a) Phơng trình hoành độ giao điểm (x – 2)(x2 + 2mx – 2m + 8) = 0

Bài toán trở thành tìm m sao cho PT x2 + 2mx – 2m + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ,

m

m m

CD CT

m m

Trang 12

Từ bảng biến thiên ta có kết quả 9 < - m < 43/4  - 43/4 < m < - 9

d) Phơng trình hoành độ giao điểm - m =

3 2

Từ bảng biến thiên ta có kết quả - m < - 5  m > 5

Bài tập 6: Tìm m để (C m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số

Trang 13

Điều kiện cần :Giả sử phơng trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m 2 + m + 5)x – 3m = 0

có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng



v x = 2 v x =

9 2Thoả mãn yêu cầu bài toán

Kết luận : m = 2 và m = - 3/2

d)

Điều kiện cần : Giả sử phơng trình hoành độ giao điểm x3 - 6x2 + (m 2 + m + 5)x – 3m = 0

có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng

Khi m = - 9 Ta có phơng trình x3 – 9x2 + 20x – 6 = 0  x = 3 v x = 3  7Thoả mãn yêu cầu bài toán

f '(x) 0 co ' hai nghiệm phân biệt

Điểm uốn I thuộc trục Ox

ùù ớù

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	883,4 KB