Chương II. §1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng ( SAC ).[r]

1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.1Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng ( ). Gọi H là hình chiếu của O lân mặt

phẳng ( ). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ

điểm O đến mặt phẳng ( ).

Kí hiệu: d O ,   OH

(α)

O

H M

1.2 Cách tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( ).

* Cách 1:

Bước 1: Tìm mặt phẳng ( ) qua O vuông góc ( ).

Bước 2: Tìm d ( )  

Bước 3: Trong mặt phẳng ( ) , kẻ OH d OH ( ).

Vậy OH d O  ,( ) 

d

(β)

O

* Cách 2: Nếu biết khoảng cách từ O' đến mặt phẳng ( ) và

i/ OO' ( )   d O , ( )  d O ',( ) 

ii/ Biết d O  ',( ) và OO' cắt ( ) tại I.

'

IO

k

IO  thì

( ',( )) '

( ,( ))



 

(α)

O

O'

I

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng ( )P và ( ) Q vuông góc với nhau Gọi  là giao tuyến của

chúng Từ  lấy hai điểm ,A B sao cho AB a  Lấy điểm C trên ( ) P và D trên

( )Q sao cho AC và BD cùng vuông góc với  mà AC BD AB  Tìm khoảng cách

từ A đến ( BCD).

Giải.

(P)

(Q)

H C

A

B D

Do

( ) ( )

BD









  



  ( H là trung điểm BC)(1)

Mặt khác ta có

AH BC ( ABC cân tại A )(2)

Từ (1)(2) suy ra AH (BCD)

Vậy d A BCD ,( ) AH

Xét ABC vuông cân tại A

Ta có:

AB AC a   BC AB AC a

Nên

2 2

a

AH 

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi A ˆ 1200, BD a ,cạnh bên SA vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SBC và mặt phẳng đáy là ) 0

60 Tính a) Đường cao của hình chóp

b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD).

120°

60°

H

I O

C D

B A

S

a.Vì ABCD là hình thoi và BAD  1200, nên ABC là tam giác đều

Gọi I là trung điểm của BC thì BC(AIS).

Mặt khác AIS là tam giác vuông tại A nên SIA là góc giữa ( SBC và () ABCD) Theo giả thiết SIA  600

Ta có BD2AC2 4AB2 mà ACAB nên

3

2 2

AB   AI  

Vì SA(ABCD) nên SA là đường cao của hình chóp S ABCD.

Ta có

.tan 60

2

a

SA AI 

Vậy

3

2

a

SA 

b Ta có BC (SAI),từ đó (SAI)(SBC).

vậy nếu kẻ đường cao AH của SAI thì AH d A SBC ,( ) 

Xét SAI vuông tại A

Ta có:

2 2

3

4 3

4 4

a a

AH



Bài tập.

1 Cho tam giác điều ABC cạnh 3 , a điểm H thuộc cạnh AC với HC a Vẽ

đoạn SH vuông góc ( ABC và ) SH 2 a

a Hãy nêu cách dựng đoạn vuông góc HK vẽ từ H đến ( SAB).

b Tính khoảng cách từ H và từ C đến mặt phẳng ( SAB).

Giải

a.Cách dựng đoạn vuông góc HK vẽ từ H đến ( SAB).

Gọi I là trung điểm AB

Ta có: ABC đều, có CI là đường trung tuyến suy ra CI AB

Qua H kẻ đường thẳng song song với CI và cắt AB tại E

Khi đó ABHE(1)

Mặt khác: ABSH(vì SH (ABC)) (2)

Từ (1)(2) suy ra: AB(SHE) (SAB) ( SHE)

Mà (SAB) ( SHE)SE

Qua H dựng đường thẳng vuông góc với SE tại K

Suy ra: HK (SBC) hay HK là đoạn vuông góc từ H đến ( SAB)

b.Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SAB).

Ta có:

2 2

3 3

2 2 3 3

HE AH a

HE CI

CI AC a

a



Mặt khác: SHE vuông tại H , có HK là đường cao

Suy ra

2 3

7

a

HK

Vậy  ,( ) 2 3

7

a

d H SAB 

* Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB).

Ta có: CH(SAB)A

Suy ra

d C SAB AC

d H SAB AH

d C SAB d H SAB

K

I E

B

H S

2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA(ABCD)

và SA a 3.

a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC).

b Tính khoảng cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC).

c Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Giải

I G H

O C

A

D B

S

a.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC).

Ta có:

BC SA

BC SAB SAB SBC

BC AB











Mặt khác: (SAB) ( SBC)SB

Trong mặt phẳng (SAB , kẻ AH SB)  tại H

Suy ra AH (SBC) hay d A SBC ,( ) AH

SAB

 vuông tại A có AH là đường cao nên ta có:

2 2

2 3

AS AB a a a

AH SB AS AB AH



Vậy  ,( ) 3

2

a

d A SBC AH 

b.Tính khoảng cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng ( SBC).

ta có:

( )

( ,( )) ( ,( ))

AO SBC C

d O SBC CO

d A SBC CA

d O SBC d A SBC

Vậy

3 ( ,( ))

4

a

d O SBC 

c.Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Gọi G là trọng tâm SAB I, BGSA

Ta có:

( )

1

3

BG SAC I

d G SAC GI

d B SAC BI

d G SAC d B SAC

Mà

2

BO SAC d B SAC BO

BO SA











Vậy  ,( ) 1  ,( ) 1 2 2

d G SAC  d B SAC  

3 Cho lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' AB a AC , 2 ,a AA' 2 a 5 và

 120 0

BAC  Gọi M là trung điểm cạnh CC'

a Chứng minh MBMA'.

b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ' A BM).

Giải

a

2a 2a 5

120°

K

N

M B'

C'

A

C

B

H

A'

a Chứng minh MBMA'.

Áp dụng định lý cosin trong ABC ta có:

2 .cos120 1

4 2 .2 7

2 7

BC AB AC AB AC

BC a

 

    

 

Ta có:

A B AB A A a a a

Mà a 21 2  2a 323a2

hay A B' 2 BM2A M' 2 Suy ra A BM' vuông tại M

Vậy MBMA'.

b.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ' A BM).

Gọi N ACA M H' , là hình chiếu của B lên AC

Khi đó:

( ' )

,( ' )

,( ' )

N AC A BM

d A A BM NA

d H A BM NH

 Với AN 2AC2.2a4a

4 cos 60 4

2 2

a

HN AN AH  a AB  a a 

Suy ra:

9

2

d A A BM NA a

a

d H A BM NH  

Tính d H A BM ,( ' )

Ta có:

'

BH AC

BH ACC A BH A M

BH AA









Mặt khác: 'A M BM (2)

Từ (1)(2) suy ra 'A M (HBM) (HBM) ( ' A BM).

Mà (HBM) ( ' A BM)BM

Do đó: Trong mặt phẳng (HBM , từ H kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại K )

Khi đó:

d H A BM HK

HBM

 vuông tại H có HK là đường cao nên ta có:

3 5

8

a

HK

Với

4 4

a a

HB AB  HA a  

2

HM HC MC    a 

 

Vậy  ,( ' ) 8  ,( ' ) 8 8 3 5 5

d A A BM  d H A BM  HK  