Ngêi viÕt còng hy väng r»ng chuyªn ®Ò nhá nµy sÏ mang l¹i cho mét vµi ®iÒu bæ Ých cho c¸c em häc sinh nhÊt lµ häc sinh giái trong qu¸ tr×nh häc vµ gi¶i to¸n chøng minh h×nh häc.. B..[r]
Trang 1Trờng thcs trung giang
Tổ tự nhiên
kinh nghiệm trong dạy học giảI toán chứng minh hình học 8 bằng cách vẽ thêm đờng phụ
A Lời nói đầu
Trong chơng trình hình học lớp 8, đặc biệt là chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi,
có những bài toán chứng minh mà trong quá trình chứng minh phải vẽ thêm đờng phụ mới đi đến kết quả Có nhiều bài toán khó, chỉ sau vài đờng kẻ thêm thì phơng pháp chứng minh hiện ra thật đơn giản, thậm chí có thể nhìn thấy ngay ra cách giải Tuy nhiên với học sinh việc giải toán bằng cách vẽ thêm đờng phụ là rất khó khăn và thờng thì học sinh vấp phải một trong hai vấn đề sau :
Thứ nhất : Lúng túng trong việc tìm cách vẽ thêm đờng hay cụ thể hơn là trong
việc tìm cách vẽ thêm nh thế nào cho có lợi, kết quả là có nhiều đờng vẽ thêm không cần thiết, không đúng hớng chứng minh dẫn đến hình rối và lạc hớng
Thứ hai : Ngộ nhận các tính chất của đờng vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà
không chứng minh
Thực tế cho thấy, có nhiều đờng phụ khác nhau và không có phơng pháp chung, nên đòi hỏi sự khéo léo, sáng tạo, sự linh hoạt tuỳ theo yêu cầu của mỗi bài toán cụ thể
và điều quan trọng là khi vẽ phải xác định đợc đờng phụ này tạo điều kiện để chứng minh Nghĩa là vẽ có mục đích chứ không vẽ tuỳ tiện và cần tuân theo các phép dựng và bài toán dựng hình cơ bản
Xuất phát từ những suy nghĩ trên tôi xin đề cập một khía cạnh nhỏ về một ph ơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đờng phụ Trong chuyên đề này tôi chỉ trình bày một vài phơng pháp vẽ thêm đờng phụ (vì vấn đề này là vô cùng rộng,
đa dạng mà với mỗi ngời lại có cách thể hiện riêng, độc đáo khác nhau và củng đã có nhiều tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi viết về vấn đề này) với một vài bài toán điển hình, một số nhận xét suy nghĩ để tìm tòi cách vẽ
Việc dạy học sinh vẽ thêm đờng phụ là dạy suy nghĩ, tìm tòi sáng tạo, dạy cho các
em biết định hớng mục đích công việc và bản chất sự việc chứ không phải dạy cách giải những bài toán cá thể Hớng cho học sinh biết rút ra những nhận xét có tính chất khái quát để tìm lời giải Ngời viết cũng hy vọng rằng chuyên đề nhỏ này sẽ mang lại cho một vài điều bổ ích cho các em học sinh nhất là học sinh giỏi trong quá trình học và giải toán chứng minh hình học
B Nội dung
1 Một số loại đờng phụ cơ bản thờng vẽ nh sau :
Trang 2a Kéo dài một đoạn bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc
b Vẽ một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho trớc
c Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc
d Nối hai điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc
e Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc
f Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc
2 Những điểm cần chú ý khi vẽ đờng phụ
a Vẽ đờng phụ phải có mục đích, không vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề bài ,định h -ớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình
b Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dùng hình cơ bản
c Với một bài toán nhng vẽ đờng phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau,
có khi cùng một đờng phụ nhng cách vẽ lại khác nhau
C các phơng pháp áp dụng
1 Phơng pháp 1 : Tìm yếu tố trung gian.
Thực chất của phơng pháp này là dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi ra hớng vẽ hình phụ để từ giả thiết có thể suy luận đến yếu tố trung gian đó để suy ra kết luận
Ví dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT)
Cho hình vuông ABCD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC.
a) Chứng minh rằng CE vuông góc với DF.
b) Gọi M là giao điểm của CE và DF Chứng minh rằng AM = AD.
GT
Hình vuông ABCD
CE cắt DF tại M
EA = EB; FB = FC
KL a) CE DFb) AM = AD
Phân tích
a Học sinh cha cần tạo ra yếu tố phụ trên hình vẽ cũng chứng minh đợc :
BEC = CFD (c – g – c) => MCFã =CDFã
C D
E
F M
K N
Trang 3Do đó ã ã ã ã 0
MCF+CFD=CDF+CFD=90 => ã 0
CMF=90
b Đối với trờng hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đờng phụ nh sau: Để
AM = AD khi và chỉ khi tam giác AMD cân tại A, khi và chỉ khi trung tuyến đồng thời
là đờng cao Vậy dẫn tới kẻ thêm đờng phụ phải mang yếu tố trung điểm và vuông góc
Từ đó phải xuất phát từ trung điểm K của DC Lấy K là trung điểm của DC nối AK cắt
DF tại N Ta Chứng minh cho AN là trung tuyến, là đờng cao của tam giác ADM
Lời giải
a) Xét hai tam giác BEC và CFD có :
CD = BC (cạnh hình vuông), EBCã =FCDã =1v
, CF = BE (
1 CD 2
=
) nên BEC = CFD (c – g – c) => MCFã =CDFã
MCF+CFD=CDF+CFD=90 => ã 0
CMF=90
Hay CE DF (1)
b) Gọi K là trung điểm của CD, N là giao điểm của AK và CD
Tứ giác AECK là hình bình hành vì AE // CK, AE = CK
Suy ra AK // CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK DF (3)
Mà K là trung điểm của CD, AK // CE (c/m trên) nên ND = NM (4)
Từ (3) và (4) suy ra AN vừa là đờng cao vừa là đờng trung tuyến của tam giác ADM Do
đó tam giác ADM cân tại A
Hay AD = AM (đpcm)
2 Phơng pháp 2 : Biến đổi kết luận của bài toán về dạng tơng đơng.
Thực chất của phơng pháp này là biến đổi kết luận (ở dạng cha thấy hớng giải) thành một trong các dạng tơng đơng có khả năng gợi ra hớng vẽ hình phụ và từ đó đi đến hớng giải Đây là phơng pháp đơn giản và thờng đợc “ thử nghiệm” đầu tiên
Ví dụ 2 : Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và BCKF.
Chứng minh rằng trung tuyến BM của tam giác ABC bằng nửa đoạn thẳng DF.
GT
ABC
Dựng các hình vuông
ABDE; BCKF
MA = MC
2
=
Phân tích
Ta thử biến đổi kết luận:
1
Vế trái của đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM khi đó ta thử tìm cách chứng minh BN = DF
Nối NC, NA (nét đứt biểu hiện yếu tố mới vẽ thêm)
B
E
D
F
K
M
N
Trang 4Hình bình hành ABCN và cặp tam giác bằng nhau BDF = CNB (c.g.c) sẽ cho ta lời giải BN = DF hay BM =
1
2DF.
Chứng minh
Lấy N đối xứng với B qua M Tứ giác ABNC có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng nên nó là hình bình hành
Từ đó suy ra NC = AB và ã ã 0
ABC+BCN=180 Mà AB = BD (cạnh hình vuông) và
ABC+DBF=360 - (90 +90 )=180
nên BD = NC và DBFã =BCNã
Hai tam giác BDF và CNB có BC = BF, BD = NC và DBFã =BCNã
, nên chúng bằng nhau theo trờng hợp c – g – c
Vậy DF = BN hay DF = 2BM
3 Phơng pháp 3: Vẽ hình phụ bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết luận.
Thực chất của phơng pháp này là vẽ thêm các yếu tố phụ hoặc bằng, hoặc tỉ lệ (hoặc
có diện tích bằng hoặc tỉ lệ) phụ thuộc vào yêu cầu bài toán với các hình có trong kết luận ở dạng nhìn thấy hớng giải rõ hơn
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, một điềm M chạy trên cạnh CD Gọi P, Q và R
theo thứ tự là chân các đờng vuông góc hạ từ B, C, D xuống đờng thẳng AM Chứng minh rằng BP = DQ + CR.
GT
ABCD là hình bình hành
CR AM , M CD;
BP AM; QD AM
KL BP = DQ + CR
Phân tích :
Ta thấy các đoạn thẳng có trong đẳng thức của KL cha có mối liên hệ trực tiếp nào
Có thể nghĩ đến tạo ra các đoạn thẳng trung gian bằng các đoạn thẳng trong đẳng thức ở kết luận trên hình vẽ, nên có các hớng sau:
1 Vẽ trên đoạn thẳng lớn BP một đoạn thẳng bằng DQ (hoặc bằng CR) và tìm cách
cm phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai
2 Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng ngắn thứ hai
và tìm cách c/m phần còn lại của đoạn thẳng thứ hai
Hớng thứ nhất gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ:
a Để PC’ = CR (hoặc CC’ = PR) chỉ còn phải c/m BC’ = DQ ( Dễ dàng c/m đợc
BC’C = DQA trờng hợp cạnh huyền - góc nhọn)
b Kẻ RR’ // BC => BR’ = CR Cần c/m PR’ = QD ta cũng có cách vẽ tơng tự với h-ớng thứ hai
A B
Q R’
C’
P
D M C R
Trang 5Chứng minh
Cách 1 : Kẻ CC’ AM Tứ giác CRPC’ lcó ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật, suy ra
CR = C’P
Xét hai tam giác vuông DQA và BC’C có Qà =C'à
= 900, AD = BC ( cạnh đối của hình bình hành, ADQã =C'BCã
(góc có cạnh tơng ứng song song) nên DADQ= DCBC'
(cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra DQ = BC’
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Cách 2 : Kẻ RR’ // BC, chứng minh RC = BR’, DR/ = DQ Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 1 Nối A với trung điểm M của
cạnh BC, AM cắt đờng chéo BD tại O Tính diện tích của tứ giác OMCD.
GT MB = MCSABCD = 1
AM BD = 0
KL Tính SOMCD = ?
Phân tích
Trên hình vẽ cần tạo ra bằng hoặc có diện tích bằng BOM và các tứ giác có diện tích bằng nhau (có thể tính đợc), sao cho giữa tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích với các tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD
Muốn thế từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM chúng cắt BC, BD,
AD, tạo thành các tứ giác
Dễ dàng chứng minh đợc:
SAMCE = S BCD ( = 1
2 SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM
SOMCD = 5
6
1
2 SABCD = 5
12 SABCD Vì SABCD = 1 => SOMCD = 5
12 .
Chứng minh
Từ B, trung điểm E của AD và D vẽ các đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành các tứ giác
Dễ dàng chứng minh đợc:
SAMCE = S BCD ( = 1
2 SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = 3 SBOM
B M C N O
I
P A E D
Trang 6SOMCD = 5
6
1
2 SABCD =
5
12 SABCD
Vì SABCD = 1 => SOMCD = 5
12 .
Trên đây tôi xin đề cập đến ba phơng pháp thờng dùng để vẽ thờng dùng để vẽ đ-ờng phụ để giải toán chứng minh hình học 8 với những ví dụ điển hình Tất cả những bài toán trên đều sử dụng phơng pháp vẽ thêm đờng phụ bằng những suy luận từ giả thiết và
sự linh hoạt trong phơng pháp
Bài tập vân dụng
Bài 1 : Cho hình vuông ABCD E thuộc miền trong của hình vuông sao cho
FAD=FDA =15 Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều.
Bài 2 : Cho hình thang vuông ABCD có Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đờng vuông góc với DE, cắt BC tại F Chứng minh rằng ED = EF
Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đờng thẳng vuông góc với Bc, cắt các đờng thẳng AB, AC ở E, F Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK Chứng minh A là trung điểm của HK
Bài 4 Cho tam giác ABC Lờy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,
CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác của góc A, đờng thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng AB
= CK
Bài 5 : Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB lấy điểm P tuỳ ý Hãy kẻ qua P đờng thẳng chia tứ giác thành 2 đa giác có diện tích bằng nhau
Bài 6: Cho hình bình hành OBCA Gọi E và F lần lợt là các điểm trên cạnh OA và OB sao cho OE = OA; OF =
1
3 OB
Đoạn thẳng EF cắt đờng chéo OC tại M Tính tỉ lệ số OM
OC = ?
Bài 7: Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD Từ C kẻ các đờng thẳng
CE , CF tơng ứng vuông góc với AB , AD CMR : AB AE + AD.AF = AC2
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Một đờng thẳng cắt AB tại E AD tại F và đờng chéo
AE tại G CMR : AB
AE +
AD
AF =
AC AG
Bài 9: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm Một đờng thẳng bất kỳ qua G cắt cạnh AB
, AC tại M và N CMR : AB
AM+ AC
AN=3
Trang 7Bài 10 : Cho tam giác ABC có góc A = 90o chọn trên AB một điểm D , kẻ Dx // AC , cắt
BC tại E sao cho AE CD tại K Cho CD
AE=
m
n Tính
SBDE
SADEC .
Bài 11 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) gọi E là giao điểm của AD và BC , F là giao
điểm của AC và BD CMR : EF đi qua trung điểm của AB và CD
Bài 12 : Cho A/, B/, C/, D/, lần lợt nằm trên cạnh BC , AC , AB của tam giác ABC Biết
rằng AA/ , BB/ , CC/ , đồng quy tại M CMR : AM
A❑
M=
AB ❑
CB ❑ + AC ❑
BC ❑
D Kết luận
Trong quả trình giảng dạy về phơng pháp chứng minh một bài toán hình học, ngời viết chỉ đa ra vài phơng pháp cơ bản thờng trong chơng trình toán 8 Chuyên đề nhỏ này
đã hệ thống hoá vài tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học, bên cạnh đó là một
số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho các tình huống đó và các bài tập tham khảo Tuy nhiên chuyên đề này vẫn có những hạn chế về thể loại, sự đa dạng về bài tập, cha đáp ứng đợc hết các đối tợng học sinh Trong những phơng pháp trên vẫn còn những hạn chế về nội dung và phơng pháp Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý xây dựng của các
đồng chí đồng nghiệp nhất là những đồng chí giàu kinh nghiệm trong giảng dạy môn toán ở THCS để chuyên đề này đợc sửa chữa, củng cố đáp ứng đợc với các đối tợng học sinh
Xin cảm ơn !
Trung Giang, ngày 14 tháng 10 năm 2010.
Ngời viết
Nguyễn Đức Minh