Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 19: Nhận dạng mẫu: Kích thước đối tượng

[r]

Chương 19 NHẬN DẠNG MẪU: KÍCH THƯỚC ĐỐI TƯỢNG

19.1 GIỚI THIỆU

Trong chương 18, chỳng ta đó giới thiệu về nhận dạng mẫu và đó đề cập đến sự tỏch và trớch cỏc đối tượng từ một cảnh phức tạp Trong chương này, chỳng ta sẽ chỉ

ra những vấn đề về đo lường cỏc đối tượng, để cú thể nhận biết chỳng thụng qua cỏc

số đo của chỳng Vấn đề này đó tốn rất nhiều giấy mực và ở đõy chỳng ta chỉ cú thể giới thiệu cỏc khỏi niệm cơ bản mà thụi Để nghiờn cứu chi tiết hơn, độc giả nờn tham khảo tài liệu về phõn tớch ảnh (Phụ lục 2)

19.2 ĐO LƯỜNG KÍCH THƯỚC

Trong phần này, chỳng ta sẽ xem xột một vài đặc tớnh hữu dụng phản ảnh kớch thước một đối tượng Những đặc tớnh này đó trở nờn phổ biến vỡ chỳng quan trọng trong cỏc bài toỏn nhận dạng mẫu khỏc nhau và chỳng rất thớch hợp cho phõn tớch ảnh số

Thứ nhất nú rất thuận tiện để tớnh giới hạn khụng gian dưới dạng cỏc điểm ảnh và giới hạn quang trắc (photometric) dưới dạng mức xỏm Sau đú, chiều dài diện tớch cú thể được xỏc định bằng cỏch nhõn chỳng với khoảng cỏch điểm ảnh hay diện tớch một điểm ảnh thớch hợp Đường cong xỏc định quang trắc của bộ số hoỏ cú tỏc dụng như một phương tiện chuyển đổi mức xỏm thành đơn vị quang trắc Thường thỡ đõy

là một biểu thức tuyến tớnh đơn giản Cỏc phộp toỏn điểm bất kỳ (chương 6) được thực hiện trờn ảnh cũng phải được sỏng tỏ trong sự xỏc định quang trắc

19.2.1 Diện tớch và chu vi

Diện tớch của một đối tượng núi chung là một phộp đo kớch thước đối tượng thớch hợp Tuỳ thuộc vào đường bao của đối tượng mà một phộp đo diện tớch thường khụng để ý đến những thay đổi mức xỏm bờn trong Chu vi của một đối tượng rất hữu dụng trong việc phõn biệt hỡnh dạng đơn giản và phức tạp giữa cỏc đối tượng Một đối tượng cú hỡnh dạng đơn giản sử dụng chu vi nhỏ hơn để bao quanh diện tớch của nú Cỏc phộp đo diện tớch và chu vi được tớnh toỏn dễ dàng trong suốt quỏ trỡnh trớch một đối tượng từ một ảnh phõn đoạn

Định nghĩa đường bao Trước khi chỳng ta cú thể chỉ rừ một thuật giải để đo

lường diện tớch hay chu vi một đối tượng, chỳng ta phải thiết lập một định nghĩa về đường bao đối tượng Đặc biệt, chỳng ta phải đảm bảo rằng chỳng ta sẽ khụng đo lường chu vi một đa giỏc này và diện tớch của đa giỏc khỏc Vấn đề cần phải giải quyết là, cỏc điểm ảnh bao quanh hoàn toàn hay chỉ bao quanh từng phần của đối tượng? Núi cỏch khỏc, đường bao thực sự của một đối tượng nối liền tõm cỏc điểm ảnh hay bao quanh cỏc biờn bờn ngoài của chỳng?

khoảng cách xung quanh phía ngoài tất cả các điểm ảnh Bình thường, phép đo khoảng cách này bao gồm một lượng lớn các chỗ rẽ ngoặt 900, do đó tạo ra một giá trị chu vi quá mức

Chu vi đa giác Có lẽ một phương pháp tiếp cận thích hợp hơn để đo chu vi một

đối tượng là thiết lập đường bao đối tượng đa giác có đỉnh nằm tại tâm của từng điểm ảnh bao quanh Chu vi là tổng của các đoạn bên (p = 1) và các đoạn chéo

(p 2) Tổng này có thể được tích luỹ trong khi trích đối tượng bằng cách mã hoá phân doạn dòng (Xem phần 18.8.3) hay đi qua vòng quanh đường bao trong khi xây dựng mã chuỗi (Xem phần 18.8.2) chu vi của một đối tượng là

o

N

trong đó N e là số các đoạn chẵn và N o là số các đoạn lẻ trong chuỗi mã đường bao khi sử dụng quy ước của hình 18-30 Chu vi cũng được tính đơn giản từ các tệp phân đoạn đối tượng bằng tổng khoảng cách tâm đến tâm các điểm ảnh liên tiếp nhau trên đường bao

Diện tích đa giác Diện tích đa giác được định nghĩa theo tam điểm ảnh là tổng

số điểm ảnh trừ đimột nửa lượng điểm ảnh đường bao cộng thêm một; tức là

















2

b o

N N

trong đó N o và N b là số lượng các điểm ảnh tương ứng thuộc đối tượng (bao gồm

cả các điểm ảnh bao) và trên đường bao Chỗ đúng này của diện tích tổng số điểm ảnh thừa nhận, tính trung bình, một nửa điểm ảnh bao nằm trong, một nửa ngoài đối tượng Hơn thế nữa, khi một đường cong kín quay bị ngang, một giá trị nữa của điểm ảnh thuộc vùng nằm bên ngoài, là do độ lồi thực của đối tượng Người ta có thể hiệu chỉnh phép đo diện tích gần đúng xuất phát từ tổng số điểm ảnh bằng cách trừ đi một nửa chu vi

19.2.1.1 Tính diện tích và chu vi

Có một phương pháp đơn giản để tính diện tích và chu vi một đa giác theo một đường đi của đa giác Hình 19-1 minh hoạ trường hợp diện tích đa giác là tổng của diện tích tất cả các tam giác do các đường nối các đỉnh với điểm (x0, y0) tuỳ ý tạo ra Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể chọn điểm (x0, y0) là gốc hệ toạ độ của ảnh

Hình 19-2 giúp chúng ta có được một biểu thức diện tích một tam giác có một đỉnh nằm tại gốc toạ độ Các đường ngang và dọc chia khu vực thành những hình chữ nhật Một số hình nhận có đường chéo là các cạnh của tam giác Vì thế, nửa diện tích của mối hình chữ nhật như vậy nằm ngoài tam giác Nhìn vào hình, ta có thể viết

2 2 1 1 1 2

2

1 2

1 2

1

y y x x y

x y x y x

dA      (3)

HÌNH 19-1

Hình 19-1 Tính diện tích đa giác

HÌNH 19-2

Hình 19-2 Tính diện tích tam giác

Khai triển và nhóm các số hạn, biểu thức này được đơn giản hoá thành

2

1

y x y x

Và diện tích tổng cộng trở thành







 



b

N

i

i i i

x A

1

1 1

2

1

(5)

Trong đó N b là số lượng các điểm biên

Lưu ý rằng, nếu gốc toạ độ nằm ngoài đối tượng thì một tam giác đặc biệt nào đó bao gồm cả một số vùng không thuộc đa giác Cũng cần lưu ý rằng diện tích của mọt tam giác đặc biệt có thể dương hay âm, tuỳ thuộc vào chiều đi của đường bao Khi một vòng kín bao quanh đường bao được tạo ra, tất cả những vùng nằm ngoài đối tượng đều bị loại trừ ra

Một tiếp cận đơn giản hơn cũng mang lại kết quả như vậy chính là nhờ định lý Green Định lý này xuất phát từ phép tính tích phân và phát biểu rằng diện tích được bao bởi một đường cong kín trong mặt phẳng x, y được cho bởi tích phân kín

 

 xdy ydx A

2

1

(6) Trong đó tích phân được lấy theo đường cong kín đối với các đoạn rời, biểu thức (6) trở thành

   







   



b

N

i

i i i i i

x A

1

1 1

2

1

(7)

Biểu thức này có dạng của biểu thức (5)

Chu vi tương ứng là tổng chiều dài các cạnh của đa giác Nếu tất cả các điểm biên của đa giác được coi như là các đỉnh, thì chu vi sẽ là tổng tất cả các số đo bên và chéo

19.2.1.2 Làm trơn đường bao

Thường thường, số đo chu vi cao một cách giả tạo vì nhiễu và vì các điểm biên bị lưới lấy mẫu hình chữ nhật hạn chế Làm trơn đường bao bằng xử lý ảnh nhị phân (Phần 18.7) có thể giảm nhiễu, nhưng không thể làm giảm bớt những đường bọc quanh mẫu

Tuy nhiên, làm trơn đường bao có thể được xây dựng thêm thành phép đo diện tích và chu vi bằng cách chỉ sử dụng một tập con các điểm ảnh bao như các đỉnh Đặc biệt trong các vùng có độ cong ít, ta có thể bỏ qua các điểm ảnh bao Tuy nhiên,

có quá nhiều vùng như vậy có thể làm mất đi hình dạng thật sự của đối tượng và làm giảm độ chính xác của phép đo

Làm trơn đường bao cũng có thể bị tác động bởi việc biểu diễn đường bao theo tham số Nếu đối tượng có dạng lồi thì đường bao có thể được biểu diễn trong toạ độ cực xung quanh một điểm nào đó trong đối tượng (hình 19-3a) Trong trường hợp này, đường bao được chỉ rõ bằng một hàm dạng () Yêu cầu duy nhất là  chỉ có

một giá trị với mọi 

HÌNH 19-3

Hình 19-3 Biểu diễn đường bao tham số: (a) hàm đường bao cực; (b) hàm đường

bao phức Nếu hình dạng phức tạp đến nỗi không tồn tại một điểm nào như vậy, thì đường bao có thể được biểu diễn bởi một hàm đường bao phức tổng quát hơn

 p i x i jy i

Trong đó p i là quãng đường dọc theo đường bao từ một điểm tuỳ ý đến điểm biên

thứ i và i = 1, …, N b là chỉ số của các điểm biên (hình 19-3b)

Trong cả hai trường hợp, hàm đường bao tham số đều tuần hoàn Trong một chu

kỳ, nó có thể được lọc thông thấp trong miền tần số bằng (1) một biến đổi Fourier,

Các điểm thuộc hàm đường bao đã làm trơn không bị lưới lấy mẫu hạn chế nữa

có thể sử dụng tất cả hoặc một tập con các điểm nói trên như các đỉnh trong các phép tính diện tích và chu vi Ngoài ra, ta phải sử dụng các đỉnh đã chọn trên đường bao

để đảo ngược độ cong

19.2.2 Mật độ trung bình và mật độ tích hợp

IOD (Integrated Optical Density) là tổng mức xám của tất cả các điểm ảnh trong đối tượng Nó phản ánh “khối lượng” hay “trọng lượng” đối tượng và về mặt số lượng, nó bằng diện tích nhân với mức xám bên trong đối tượng Sự tính toán IOD

đã được trình bày trong chương 5 mật độ trung bình đơn thuần chỉ là IOD chia cho diện tích

19.2.3 Chiều dài và chiều rộng

Đây là phương pháp dễd dàng để tính phạm vi chiều ngang và chiều dọc một đối tượng trích ra từ một ảnh Chỉ cần chỉ số hàng nhỏ nhất và lớn nhất, cũng như chỉ số cột nhỏ nhất và lớn nhất cho phép tính này Tuy nhiên, đối với những đối tượng có hướng ngẫu nhiên, thì chiều ngang và chiều dọc không thể là các chiều để xem xét Trong trường hợp này, cần phải định vị trục chính của đối tượng và đo lường chiều dài và chiều rộng liên quan đến nó

Có nhiều cách thiết lập trục chính cho một đối tượng một khi đã biết được đường bao của nó Ta có thể tính đường thẳng (hay cong) đúng nhất thông qua các điểm trên đối tượng Trục chính cũng có thể được tính từ các mô men, như đề cập ở phần tiếp theo Cách thứ ba sử dụng hình chữ nhật bao quanh tối thiểu (Minimum Enclose Rectangle-MER) bọc lấy đối tượng

Với kỹ thuật MER, đường bao của đối tượng được quay 900 theo nhiều bước, mỗi bước 30 một Sau mỗi phép quay tăng dần, MER nằm ngang sẽ phù hợp với đường

bao Về phương diện tính toán, điều này chỉ đơn giản là giữ lại vết các giá trị x và y

của các điểm trên đường bao đã quay nhỏ nhất và lớn nhất Kỹ thuật này đặc biệt có lợi cho các đối tượng hình chữ nhật, nhưng nó cũng sinh ra các kết quả vừa ý đối với các hình dạng tổng quát hơn

19.3 PHÂN TÍCH HÌNH DẠNG

Thường thường, có thể phân biệt các đối tượng trong một lớp với các đối tượng khác bằng hình dạng của chúng Các đặc trưng hình dạng có thể sử dụng độc lập với, hay kết hợp với các số đo kích thước Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một vài tham số hình dạng thường dùng

19.3.1 Tính hình chữ nhật

Một số đo phản ảnh tính hình chữ nhật của một đối tượng là hệ số khít hình chữ

nhật

R

o

A

A

Trong đó A o là diện tích đối tượng và A R là diện tích MER của đối tượng R thể

hiện mức độ đầy một đối tượng điền vào MER của nó Nó có giá trị cực đại là 1.0 đối với các đối tượng hình chữ nhật, nhận giá trị /4 đối với đối tượng hình tròn và

Một đặc tíh hình dạng có liên quan khác là tỷ lệ co

L

W

Là tỷ lệ giữa chiều rộng và chiều dài của MER Đặc tính này có thể phân biệt các đối tượng mảnh với các đối tượng hình vuông hay hình tròn

19.3.2 Tính tròn

Một nhóm các đặc tính hình dạng được gọi là các tiêu chuẩn tính tròn bởi vì

chúng được tối thiểu hoá theo dạng hình tròn Độ lớn của chúng có xu hướng phản ánh sự phức tạp của đường bao đang được đánh giá Tiêu chuẩn tính tròn được dùng phổ biến nhất là

A

P C

2

Là tỷ lệ giữa bình phương chu vi và diện tích Đặc tính này nhận giá trị nhỏ nhất

là 4  đối với dạng hình tròn Các dạng phức tạp hơn nhận các giá trị cao hơn Số đo

tính tròn C có liên quan đến khái niệm chủ quan về sự phức tạp của đường bao Một phép số đo tính tròn liên quan là năng lượng đường bao (boundary energy) Giả sử một đối tượng có chu vi là P và chúng ta xác định quãng đường vòng quanh đường bao từ điểm xuất phát nào đó với biến p Tại một điểm bất kỳ, đường bao có một bán kính cong tức thời r(p) Đó là bán kính của đường tròn tiếp xúc đường bao tại điểm đó (hình 14-9) Hàm độ cong tại p là

 

 p r p

Hàm K(p) tuần hoàn với chu kỳ P Ta có thể tính năng lượng trung bình trên một

đơn vị chiều dài của đường bao như sau

 



 P K p dp P

E

0

2

1

(13) đối với vùng cố định, đường tròn có năng lượng đường bao nhỏ nhất là

2 2

0

1 2





























R P

E 

(14)

trong đó R là bán kính đường tròn Do đó, độ cong và năng lượng đường bao được tính dễ dàng từ chuỗi mã Young đã chứng minh rằng năng lượng đường bao phản ánh khái niệm về sự phức tạp theo cảm giác tốt hơn tiêu chuẩn tính tròn của biểu thức (11)

Tiêu chuẩn tính tròn thứ ba thực hiện công dụng của khoảng cách trung bình từ một điểm bên trong đến đường bao đối tượng Khoảng cách này là







N

i i

x N

d

1

1

(15)

Trong đó x i là khoảng cách từ điểm ảnh thứ i đến điểm biên gần nhất trong một đối tượng có N điểm Tiêu chuẩn hình dạng là



















N

i

xLi

N d

A g

1

3

Tổng trong mẫu số của biểu thức (16) là IOD của ảnh đã biến đổi khoảng cách Phép biến đổi khoảng cách đã được trình bày trong phần 18.7.5 Giá trị mức xám của một điểm ảnh trong một ảnh biến đổi khoảng cách phản ánh khoảng cách từ điểm ảnh đó đến đường bao gần nhất Hình 19-5 trình bày một ảnh nhị phân và biến đổi khoảng cách của nó

HÌNH 19-5

Hình 19-5 Biến đổi khoảng cách

Đối với các hình tròn và các đa giác cân đối, biểu thức (16) cho cùng một giá trị như biểu thức (11); tuy nhiên, khả năng phân biệt của biểu thức (16) có thể tốt hơn đối với các hình dạng phức tạp hơn

19.3.3 Mô men bất biến

Các mô men của một hàm thường được dùng trong lý thuyết xác suất Tuy nhiên, một vài tính chất khác xuất phát từ các mô men cũng có thể áp dụng để phân tích hình dạng

Định nghĩa Tập các mô men của một hàm đường bao f(x, y) hai biến được định

nghĩa bởi

 







 x y f x y dxdy

Trong đó j và k nhận các giá trị không âm bất kỳ Mô men của các PDF được sử

dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất

Khi j và k nhận các giá trị không âm, chúng sinh ra một tập vô hạn các mô men Hơn nữa, tập này có khả năng xác định hàm f(x, y) một cách đầy đủ Nói cách khác, tập {M jk }là duy nhất đối với hàm f(x, y) và chỉ hàm f(x, y) có tập mô men riêng biệt

đó mà thôi

Với mục đích miêu tả hình dạng, giả sử f(x, y) nhận giá trị 1 trong đối tượng và

giá trị 0 ngoài đối tượng Hàm hình chiếu này chỉ phản ánh hình dạng đối tượng và

bỏ qua chi tiết mức xám bên trong Mỗi hình dạng duy nhất tương ứng với một hình chiếu duy nhất và, hơn thế nữa, với một tập mô men duy nhất

 

 







 f x y dxdy

Và rõ ràng đây là diện tích của đối tượng Có hai mô men bậc nhất và cứ như vậy,

có nhiều mô men bậc cao hơn Ta có thể khiến cho tất cả các mô men bậc nhất và bậc cao hơn bất biến mà không ảnh hưởng đến kích thước đối tượng bằng cách chia

chúng cho M 00

19.3.3.1 Mô men trung tâm

Các toạ độ trọng tâm của đối tượng là

00 01 00

10

M

M y M

M

Cái gọi là mô men trung tâm được tính bằng cách sử dụng trọng tâm như ban đầu

 





  

 x x y y f x y dxdy

Các mô men trung tâm không thay đổi vị trí

19.3.3.2 Trục chính

Góc quay  làm cho mô men trung tâm bậc hai  11 triệt tiêu có thể thu được từ

02 20 11

2 2

tan











Các trục toạ độ x’, y’ nằm lệch một góc  so với các trục x, y gọi là trục chính của

đối tượng Vấn đề nhập nhằng 900 trong biểu thức (21) có thể được giải quyết nếu chúng ta chỉ rõ rằng

0

30

20

20   

Nếu quay đối tượng đi một góc  trước khi tính mô men, hay nếu các mô men

được tính liên quan đến các trục x’, y’ thì các mô men là bất biến quay

19.3.3.3 Mô men bất biến

Các mô men trung tâm đã tính liên quan đến trục chính không thay đổi dưới các phép phóng đại, tính tiến và quay đối tượng Chỉ các mô men bậc ba và cao hơn là quan trọng sau phép đơn giản hoá như trên Độ lớn của các mo men này phản ánh hình dạng đối tượng và có thể sử dụng trong nhận dạng mẫu Các mô men bất biến

và các phép kết hợp mô men bất biến đã được ứng dụng để nhận dạng chữ viết và phân tích nhiễm sắc thể

Trong khi các mô men bất biến có một vài tính chất mà các đặc trưng hình dạng cần phải có, thì trong một trường hợp đặc biệt nào đó có thể có tất cả hoặc một vài tính chất đó Tính duy nhất của hình dạng đối tượng được trải rông ra trên một tập vô hạn các mô men Vì thế, để phân biệt những hình dạng giống nhau có thể đòi hỏi một tập lớn các đặc trưng Bộ phân loại có thứ nguyên cao có thể trở nên rất nhạy cảm với nhiễu và những thay đổi bên trong lớp Trong một vài trường hợp, một vài mô men có bậc tương đối thấp có thể phân biệt các đặc tính hình dạng của đối tượng Một thử nghiệm sẽ cho thấy rằng các đặc trưng hình dạng của các mô men bất biến là chắc chắn và sáng suốt

Ảnh mức xám Nếu ta đặt f(x, y) là ảnh mức xám của một đối tượng, chứ không

phải là hàm hình chiếu nhị phân, chúng ta có thể tính tính mô men bất biến như trước đây Mô men bậc 0 [biểu thức (18)] trở thành mật độ quang học tích hợp, thay vì là diện tích Tuy nhiên, phát triển trước đây sẽ được áp dụng theo một kiểu tương tự Với các ảnh mức xám, mô men bất biến phản ánh không chỉ hình dạng đối tượng, mà còn mật độ phân bố bên trong đó Giống như trên, nó phải được chứng tỏ, cho từng bài toán nhận dạng đối tượng, rằng một lượng mô men bất biến nhỏ vừa phải có thể phân biệt chính xác các đối tượng khác nhau

19.3.4 Miêu tả hình dạng

Đôi khi nó được dùng để miêu tả hình dạng một đối tượng theo cách chi tiết hơn khi đưa ra bằng một tham số đơn nhưng đầy đủ hơn đẻ phản ánh bản thân ảnh đối

tượng Một miêu tả hình dạng là sự biểu diễn đầy đủ hình dạng một đối tượng

19.3.4.1 Chuỗi mã vi phân

Một miêu tả hình dạng là một chuỗi mã đường bao đã đề cập trong chương trước Hình 19-6 cho thấy một đối tượng đơn giản với chuối mã đường bao của nó và đạo

hàm chuỗi mã đường bao Chuỗi mã đường bao cho biết độ cong của đường bao,

tính lồi và tính lõm xuất hiện như các đỉnh nhọn, trong khi chuỗi mã đường bao đưa góc tiếp tuyến với đường bao như hàm quãng đường xung quanh đối tượng Có thể phân tích cả hai hàm hơn nữa để thu được số đo hình dạng

Những hình dạng đa giác có một độ lồi dễ nhận biết nhờ đỉnh và vì thế có thể phân ra khỏi chuỗi mã vi phân Ví dụ, một số đo mang tính chất tam giác có thể là biên độ hàm điều hoà thứ ba của một khai triển chuỗi Fourier của chuỗi mã vi phân Sau đó ta có thể phân biệt các tam giác và các hình vuông nhờ sử dụng tỷ số biên độ hàm điều hoà thứ ba và thứ tư Làm trơn chuỗi mã đường bao thường được thực hiện trước phép vi phân

HÌNH 19-6

Hình 19-6 Chuỗi mã và đạo hàm của nó 19.3.4.2 Miêu tả Fourier

Chúng ta đã nghiên cứu ba hàm tuần hoàn khác nhau, chúng miêu tả đầy đủ hình dạng một đối tượng: chuỗi mã đường bao, hàm đường bao cực (hình 19-3a) và hàm đường bao phức (hình 19-3b) Vì hàm nào cũng tuần hoàn nên biến đổi Fourier một chu kỳ của một hàm nào đó là biểu diễn luân phiên hình dạng đối tượng kết hợp lại

Cũng vì nó tuần hoàn nên mỗi hàm đường bao có một phổ (lấy mẫu) rời rạc Cường độ xung trong phổ tương ứng với các hệ số khai triển chuỗi Fourier của hàm (tuần hoàn) Trong nhiều trường hợp, ta có thể lọc thông thấp phổ hàm đường bao

mà không phá hỏng hình dạng đặc trưng của đối tượng Nghĩa là chỉ có biên độ và pha của xung tần số thấp trong phổ (chẳng hạn các hệ số Fourier bậc thấp) mới cần

để mô tả đặc điểm đối tượng Các giá trị này sẽ đại diện cho miêu tả hình dạng

19.3.4.3 Biến đổi trục trung vị

Một kỹ thuật làm giảm dữ liệu mà vẫn giữ nguyên thông tin hình dạng là biến đổi

trục trung vị (Medial Axis Transform) đã đề cập trong chương trước Một điểm bên

trong đối tượng thuộc đường trung vị nếu và chỉ nếu nó là tâm đường tròn tiếp xúc với đường bao đối tượng tại hai điểm cách biệt nhau Giá trị của mỗi điểm thuộc trục trung vị là bán kính của một đường tròn vừa đề cập Nó biểu diễn khoảng cách ngắn nhất thừ điểm đó đến đường bao

Có mộtt phương pháp tìm trục trung vị là phép co Phương pháp này liên tục loại

bỏ chu vi ngoài cùng của các điểm theo cách giống như bóc vỏ một củ hành Nếu viẹc loại bỏ một điểm nào đó làm mất liên kết đối tượng thì điểm đó thuộc trục trung

vị Giá trị của nó đơn giản là số lớp bị bóc đi trước đó

Đối với ảnh nhị phân, trục trung vị vẫn có hình dạng đối tượng ban đầu Nghĩa là phép biến đổi có thể đảo ngược và có thể khôi phục lại đối tượng từ biến đổi trục trung vị của nó Khi lập trình trên ảnh số sử dụng lưới lấy mẫu hình chữ nhật, phép đảo có thể cho kết quả hơi khác đối tượng ban đầu Hình 19-7a là ảnh của một nhiễm sắc thể, hình 19-7b cho thấy biến đổi trục trung vị của nó Ảnh trong hình (a) được tính bằng thuật toán R J Wall Hình 19-7c trình bày mức độ phụ thuộc của biến đổi trục trung vị vào hướng của đối tượng khi có sử dụng lưới lấy mẫu Biến đổi trục trung vị cũng có thể được tính cho ảnh mức xám

Biến đổi trục trung vị thường được dùng để tìm trục trung tâm của các đối tượng dài, hẹp, cong như các nhiễm sắc thể Thường thì nó chỉ được sử dụng như một đồ thị và các giá trị mà nó tạo ra đều bị bỏ qua Các miêu tả hình dạng khác, ví dụ như

số nhánh mà đối tượng có và tổng chiều dài đối tượng, có thể được tính từ đồ thị của chính nó

HÌNH 19-7

Hình 19-7 Biến đổi trục trung vị: (a) ảnh số; (b) biến đổi trục trung vị;

(c) tác động của sự định hướng