Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 7: Các phép toán đại số

[r]

CHƯƠNG 7 CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ

7.1 GIỚI THIỆU

Các phép toán đại số là các phép toán tạo ra ảnh đầu ra bằng cách lấy tổng, hiệu, tích hay thương từng điểm ảnh của hai ảnh đầu vào trong trường hợp tổng và tích, đầu vào

có thể nhiều hơn hai ảnh Nói chung, một trong các ảnh vào là hằng số Tuy nhiên, cộng, trừ, nhân, chia với hằng số có thể xem như phép toán tuyến tính trên điểm, như đã đề cập trong chương 6 Cũng đúng đối với các trường hợp mà ảnh đầu vào giống hệt nhau

7.1.1 Định nghĩa

Bốn phép toán đại số xử lý ảnh được biểu diễn bằng biểu thức toán học như sau

) , ( ) , ( ) , (x y A x y B x y

) , ( ) , ( ) , (x y A x y B x y

) , ( ) , ( ) , (x y A x y B x y

) , ( ) , ( ) , (x y A x y B x y

trong đó A(x,y) và B(x,y) là ảnh vào và C(x,y) là ảnh ra Ta có thể thiết lập các

phương trình đại só phức tạp gồm nhiều ảnh bằng cách kết hợp chúng một thích ứng

7.1.2 Mục đích của các phép toán đại số

Một ứng dụng quan trọng của phép cộng ảnh là lấy trung bình nhiều ảnh của cùng một cảnh với nhau Phương pháp này thường sử dụng và thành công để làm giảm ảnh hưởng của nhiễu cộng ngẫu nhiên Phép cộng ảnh cũng có thể được sử dụng để thêm nội

dung của một ảnh vào ảnh khác, tạo ra một kết quả phơi sáng kép (double-exposure)

Phép trừ ảnh được sử dụng để di chuyển một mẫu hình không ưa thích ra khỏi ảnh Điều này có thể dần dần làm thay đổi sắc thái mẫu hình phía sau, mô hình nhiễu tuần hoàn, hay bất kỳ vết bẩn thêm vào nào khác tại từng điểm trong ảnh Phép trừ cũng được

sử dụng trong việc phát hiện những thay đổi giữa hai ảnh của cùng một cảnh Ví dụ, người ta có thể phát hiện sự di chuyển bằng cách trừ liên tiếp các ảnh của một cảnh Phép trừ ảnh cũng đòi hỏi phải tính gradient, một hàm thường dùng cho việc xác định cạnh biên của ảnh

Phép nhân và phép chia ít được ứng dụng trong xử lý ảnh số, nhưng chúng có những công dụng quan trọng Cả hai phép toán đều được sử dụng để hiệu chỉnh các kết quả của

bộ số hoá, mà trong đó tính nhạy cảm của bộ cảm biến ánh sáng thay đổi từ điểm này sang điểm khác bên trong ảnh Phép chia có thể tạo ra các ảnh tỷ lệ quan trọng trong

phân tích ảnh màu và ảnh đa phổ (chương 21) Phép nhân với một ảnh mặt nạ (mask

image) có thể xoá đi những phần nào đó của ảnh, chỉ để lại những đối tượng đáng quan tâm

7.2 CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ VÀ LƯỢC ĐỒ

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu lược đồ ra của phép toán tổng và hiệu Việc này mang lại những hiểu biết về các phép toán và sự xác định tỷ lệ cần thiết để đặt các mức xám đầu ra vào phạm vi cho trước Chúng tôi cũng sẽ trình bày một kỹ thuật xác định mật độ quang học tích hợp (IOD) của một ảnh bị nhiễu cộng ngẫu nhiên làm bẩn

7.2.1 Lược đồ của ảnh tổng (Histograms of Sum Images)

Giả thiết rằng, đối với phép toán trong biểu thức (1), ảnh vào A(x,y) và B(x,y) có các lược đồ mức xám H A (D) và H B (D) tương ứng Giả sử chúng ta mong muốn xác định lược đồ ra H C (D) Nếu ảnh vào giống hệt nhau, hoặc một trong hai ảnh là hằng số, thì

quá trình chỉ còn lại một phép toán trên điểm và kết quả cho trong chương 6 Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp các ảnh không có liên quan với nhau

Hai ảnh vào là không liên quan với nhau nếu lược đồ hai chiều chung của chúng là

) ( ) ( ) ,

Là tích của hai lược đồ ảnh riêng lẻ Về mặt thực tiễn, điều này có nghĩa các ảnh không có liên quan

Chú ý rằng biểu thức (5) không được thoả mãn nếu ảnh đầu vào giống hệt nhau, nhưng nó sẽ thoả mãn nếu ít nhất một ảnh là ngẫu nhiên còn các ảnh kia là độc lập thống

kê

Chúng ta có thể biến đổi lược đồ hai chiều lược đồ một chiều ở rìa bằng cách lấy tích phân một trong các biến độc lập; cụ thể là,



D

H( ) ( , ) (6) Cho nên, cho biểu thức (5), chúng ta có thể tạo ra một lược đồ một chiều bởi



 H A D A H B D B dD B D

H( ) ( ) ( ) (7) Tuy nhiên, biểu thức (1) ngụ ý rằng tại mọi điểm,

B C

Thay vào vế phải của biểu thức (7) ta được

 H A D C D B H B D B dD B D

H( ) ( ) ( ) (9) Lược đồ mức xám một chiều này là hàm của mức xám đầu ra và vì thế là lược đồ đầu

ra Bây giờ chúng ta có thể viết lược đồ đầu ra của một phép toán mà tổng các ảnh không có liên quan với nhau là

) (

* ) ( )

trong đó dấu * là phép toán nhân chập được xác định bởi tích phân trong biểu thức (9)

Tích phân của tích chập được đề cập chi tiết hơn trong chương 9, nhưng phát triển dưới đây sẽ minh hoạ phép toán này giả sử chúng ta mong muốn nhân chập hai hàm Gauss giống nhau, mỗi hàm cho bằng Do đó















2

x

e

Khai triển số mũ và kết hợp các số hạng ta có















Bây giờ ta thêm một tích mà kết quả của tích này là 1, ta được



















e x2 x2 (x2 2xy y2) x2/2 x2/2 (13)

và sắp xếp lại như sau

















e x2 x2 2(x2/4 xy y2) x2/2 (14) Kết hợp thừa số trong thành phần số mũ ta được















Sắp xếp lại biểu thức trên ta có

















e x2 x2 x2/2 (x2 2xy y2)/[2(1/4)] (16) Bây giờ chúng ta sử dụng tính chất hàm Gauss đó là







2 / ) (

2

2 2







dx

và biểu thức (16) trở thành

2 /

2 2

2

) 4

1 (

x x

e e

Một phát triển tương tự nhưng tổng quát hơn cho thấy rằng

2 2 2

2 2

2

2 / ) ( 2 1 2 1 2 / ) ( 2 2 / ) (



x

e A

A e

A e

trong đó

2 1

và

2 2 2 1 2

Điều này có nghĩa rằng việc nhân chập hai hàm Gauss sẽ tạo ra hàm Gauss thứ ba được dịch (shift) và khái quát hơn, như biểu thức (21) cho thấy

Nói chung, tích chập "làm bẩn" một hàm Bởi vì thêm nhân chập các ảnh không có liên quan với lược đồ của chúng, chúng ta có thể xem rằng tổng các ảnh không liên quan chiếm giữ một phạm vi mức xám rộng hơn phạm vi mức xám của các ảnh thành phần của nó Thảo luận về phép toán nhân chập sẽ được nhắc lại trong chương 9

7.2.2 Lược đồ của ảnh hiệu (Histograms of Difference Images)

Đối với phép trừ các ảnh không liên quan, biểu thức (10) cho là một ảnh sau khi định nghĩa lại sẽ giống như âm bản của nó Vì vậy, phép cộng và phép trừ các ảnh không liên quan được thực hiện tương tự nhau Tuy nhiên, có một trường hợp của phép trừ ảnh cần xem xét hơn nữa: phép trừ các ảnh gần giống nhau là hơi bị sai lệch (misalign) Tình

huống này nảy sinh khi trừ các ảnh liên tiếp của một cảnh để phát hiện sự chuyển dời hay thay đổi khác, và sự đăng ký (registration) chính xác không được duy trì (maintain) Giả sử ảnh hiệu được cho bởi

) , (

) , ( ) , (x y A x y A x x y

biểu thức trên có thể xấp xỉ hoá thành

x y x A x y x





 ( , ) )

,

nếu x nhỏ

Lưu ý rằng A/x là bản thân một ảnh với một lược đồ và ta ký hiệu là H' A (D) Vì thế,

lược đồ của một ảnh hiệu được thay bằng

) / (

1 )

x D

H C A 



(Xem lại chương 6, kết quả của một hằng số gấp lên nhiều lần) Vì lý do đó, việc trừ hơi bị sai lệch các bản sao của một ảnh tạo ra ảnh đạo hàm từng phần Phương diện đạo hàm từng phần cũng giống như phương diện độ dịch chuyển

7.2.3 IOD của một ảnh nhiễu

Giả sử chúng ta có một ảnh chứa một vết (spot) trên nền đồng dạng và tương phản với nền Cũng giả sử rằng ảnh bị làm bẩn bởi nhiễu cộng ngẫu nhiên, và chúng ta muốn

xác định IOD của vết Chúng ta sẽ mô hình hoá giải pháp như sau: Đặt S(x,y) là ảnh khôngcó nhiễu (noise-free) của vết và N(x,y) là ảnh nhiễu xác định trên cùng một miền

Ảnh quan sát được là

) , ( ) , ( ) , (x y S x y N x y

Lược đồ của ba ảnh được cho trong hình 7-1 Chúng ta giả thiết rằng nhiễu có một

tâm đối xứng trên lược đồ mà ta không biết giá trị trung bình N 0 của nó và lược đồ vết

có hình dáng một mũi nhọn tại gốc do bởi nền đồng dạng bao quanh vết

HÌNH 7-1

Hình 7-1 Lược đồ của ảnh vết bị nhiễu

Chúng ta muốn xác định

 

 

 a b S x y dxdy a b M x y dxdy a b N x y dxdy IODs

Thay thế tính chất của chương 5, biểu thức (12), ta được

A N dD D DH IODs M 0

trong đó A là diện tích miền cần xác định, bây giờ căn cứ vào biểu thức (4) của

chương 5, chúng ta có thể viết





bởi vì toàn bộ các vùng nhiễu và ảnh quan sát được là như nhau, nên





0 0

và thu gọn lại ta được



Đây là biểu thức IOD đơn giản, có được khi N 0 đã xác định Người ta có thể ước lượng N0 bằng cách lấy trung bình mức xám của một khu vực nhỏ cách xa vết

Tuy nhiên, với một bộ các giả thiết hợp lý, chúng ta có thể chứng tỏ rằng đỉnh trái

nhất của lược đồ H M (D) xuát hiện tại N 0 Giả sử rằng lược đồ nhiễu H N (D) là đối xứng,

để cho đỉnh của nó xuất hiện tại giá trị trung bình N 0 Vì N(x,y) là ngẫu nhiên, nên hai

ảnh là không liên quan gì đến nhau Biểu thức (10) biểu diễn rằng tổng các ảnh không liên quan có cùng một lược đồ là phép nhân chập của lược đồ với hai ảnh ban đầu Hơn

nữa, đỉnh nhọn tại D = 0 làm cho H S (D) trội hơn hẳn

Chúng ta sẽ thấy trong chương 9 rằng đỉnh nhọn (xung) là hàm đồng nhất dưới phép

nhân chập [Chương 9, biểu thức (67)] Vì thế,lược đồ H M (D) sẽ trội hơn nhờ một đỉnh tại N 0 , như trong hình 7-1 Tính không đối xứng của H S (D) sẽ khiến cho đỉnh hơi nghêng sang phải, nhưng vị trí của đỉnh giữ nguyên một giá trị ước lượng N 0 tốt nếu vết được bao quanh bởi một khối lượng nền hợp lý Vì thế, lược đồ của ảnh vết bị nhiễu mang lại một cách tính toán dễ dàng ước lượng IOD không nhiễu

7.3 ỨNG DỤNG CỦA CÁC PHÉP TOÁN ĐẠI SỐ

Trong phần này, chúng ta sẽ minh hoạ ứng dụng của các phép toán đại số trong một vài tình huống

7.3.1 Tính trung bình để giảm nhiễu (Averaging for Noise Reduction)

Trong nhiều ứng dụng, việc tính trung bình có thể thu được nhiều ảnh của một cảnh

ổn định Nếu những ảnh này bị một nguồn nhiẽu cộng ngẫu nhiên làm bẩn, thì chúngb

có thể được tính trung bình để giảm bớt nhiễu Trong quá trình tính trung bình, thành phần ổn định của ảnh là không bị thay đổi, trong khi mô hình nhiễu lại bị thay đổi

Giả sử ta có tập M ảnh có dạng

) , ( ) , ( ) , (x y S x y N x y

trong đó S(x,y) là ảnh đang xét và N i (x,y) là ảnh nhiễu giống như nhiễu nổi hạt trên

film hay nhiễu điện tử đã giới thiệu trong hệ thống số hoá Mỗi ảnh trong tập bị một

nhiễu khác nhau làm suy biến Mặc dù chúng ta không biết chính xác các ảnh nhiễu này, chúng ta vẫn giả thiết rằng mỗi ảnh có được từ một bộ (ensemble) các ảnh nhiễu ngẫu nhiên không liên quan đến nhau, tất cả đều có giá trị trung bình bằng 0 Điều này có nghĩa là

N i(x,y)0

N i(x,y)N j(x,y)N i(x,y)N j(x,y) (i  j)

và

N i(x,y)N j(x,y)N i(x,y)N j(x,y) (i j)

trong đó { } ký hiệu toán tử định trước; tức là, {N i (x,y) } là trung bình của các điểm tại toạ độ x, y của tất cả các ảnh nhiễu trong bộ thứ i Các biến định trước và ngẫu nhiên

sẽ được đề cập chi tiết hơn trong chương 11

Đối với một điểm bất kỳ trong ảnh, ta đều có thể xác định tỷ số năng lượng tín hiệu trên nhiễu (S/N) như sau

 ( , )

) , ( )

,

2

y x N

y x S y x P



Nếu ta tính trung bình M ảnh









M

i

i x y N y x S M y x D

1

) , ( ) , (

1 ) ,

tye số khả năng tín hiệu trên nhiẽu trở thành















































2

1

2

) , ( 1

) , ( )

, (

M

i

i x y N M

y x S y

x P



(37)

Tử số không đổi bởi vì việc tính trung bình không ảnh hưởng đến thành phần tín hiệu

Chúng ta có thể đưa thừa số 1/M ra ngoài mẫu số























2

1 2

2

) , ( 1

) , ( )

, (

M

i

i x y N M

y x S y

x P



(38)

hoặc















 

M

i M

j

j

i x y N x y N

y x S M y

x P

2 2

) , ( ) , (

) , ( )

, (



(39)

Sử dụng tính chất của biểu thức (33), ta có thể tách mẫu số ra làm hai phần,



























 





M

i M

j

j i

M

i

y x N y x N y

x N

y x S M y

x P

i

1 2

2 2

) , ( ) , ( )

, (

) , ( )

, (





(40)

Phần thứ hai có thể phân tích theo biểu thức (34), trong khi phần thứ nhất có thể viết như một tổng các số hạng,







i M

j

j i

M

i

y x N y x N y

x N

y x S M y

x P

i

1 2

2 2

) , ( ) , ( )

, (

) , ( )

, (







(41)

Bây giờ, theo biểu thức (32) thì phần thứ hai của mẫu số bằng 0 Hơn nữa, vì M mẫu

nhiễu có được từ bộ mẫu, nên tất cả các phần trong tổngthứ nhất là giống nhau Cho nên,

) , ( )

,

2 2

y x MP y

x N M

y x S M y x

P  

Vì thế, việc tính trung bình M ảnh làm tăng tỷ số năng lượng tín hiệu trên nhiễu lên M

lần tai tất cả các điểm trong ảnh Tỷ số biên độ tín hiệu trên nhiễu bằng căn bậc hai tỷ số năng lượng, chẳng hạn,

) , ( )

, (x y M P x y P

và nó tỷ lệ với căn bậc hai số lượng ảnh muốn tính trung bình (M)

Hình 7-2 làm sáng tỏ kết quả của phép tính trung bình ảnh Phần (a) cho thấy một bức ảnh thiên văn của một chùm sao, và ảnh bị nhiễu nổi hạt trên film làm bẩn Các ảnh trong các phần (b), (c) và (d) là trung bình của hai, bốn và tám ảnh tương ứng liên tiếp của chùm sao Những kết quả tốt hơn có được trong ảnh là vì mô hình nhiễu nổi hột trên film tích dần lại trong phép tổng diễn ra chậm hơn trên ảnh chùm sao ổn định

HÌNH 7-2

Hình 7-2 Tính trung bình ảnh để giảm nhiễu nổi hột trên film

7.3.2 Phép trừ ảnh

7.3.2.1 Phép trừ nền

Kỹ thuật trừ một mô hình có thêm nhiễu được minh hoạ trong hình 7-3 Phần (a) cho thấy một ảnh hiển vi được số hoá chứa hai bộ nhiễm sắc thể pha giữa (metaphase) của