Ôn tập Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian

5. Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của A lên các trục toạ độ. Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.. IV.ĐƯỜNG THẲNG :.. Trong trư[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A-KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ

1 Tọa độ của điểm : M x y z ; ;   OM xi y j zk 

O(0; 0; 0)

1 Toạ độ vectơ : ux y z; ;   u xi y j zk  

(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)

2 Các công thức tính toạ độ vectơ:

 B A; B A; B A

AB x  x y  y z  z



Cho ux y z; ; 



và u'x y z'; '; '

u u    x x y y z z

u u   x x y y z z   kukx ky kz; ; 

3 Tích vô hướng: u u  'x x 'y y 'z z '

0

u v   uv

4 Các công thức tính độ dài và góc

u  x y z

; AB x B  x A) 2  (y B y A) 2  (z B  z A2

  ' 2 2 ' 2 ' 2 ' 2 2

cos ; '

u u



 

 

 

6 Công thức tích có hướng

Cho ux y z; ; 



và u'x y z'; '; '

;

' ' ' ' ' '

y z z x x y

y z z x x y



 

Nhận xét:

1. u v;

 

cùng phương thì u v  0 0;0;0

  

1. u v  v u 

2. u(u v ); v(u v  )

3 Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi              AB AC                              0

Bài 1: Cho các vectơ a (2; 5;3), b (0; 2; 1), c (1;7; 2)    

Tính tọa độ của vectơ

1 4a b 3c 3

ĐS:

4a b 3c 11; ;

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết

A(2; -1; 3), B(0; 1; -1), C(-1; 2; 0), D’(3; 2; -1) Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Bài 3: Cho tam giác ABC biết A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), C(4; 5; -5)

1)Xác định toạ độ của D để ABCD là hình bình hành

2)Xác định toạ độ trọng tâm ABC

II MẶT CẦU

a) Nếu mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phương trình mặt cầu là :

( x − a)2+( y −b )2+(z −c )2=R2 ( 1)

Chú ý : Để lập được phương trình mặt cầu ta phải tìm tọa độ tâm và tính bán kính sau đó thay vào phương trình ( 1)

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; trong các trường hợp sau :

1)Khi biết mặt cầu có tâm I và đi qua một điểm M thì bán kính là : R = IM

2)Khi mặt cầu nhận MN làm đường kính thì tọa độ tâm I là trung điểm của MN ; và bán kính R

= 12MN

3) Khi biết mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 ; thì bán kính là : R bằng khoảng cách từ tâm I đển mặt phẳng (P) Ta có :

R=|AxI+ ByI+CzI+D|

√A2+B2+C2

b) Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S ) :

x2

+y2

+z2−2 ax − 2 by − 2cz +d=0 ( 2 )

Trong đó : -Tọa độ tâm I ( a; b ; c )

-Bán kính R = √a2+b2+c2− d ( với : a2

+b2

+c2− d>0)

Chú ý :

- Để lập được phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A; B ; C ; D cho trước ; ta thay tọa độ bốn điểm đó vào phương trình ( 2) ; rồi giải hệ phương trình tìm : a; b ; c; d Từ đó ta viết được phương trình mặt cầu ( S )

- Từ phương trình ( 2) ta tìm được tọa độ tâm và tính bán kính

III.

M ẶT PHẲNG:

Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0

với A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến là n( ; ; )A B C

Phương trình các mặt phẳng tọa độ :

a) Phương trình mặt phẳng (Oxy ) là : z = 0

b) Phương trình mặt phẳng (Oyz ) là : x = 0

c) Phương trình mặt phẳng (Oz x) là : y= 0

 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận n( ; ; )A B C làm vectơ pháp tuyến có phương trình dạng: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

 Nếu (P) có cặp vectơ a ( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 2 3  b b b1 2 3 không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên (P) thì vectơ pháp tuyến của (P) được xác định na b,   a b

*Phương pháp chung :Muốn viết phương trình của mặt phẳng ta phải tìm

vecto pháp tuyến n=( A ;B ;C ) và một điểm  M(x0; y0; z0) mà mặt phẳng đi qua

Khi đó phương trình mặt phẳng được viết :A(x − x0)+B(y − y0)+C(z − z0)=0

Từ đó khai triển và rút gọn đưa về phương trình dạng trên

* - Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng :

Cách 1: Nếu thấy mặt phẳng đã có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến chính là vectơ nằm trên đường thẳng đó

Cách này ở các bài tập :

Bài 1:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

HDG:

Bước 2: Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

Bài 2: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng AB

HDG:

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

Bài 3: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d) có phương trình {x=x0 +a1t|{y= y0 +a2t|

HDG:

Bước 1: Theo đề bài Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vecto chỉ phương của

Phương của đường thẳng ta có : n= (a1;a2;a3)

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua một điểm M và song song với mặt phẳng (Q ) : Ax + By + Cz + D = 0

HDG:

Bước 1: Theo đề bài mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ); nên véctơ

Pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là : n=( A ;; B ;C)

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

Cách 2 : Nếu mặt phẳng đi qua các điểm A(x0; 0; 0) ; B(0 ; y0;0) ; C(0; 0; z0)

( Ba điểm này lần lượt nằm trên các trục tọa độ Ox ; Oy ; Oz)

thì phương trình mặt phẳng có dạng : x x

0

+ y

y0+

z

z0=1

Cách 3: Ngoài các dạng bài tập đã nêu trên ; thì còn lại ta giải như sau :

Bước 1: Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ; theo đề bài ta có : n= [a ;b] ( vectơ tích có hướng của hai vectơ)

Bước 2: Chọn một điểm mặt phẳng đi qua Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

* Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0

Bước 1 : Viết ra các Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

Bước 2: (lập luận )

-Để hai mặt phẳng cắt nhau ⇔ A

A ' ≠

B

B ' ≠

C

C '

A '=

B

B '=

C

C ' ≠

D

D '

A '=

B

B '=

C

C '=

D D' Chú ý : Để hai mặt phẳng vuông góc với nhau ⇔ n(P) ⊥  n(Q) ⇔ n(P ).n(Q)= 0⇔ A A '+B B '+C C '=0

* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

Cho một điểm M(x0; y 0 ; ; z0) và một mặt phẳng (P): Ax +B y +Cz +D = 0

thì khoảng cách từ điểm M(x0; y 0 ; ; z0) đến mặt phẳng ( P) được tính bằng

công thức : d¿

CÁC DẠNG TOÁN ÁP DỤNG CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH

DẠNG 1

Tính khoảng cách từ giữa hai mặt phẳng( P ) và ( Q ) song song :

Ax +By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D’ = 0

HDG

Thực hiện theo các bước sau :

Bước 1) Lấy một điểm M nằm trong mặt phẳng ( P )

Bước 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Q)

DẠNG 2

Tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và

( Q ) : A’ x + B’ y +C’z + D’ = 0

HDG

Thực hiện theo các bước sau :

Bước 1) Gọi điểm cần tìm là M (x ; y ; z )

Bước 2) Theo đề bài ta có

: d¿

Bước 3) Khử dấu giá trị tuyệt đối (theo công thức : |A| = |B|⇔¿

¿)

từ đó kết luận các điểm M

DẠNG 3

Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng

(P) Ax+By+Cz+D= 0

HDG:

Thực hiện theo các bước :

Bước 1) Theo đề bài mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P) ;

nên bán kính của mặt cầu là : d¿

Bước 2 ) Vậy phương trình mặt cầu là : ………

DẠNG 4

Viết phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng Ax+By+Cz+D= 0

và tiếp xúc với một mặt cầu ( S ) x2

+y2+z2−2 ax − 2 by − 2cz +d=0 HDG:

Thực hiện theo các bước :

Bước 1 ) Gọi ( P ) là mặt phẳng cần tìm , theo đề bài mặt phẳng cần

tìm song song với mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 nên phương trình

mặt phẳng ( P ) : Ax + B y + Cz + D’ = 0(1) ( với D khác D’)

Bước 2 ) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)

Bước 3 ) Theo đề bài mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) nên ta có :

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P ) bằng bán kính R

d¿ (2) ; giải ( 2)( theo công thức : |A|=B ⇔¿

¿)từ đó tìm D’ thay D’ vào (1) ta có phương trình ( P)

BÀI TẬP Bài 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm

A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:

x y z 2 0    Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm

A¢, B, C, D.

a, Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B;

b, Viết phương trình mặt cầu đường kính AB;

c, Viết phương trình mặt cầu (S) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P): 2x y  2z 2 0 và đường thẳng d:

x y 1 z 2

 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I

thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng

3

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;1;3), (1; 2;1)B  và song song với đường thẳng

1

3 2

  







  

Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

d:

x 3 y 3 z

và mặt cầu (S): x2y2z2 2x 2y 4z 2 0 Lập phương trình mặt phẳng (P)

song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2y2z22x 4y 4 0 và mặt

phẳng (P): x z 3 0   Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) vuông góc với

mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) qua A(4;-1;2) và chứa Oz.

A (R ): x-2z =0 B (R ): x+4y =0

C (R ): 2y +z =0 D (R ): x –3z +2 =0

Câu 2: Định các giá trị của m và n để hai mặt phẳng sau song song với nhau:

(P): 2x +my +3z –5=0 và (Q): nx –6y –6z +2=0

A m=1; n=-2 B m=3; n=4

C m=-3; n=4 D m=3; n=-4

Câu 3: Định giá trị của m để hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau:

(P): 3x –5y +mz –3=0 và (Q): mx +3y +2z+ 5=0

A m=1 B m=2

C m=3 D m=4

Câu 4: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và song song với mặt phẳng

(Q) ; 5x –3y +2z +10=0

A (P): 5x –3y +2z +2 =0 B (P): 5x –3y +2z +1=0

C (P): 5x -3y +2z =0 D (P): 5x +3y -2z =0

Câu 5: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt

phẳng:

(R ): 2x –y +3z –1=0; (π): x +2y +z =0

A (P): 7x –y –5z =0 B (P): 7x –y +5z =0

C (P): 7x +y –5z =0 D (P): 7x +y +5z =0

Câu 6: Cho mặt phẳng (P): 2x –y +2z –3 =0 Lập phương trình của mặt phẳng (Q) song song với

mặt phẳng (P) biết (Q) cách (P) một khoảng bằng 9

A (Q): 2x –y +2z +24=0 B (Q): 2x –y +2z –30=0

C (Q): 2x –y +2z –18=0 D A, B đều đúng

Câu 7 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) chứa Ox và vuông góc với mặt phẳng

(Q): 3x –4y +5z -12 =0

A (α): x-z =0 B (α): x +y=0

C (α): 5y –4z =0 D (α):5y +4z =0

Câu 8: Xác định góc (φ) của hai mặt phẳng (P): x +2y +2z –3=0 và(Q): 16x +12y –15z +10=0.

A φ= 30º B φ= 45º

C cosφ = 2/15 D φ= 60º

Câu 9: Cho mặt phẳng (P) : 2x –3y +6z +19=0 và điểm A(-2;4;3) Lập phương trình tổng quát

của mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)

A (Q): 2x –3y +6z +5=0 B (Q): 2x –3y +6z +12=0

C (Q): 2x –3y +6z -2=0 D (Q): 2x –3y +6z -9=0

Câu 10: Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu của điểm M(2;3;-5) xuống mp(Oxy) ,(Oyz) , (Ozx)

Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC)

A 1 B 5 3 C 5 D Một đáp số khác

Câu 11: Cho m/c (S): x2y2z24x 2y 6z 2 0    và mp(P): 3x + 2y + 6z + 1 = 0 Gọi (C) đường tròn giao tuyến của (P) và (S) Tính tọa độ tâm H của (C) là:

A

15 13 3









Câu 12: Viết phương trình m/c (S) tiếp xúc với hai mp // (P): x – 2y + 2z – 6 = 0, (Q): x – 2y +

2z – 10 = 0 và có tâm I nằm trên trục y’Oy?

A x2y2z2 2y55 0 B x2y2z22y 60 0

C

9

x y z  y 

D

9

x y z  y 

Câu 13: Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; -3) tiếp xúc mp(P): 4x – 2y + 4z – 3 = 0 là?

A

4

x y z  x y z 

B x2y2z2  2x 4y6z31 0

C

4

x y z  x y z 

D x2y2z2  2x 4y6z25 0

Câu 14: Viết ph.trình m/c (S) qua 3 điểm A(2; 0; 1), B(1; 3; 2), C(3; 2; 0) và có tâm nằm trong

mp(Oxy):

A

0

x y z    

B

0

x y z    

C

0

x y z    

D

0

x y z    

BT tự luyện

Bài 1 ( Đề thi TN năm 2006 - ban KHTN): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm

A(2;0;0); B(0;3;0); C(0;0;6) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG

Bài 2 ( Đề thi TN năm 2007- lần 1 - ban KHXH & NV): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

cho mặt phẳng : x + 2y - 2z + 6 = 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mặt phẳng

Bài 3 (NC): Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4).Viết phương trình mặt

cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC

Bài 4 Trong không gian cho A(1;2;1), OB                            3j k              

, OC i                                            4k

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0)

1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính chiều cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

2 Viết phương trình mặt phẳng:

a) chứa trục Ox và điểm A b) chứa trục Oy và điểm B c) chứa trục Oz và điểm C

3 Viết phương trình mp chứa AB và song song CD

4 Viết phương trình các mp qua A và lần lượt song song các mp tọa độ

5 Viết phương trình mp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của A lên các trục toạ độ

6 Viết phương trình mp đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC

IV.ĐƯỜNG THẲNG :

Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương

( ; ; )

a a a a :

(t R)

x x a t

y y a t

z z a t







  



sau:

Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

1 1

'

'

o o

o

x x a t

x x a t

d y y a t d y y a t









đi qua Mo;d’ có vtcp 'u

đi quaMo’

 u, ' u

cùng phương d // d’ 0

' '

u ku

 











 

d ≡ d’ 0

' '

u ku

 









 u, ' u không cùng phương

' ' '

o

x a t x a t

y a t y a t

z a t z a t







 dcắtd’HệPtrình (I) có một nghiệm

 d chéo d’Hệ Ptrình (I) vô nghiệm

CÁC CHÚ Ý:

1)Hai đường thẳng vuông góc ⇔ a ⊥ b ⇔ a b=0

3)Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình tìm nghiệm ; nếu:

-Hệ có một nghiệm duy nhất ⇔hai đường thẳng cắt nhau

-Hệ có vô số nghiệm ⇔hai đường thẳng trùng nhau

-Hệ có vô nghiệm và hai vectơ chỉ phương cùng phương ⇔hai đường thẳng

Song song

-Hệ có vô nghiệm và hai vectơ chỉ phương không cùng phương ⇔hai đường thẳng chéo nhau

7) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM

a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0; y0; z0)trên các trục tọa độ

a) -Trên trục hoành Ox là điểm A(x0; 0; 0)

-Trên trục hoành Oy là điểm B(0 ; y0;0)

-Trên trục hoành Oz là điểm C(0; 0; z0)

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0; y0; z0)trên các mặt phẳng tọa độ

-Trên trục mp( Oxy) là điểm A(x0; y0;0)

-Trên trục mp(Oyz) là điểm B(0 ; y0; z0)

-Trên trục mp(Oz x) là điểm C(x0;0 ; z0)

c) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0; y0; z0) lên mặt phẳng (P)

Ax + By + C z + D = 0

HDG:

-Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của M(x0; y0; z0) trên mặt phẳng Ax + By + Cz +D = 0

- Gọi (d) là đường thẳng đi qua M(x0; y0; z0) và vuông góc với mặt phẳng (P); nên

vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là a=( A ;B ;C ) ; nên phương trình của (d)

là:{x=x0 + At|{y = y0+Bt|

{x=x0+ At (1)|{y= y0+ Bt (2)|{z=z0+ Ct (3)| ( giải hệ bằng phép thế)

d) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0; y0; z0) lên đường thẳng

{x=x0 +a1t|{y= y0 +a2t|

HDG:

- Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của M(x0; y0; z0) lên đường thẳng Ta có :

 MH=(x − x0; y − y0; z − z0)vuông góc với vecto chỉ phương a= (a1;a2;a3); nên :

 MH⊥ a ⇔ MH a=0 ⇔a1(x − x0)+a2(y − y0)+a3( z − z )=0 (1)

Mặt khác H ( x;y;z ) nằm trên đường thẳng Nên x;y;z là nghiệm của hệ phương trình

(1) và phương trình của đường thẳng

8) BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐIỂM QUA ; MẶT

PHẲNG ;ĐƯỜNG THẲNG

 Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua mặt phẳng (P)

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P)

Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( P) Ta có H là trung

Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N

 Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua đường thẳng (d)

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d)

Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d) Ta có H là trung

Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N

9)CÁC CÔNG THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH:

,

d M d

a





 



Chú ý : khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách

từ một điểm M trên đường thẳngnày đến đường thẳng kia

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

,

a b MN

d d d

a b



 

 

 

10)BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG LÊN MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng ( d ) : {x=x0 +a1t|{y= y0 +a2t| và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0

Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) lên mặt phẳng ( P) ta thực

hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vecto chỉ phương a= (a1;a2;a3) Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến n=( A ;B ;C )

Bước 2: Xét vị trí tương đối của (d ) và ( P ) Bằng cách tính a n=a 1 A+ a2 B+ a3.C

-TH1: Nếu a n=a 1 A+ a2 B+ a3.C=0 ; thi ( d ) song song ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau:

a) Ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) Đườn

a) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường thẳng cần tìm

-TH2:Nếu a n=a 1 A+a2 B+a3.C ≠ 0 ; thi ( d ) cắt ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau : a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ;

b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( P )

c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm

B-BÀI TẬP:

Bài 1 Trong không gian Oxyz cho A(2; 0; 3), d 1:

x

2=

y

4=

z+3

1 , 2

x 1 y z 1

d :

 



và   :2x -3y + 5z - 4 = 0

Viết phương trình đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau:

1)  đi qua A và // với d 1; 2)  qua A, vuông góc với   ;

3)  qua A, vuông góc với d , d 1 2 4)  qua A, cắt d , d 1 2

5)  qua A, vuông góc d 1, cắt d 2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và mp(P): 2x - y + z + 3= 0

và đường thẳng

 





 



 



x 3 t

d : y 2 2t

1, Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng  P

2, Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d

3, Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng  P

4, Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d

5, Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua đường thẳng d

Bài tập trắc nghiệm C©u 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) : (S x1)2(y 2)2(z 3)2 9 và đường

thẳng

:

x y z

 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(4;3;4), song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)

A

2x+y+2z-19=0 B.2x+y-2z-12=0 C

x-2y+2z-1=0

D

2x+y-2z-10=0

C©u 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

( ) :

điểm A(2;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và (d) Cosin của góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng tọa độ (Oxy) là:

2

7 13

C©u 3 :

Cho mặt phẳng   : 3x 2y z 6 0    

và điểm A 2, 1,0  

Hình chiếu vuông góc của

A lên mặt phẳng  

là:

A. 1, 1,1   B.  1,1, 1   C. 3, 2,1   D. 5, 3,1  

C©u 4 :

Cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng

6 4

1 2

 





 



  

Hình chiếu của A trên d có tọa

độ:

C©u 5:

Trong hệ trục Oxyz , M’ là hình chiếu vuông góc của M 3, 2,1 

trên Ox M’ có toạ

độ

C©u 6: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3; -4; 0), B(0; 2; 4), C(4; 2; 1) Tọa độ điểm

D trên trục Ox sao cho AD = BC là:

A.

D(0;0;0) hoặc D(0;0;6)

B.

D(0;0;2) hoặc D(0;0;8)

C.

D(0;0;-3) hoặc D(0;0;3)

D.

D(0;0;0) hoặc D(0;0;-6)

C©u 7 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; -1; -1) đến mặt phẳng (P) có phương trình

16x – 12y – 15z – 4 = 0 Độ dài của đoạn thẳng AH là:

11

22 5

C©u 8 : Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và

(Q): x+y+x-1=0 Phương trình chính tắc đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

x y z

x y z

x y z

x y z

C©u 9 : Trong không gian Oxyz mp (P) đi quaB(0;-2;3) ,song song với đường thẳng d:



x 2 y 1 z

2 3 và vuông góc với mặt phẳng (Q):x+y-z=0 có phương trình ?

A.

2x+3y+5z-9=0

C©u 10 :

Cho hai đường thẳng

1

:

và

2

2

2 6

x t







 



  



Khẳng định nào sau đây là đúng?

cắt B. d d1, 2 C. d1//d2

;

chéo