Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát, trong đó bao gồm thống kê biến dạng q và thống kê Bose - Einsteinnlà các trường hợp riêng khi nhận giá trị đặc biệt. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

=== ===

ĐÀO THỊ PHƯƠNG LAN

THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN

BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học : PGS TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2018

=== ===

ĐÀO THỊ PHƯƠNG LAN

THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT

Chuyên ngành: Vật lí thuyết và vật lí toán

Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2018

Cho phép em nói lời cảm ơn tới các cô giáo , thầy giáo trong trường

và khoa Vật lí của Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Ở nơi đây chúng em đã được truyền thụ tri thức bằng sự nhiệt tình, tận tâm của các nhà giáo.Từ đó là nguồn động viên giúp em thuận lợi hoàn thành khóa học thạc sĩ của mình

Em xin cảm ơn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, một nhà giáo giàu kinh nghiệm, đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này

Và em cảm ơn những người thân đã chia sẻ những khó khăn và tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận của mình

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Học viên

Đào Thị Phương Lan

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do tôi thực hiện và không giống bất

kì đề tài nào khác Các dữ liệu thông tin thứ cấp được sử dụng trong khóa luận được trích dẫn, có nguồn gốc và đã được cảm ơn

Hà nội, ngày 15 tháng 6 năm 2018

Học viên

Đào Thị Phương Lan

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Giả thuyết khoa học 2

CHƯƠNG 1THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 3

1.1 Dao động tử điều hòa 3

1.2 Hệ nhiều hạt đồng nhất 9

1.2.1 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất 9

1.2.2 Các trạng thái đối xứng hóa và phản đối xứng 9

1.2.3 Dao động tử Boson 12

1.2.3.1 Ngưng tụ Bose - Einstein 12

1.2.3.2 Các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy của các hạt Boson 12

1.3 Thống kê Bose-Einstein 14

CHƯƠNG 2THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q 19

2.1 Lý thuyết q -số 19

2.2 Dao động tử biến dạng q 20

2.3 Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q 24

2.4 Tính phi tuyến của dao động tử biến dạng q 25

2.5 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q 26

CHƯƠNG 3 PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT 32

3.1 Dao động tử có thống kê vô hạn 32

3.2 Dao động tử biến dạng q tổng quát 33

KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bước sang thế kỉ 20, khi khoa học càng phát triển thì vật lí Newton không thể giải thích được nhiều hiện tượng trong tự nhiên từ cấp độ vi mô đến vĩ mô, do vậy vật lí hiện đại ra đời để giải thích nhiều hiện tượng vật lí mới, từ đó mang lại những góc nhìn sâu sắc cho con người về tự nhiên cũng như đồng thời thúc đẩy sự tiến bộ khoa học kĩ thuật nói chung và khoa học vật lí nói riêng Planck, Einstein, Bohr .xây dựng thuyết lượng tử để giải thích cho các kết quả thí nghiệm bất thường Heisenberg,Schrodinger, Dirac đã công thức hóa cơ học lượng tử để giải thích lí thuyết lượng tử tường minh bằng các công thức toán học Từ đó tạo ra những bước đột phá khi miêu tả các đặc điểm và tính chất của thế giới vi mô, thế giới của các hạt

cơ bản.

Trong vài thập kỉ gần đây, xuất phát từ các bài toán áp dụng trong vật

lí lượng tử, các khái niệm về toánitửisinh, hủy hạt hay cácchệ thức giaoohoán

và phản giao hoán được xây dựng, là vấn đề trọng tâm khi xây dựng các hàm sóng hay các hàm phân bố thống kê Một dạng đại số liên quan đến đại số lượng tử và hay được đề cập trong vật lí lượng tử và vật lí hạt cơ bản là đại số biến dạng, từ đó mở ra một hướng quan tâm mới đối với những người yêu

bộ môn khoa học vật lí

Vật lý thống kê có nhiệm vụ khảo sát tính chất vật lý của hệ vĩ mô, là

hệ được cấu thành từ một số rất lớn các hạt vi mô Thông qua tính chất của

nó để tìm ra các quy luật phân bố chúng Từ đó giải thích các hiện tượng, các quy luật, các tính chất của hệ , đồng thời cho phép dự đoán những chất mới có thể được tạo thành khi thay đổi tính chất, cấu trúc của hệ hạt vi mô đó

Nghiên cứu các thống kê biến dạng là một nội dung được nhiều nhà

khoa học vật lí tìm hiểu , vì vậy tôi lựa chọn đề tài “Thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát ” làm đề tài nghiên cứu luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát , trong đó bao gồm thống kê biến dạng q và thống kê Bose - Einsteinnlà các trường hợp riêng khi nhận giá trị đặc biệt

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu biểu thức thống kê Bose - Einsteinnbiếnndạng q tổng quát trên cơ sở nghiên cứu các dao động tử biếnndạng q tổng quát và lí thuyết biến dạng

4 Đối tượng nghiên cứu

Dao động tử điều hòa biến dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp vật líilí thuyết

6 Giả thuyết khoa học

- Sử dụng phương pháp lí thuyết biến dạng để đi tìm biểu thức thống kê Bose - Einstein biến dạng q tổng quát Từ đó tìm trở lại các hàm phân bố thông thường với những tham số đặc biệt

CHƯƠNG 1 THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN 1.1 Dao động tử điều hòa

"Trong cơ học lượng tử, dao động tử điều hòa là một hạt có khối lượng

m, chuyển động một chiều theo trục ox dưới tác dụng của lực đàn hồi kx"[2]

H x E x (1.3)

Ta tìm năng lượng và hàm sóng của dao động tử điều hòa

Gọi  ˆ ˆ, là các toán tử sinh, hủy của dao động tử, lúc đó ˆp và ˆq được đưa

1 1

Để tìm phổ năng lượng của dao động tử điều hòa , lúc đó ta phải xác

định trị riêng Hamiltonian và các vectơ giá trị riêng Lúc này ta đưa vào toán

n

  lần lượt là hàm riêng của N ˆ tương ứng lần lượt

với trị riêng (n-1) ; (n+1) Gọi n0 là giá trị riêng bé nhất của N ˆ tương ứng với

Như vậy những giá trị riêng có thể có của N là những số nguyên, ˆkhông âm (n=0,1,2,3 )

Kí hiệu vecto trạng thái riêng chứa n lượng tử của toán tử ˆN là n ,

hệ thức (1.13) được viết lại như sau :

Phổ năng lượng của dao động tử xác định bởi phương trình hàm

riêng, trị riêng của Hˆ

ˆ

1ˆ

21

Các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián

đoạn, giữa hai trạng thái tiên tiếp thì hiệu số năng lượng luôn là   Hạt

là chuẩn hạt có spin bằng không thuộc loại boson

Chúng ta thấy khi tác dụng các toán tử ˆ

Như vậy , việc nêu lên số lượng tử n hoàn toàn tìm được trạng thái của dao động tử Số lượng tử tăng lên ( giảm đi) một thì tương ứng năng lượng của nó cũng tăng lên ( giảm đi) một lượng  Người ta gọi n là

trạng thái n phonon Các phonon là các kích thích nguyên tố của dao động tử

Dao động tử ở trạng thái n được biểu diễn như một hệ có n phonon ( n ) Lúc nàyˆ (hoặc ˆ) tác dụng lên n làm giảm số phonon đi một đơn vị

(hoặc làm tăng số phonon lên một đơn vị ) gọi là toán tử hủy phonon ( hoặc toán tử sinh phonon).Tác dụng của Nˆ lên n cho giá trị riêng bằng số

phonon n

.Như vậy toán tử Nˆ mang ý nghĩa là toán tử sốphonon

Tác dụng n lần liên tiếp toán tử sinh ˆlên trạng thái 0 ta có hàm sóng trạng thái :

!

n n

1.2 Hệ nhiều hạt đồng nhất

1.2.1 Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất

Nếu có hệ N hạt có các đặc trưng như điện tích , khối lượng , spin , không phân biệt được với nhau thì chúng ta có hệ N hạt đồng nhất Trong hệ như vậy thì làm thế nào để phân biệt được hai hạt với nhau?

Trong vật lí cổ điển đối với trường hợp tương tự người ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng nghĩa là nêu ra các xung lượng hoặc tọa

độ của từng hạt Từ đó mỗi hạt có những quỹ đạo khác nhau trong quá trình chuyển động

Trong vật lí lượng tử, một đặc thù rất cơ bản của việc quan sát các hiện tượng xảy ra trong thế giới vi mô là chúng ta không thể dùng trực giác để nhận biết được Hàng loạt các quy luật mới xuất hiện, kéo theo sự thay đổi một số khái niệm đã được hình thành đối với vật lí cổ điển Ví dụ một hạt có xung lượng xác định thì tọa độ không xác định và ngược lại, hay thừa nhận rằng một hạt chuyển động không có quỹ đạo rõ rệt Do vậy không phân biệt được từng hạt có số lượng tử nội giống nhau, riêng biệt trong một hệ nhiều

hạt Vì vậy nó được phát biểu ở dạng nguyên lý “ Các trạng thái của hệ

nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kì phép hoán

vị nào giữa các hạt”[3]

1.2.2 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng

Kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và hạt k với nhau là ˆP và kí hiệuik  là hàm sóng miêu tả trạng thái của hệ N hạt có số lượng tử nội giống nhau ( hạt đồng nhất) 1, ,i, ,k , N, t  i,k

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆPik

P (i ,k)  (i ,k)P P (i,k)  P (k,i) (i,k)

Từ đây suy ra trị riêng của ˆP là ik   1

Do đó, các hàm riêng của toán tử hoán vị ˆP được chia thành hai lớp: ik

-Với   1 có ˆPik   Lớp hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt

bất kì gọi là hàm phản đối xứng , lúc này các hạt sẽ tuân theo thống kê

Fermi - Dirac

-Với  1 có ˆPik   Lớp hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì gọi là hàm đối xứng , lúc này các hạt sẽ tuân theo thống kê Bose- Einstein

Tính chất đối xứng và phản đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào tính chất nội tại của một hạt Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt bose hay các boson ( spin nguyên 0, 1, 2 ) không thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt i,k tùy ý nên gọi là hàm sóng đối xứng, ví dụ như các hạt photon, K-meson Còn hàm sóng của hệ các hạt Fermi hay các fermion ( spin nửa nguyên 1/2, 3/2 ) thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt i, k tùy ý nên gọi là hàm phản đối xứng ,ví dụ như các hạt electron

Minh họa cho trường hợp hệ gồm hai hạt (N=2) Giải phương trình Schrodinger

Hàm sóng 1,2, tmà hệ thu được không mang tính đối xứng hoặc phản đối xứng Ta có (i,k) P ˆik (k,i) 2 ,1 , t Pˆ12 1, 2, t là nghiệm phương trình Schrodinger

Lúc này ta thể viết   c1 (1, 2, t)c P2ˆ12(1, 2, t) cho ta c1,c2 tùy ý cũng là nghiệm của phương trình Schrodinger

Trường hợp hai hạt là boson lúc này thì c1  c2 c thì ta có hàm sóng s

 là hàm không thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt (1,2) hay là hàm đối xứng

12ˆ

a '

12ˆ

c  P (1,2, t) (1,2, t)

Hoàn toàn tương tự trong trường hợp xét cho cả hệ N hạt bất kì đồng nhất (N2), ta có thể viết được hàm sóng tổng quát cho trường hợp hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì ( hàm đối xứng s) và hàm thay đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì ( hàm phản đối xứng a)

1.2.3 Dao động tử Boson

1.2.3.1 Ngưng tụ Bose - Einstein

“Ngưng tụ Bose- Einstein là hiện tượng chuyển pha của các hạt boson, trong đó một lượng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử, có mức năng lượng thấp nhất, khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ chuyển pha.”[1]

Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925, dựa trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các phonon được đưa ra bởi Bose Nhưng phải đến năm 1995 Eric A.Cornell và Carl E.Wieman mới tiến hành thực nghiệm Hai ông đã kết hợp laser và nam châm làm lạnh mẫu rubidium từ

nhiệt độ T đến nhiệt độ âm 273,150C Khi đó có số lượng lớn các hạt boson

(có spin nguyên) ở cùng trong một trạng thái cơ bản giống nhau Vài chục năm trước đây ít ai nghĩ rằng có thể tạo ra ngưng tụ Bose – Einstein với nhiều hứa hẹn về ứng dụng vào khoa học và công nghệ Năm 2005, những bộ óc thông minh nhất mới tập trung tìm hiểu kỹ hơn về cách ứng dụng các công trình của ông, và nhận thấy rằng cơ sở của nhiều công nghệ chính là ngưng tụ Bose – Einstein Einstein đã phát triển phương pháp thống kê cả với những hạt có khối lượng và không có khối lượng

1.2.3.2 Các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy củacác hạt

Boson

Khi nghiên cứu bài toán hệ hạt vĩ mô, chúng ta rất hay sử dụng biến của hàm sóng là số hạt ở cùng trạng thái đơn hạt và lúc này toán tử của các đại lượng vật lí được biểu diễn thông qua toán tử sinh hạt và hủy hạt Đây cũng chính là nội dung chỉ đạo của phương pháp biểu diễn số hạt Hạt boson có spin nguyên, không bị ràng buộc bởi nguyên lí Pauli cũng có toán tử sinh hủy thỏa mãn

Để biết đƣợc hạt thỏa mãn hệ thức (1.22) là boson hay fermion? Chúng ta

đi xét các trạng thái  ; của hệ hai hạt với  ≠ 

Từ việc suy luận ở trên cho ta thấy các véc tơ trạng thái   ,  của

hệ hai hạt có lƣợng tử nội nhƣ nhau có tính đối xứng khi hoán vị hai hạt Vậy

các hạt trong hệ là boson Lúc này trị riêng của ˆN ˆ ˆ 

     trong trạng thái nhận mọi giá trị n = 0,1,2,3 N

Với : ˆHi -toán tử Hamiltonian, Hˆi  iNˆ

Sử dụng toán tử số ˆN thay cho ˆF

1

0 1

kT n

n.x kT

e Z

x x

i i i

2 1

.( )

1 ( )

1

1

ˆ ˆ ˆ

1 1

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Qua việc trình bày nội dung của chương này, tôi đã đạt được :

- Nghiên cứu được phổ năng lượng của dao động tử và thấy được hạt có năng lượng  được gọi là phonon Phonon không phải là hạt thực,

mà là chuẩn hạt có spin bằng không

- Nghiên cứu được các tính chất của toán tử sinh hủy và cách áp dụng

nó trong hệ hạt đồng nhất

- Nghiên cứu được hàm phân bố thống kê Bose- Einstein

CHƯƠNG 2 THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q

1 1

x x

x x

ˆ ˆ, ˆ ˆ, 0

ˆ ˆ, 1

ˆ ˆˆ

Giả sử ma trận của toán tử sinh ˆ

( hủy ˆ ) của dao động tử đƣợc biểu diễn

 

 

q

q q

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có được các hệ thức toán tử sinh (hủy) và toán tử

số ˆN trong dao động tử biến dạng q

ˆ

ˆ ˆˆ

Và toán tử sinh, hủy  ˆ ˆq, q

tác dụng lên véc tơ cơ sở

Với q là tham số biến dạng, nhận các giá trị thực và nếu q=1 thì các

biểu thức đại số (2.8) trở về dạng chuẩn tức là có dạng đại số Heisenberg – Weyl thông thường.[7]

2.3 Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q

Hoàn toàn tương tự , khi tìm phổ năng lượng của dao động tử biến

dạng q ta đi biểu diễn ˆp và ˆq theo ˆ ˆ ,

2.4 Tính phi tuyến của dao động tử biến dạng q

Mô tả dao động tử biến dạng q dao động phi tuyến , với q=eτ Từ

Lúc này phổ năng lượng dao động điều hòa biến dạng q và thế năng dao động tử điều hòa phi tuyến có thể viết :

V x    x   x

(2.17) Biểu thức (2.17) chứng tỏ dao động tử biến dạng q là một dao động phi tuyến Nếu q1 ( 0) từ (2.12) sẽ thu được phổ năng lượng của dao

động tử điều hòa tuyến tính quen thuộc [8]

2.5 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q

Trong nội dung này chúng ta đi trình bày việc xây dựng thống kê Bose

- Einstein biến dạng q như sau:

Sử dụng công thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lí F tương ứng toán tử ˆF đối với phân bố Gibbs suy rộng

H kT n

1 ( ).

1 0

n kT n

n n

0

. i

n kT

0

1 i

n kT

1 1

.( )

1 1

.( ) 1

k kT

kT k

1 1

kT n

n.x kT

e Z

1 ( )

( )

1 ( )

i

i

i i

e

e

e e

i i

i

kT

f

e e

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Ở chương này tôi đã trình bày các khái niệm và một số tính chất về lý thuyết q -số, từ đó là cơ sở để khảo sát phổ năng lượng và tính phi tuyến của dao động tử biến dạng q Tìm hiểu nghiên cứu hàm thống kê Bose -Einstein biến dạng q, và tìm lại được hàm phân bố Bose- Einstein quen thuộc khi cho q=1