linear algebra – mathematics

Công thức khai triển theo cột thứ j và công thức khai triển theo hàng thứ i (trong đó việc chọn hàng thứ i và cột thứ j là tùy ý) cho phép tính định thức cấp n theo tổng các số hạng dạng[r]

Trang 1

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Lýthuyếtma trậnthực sự ra đời từ đầu thế kỷ 19, mặc dù

nhiều loại bảng số có tính chất đặc biệt đã được biết đến từ

hàngtrăm năm nay

Các matrận vuông xuất hiện đầu tiên ở đầu thế kỷ 19 trong các

công trìnhvề dạng toàn phương và về các phép thế tuyến tính

Phép nhân hai matrận vuông cấp 3 được Gauss (Gau-xơ) đưa

ra vàonăm 1801

Tên gọi ma trận (Matrix) được nhà toán học Anh Sylvester

(Synvét)đưa ra năm 1850

Cayley (Kê-li) làngười đầu tiên mô tả một cách tổng quát các

phép tínhvới các ma trận bất kỳ và ma trận nghịch đảo (1858)

Peano làngười đầu tiên đưa ra cách biểu diễn một ánh xạ tuyến

tính qua các matrận Còn Gauss là người đầu tiên sử dụng ma

trận để nghiên cứu các dạng toàn phương

3.1 MA TRẬN

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN

Một bảng số có mhàng ncột

n n

A



được gọi là mộtma trận cỡmn

MatrậnAđược gọi là ma trận nguyên (thực, phức) nếu các phần tửaij là cácsố nguyên (số thực, số phức)

Nếu không chỉ rõ cụ thể thì ta xemAlà matrận thực

aijlàphần tử ở hàng thứivàcộtj

MatrậnAcỡmncóthể được viết tắt dạng

ij m n

A      a 

Khi mnta nói Alà ma trận vuông cấpn

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ m  nđược ký hiệu Mmn

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp nđược ký hiệu Mn

Ví dụ 3.1

















 5 2 3

1 0

là một ma trận cỡ 2  3

' '

ij ij

 





Hai ma trận bằng nhaukhi cùngcỡ và có các phần tử tương ứng đều bằng nhau

Ví dụ 3.2

3.1.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

3.1.2.1 Phép cộng ma trận

Ví dụ 3.3

3.1.2.2 Phép nhân một số với ma trận

k a         ka  

Ví dụ 3.4































5 4 2

0 2 4 10 8 3

0 1 2

2

1













































6 5 6

5 5 2 7 1 3

5 8 0 1 4

9

0 3

2

Ví dụ 3.5 Tìm x, y, zvà wthỏa mãn

3



Thực hiện phép cộng ma trận và nhân một số với ma trận ta được

Trang 2

Tính chất 3.1

Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡmn

1)A(BC)(AB)C

2) Matrận có các phần tử đều bằng0gọi là ma trận không và ký

hiệu0thỏa mãn

A A

A  0  0  

0





( A)

A A a ij mn

3) , trong đó

4) A  B  B  A

Tacũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực

k,hvới mọi ma trận cỡmn

5) k(AB)kAkB

6) (kh)AkAhA

7) k(hA)(kh)A

8) 1AA

Với 8 tính chất này tậpMmnlà một không gian véc tơ

KýhiệuEijlà matrận cỡm  ncó cácphần tử đều bằng0ngoại trừ phần tử ở hàngicộtjbằng 1

Hệ các ma trận E iij  1, m ; j  1, n là một cơ sở củaMmn

Ví dụ 3.6

Ma trận cỡ 23 bất kỳ có thể biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến

tínhcác ma trận Eij

11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23

a E a E a E a E a E a E

21 22 23

0 0 0 0 0 0 0 0 0

a a a

23

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

21    22    23 

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

11 12 13

21 22 23

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

a a a

Tích hai ma trận

ij m p



 

p n

B      b 

là ma trận cỡ mnđược ký hiệu và định nghĩa bởi AB cij m n



 

  

Tồn tại ma trận tíchABkhisố cột của ma trậnAbằng số hàng của ma trậnB

1

1, ; 1,

p

k



Phần tử ở hàng thứicột thứjcủa ma trận tíchABbằng tổng của tích các phần tử hàng thứicủa ma trậnAvới các phần tử tương ứng cột thứjcủa ma trậnB

Vậy phần tử ở hàng thứicột thứjcủaABbằng tổng của tích

cácphần tử hàng thứicủaAvới các phần tử tương ứng cột

thứjcủaB

j

i







































pj

j j

ip i

i ij

b

b b

a a

a

c

2 1

Ví dụ 3.7

1 3

1 0

2 4











































17 7

15 9

4 2

0 1

3 1

5 2 1

3 2 1

2

3

 

 

    2 3 12 8   4 6  

Trang 3

Tathấy rằng tích của hai ma trậnAvàBđịnh nghĩa được khi số

cột củaAbằng số hàng củaB

Vìvậy có thể định nghĩaABnhưng không định nghĩa đượcBA

nếu số cột củaBkhôngbằng số hàng củaA

KhiA,Blà hai matrận vuông cùng cấp thì ta có đồng thờiABvà

BA.Mặc dầu vậy chưa chắc có đẳng thứcABBA

Nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán

Chẳng hạn, xét



Giả sửA,B,Clà các matrận với số cột số hàng thích hợp để

các phép toán sau xácđịnh được, khi đó ta có các đẳng thức:

1)A(BC)(AB)C tính kết hợp

2)A(BC)ABAC tính phân phối bên trái phép nhân ma

trận với phép cộng

3)(BC )ABACA tính phân phối bên phải phép nhân

ma trận với phép cộng

4)Với mọi k, k(AB)(kA)BA(kB)

5)Với mọi số tự nhiên dươngnta xét matrậnInvuôngcấpn

có cácphần tử trên đường chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khácđều bằng0

Khi đó với mọi ma trận Acỡ mnta có

I A   A AI

Ma trận Inđược gọi là ma trận đơn vịcấp n

Xét ma trận Acỡ 23

Chẳng hạn

A

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2

1 0

0 1

 

Khácvới phép nhân các số: tích hai số khác0làmột số khác0

Ta cóthể tìm được hai ma trận khác0có tích là matrận0



Chẳng hạn

,

A B  0 nhưng AB  0

Trang 4

3.1.2.4 Đa thức ma trận

Giả sử p(t)a0a1t  aktk là một đa thức bậc k

Với mọi ma trậnAvuôngcấpn, tađịnh nghĩa đa thức của ma

trậnAnhư sau:

p A  a I  a A    a A

Ví dụ 3.8

3

p t    t t

Cho ma trận và đa thức

3

3.1.2.5 Ma trận chuyển vị

Cho matrậnAcỡmn,nếu ta đổi các hàng của ma trậnA

thành cáccột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma trận mới cỡnm,gọi là ma trận chuyển vị của ma trận trênA,

kýhiệuAt

t

A      c  c  a i  n j  m

Ví dụ 3.9

A



t

1) ( A  B )t At Bt

kA

kA ) 

(

3) t t t

A

B

AB ) 

(

NếuAAtthìAđược gọi làma trận đối xứng(Alà matrận

vuông có cácphần tử đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất)

A AtthìAđược gọi làphản đối xứng(Alà matrận vuông có

cácphần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các

phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng0)

ij

ij t

a



3.1.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ 3.1.3.1 Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ

Giả sử Vlà không gian nchiều với một cơ sở B{e1, … , en}

{v1,… ,vm}làmột hệ véc tơ củaVcótọa độ trong cơ sởB:

1 , 1, ,

n

i



Khi đó ma trận

ij n m



 

  

có cáccột là tọa độ của các véc tơ{v1,… ,vm}trongcơ sởB gọi là ma trận của hệ véc tơ{v1,… ,vm}trongcơ sởB Ngược lại, với ma trận Acỡ nm cho trước thì ta có hệ mvéc tơ

mà toạ độ của nó trong cơ sở Blà các cột của A

Nói riêng, nếu u  x e1 1  x en n

ta ký hiệu

  u B  ( , , x1 xn)   1

n

x u x

 

 

  

 

 B

Ví dụ 3.10

Xét hệ véc tơ v1 (4,1,3, 2),  v2 (1, 2, 3, 2),  v3 ( , , , ) x y z t

Có ma trận trong cơ sở chính tắc 4 1

x y z t



3.1.3.2 Ma trận chuyển cơ sở

Giả sử B{e1, … , en}, B{e1, … ,en}là haicơ sở của V

Matrận của hệ véc tơBtrongcơ sởB được gọi làma trận chuyển từ cơ sở Bsang cơ sởB

Nghĩa là nếu

1

n

i



'

ij

T      t B B

là matrận chuyển từ cơ sởBsangcơ sởB

 i n1 ij 'j 1

n n n

x          t  x    u      tij B '   u '

Ta có công thức đổi tọa độ1 1 1 1 1 1

Trang 5

NếuA,Alần lượt là ma trận của{v1,… ,vn}trongcơ sởBvà

Bthì

' '

ij

A      t B A

B

Ví dụ 3.11

là hai cơ sở của không gian véc tơ 2(Xem ví dụ 2.16 Chương 2)

u  x y  xe  ye  y  x e   x y e

  u B  ( , ); x y   u B '  (4 y  3 , x x  y )

Hai hệ véc tơ B e1, e2 , B’ e’1,e’2

với e1(1,0), e2(0,1)vàe 1(1,1),e 2(4,3)

Matrận chuyển từ cơ sởBsangcơ sởBlà 1 4

1 3





Matrận chuyển từ cơ sởBsangcơ sởBlà 3 4

'

B  e1(1,0), e2(0,1)  B’  e 1(1,1),e 2(4,3)}

  u '  (4 y  3 , x x  y )    e1 '   ( 3,1);   e2 '  (4, 1) 

  u B '  (4 y  3 , x x  y )

3.1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN

3.1.4.1 Tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

Ta gọi hạng của hệ các véc tơ cột củaAlà hạng của ma trậnA

kýhiệur(A)

Hạngr(S)của một hệ véc tơScủa không gianVlàsố véc tơ của

một hệ con độc lập tuyến tính tối đại củaShay làchiều củaspanS

(xemĐịnh lý 2.16)

Vìvậy khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các

phépbiến đổi sơ cấp, thìspanSkhôngđổi do đó hạng của hệ

không thayđổi:

1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ

2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0

3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ

khác của hệ

Vìvậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ cấp lên các cột hoặc các hàng để đưa ma trận về dạng hình bậc thang,từ đó suy ra hạng của ma trận Ví dụ về tính theo cột:

Ví dụ 3.12

Vậy r(A)2

A



3 1 2 2

4 1 3 3

2 1 4 4

c c c

c1 c1



Vídụ về biến đổi sơ cấp theo hàng:

Ví dụ 3.12

Vậy r(A)2

A



2 1 2 2



5

7 h h

5

5 5 1

5 3

c c

c c c

c c

c c c

c c

B

 





( 3)2 ( 1)3 24 4 (3 2 )2 33 25 5

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1 0 0

2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 2

a a



     

   

Vậy





1 3

1 4

) (

a

a B

r

nÕu nÕu

2 1 1 2 2a 0

Trang 6

Kháiniệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra

vàonăm 1693 khi bàn đến việc giải hệ phương trình tuyến tính

Định thức của ma trận vuông cấp 2 bằng tích đường chéo

thứ nhất trừ tích đường chéo thứ hai

11 12

11 22 12 21

21 22

Matrận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và hầu

như mọi người đều cho rằng khái niệm định thức phải ra đời sau

kháiniệm ma trận, nhưng sự thực ngược lại

Định thức của ma trận vuông cấpntổng quát được xét trong

chương này

Định thức hình thành là nhằm để giải các hệ phương trình

tuyến tính mà việc làm này đã có một lịch sử lâu đời trước đó

3.2 ĐỊNH THỨC

Định thức được tiếp tục phát triển và nghiên cứu qua các công trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Jacobi (ia-cô-bi) (Đức), Laplace (Pháp), Vandermonde (Vănđécmông) (Hà Lan)

Cauchy (Cô-si) (Pháp) làngười đầu tiên nghiên cứu khái niệm định thức một cách hệ thống

Ngoàiứng dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, định thức cònđược sử dụng để nghiên cứu những vấn đề của ma trận như: ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, tìm giá trị riêng

Định thức Jacobi được sử dụng trong phép đổi biến số của tích phânnhiều lớp

Định thức Wronsky (vrông-xki) dùng để kiểm tra tính chất độc lập tuyến tính của các nghiệm của phương trình vi phân tuyến tínhthuần nhất

Khảo sát tính chất độc lập của một hệ véc tơ

3.2.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỊNH THỨC

Khi giải hệ phương trình tuyến tính











 ' '

a

c by ax

ta tính cácđịnh thức

'

ba

ab

b

a

b

a

' '

bc cb b c

b c

' '

ca ac c a

c a















22 21

12 11

a a

a a A

Như vậy định thức của ma trận vuông cấp 2:

21 12 22 11 22 21

12 11

a a a a a

a

Đó là định thức của ma trận vuông cấpn

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

3.2.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ĐỊNH THỨC

x y z

2 .6 5.4 y z x 3.1 x y z 5.3.6 2.4.1

Trang 7

Tính định thức

11

D  a a

Ví dụ 3.15

nn

n n n

n

a

a a

a

a a

a

D



 3 33

2 23

22

1 13

12

11



Tương tự

Ví dụ 3.16

2

d e f



      



11

21 22

a

( 1) 2

1

n

n n

n

a



Ví dụ 3.18

3 2 2

x

z





Định thức của ma trậnA[ aij]nncủa hệ véc tơ{v1,… ,vn}

trongcơ sởBcủa không gian véc tơVcũng được gọi là định thức của hệ véc tơ{v1,… ,vn}và kýhiệuDB{v1,… ,vn}.Vậy

1, , n det

Ví dụ 3.19

Hệ véc tơ v1 (2, 4,1), v2 (3,6, 2),  v3  ( 1,5, 2)

có ma trận trong cơ sở chính tắc Bcùa 3là

A



D B v v v  A 

Vậy

3.2.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC

1)Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu

,

ij

mj

i k m

i m

i k

a











nÕu nÕu nÕu

thì det A '   det A

Ví dụ 3.20

" " "

" "

"

'

a b

a c

Đổi chỗ hai hàng

mvà k

cho nhau

2)Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng

Ma trận

ij n n



 

   có hàng thứ klà tổ hợp tuyến tính của

ij n n



 

ij n n



 

  

Nghĩa là

1, ,

i k

c  a  b









nÕu

víi mäi

;

hàng thứ kcủa

thì det C   det A   det B

Ví dụ 3.21

a

c



Trang 8

3)Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì

định thức bằng0

4)Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng

khác thìđịnh thức không thay đổi

Ví dụ 3.22

b c c a

" ' " ' " ' " " " ' ' '

a





5)Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó

det At det A

Ví dụ 3.23

'

"

" " " "

b a a

a b a



6)Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thìcũng đúng với cột và ngược lại Vì vậy ta chỉ cần chứng minh cácđịnh lý về định thức đúng với hàng Chẳng hạn, từ 4) suy ranếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thìđịnh thức không thay đổi

7)Định thức của mọi hệnvéctơ phụ thuộc tuyến tính của không

gian véctơnchiều đều bằng0

Nếu hệ véc tơ v1 , ,v n phụ thuộc tuyến tính thì có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của

các véc tơ còn lại Chẳng hạn v n  1 1v  2 2v   n1v n1

detA D v, ,v n,v n D v, ,v n,v v nv n

Táchcột cuối thành tổng củan1định thức ta được

1 1 1 1 1 1 1 1

detADBv, ,v n,v   DBv, ,v n,nv n    0  0 0

B A

AB det det

8)Định thức của một tích bằng tích các định thức

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.2.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC

Cho matrậnA[ aij]nn

KýhiệuMijlàđịnh thức của ma trận cấpn1cóđược bằng cách xoá hàngicộtjcủa ma trậnA

Hàngi

Cột j

( 1)i j

A   M

được gọi là phần bù đại số củaaij

Công thức khai triển định thức của Atheo cột thứ j

1 1 det A  a Aj j  a Anj nj

j n



1

j

a



 

n j

nj

a



 

Công thức khai triển định thức của A theo hàng thứ i

1 1 det A  a Ai i   a Ain in

Nhận xét 3.5

Côngthức khai triển theo cột thứjvà côngthức khai triển theo hàngthứi(trongđó việc chọn hàng thứivàcột thứjlà tùy ý) cho phép tínhđịnh thức cấpntheotổng các số hạng dạngaijAij.Nếu

ở hàng thứihoặc cộtjcósố hạngaij0thìaijAij0 Vìvậy để tínhđịnh thức ta thức hiện các bước sau:

Chọn hàng ihoặc cột jcó nhiều phần tử bằng 0hoặc dễ triệt tiêu Thực hiện các phép biến đổi để triệt tiêu các phần tử trên hàng (hoặc cột) đã chọn, cuối cùng trên hàng hoặc cột này chỉ có một phần tử khác0

Khai triển theo hàng hoặc cột đã triệt tiêu

Trang 9

Ví dụ 3.26

Khai triển theo hàng thứ 2 ta được

2 1

D        

Tiếp tục triệt tiêu hàng thứ nhất của định thức trên ta có

  

  

  



   

D 



  



Matrận vuôngAđược gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùngcấpBsao choABBAI

Phép nhân matrận có tính kết hợp nên ma trậnBở định nghĩa trênnếu tồn tại thì duy nhất, ta gọi ma trận này làma trận

Điều kiện cần và đủ để ma trậnAtồn tại ma trận nghịch đảo là

det A  0 det A det A1 det AA1 det I  1 detA0

Ma trận nghịch đảo A1của ma trận A có dạng

ij n n

B      A  được gọi là ma trận phụ hợp của A

det

t

A

 

Aijlà phần bù đại số của phần tử aijcủa ma trận A  [ aij]nn

1 2

2

1

i

n

n nn

 

Khai triển theo hàng thứ k

Hàng k

Hàng i

1 1

i k i n k n

1 2

i

n

n nn

 

Khai triển theo hàng thứ k

Hàng k

Hàng i

0



det A



Ma trận A a b

c d

  vuông cấp 2 với định thức A  ad bc -  0 có

ma trận nghịch đảo là

A

Ví dụ 3.31

5 7

3 9

A  

   có ma trận nghịch đảo 1 1 9 7

3 5 24

A  



1 1

det

0

t

i k









nÕu nÕu

1



Ví dụ 3.32















8 0 1

3 5 2

3 2 1

A có det A   1

40

8

0

3

5

)

1

11   

8 1 3 2 ) 1

12   

0 1 5 2 ) 1

13   

A

16

8

0

3

2

)

1

21   

8 1 3 1 ) 1

22   

0 1 2 1 ) 1

23   

A

9

3

5

3

2

)

1

31   

3 2 3 1 ) 1

32   

5 2 2 1 ) 1

33   

A

1

t



A

có det A   56

A     A     A     

A     A      A     

A      A     A    

1

t

A



Trang 10

Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan

Để tìm ma trận nghịch đảoA1ta thực hiện các bước sau:

1)Viết ma trận đơn vị Ibên phải ma trận A: A | I

2)Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng

của A | Iđể đưa ma trậnAở vế trái về ma trận đơn vị

3)Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận A1

1

A I   I A

Ví dụ 3.34

Tìm A1với

A

1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1

1 1

2 2

2 2 3 3

1 2 3 1 0 0

0 1 3 2 1 0

0 0 1 5 2 1



 

3 2 2

3 3

3 3 1 11 2 0 14 6 3

0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1



1 1

1 2 2

1 3 3 2



  

1 2 3 1 0 0

0 1 3 2 1 0

0 2 5 1 0 1

 

1 1

2 2

3 3



 

2

1 1

2 2

3 3

1 0 0 40 16 9

0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1





3.2.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC

Định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng0 Dođó nếu

định thứcDB{v1, ,vn}0thìhệ{v1, ,vn}độc lập tuyến tính

Ngược lại, giả sử hệ{v1, ,vn}độc lập tuyến tính, ta chứng

minhD

B{v1, ,vn}0

Vậy hệ{v1, ,vn}trong không gian véctơnchiều là độc lập

tuyến tính khi và chỉ khiDB{v1, ,vn}0

Ta cũng chứng minh được nếu T      tij B '

B là ma trận chuyển từ cơ

sở B sang B ' thì ma trận chuyển từ cơ sở B ' sang B là T1

1 '

' '

T      t B      t B  T

CHƯƠNG 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Định lý 3.12

Giả sửA  [ aij]làmột ma trận cỡmn.Nếu có định thức con cấppkhác0vàmọi định thức con cấpp1bao quanh nóđều bằng0thìr(A)  p

Hệ quả 3.13 Giả sửAlàmột ma trận cỡmnthì

r ( A )  r (At)  min(m , n)

Ví dụ 3.35

20

A



B





0

1



Bao định thức này bởi định thức cấp 3



Định thức cấp 4 duy nhất | B |0

Vậy r(B)3

Ví dụ 3.37

Tìm hạng của ma trận

a a A

a a



3

) 1 )(

3

A

 Khi a   3 , a  1 thì r ( A )  4;

BÀI TẬP

Khi a   3,

r A

1 1 1 1

A







Khi a  1  r(A)  1

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	683,42 KB