Thống Kê Và Ứng Dụng - Đặng Hùng Thắng ( NXB Giáo Dục 1999) - Tài liệu VNU

Các thõng tin dưới dạng số liệu đang tràn ngập trong cuộc sống hàng ngày của mỗi chúng ta, ờ khắp nơi xung quanh ta. Khoa học Thông kê ra dời nhảm mục đích nghiên cứu các phương pháp [r]

Đ Ặ N G H Ù N G T H Ắ N G

THỐNG KÊ

VÀ ƯNG DỤNG Giáo trình dùng cho các trường Đại học và Cao Đẳng

NHÀ XUÂT BÁN GIÁO DỤC - 1999

31

— — — 67 / 190 - 99 Mã sổ : "K377M9

GD - 99

LÒI NÓI ĐÂU

"Trong một tường lai không x a kiến thức thông

kê v à tư duy thống kê s ẽ trỏ thành một y ế u

tố không thể thiếu được trong học v ấ n c ủ a mỗi công dân, giống như là khả năng biết đ ọ c , biết viết vậy"

H G W E L L S (1920)

Các thõng tin dưới dạng số liệu đang tràn ngập trong cuộc sống hàng ngày của mỗi chúng ta, ờ khắp nơi xung quanh ta Khoa học Thông kê ra dời nhảm mục đích nghiên cứu các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích dữ liệu một cách khách quan, đáng tin cậy, đỏ từ đó phát hiện

ra các tri thức, thông tin ẩn náu ỏ đó Thông kê đã biến những con số khô khan, câm lặng thành những các con số biết nói

Hiện nay Thống kê đã được ứng dụng rộng rãi trong hàu hết các hoạt dộng của con người, từ khoa học tự nhiên, kinh tế, nông nghiệp, y học cho tái các khoa học xã hội và nhân văn Một nhà xã hội học nổi tiếng có nói : "Thiếu khoa học thống kê, nhà nghiên cứu xã hội khác nào một người mù mò mẫm trong căn nhà kho tối đen đỏ tìm một con mèo đen đã không còn ờ đó nữa"

Cuộc cách mạng vê công nghệ thông tin và sự phổ cập rộng rãi của máy ui tính dã làm cho thống kê trở nên dẻ học và dễ sử dụng hơn trước rất nhiều ỏ hàu hết các nước trên thế giới, Xác suất - Thông kê dã được đưa vào giáng dạy ngay từ bậc trung học và là môn cơ sỏ bất buộc của nhiều ngành học ỏ bậc dại học Năm 1973 khi tổng kết công tác cài cách giáo dục, UNESCO đã khàng dinh ràng Xác suất - Thống kê là một trong 9 quan điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trong thời đại ngày nay

ỏ nước ta, trong quyết định về đào tạo đại cương theo

7 nhóm ngành của Bộ giáo dục uà Đào tạo, tất cả các nhóm ngành đêu có chương trinh Xác suất - Thống kê với thời lượng ít nhất là 4 đơn vị học trình Nhiều cán bộ đã ra công tác có nhu vầu phải hỉ học môn học này

Cho đến nay, các giáo trình và sách tham khảo về lí thuyết Thống kê và ứng dụng bàng tiếng Việt còn rát ít và chưa thật phù hợp với xu thế đổi mới cách giảng dạy Thống

kê trong bối cảnh của cách mạng Công nghệ thông tin Dề đáp ứng nhu càu về giảng dạy, học tập và ứng dụng Thống

kê, đề góp một tiếng nói trong ván dê dổi mói việc giảng dạy Thống kê, chúng tôi biên soạn cuốn sách này với hi vọng cuốn sách sẽ là một giáo trình có chất lượng phục vụ một dối tượng đông dào các bạn đọc bao gồm :

1) Các bạn sinh viên dại học, cao đảng, học viên đại học lăn dâu tiên làm quen hoặc muốn nâng cao hơn những hiểu biết về Thống kê và những ứng dụng của nó

2) Các cán bộ nghiên cứu, các thầy giáo ỏ phổ thông và tát cả những ai muốn tự học bộ môn này

Những tư tường chủ dạo của chúng tôi khi viết cuốn sách này là :

1) Chúng tôi có gàng trình bày bài giảng thật cặn kẽ,

dễ hiểu đặc biệt là những khái niệm cơ bản Phần lớn các kết luận, khàng định trong cuốn sách dược công nhận với

sụ mô tả giải thích thích hợp

Việc chọng minh chặt chẽ những kết luận này đòi hỏi dộc giả phải có những hiểu biết sâu vê Toán học và Xác suất lí thuyết Thành thủ với mọt giáo trình mở đàu ve Thống kê dành cho nhiêu đối tượng và nhàn mạnh về ọng dụng như cuốn sách này, chúng tôi quyết định bò qua các chọng minh toán học

2) Mỗi khái niệm, phương pháp đầu có kèm theo nhiêu thí dụ minh họa Các thí dụ này dược lựa chọn ki và thuộc

ve nhiêu lỉnh vực của khoa học tụ nhiên, khoa học xã hội, nhãn vãn

3) Cuối mỗi chương chúng tôi có đưa vào khá nhiều bài tập để độc giả dược thử thách rèn luyện và tự kiểm tra Tát cả các bài tập đêu có kèm theo đáp số hoặc chỉ dân 4) Những ọng dụng của Thống kê đòi hỏi những tính toán đôi khi khá phọc tạp vả công kênh Với sụ phổ biến

và tương dối dễ kiếm các máy tính bó túi, máy ui tinh và các phần mềm Thống kê hiện nay, việc thục hiện các tính toán Thống kê dã trỏ nên dễ dàng Do dó trong việc học Thống kê hiện dại, điều quan trọng không còn là tính toán nữa, mà là biết được cần phải thực hiện những thuật toán gijbiet cách chuyền từ một bài toán thục tiễn sang mô hình Thống kê ra sao

Hiện nay có khá nhiêu các phàn mềm Thống ké mạnh như SPSS, SAS và Minitab Trong cuốn sách này chúng tôi chọn phần niềm Minitab dề giới thiệu vì nó khá phổ biến

và dễ sử dụng

('nôn sách bao gồm 7 chương

Các Chương ì, HI, TV, V, vu, trừ các tiết có đánh dấu

*, trình bày những kiến thức cơ bản, cốt lõi cỏa Thống kẽ

Chương li "Dại cương về lí thuyết xác suất", nhàm giúp độc giả ôn tập lại các kiến thức cơ bản về Xác suất, cơ sỏ Thán học cỏa Thống kê

Vói các độc giả muốn có những hiếu biết sâu và đầy đỏ hơn về Lí thuyết Xác suất, chúng tôi xin giới thiệu cuốn sách [6J

Chương VI và các tiết có dấu * có thể dùng lam tư liệu khi dạy một giáo trình Thống kê dây dù và sâu han (chảng hạn cho chuyên đè cao học)

Trong quá trinh biên soạn cuốn sách tác giả đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp cùa các dòng nghiệp trong bộ môn Xác suất - Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học quốc gia Hà Nội Xin chán thành cám ơn những đóng góp đó

ĩầc giả xin bầy tỏ lài cảm on tới PTS Tràn Phương Dung Phó trường ban Biên tập Toán vè mối quan tâm và sự ỏng

hộ cho việc xuất bản cuốn sách, tới GS TS Trần Mạnh Tuấn, GS TS Nguyễn Duy Tiến, đã dọc bản thảo và cho những ý kiến phản biện quý giá và đặc biệt tói PTS Nguyễn Văn Thường người đã biên tập rất công phu và cẩn thận f cuốn sách giúp cho cuốn sách tránh được nhiều sai sót

Cuối cùng tác giả rất mong nhận dược sự góp ý phê bình của các dộc giả Xin chân thành cảm ơn trước

Những ý kiến đóng góp xin gùi về địa chi Nhà Xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Dạo, Hà Nội, hoặc vẽ địa chỉ của

Hà Nội

Hà Nội 11/1998 TÁC GIẢ

Chương Ị

T H Ố N G KÊ MÔ T Ả

§ 1 M Ộ T VÀI KHÁI N I Ệ M C ơ B Ẩ N

Trước hết ta hãy xét ví dụ sau

Đ ể đ i ề u t r a số n h â n khẩu trong một hộ gia đình sống ở Hà

N ộ i , n g ư ờ i điều tra lập một danh sách gốm t ấ t cả các gia đình

đ a n g sống t r ê n địa bàn H à N ộ i ứ n g với m ỗ i hộ gia đĩnh ta ghi

thay đ ổ i từ cá t h ể này sang cá t h ể khác và được b i ể u d i ễ n bởi

m ộ t con số Nói theo ngôn ngữ t o á n hừc, biến lượng là m ộ t á n h

xạ t ừ tập hợp chính lên trục số

d) Vỉ số hộ cư t r ú trên địa bàn H à N ộ i là r ấ t lớn, n ê n ta

k h ô n g t h ể điều tra hết được, mà chỉ chừn ra m ộ t tập hợp con (chẳng h ạ n 150 hộ) đ ể điểu tra Tập hợp con được chừn ra đó

được gừi là m ộ t mẫu, số phẩn tử của một m ẫ u được gừi là kích thước của m ẫ u

Đ ị n h n g h í a Ì

a) Một tập hạp chính £ là tập hợp tất cả các đối tượng có chung một tính chất nào dó mà chúng ta dang quan tâm

9

b) Mỗi phàn tử của tập hợp chính dưac gọi là một cá thể

c) Một biến lượng X (hay còn gọi là một dấu hiệu về lượng)

là một ánh xạ từ tập hợp chính & lên trục số Dó là một p hép

do xác định trên mỗi cá thề của < c

Tập hợp t ấ t cả các số đo X t r ê n t ấ t cả các cá t h ể của & Hàm

t h à n h một tập hợp chính các giá trị cùa X

ủ) Việc chọn ra từ tập hợp chính một tập hợp con nào đó gọi

là phép láy mẫu Tập hợp con này được gọi là một mẫu

Một trong những nhiệm vụ quan t r ọ n g nhất của khoa học Thống kê là xây dựng các p h ư ơ n g p h á p cho phép ta r ú t ra các

k ế t luận, lập các dợ báo về toàn bộ tập hợp chính dựa t r ê n các

t h ô n g t i n thu được trên một mẫu T h à n h thử, vấn đè lấy m ẫ u

là một vấn để r ấ t quan t r ọ n g và cũng r ấ t phong phú t r o n g Thống kê Tùy thuộc vào đạc đ i ể m của tập hợp chính đ a n g xét

m à mẫu có t h ể được chọn theo nhiễu p h ư ơ n g p h á p khác nhau

đ ể đ ả m bảo yêu cẩu vé t í n h đ ạ i diện của mẫu

Tầ nói r ằ n g m ộ t mẫu là ngấu nhiên nếu trong phép lấy m ẫ u

đó, m ỗ i phần t ử của t ậ p hợp c h í n h đêu được chọn một cách độc lập và có xác suất được chộn n h ư nhau Ngoài p h ư ơ n g p h á p lấy mẫu ngẫu nhiên, ta còn có các p h ư ơ n g p h á p lấy mẫu khác nữa như chọn mẫu với xác suất k h ô n g đều, chọn m ẫ u theo n h ó m

t r ộ i , mẫu chùm v.v Trong giáo t r ì n h này c h ú n g ta chỉ xét các mẫu ngẫu n h i ê n

§2 TRÌNH BÀY M Ộ T MAU CÁC GIÁ T R Ị C Ủ A B I Ế N LƯỢNG

l à m t r ò n tới tạ Biến lượng X là sản lượng của giống lúa đó t r ê n

t h ử a ruộng Ì ha Các sản lượng của 120 thửa ruộng t h í nghiệm

nói t r ê n lập t h à n h một mẫu các giá t r ị của X, hay đáy đủ hơn

N h ư vậy t r o n g mẫu s ố liệu t r ê n các giá trị ta gặp là 31, 34,

được g ọ i là tần số của giá t r ị đó 1 ầ t r ì n h bày mẫu t r ê n dưới

d ạ n g b ả n g sau đây gọi là bảng phân bố tần số

Bảng Ì

Đ ị n h n g h ĩ a 2 Giả sử trong m ộ t mẫu kích thước n các giá

trị của biến lượng X có ni giá trị khác nhau x i < x 2 < < X

Đ ể có t h ể so s á n h kết quả khi kích thước mẫu thay đ ổ i , ta nên xét t ầ n suất các giá trị của mẫu

Đ ị n h n g h í a 3 Tần suất f của giá trị Xị là tỉ số giữa tần số

rị uà kích thước mẫu n :

Bảng sau đây được gọi là bảng phân bố thục nghiệm của b i ế n lượng X :

Bảng 3 Thí dụ 2 Bảng p h â n bố thực nghiệm của biến lượng X (là

số điểm môn Toán trong kì t h i tú tài vừa qua) của 400 t h í sinh được cho trong bảng dưới đây :

X (điểm bài thi) T ầ n số T ầ n suất

b) Bàng phàn bố ghép lớp

Trong những t r ư ờ n g hợp phải điều tra với mẫu kích thước lớn, hoặc khi biến lượng lấy nhiều giá trị khác nhau song l ạ i

k h á gần nhau, người ta thường xác định một số các khoảng

C j , C2, c sao cho mỗi giá trị của biến lượng thuộc vào một

và chỉ m ộ t khoảng Các khoảng nàý lểp nên một phân hoạch miễn giá trị của X Việc chia khoảng là tùy cách chọn của ta,

do đó có t h ể có n h i ề u cách chia khoảng Tuy nhiên nói chung

Chú ý Ta quy ước đ ẩ u m ú t bên phải của một khoảng thuộc

khoảng đó m à k h ô n g thuộc khoảng tiếp theo khi t í n h t ầ n số của mỗi lớp

13

được một biểu đồ tàn số hình gậy

N ế u ta n ố i đ i ể m (Xj, rộ với đ i ể m (Xị + Ị , r(- + j) (í = Ì, 2,

m - 1) b à n g các đ o ạ n t h ẳ n g , ta sẽ có m ộ t biểu đồ da giác tăn số

T ư ơ n g t ự , xét t ậ p hợp r gốm các đ i ể m có tọa độ (Xị, fị) N ố i

đ i ể m có tọa độ (Xị , 0) với đ i ể m co' tọa độ (Xị, fị) (í = Ì, 2, m),

ta được m ộ t biểu đồ tàn suất hình gậy. N ố i đ i ể m (Xị, f ị ) với

đ i ể m ( X ị + J , fị + j) (i = Ì, 2, m - 1) bằng các đoạn t h ẳ n g , ta

có m ộ t biểu đô da giác tàn suất

Thí dụ 4 Vẽ b i ể u đổ đ a giác t ầ n suất và biểu đổ t ầ n số hình

(histogram) đ ể biểu diễn Ta xét hai t r ư ờ n g hợp :

1) Độ rộng các khoảng bàng nhau Trên m ỗ i khoảng ta dựng

một hình chữ nhật có chiều cao bủng t ấ n số (hay t ầ n suất) t ư ơ n g

ứng của lớp đó Khi đó ta thu được m ộ t tổ chức đô tần số (hay

15

tổ chức dô tăn suất ) Chú ý r à n g tổ chức đổ t ầ n số v à t ổ chức

đổ t ẩ n suất sẽ t r ù n g nhau nếu ở tổ chức đổ t ầ n suất t r ê n trục

t u n g ta chọn đơn vị dài gấp n l ẩ n ở t ổ chức đổ t ầ n số (n là

kích thước mẫu)

Thí dụ 5 Doanh thu của 51 cửa hàng của một tổng công ty trong

n ă m 1996 được ghi trong bằng dưới đây (đơn vị là triệu đổng VN) :

Giải a) Số l i ệ u bé nhất là 27 Ta sẽ chia khoằng sao cho đ ấ u

m ú t của khoằng đ ầ u tiên là 26,5, độ dài m ỗ i khoằng là 22 Ta

b) Tổ chức đổ t ẩ n suất như sau

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

SỐ cây nằm trong khoảng (12 ; 25) chính là diện tích của tổ

chức đổ giới hạn bởi hai đường thẳng X = 12 và X = 25

gọi là c ấ c số đặc trưng (hay giá trị đặc trưng) c ủ a m ố u

Có hai n h ó m lớn c á c s ố đ ặ c t r ư n g

1) C á c s ộ đ ặ c t r ư n g cho c h ú n g ta một hỉnh ả n h về vị trí trung tâm của mẫu, tức là v ề xu t h ế c á c s ố l i ệ u trong m ố u tụ

tập x u n g quanh n h ữ n g con s ố n à o đ ó Trong g i á o t r ì n h n à y ta

s ẽ định nghĩa ba s ố đ ặ c t r ư n g thuộc loại n à y : Đ ó là trung bình

mẫu, trung vị (median) v à mode

2) C á c s ố đ ặ c t r ư n g cho c h ú n g ta một h ì n h ảnh v é mức đ ộ

p h â n t á n c ủ a c á c s ố l i ệ u , đ ộ biến động c ủ a c á c số l i ệ u Trong

g i á o t r ì n h n à y ta s ẽ đ ị n h nghĩa c á c s ố đặc t r ư n g thuộc loại n à y

gồm : Biên độ, độ lệch trung bình, độ lệch tiêu chuẩn v à phương sai Cho m ố u c á c g i á trị c ủ a biến lượng X với kích t h ư ớ c TI :

li) T r u n g v ị (Median) Trung vị của m ộ t m ẫ u số l i ệ u , kí

h i ệ u b ở i m, là m ộ t số có t í n h c h ấ t sau : Số c á c giá t r ị của

m ẫ u b é h ơ n hay b ằ n g m t h ì b ằ n g số g i á t r ị của m ẫ u lớn hễn hay b ằ n g m

X é t t r ư ễ n g hợp c á c giá t r ị m ẫ u là p h â n biệt G i ả sử các giá

t r ị của m ẫ u được s á p xếp theo t h ứ tự t ă n g d ầ n

Thi dụ 8 Cho bảng p h â n bố t ầ n số của biến lượng X n h ư sau :

Số trung vị /n là số m à t ạ i đó đường t h ẳ n g X = m chia đôi

d i ệ n tích của tổ chức đổ t ầ n số Rõ r à n g số t r u n g vị luôn luôn

n ằ m t r m g khoảng t r u n g vị

2 1

Thí dụ 9 Tìm khoảng trung vị và số t r u n g vị trong bảng

số t h i mode là giá trị có t ầ n số cực đ ạ i

Đối với trường hợp m ẫ u được cho dưới dạng bảng p h â n bố

ghép lớp, người ta định nghĩa khoảng mode là khoảng có chiều

cao của hình chữ nhật dựng t r ê n khoảng lớn nhất đó

Mode là một chỉ tiêu t h ư ờ n g được chú ý trong các bài t o á n

về kinh t ế Chẳng hạn người b á n giày nếu muốn có m ộ t số lượng

h à n g dự trữ đủ đ á p ứng nhu cầu người mua thì phải chú ý đến

cỡ giày nào m à khách h à n g thuồng hay hỏi mua nhất

Thí dụ 10 Người k ế t o á n của một cửa h à n g giày ghi l ạ i k ế t

quả của việc b á n ra 200 đôi giày trong bảng sau đây (đơn vị là nghìn đổng)

Bây giờ ta sẽ t r ì n h bày các giá trị đặc t r ư n g cho ta h ì n h ảnh

về sự p h â n t á n các giá t r ị của mẫu

iv) B i ê n đ ộ H i ệ u số giữa giá trị lớn nhất và giá trị bé n h ấ t

của mẫu được gọi là biên độ của m ẫ u

Các giá t r ị biên trong nhiễu t r ư ờ n g hợp cho ta những t h ô n g

t i n quan trọng, n h ư n g cũng có n h i ê u bài t o á n trong đó các giá

trị biên chỉ là "ngoại l ệ " , do đó cho ta r ấ t ít t h ô n g t i n

23

t r o n g đ ó X l à t r u n g b ì n h m ẫ u

Đ ộ l ệ c h t i ê u c h u ẩ n , kí hiệu là s, được định nghĩa là can

bậc hai của phương sai:

• V I ( * , - ĩ ) 2 / - ,

n - Ì

Trong t r ư ờ n g hợp bảng phân bố ghép lớp Xị là đ i ể m giữa của

khoảng Cị, /"ị là t ẩ n số của khoảng đó

Chú ý Trong thực hành tính toán ta thường dùng công thức sau :

M ộ t trong các phần m ề m thống kê được sử dụng k h á rộng rãi hiện nay là Minitab Trong t i ế t này c h ú n g tôi sẽ t r ì n h bày một cách ván t ắ t về M i n i t a b Trong suốt cuốn s á c h đ ố i với mấi nội dung cụ t h ể c h ú n g tôi sẽ cho một hướng dẫn chi t i ế t hơn

về cách sử dụng M i n i t a b cho n ộ i dung đó

Cấu t r ú c của Minitab k h á đơn giản C h ú n g ta sẽ nhập số l i ệ u vào theo cột Các cột sẽ được gọi tên l ẩ n lượt là C l , C2, C3 vân vân

Đ ể nhập một dãy số l i ệ u t h à n h m ộ t cột đ ầ u t i ê n ở dấu n h á c của Minitab (MTB > ) ta gõ lệnh

Máy tính khi đó ở dấu nhắe DATA, ơ dấu nhắc này ta sẽ

đ ư a số l i ệ u vào, giữa hai số l i ệ u có dấu cách Ngoài ra ta còn

có t h ế đ ặ t t ê n cho các cột số liệu n h ư sau Chẳng hạn nếu đ ặ t

t ê n cột C l là "age" ta sẽ gõ :

NAME C1 AGE

45,5 - 50,5

50,5 - 55,5 55,5 - 60,5 60,5 - 70,5

S ử d ụ n g t ổ chức đồ n à y hãy ước lượng s ố thí s i n h c ó s ố đ i ể m

Vẽ tổ chúc đổ t ẩ n suất So s á n h cơ cấu d â n cư của v ù n g này với cơ cấu d â n cư t r o n g bài t ậ p 3

5 Cho bảng số liệu sau đ â y :

7 T í n h đ i ể m t h i t r u n g b ì n h của 61 sinh viên từ bảng thống ké sau đây :

9 Tính trung bình mâu và độ lệch tiêu chuẩn từ bảng số liệu sau :

N h ì n v à o t ổ chức đổ của d â n cư hai vùng, ta t h ấ y ở v ù n g

t h ứ n h ấ t (bài t ậ p 3) d â n cư chủ y ế u là thanh niên, còn ở v ù n g

5 X = 35,5

Khoảng mode : (10 - 20)

Số t r u n g vị : 29

Chương l i

ĐẠI CƯƠNG VỀ LÍ THUYẾT X Á C SUẤT

§1 B I Ế N C Ố N G Ấ U N H I Ê N VÀ XÁC S U Ấ T

Trong thực t ế ta luôn luôn gặp những hiện tượng, những hành

động chịu tác động của yếu tố ngẫu nhiên, kết quả của chúng

không t h ể dự báo được, không thể nói trước một cách chắc chờn

Một hành động mà kết quả của nó không thể dự báo trước

được được gọi là một phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ £ Các kết

quả của ẽ không thể nói trước được một cách chắc chắn, nhưng

ta có thể liệt kê ra tờt cả các kết quả có thể của £

Tập hợp tờt cả các kết quả của t được gọi là không gian

mẫu và ta thường kí hiệu nó bằng chữ Q

Chữ Cứ dùng để kí hiệu một phần tử của Q, và ta gọi mỗi

phần tử của Q là một biến cố sơ cấp

Một tập hợp con A của Q được gọi là một biến cố Mỗi kết

quả co G A được gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Khi kết quả của 6 là một phần tử của A thì có nghĩa là A

xảy ra

Thí dụ 1 Phép thử s là gieo một đồng tiễn liên tiếp 3 lần Đồng

tiền ctí thể sờp (S) hoặc ngửa (N) Không gian mẫu Q của s là

Q = ịSNN,NSN,SSN,NNN,SNS,NSS,SSS,NNS}

Gọi A là biến cố : "Có đúng hai lẩn đổng tiễn ra mặt ngửa" ;

35

B là biến cố :"SỐ l ầ n x u ấ t h i ệ n mặt ngửa là m ộ t số l ẻ "

K h i đó A = { SNN, NSN, NNS } ;

B = { SNS, SSN, NSS, NNN }

Biến cố không thế là biến cố k h ô n g bao giờ xảy ra Nó t ư ơ n g

ứ n g với t ậ p con <p của Q

Biến cố chắc chấn là b i ế n cố luôn luôn xảy ra N ó t ư ơ n g ứng

với t o à n bộ tập Q

Đ ị n h n g h í a 1 Xác suất của m ộ t biến cố là một số đo lường

k h ả n ă n g x u ấ t hiện của b i ế n cố đó Số đ ó luôn luôn n ằ m giợa

0 và Ì Xác suất của một b i ế n cố c à n g n h ỏ ( c à n g gần 0) t h ì biến

cố đó c à n g ít k h ả n ă n g xảy ra Xác suất của b i ế n cố đó c à n g lớn ( c à n g g ầ n 1) thì biến cố có n h i ễ u k h ả n ă n g xảy ra Xác suất

của b i ế n cố A được kí h i ệ u l à

Đ ị n h n g h ĩ a 2 (định nghĩa x á c suất cố đ i ể n )

G i ả sử phép t h ử £ có m ộ t số hợu h ạ n c á c k ế t q u ả có t h ể Ngoài ra các kết quả này có đổng k h ả n ă n g x u ấ t h i ệ n

K h i đó xác suất của b i ế n cố A là tỉ số giợa số k ế t q u ả t h u ậ n lợi cho A và số k ế t quả có t h ể

N h ư vạy trong t r ư ờ n g hợp n à y ta có

™ - W

t r o n g đó | A | kí hiệu là số p h ẩ n tử của A

Thí dụ 2 Trước cổng t r ư ờ n g đ ạ i học có 3 q u á n cơm bình

d â n chất lượng ngang nhau Ba sinh viên A, B, c độc lập với

nhau chọn ngẫu nhiên m ộ t q u á n ă n đ ể ă n t r ư a T í n h xác suất của các biến cố sau :

a) Ba sinh viên vào c ù n g m ộ t q u á n

b) H a i sinh viên vào c ù n g m ộ t q u á n , còn n g ư ờ i k i a t h ỉ vào

q u á n k h á c

Giải Ta đánh số ba q u á n cơm là Ì, 2, 3 Gọi a, b, c t ư ơ n g

ứng là q u á n cơm m à các sinh viên A, B, c chọn

N h ư vậy k h ô n g gian mẫu Q là tập hợp t ấ t cả các bộ ba

(a, b, c) trong đó Ì « a í 3 , Ì í í) í 3, Ì í c í 3

Rõ r à n g | Q | = 33 = 27 Tầ có t h ể coi r ằ n g các k ế t q u ả là đổng k h ả n ă n g

a) H i ể n nhiên có 3 trường hợp thuận lợi là ( Ì , Ì, 1) , (2, 2, 2)

và (3, 3, 3)

V ậ y

_ _3_ _ ì

p ~ 27 ~ 9 • b) Các t r ư ờ n g hợp t h u ậ n lợi là

( Ì , Ì, 2), ( Ì , 2, 1), (2, Ì, 1) ( Ì , Ì, 3), ( Ì , 3, 1), (3, Ì, 1) (2, 2, 1), (2, Ì, 2), ( Ì , 2, 2) (2, 2, 3), (2, 3, 2), (3, 2, 2) (3, 3, 1), (3, Ì, 3), ( Ì , 3, 3) (3, 3, 2), (3, 2, 3), (2, 3, 3)

Do đó xác suất cần t ì m là

_ 18 _ 2

p ~ 27 ~ 3 '

77Ú đỊí 3 M ộ t công tv cẩn t u y ể n hai n h â n viên Có 6 n g ư ờ i

t r ú n g tuyền của 6 người là n h ư nhau

a) Tính xác suất đ ể hai người t r ú n g t u y ể n đ ề u là nam

37

Vậy xác suất cẩn tìm là

6 2

p = 15 = 5 = °>4c) Chỉ có một t r ư ờ n g hợp cả hai nam t r ú n g t u y ể n n ê n t r o n g

l ẩ n trong những điều k i ệ n giống hệt nhau N ế u trong TI l ấ n thực

hiện phép t h ử £ biến cố A suất hiện k l ầ n t h ì tỉ số

4 ( A ) = ị

được gọi là tần suất xuất hiện A trong n p h é p thử Ngưòi ta

nhận thấy r ự n g khi số p h é p t h ử n t ă n g ra vô hạn t h ì t ầ n suất

f (A) luôn dần t ớ i m ộ t giới hạn xác định Giới hạn đó là xác

suất của A

§2 CÁC QUY T Ắ C TÍNH XÁC S U Ấ T

a) Quy t á c c ộ n g

Hai biến cố A và B được gọi là xung khác với nhau nếu c h ú n g

k h ô n g bao giờ xảy ra đổng thời