Bài giảng Xác suất thống kê A - ĐH Phạm Văn Đồng

Tổ Toán LỦ ậ Khoa C B n Tháng 12 năm 2013.. Bổătúcăv ăgi iătíchătổăh p[r]

1

ttt

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

TR NăĐ CăTH NH

BÀIăGI NG XÁCăSU TăTH NGăKểăA

TổăToánăLỦăậ KhoaăC ăB n Thángă12ănĕmă2013

2

YăBANăNHỂNăDỂNăT NHăQU NGăNGẩI

TR NăĐ CăTH NH

BÀIăGI NG XÁCăSU TăTH NGăKểăA

Tổ Toán LỦ ậ Khoa C B n Tháng 12 năm 2013

3

L IăNịIăĐ U

LỦ thuy t xác su t th ng kê lƠ m t b ph n c a toán h c, nghiên c u các hiện t ng ng u nhiên vƠ ng d ng chúng vƠo th c t Ta có th hi u hiện t ng

ng u nhiên lƠ hiện t ng không th nói tr c nó x y ra hay không x y ra khi th c hiện m t l n quan sát Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát khá nhi u l n m t hiện

t ng ng u nhiên trong các phép thử nh nhau, ta có th rút ra đ c nh ng k t lu n khoa h c v hiện t ng nƠy

LỦ thuy t xác su t cũng lƠ c s đ nghiên c u Th ng kê là môn h c nghiên

c u các ph ng pháp thu th p thông tin ch n m u, xử lỦ thông tin, nhằm rút ra các

k t lu n ho c quy t đ nh c n thi t NgƠy nay, v i s h tr tích c c c a công nghệ truy n thông m i, lỦ thuy t xác su t th ng kê ngƠy cƠng đ c ng d ng r ng rƣi vƠ hiệu qu trong m i lĩnh v c khoa h c t nhiên vƠ xƣ h i Chính vì v y lỦ thuy t xác

su t th ng kê đ c gi ng d y cho h u h t các nhóm ngƠnh cao đẳng vƠ đ i h c

Có nhi u sách giáo khoa vƠ tƠi liệu chuyên kh o vi t v lỦ thuy t xác su t

th ng kê Tuy nhiên, v i ph ng th c đƠo t o theo tín ch có nh ng đ c thù riêng, đòi h i sinh viên ph i t h c nhi u h n, vì v y c n ph i có tƠi liệu h ng d n h c

t p c a từng môn h c thích h p cho ph ng th c đƠo t o nƠy T p tƠi liệu “Bài

gi ng xác su t th ng kê A” đ c biên so n cũng nhằm m c đích trên

BƠi gi ng nƠy đ c biên so n cho hệ cao đẳng ngƠnh s ph m Toán theo đ

c ng chi ti t h c ph n qui đ nh c a tr ng đ i h c Ph m Văn Đ ng N i dung c a bƠi gi ng bám sát các giáo trình c a d án đƠo t o giáo viên trung h c c s và theo kinh nghiệm gi ng d y nhi u năm c a b n thơn Vì v y, bƠi gi ng nƠy cũng có th dùng lƠm tƠi liệu h c t p, tƠi liệu tham kh o cho sinh viên c a các ngành cao đẳng

s ph m, cao đẳng kh i kinh t , kỹ thu t và các ngành c a b c đ i h c

BƠi gi ng g m 8 ch ng t ng ng v i 3 tín ch (45 ti t tín ch ):

Ch ngă1 Bi n c vƠ xác su t

Ch ngă2 Bi n ng u nhiên vƠ hƠm phơn ph i

Ch ngă3 Các đ c tr ng c a bi n ng u nhiên

Ch ngă4 Lu t s l n vƠ đ nh lỦ gi i h n trung tâm

Ch ngă5.ăLỦ thuy t m u

4

Ch ngă6 c l ng tham s

Ch ngă7.ăKi m đ nh gi thi t

Ch ngă8 H i quy vƠ t ng quan

BƠi gi ng đ c trình bƠy theo cách phù h p đ i v i ng i t h c, đ c biệt

ph c v đắc l c cho công tác đƠo t o theo h c ch tín ch Tr c khi nghiên c u các

n i dung chi ti t, sinh viên nên xem ph n gi i thiệu c a m i ch ng đ th y đ c

m c đích Ủ nghĩa, yêu c u chính c a ch ng đó Trong m i ch ng, m i n i dung, sinh viên có th t đ c vƠ hi u đ c c n k thông qua cách diễn đ t và ch d n rõ rƠng Đ c biệt sinh viên nên chú Ủ đ n các nh n xét, bình lu n đ hi u sơu h n ho c

m r ng tổng quát h n các k t qu vƠ h ng ng d ng vƠo th c t H u h t các bƠi toán đ c xơy d ng theo l c đ : đ t bƠi toán, ch ng minh s t n t i l i gi i bằng

lỦ thuy t vƠ cu i cùng nêu thu t toán gi i quy t bƠi toán nƠy Các ví d lƠ đ minh

ho tr c ti p khái niệm, đ nh lỦ ho c các thu t toán, vì v y s giúp sinh viên dễ dƠng h n khi ti p thu bƠi h c Có kho ng từ 10 đ n 20 bƠi t p cho m i ch ng Hệ

th ng bƠi t p nƠy bao trùm toƠn b n i dung vừa đ c h c, có nh ng bƠi t p ch v n

d ng tr c ti p các ki n th c vừa đ c h c nh ng cũng có nh ng bƠi t p đòi h i sinh viên ph i v n d ng m t cách tổng h p vƠ sáng t o các ki n th c đ gi i quy t Vì

v y, qua việc gi i các bƠi t p nƠy giúp sinh viên nắm chắc h n lỦ thuy t vƠ ki m tra

đ c m c đ ti p thu lỦ thuy t c a mình Cu i m i ch ng đ u có ph n h ng d n

t h c

M c dù chúng tôi đƣ r t c gắng, song do th i gian b h n hẹp cùng v i yêu

c u c p bách c a khoa vƠ tr ng, vì v y các thi u sót còn t n t i trong bƠi gi ng là

đi u khó tránh kh i Chúng tôi r t mong đ c s đóng góp Ủ ki n c a b n bè đ ng

nghiệp, sinh viên đ ti p t c hoƠn ch nh bƠi gi ng t t h n (M i đóng góp Ủ ki n xin

g i v đ a ch mail: tdthinh@pdu.edu.vn, chúng tôi r t c m kích vƠ bi t n)

Cu i cùng chúng tôi bƠy t s cám n đ i v i các th y cô giáo tổ Toán Lý, Ban ch nhiệm khoa C B n tr ng đ i h c Ph m Văn Đ ng vƠ b n bè đ ng nghiệp đƣ khuy n khích đ ng viên, t o nhi u đi u kiện thu n l i đ chúng tôi hoàn thƠnh t p bƠi gi ng này

5

Ch ngă1

BI NăC ăVÀăXÁCăSU T A.ăN IăDUNGăBÀIăGI NG

Các hiện t ng trong t nhiên hay xƣ h i x y ra m t cách ng u nhiên (không

bi t tr c k t qu ) ho c t t đ nh (bi t tr c k t qu s x y ra) Chẳng h n ta bi t chắc chắn rằng m t v t đ c th từ trên cao chắc chắn s r i xu ng đ t Đó lƠ nh ng hiện t ng diễn ra có tính quy lu t, t t đ nh Trái l i khi tung đ ng xu ta không bi t

m t s p hay m t ngửa s xu t hiện Ta không th bi t có bao nhiêu cu c g i đ n tổng đƠi, có bao nhiêu khách hƠng đ n đi m ph c v trong kho ng th i gian nƠo đó

Ta không th xác đ nh tr c ch s ch ng khoán trên th tr ng ch ng khoán Đó lƠ

nh ng hiện t ng ng u nhiên Tuy nhiên, n u ti n hƠnh quan sát khá nhi u l n m t hiện

t ng ng u nhiên trong nh ng hoƠn c nh nh nhau, thì trong nhi u tr ng h p ta có

th rút ra nh ng k t lu n có tính quy lu t v nh ng hiện t ng nƠy LỦ thuy t xác

su t nghiên c u các qui lu t c a các hiện t ng ng u nhiên Việc nắm bắt các quy

lu t nƠy s cho phép d báo các hiện t ng ng u nhiên đó s x y ra nh th nƠo Chính vì v y các ph ng pháp c a lỦ thuy t xác su t đ c ng d ng r ng rƣi trong việc gi i quy t các bƠi toán thu c nhi u lĩnh v c khác nhau c a khoa h c t nhiên,

kỹ thu t vƠ kinh t - xƣ h i

Ch ng nƠy ôn l i lỦ thuy t t p h p, gi i tích tổ h p vƠ trình bƠy m t cách có

hệ th ng các khái niệm vƠ các k t qu chính v lỦ thuy t xác su t:

- Ọn vƠ hệ th ng các ki n th c v lỦ thuy t t p h p vƠ gi i tích tổ h p

- Các khái niệm phép thử, bi n c

- Quan hệ gi a các bi n c

- Các đ nh nghĩa v xác su t: đ nh nghĩa xác su t theo cổ đi n, theo th ng kê, theo hình h c vƠ theo hệ tiên đ

- Các tính ch t c a xác su t: công th c tổng (c ng) xác su t, xác su t c a bi n

c đ i l p

- Xác su t có đi u kiện, công th c nhơn, công th c xác su t đ y đ vƠ công

th c Bayes

- Dƣy phép thử Bernoulli vƠ xác su t nh th c

6

Khi nắm v ng các ki n th c v đ i s t p h p nh h p, giao t p h p, t p con,

ph n bù c a m t t p con  sinh viên s dễ dàng trong việc ti p thu, bi u diễn ho c mô

t các bi n c Đ tính xác su t các bi n c theo ph ng pháp cổ đi n đòi h i ph i

tính s các tr ng h p thu n l i đ i v i bi n c vƠ s các tr ng h p có th Vì v y

sinh viên c n nắm v ng các ph ng pháp đ m - gi i tích tổ h p Tuy nhiên đ thu n

l i cho ng i h c chúng tôi s nhắc l i các k t qu chính trong m c 1.1

M t trong nh ng khó khăn c a bƠi toán xác su t lƠ xác đ nh đ c bi n c vƠ

sử d ng đúng các công th c thích h p Bằng cách tham kh o các ví d vƠ gi i nhi u

bƠi t p s rèn luyện t t kỹ năng nƠy

1.1.1.1 T p h p vƠ ph n tử c a t p h p

a) T p h p con: A  B  (    x A x B)

b) T p h p bằng nhau: A = B  A  B và B  A

c) T p r ng lƠ t p h p không ch a ph n tử nƠo KỦ hiệu: ϕ

d) Không gian: T p l n nh t c đ nh mƠ m i t p h p đ c xét đ u ch a trong nó

KỦ hiệu: U

e) Cách mô t m t t p h p: liệt kê, d u hiệu đ c tr ng

f) T p h p h u h n vƠ t p h p vô h n (vô h n đ m đ c vƠ không đ m đ c)

1.1.1.2 Các phép toán trên t p h p

a) H p: H p c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p, kí hiệu A  B, sao cho:

x x A, B x A

x B





      b) Giao: Giao c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hiệu A  B, sao cho:

x x, A B x A

x B





c) Hiệu: Hiệu c a hai t p h p A vƠ B lƠ m t t p h p , kí hiệu A\ B, sao cho:

x x, A B\ x A

x B





* Ph n bù c a t p h p: A U \ A

7

d) Hiệu đ i x ng: A B (A B\ )(B A\ )

1.1.1.3 Các tính ch t c a các phép toán trên t p h p

a) Lu t luỹ đẳng: A  A A ; A  AA

b) Lu t k t h p: ( ) ( ) ;

A B C A B C

A B C A B C

c) Lu t giao hoán: AB  B A ; AB  BA

d) Lu t phơn ph i: ( ) ( ) ( ) ;

( ) ( ) ( )

     

     

e) Lu t đ ng nh t: AA ; A ; AUU ; AUA

f) Lu t ph đ nh c a ph đ nh (lu t đ i h p): A  A g) Lu t thƠnh ph n: AAU ; AA ; U ; U h) Lu t Demorgan: AB  A  B ; AB  A  B

1.1.1.4 Tích Đ các (Descartes)



( , ) / ,

A B a b aA bB

+ Hai ph n tử bằng nhau: ( a, b ) = ( c, d )  a = c và b = d

+ Qui c: AA

1.1.1.5 Đ m các ph n tử c a t p h p h u h n (B n s c a t p h p h u h n)

a) B n s c a t p h p h u h n A lƠ s ph n tử c a t p h p A, kí hiệu lƠ n(A)

b) Gi sử A vƠ B lƠ hai t p h p h u h n Khi đó:

 A  B cũng h u h n vƠ n(A  B ) = n(A) + n(B) - n( A  B )

 N u A B = ϕ thì : n(A  B ) = n(A) + n(B)

 N( A \ B ) = n( A ) - n( A  B )

Đ c biệt: N u A B thì n(A \ B) = n(A) - n(B)

 Gi sử U lƠ không gian vƠ AU lƠ t p h p h u h n thì: n(A ) = n(U) - n(A)

 n(A  B) = n(A) + n(B) ậ 2n(A B)

 AB lƠ t p h p h u h n vƠ n(AB) = n(A) n(B) c) Gi sử A1, A2, A3, ầ , Am lƠ nh ng t p h p h u h n Khi đó:

n(A1  A2  A3  ầ  Am ) = n( A1)  n(A2)  n(A3)  ầ  n(Am) 1.1.1.6 Luỹ thừa t p h p, phân ho ch, � - đ i s các t p con

8

a) Luỹ thừa t p h p:

T p h p t t c các t p con c a t p S đ c g i lƠ luỹ thừa t p h p c a S vƠ kí hiệu

là ρ(S) S các ph n tử c a ρ( (S) là n(ρ(S)) = 2n(S) V i n(S) lƠ s ph n tử c a S b) Phơn ho ch c a t p h p:

Cho S lƠ t p khác r ng Ta nói phơn ho ch c a t p h p S lƠ t p h p các t p h p

A1,A2,A3,ầ,An ầ khác t p h p r ng sao cho:

1) M i a  S, ta suy ra a  AinƠo đó, i = 1,2,3,ầ,n,ầ 2)

i j

A A

   ; i ,j = 1, 2, , n,ầ c) Đ i s (� - đ i s )

Gi sử  lƠ t p khác r ng Kí hiệu A lƠ t p các t p con c a  đ c g i là

đ i s (� - đ i s ) các t p con c a  n u tho mƣn các đi u kiện sau:

1)   A

2) N u A  A thì A = \ A  A 3) N u A1,A2,A3,ầ,An  A thì A1 A2 A3 ầ An  A

( N u A1,A2,A3,ầ,An ,  A thì

1









i i

A A )

1.1.2.1 Tổ h p

a) G i m t tổ h p ch p k c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p con g m k ph n tử

c a t p h p g m n ph n tử đƣ cho (0 k  n) S các tổ h p ch p k khác nhau c a

n ph n tử đ c kí hiệu lƠ k

n

C (ho c nCk) và tính theo công th c:

!

k n

n

k n k



b) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên cùng lúc ra k ph n tử sao cho hai cách l y đ c g i lƠ khác nhau n u gi a chúng có ít nh t m t ph n tử khác nhau S cách l y nh v y chính lƠ s tổ h p ch p k khác nhau c a n ph n tử đƣ cho

c) Ví d

1) Trong m t l p h c có 25 h c sinh H i có bao nhiêu cách ch n m t l n 5 h c sinh b t kỳ?

9

2) Cho m t đa giác l i có 20 đ nh H i đa giác đó có bao nhiêu đ ng chéo?

Gi i:

1) M i cách ch n (không có sắp th t ) 5 h c sinh trong m t l p h c lƠ m t tổ h p

ch p 5 c a 25 ph n tử (h c sinh) nên s cách ch n 5 h c sinh trong l p đó chính bằng s tổ h p ch p 5 c a 25 ph n tử:

53130 1

2 3 4 5

21 22 23 24 25

! 20

! 5

! 25

C525       2) N u ta n i 2 đ nh b t kỳ c a đa giác ta s đ c m t c nh ho c m t đ ng chéo, nên m i c nh ho c m i đ ng chéo đ c xem lƠ m t tổ h p ch p 2 c a 20 ph n tử (đ nh) Do đó tổng s c nh vƠ s đ ng chéo c a đa giác l i có 20 đ nh lƠ tổ h p

1 2

19 20

! 18

! 2

! 20







Suy ra s đ ng chéo c a đa giác đó là 190 ậ 20 = 170

d) Tính ch t c a tổ h p

1) CknCnn k 2) CknCkn1Ckn11; n1 3) ; n 1

k

n C

Ckn kn11  1.1.2.2 Ch nh h p không l p

a) M t ch nh h p không l p ch p k (0 k  n) c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p con có th t g m k ph n tử trong n ph n tử Hai ch nh h p không l p ch p k c a n

ph n tử đƣ cho đ c g i lƠ khác nhau n u có ít nh t m t ph n tử khác nhau ho c có

th t khác nhau S các ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n tử đƣ cho đ c kí hiệu Ak

n (ho c A(n,k);nAk) vƠ tính theo công th c:

) 1 k n ) (

1 n (





k)!

-(n

n!

Ak n

b) L y ng u nhiên ra k ph n tử từ m t t p h p g m n ph n tử sao cho hai cách l y

đ c g i lƠ khác nhau n u gi a chúng ho c có ít nh t m t ph n tử khác nhau ho c

th t l y ra c a các ph n tử lƠ khác nhau S cách l y ra k ph n tử nh v y đ c

g i lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n tử đƣ cho

10

c) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên l n l t từng ph n tử m t không hoƠn l i k l n S cách l y nh v y chính lƠ s ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n tử

d) Ví d

1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 H i có bao nhiêu s g m 3 ch s khác nhau l y từ

5 ch s trên?

2) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s khác nhau?

Gi i:

1) S các s khác nhau g m 3 ch s l y từ năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 bằng s ch nh

h p không l p ch p 3 c a 5 ph n tử (ch s ): 5 4 20

)!

3 5 (

! 5

A35   



2) M t s có 3 ch s khác nhau (k c s có ch s 0 đ ng tr c) đ c xem lƠ

ch nh h p không l p ch p 3 c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do

đó s các s có 3 ch s khác nhau (k c s có ch s 0 đ ng tr c) lƠ:

720 8 9 10 )!

3 10 (

! 10

A103    



M t khác ta có m i s có 3 ch s khác nhau mƠ ch s 0 đ ng tr c lƠ m t ch nh

h p không l p ch p 2 c a 9 ph n tử (9 ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do đó s các

s có 3 ch s khác nhau mƠ ch s 0 đ ng tr c lƠ: 9 8 72

)!

2 9 (

! 9

A92   



V y s các s t nhiên có 3 ch s khác nhau lƠ: 720 ậ 72 = 648

1.1.2.3 Ch nh h p l p

a) Ta g i ch nh h p l p ch p k ( 0  k  n ) c a n ph n tử đƣ cho lƠ m t t p h p có

th t g m k ph n tử l y từ n ph n tử đƣ cho, mƠ ph n tử c a t p đó có th có m t nhi u nh t lƠ k l n Kí hiệu s các ch nh h p l p ch p k khác nhau c a n ph n tử đƣ cho là Pk

n (ho c P(n,k)ho c nPkvƠ đ c tính theo công th c: Pk nk

n  b) Từ m t t p h p g m n ph n tử l y ng u nhiên l n l t từng ph n tử m t có hoƠn

l i k l n S cách l y nh v y chính lƠ s ch nh h p l p ch p k khác nhau c a n

ph n tử

11

c) Ví d

1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu s có 3 ch s l y từ 5 ch s trên? 2) Có bao nhiêu s t nhiên có 3 ch s ?

3) M t đoƠn tƠu có 3 toa (m i toa còn trên 12 ch ) H i có bao nhiêu cách phân

ng u nhiên 12 hƠnh khách lên 3 toa tƠu?

Gi i:

1) S các s g m 3 ch s l y từ năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 bằng s ch nh h p l p

ch p 3 c a 5 ph n tử (ch s ): P3553 125

2) M t s có 3 ch s (k c s có ch s 0 đ ng tr c) đ c xem lƠ ch nh h p l p

ch p 3 c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do đó s các s có 3

ch s khác nhau (k c s có ch s 0 đ ng tr c) lƠ: P103 1031000

M t khác ta có m i s có 3 ch s mƠ ch s 0 đ ng tr c lƠ m t ch nh h p không l p ch p 2 c a 10 ph n tử (10 ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Do đó s các

s có 3 ch s mƠ ch s 0 đ ng tr c lƠ: P102 103100

V y s các s t nhiên có 3 ch s là: 1000 ậ 100 = 900

3) Vì m i hƠnh khách có th phơn ng u nhiên m t trong 3 toa I, II, III Nghĩa lƠ m i hành khách có 3 cách ch n, đo đó s cách phơn ng u nhiên 12 hƠnh khách lên 3 toa tƠu chính bƠng s ch nh h p l p 12 c a 3 ph n tử (toa tƠu): 12 12

P  1.1.2.4 Hoán v

a) Gi sử ta có n ph n tử m i cách sắp x p c a n ph n tử theo m t th t nƠo đó lƠ

m t hoán v c a n ph n tử S các hoán v khác nhau c a n ph n tử bằng n!

b) Gi sử ta có n ph n tử đ c sắp x p n v trí Ta đổi ch các ph n tử cho nhau

S cách đổi ch c a n ph n tử cho nhau đ c g i lƠ s hoán v c a n ph n tử đ c

kí hiệu Pn vƠ đ c tính theo công th c: Pn = n! = n( n ậ 1 ) ầ 2.1

c) Ta có n ph n tử vƠ n v trí, x p n ph n tử vƠo n v trí đƣ cho sao cho m i ch ch

có m t ph n tử S cách sắp x p nƠy bằng s các hoán v khác nhau c a n ph n tử d) Ví d

1) Cho năm ch s 1, 2, 3, 4, 5 H i có bao nhiêu s g m 5 ch s khác nhau l y từ

5 ch s trên?