Töø “Lyù thuyeát ñaøn hoài” chuùng ta ñaõ xem xeùt öùng suaát vaø bieán daïng vaät theå ñaøn hoài, trong ñoù coù caû caùc baøi toaùn phaúng ôû traïng thaùi bieán daïng phaúng vaø traïn[r]
Trang 16.6 Biến dạng phẳng và ứng suất phẳng
Từ “Lý thuyết đàn hồi” chúng ta đã xem xét ứng suất và biến dạng vật thể đàn hồi, trong đó có cả các bài toán phẳng ở trạng thái biến dạng phẳng và trạng thái ứng suất phẳng Trong sơ đồ chung có thể trình bày các trạng thái đó nằm vào vị thế sau đây:
Trạng thái biến dạng phẳng
trong mặt xOy
ε Z = 0
Lý thuyết cổ điển
u=u(x, y);
v= v(x, y);
w = 0;
εz = τ xz = τ yz = 0
Xoắn St Venant
U =-yφ z
V = xφ z
w = w(x, y)
εx = ε y = ε z = τ xy = 0
Màng mỏng
u = u (x, y)
v = v (x, y)
τxz= τ yz = σ z = 0
Tấm chịu uốn
u = u.α(x, y)
v = v.α(x, y)
w = w (x, y)
σz = 0
Trạng thái ứng suất phẳng trong mặt xOy
σ Z = 0
Vật thể 3D, trong hệ tọa độ Đề các (x,y,z)
Ví dụ về trạng thái biến dạng phẳng giới thiệu tại hình 1 Trạng thái ứng suất phẳng trong trường hợp màng mỏng và dầm giới thiệu tại hình 2
Hình 1 Trạng thái biến dạng phẳng
Hình 2 Trạng thái ứng suất phẳng
Trang 2Tấm mỏng và vỏ mỏng xem xét trong trạng thái ứng suất phẳng như minh họa tại hình 3
Hình 3 Trạng thái ứng suất phẳng trong tấm và vỏ
Trong trường hợp dùng hệ tọa độ trụ chúng ta còn gặp bài toán phẳng khi làm việc với vật tròn xoay, hình 4
Hình 4 Vỏ mỏng đối xứng qua trục đứng hệ tọa độ trụ
Trang 3Trong bài toán giành cho trạng thái phẳng phương trình chuyển vị u(x,y) và
v(x,y) được viết dưới dạng chung: U= Pa
với U = u x y và a =
v x y
( , ) ( , )
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
a a
a n
1 2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
Hàm chuyển vị được tính theo cách quen thuộc:U = [N] {δ }
với [N] - hàm hình dáng N(x,y), còn chuyển vị các nút {δ } =
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
n n
u u
v
v M
1 1
Trường hợp biến dạng phẳng, vector biến dạng được viết như sau:
{ε} = =
ε ε γ
x y xy
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
x
v y u y v x u
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x y y x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0
0
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ v
u
Từ đó B =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
] [ ] [
] [ 0
0 ] [
N x
N y
N y
N x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(b)
Và vector ứng suất phẳng:
τ
x y xy
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
ε ε γ
ε
x y xy
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟ { 0}
Trong đó matrận cứng [D] được xác định cho mỗi loại vật liệu
Trạng thái biến dạng phẳng
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
y x
ν
ν σ
ν
1
Trang 4εx = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
x y
ν
ν σ
ν
1
γxy =
Phương trình thế năng:
−
) (
1
2 2
2
y x xy
y x
ν σ
σ
[C] = 1 + ν
E
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
2 0 0
0 1
0 1
ν ν
ν ν
[D] =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− +
2
2 1 0 0
0 1
0 1
) 2 1 )(
1
ν ν ν ν
Trạng thái ứng suất phẳng
Trạng thái ứng suất phẳng áp dụng cho các vật thể mỏng như tấm mỏng, ứng suất tác động theo phương pháp tuyến lên một mặt của hệ tọa độ bằng 0, còn các ứng suất khác phụ thuộc vào toạ độ điểm tác động, ví dụ:
Quan hệ giữa biến dạng và ứng suất có dạng:
εx = 1 ( x 12 y)
x
E σ −ν σ ;
εy = 1 ( y 21 x)
y
E σ −ν σ ;
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
y x
E
Exσ ν σ
và:
1 12 21 x 21 y
x
ν
−
1 12 21 y 12 x
y
E
ε ν ε ν
−
Trang 5Dưới dạng ma trận, các ma trận [C] và [D] dùng trong trạng thái ứng suất phẳng chứa các thành phần khác nhau, tùy thuộc tính chất vật liệu:
[C] của vật liệu trực hướng:
[C] =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
xy
y x yx
y xy
x
G
E E
E E
1 0 0
0 1
0 1
ν
ν
với vật liệu đẳng hướng:
[C] =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
) 1 ( 2 0 0
0 1
0 1
1
ν ν
ν
[D] cho vật liệu trực hướng:
[D] =
yx
xyν ν
− 1
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1 ( 0
0
0 0
yx xy xy
y y xy
x yx x
G
E E
E E
ν ν ν
ν
(l) với vật liệu đẳng hướng:
[D] = E
1 − ν2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− 2
1 0 0
0 1
0 1
ν ν
ν
Hàm thế năng đơn vị:
2
y x xy
y x
Ưùng suất chính trong trạng thái ứng suất phẳng tính theo công thức:
4 2
1
y
σ
+ +
±
+
;
σz = 0
Trường hợp vật tròn xoay
Quan hệ biến dạng-ứng suất vật thể tròn xoay được thể hiện:
ε = [C].σ + ε 0
Trang 6dNr(3:3:r2+2,7)= (1+xsi).*(1+eta); dNr(3:3:r2+2,8)=
(1-xsi).*(1+eta);
dNr=dNr/8.;
% - three dimensional case -
[rowes,colD]=size(es);
rowex=size(ex,1);
if rowex==1 incie=0; else incie=1; end
ef=[]; ir=0; ie=1;
for ied=1:rowes/ngp
JT=dNr*[ex(ie,:);ey(ie,:);ez(ie,:)]';
indx=[1:3]';
fint=zeros(24,1);
for i=1:ngp
ir=ir+1;
detJ=det(JT(indx,:));
if detJ<10*eps
disp( 'Jacobideterminant equal or less than zero!' )
end
JTinv=inv(JT(indx,:));
dNx=JTinv*dNr(indx,:);
B(1,1:3:24-2)=dNx(1,:);
B(2,2:3:24-1)=dNx(2,:);
B(3,3:3:24) =dNx(3,:);
B(4,1:3:24-2)=dNx(2,:);
B(4,2:3:24-1)=dNx(1,:);
B(5,1:3:24-2)=dNx(3,:);
B(5,3:3:24) =dNx(1,:);
B(6,2:3:24-1)=dNx(3,:);
B(6,3:3:24) =dNx(2,:);
fint=fint+B'*es(ir,:)'*wp(i)*detJ;
indx=indx+3;
end
ef=[ef; fint'];
ie=ie+incie;
end
Ví dụ trình bày tiếp dưới đây là trích đoạn phép tính ứng suất trong tấm đỡ ách trạm chứa dầu không bến, hoạt động tại vùng biển Việt nam Chi tiết mang tên gọi”tấm tam giác” trên hai trạm khác nhau đã hỏng sau thời gian khai thác chỉ mười năm Phân tích ứng suất trong tấm tam giác cho phép những người phân tích có cơ sở xác định độ bền mỏi chi tiết Điều có thể bổ sung cho phần này là, phương pháp PTHH không chỉ cần cho nghiên cứu độ bền kết cấu mà còn cho nhiều lĩnh vực khác nữa
Kết quả tính theo phần mêm SAP trích dẫn tại đây như tài liệu tham khảo Đơn vị dùng tại bảng tính này: lực tính theo kG, độ dài tính bằng cm
CHUYỂN VỊ NÚT
Trang 7JOINT UX UY UZ RZ
49 0.000118 3.26E-05 -0.002111.000000
50 -0.001648 -3.14E-05 -0.002691.000000
51 -0.001933 -2.10E-05 -0.002194.000000
52 -0.000807 7.99E-05 -0.003042.000000
58 -0.001259 0.000108 -0.003435.000000
59 -0.002007 0.000142 -0.002356.000000
60 -0.001614 0.000130 -0.002203.000000
61 -0.000112 -1.77E-05 -0.001507.000000
ỨNG SUẤT
JOINT S11 S22 S33 S12 S13 S23
50 11.671502 18.395420 32.785532 -7.052521 26.188172 3.131088
49 -49.377835 -15.772953 20.653697 8.018777 14.802751 6.596793
60 7.701563 -9.643191 53.301148 -8.832431 19.021168 -9.738369
61 -42.125803 10.081400 65.608593 15.490180 4.525401 -3.126830
JOINT S-MAX S-MID S-MIN MAX-1 MAX-2 MAX-3 MIN-1 MIN-2 MIN-3
50 50.523169 20.510976 -8.181691.564 -.043.825.800.275 -.533
49 25.258231 -16.215789 -53.539532.211.195.958.968 -.175 -.178
60 62.263352 2.499525 -13.403357.349 -.168.922.360.932.033
61 65.912686 14.267618 -46.616115.035 -.046.998.963 -.266 -.046