Bài giảng Toán rời rạc: Chương 4 - Nguyễn Anh Thi

Noäi dung Heä thöùc ñeä quy tuyeán tính vôùi heä soá haèng Nghieäm cuûa heä thöùc ñeä quy tuyeán tính thuaàn nhaát Nghieäm cuûa heä thöùc ñeä quy tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát.. Noäi d[r]

Trang 1

Bài giảng môn

học Toán Rời

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến

tính với hệ số hằng

Nghiệm của hệ thức

đệ quy tuyến tính

thuần nhất

Nội dung

Bài giảng môn học Toán Rời Rạc

Nguyễn Anh Thi

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2017

Trang 2

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Chương 4 Hệ thức đệ quy

Trang 3

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Nghiệm của hệ thức đệ quy tuyến tính không thuần nhất

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng Nghiệm của hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất Nghiệm của hệ thức đệ quy tuyến tính không thuần nhất

Trang 4

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ

số hằng

Định nghĩa

thức có dạng

a0xn+a1xn−1+ · · · +a k x n−k =fn

trong đó

• a0 6= 0, a1,a2, ,a k là các hệ số thực,

• {fn} là một dãy các số thực cho trước,

Trang 5

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Trường hợp dãy fn= 0 với mọin thì hệ thức trên trở thành

a0xn+a1xn−1+ · · · +a k x n−k= 0(∗)

và ta gọi (∗) làhệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất cấp k với

hệ số hằng

Ví dụ

• 2xn+ 3xn−1+ 5xn−2=n2+ 1

• xn+2 − xn+1+xn= 0

• xn+xn−1 − 2xn−2= 3n(n3+ 1)

Trang 6

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Định nghĩa

Mỗi dãy {xn} thỏa mãn hệ thức

a0xn+a1xn−1+ · · · +a k x n−k =fn

được gọi là một nghiệm của hệ thức đó.

Ta thấy mỗi nghiệm {xn} của hệ thức trên được hoàn toàn xác

định bởi k giá trị ban đầu x0,x1, ,x k−1

Họ dãy số {xn=xn(C1,C2, ,C k)} phụ thuộc vào k họ tham số C1,C2, ,Ck được gọi lànghiệm tổng quát nếu mọi dãy của họ này đều là nghiệm

Trang 7

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Với k giá trị ban đầu y0,y1, ,yk−1 tồn tại duy nhất các giá trị

của k tham số C1,C2, ,C k sao cho nghiệm {xn} tương ứng thỏa

x0=y0,x1=y1, ,xk−1=yk−1 Khi đó nghiệm xn tương ứng được gọi là nghiệm riêng ứng với điều kiện ban đầu

Chú ý

Giải một hệ thức đệ quy là đi tìm nghiệm tổng quát của nó Nếu hệ thức đệ quy có đi kèm điều kiện ban đầu, ta phải tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu đó.

Ví dụ

• 2xn − 3xn−1= 0 có nghiệm tổng quát là xn=C(32)n

•



 xn − 5xn−1+ 6xn−2= 0;

x0 = 4; có nghiệm là xn= 3.2n+ 3n

Trang 8

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Nghiệm của hệ thức đệ quy tuyến

tính thuần nhất

Định nghĩa

Xét hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất

a0xn+a1xn−1+ · · · +a k x n−k = 0

k định bởi

a0λk+a1λk−1+ · · · +ak= 0

Trang 9

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

• Với k = 1, phương trình đặc trưng trở thành a0λ +a1= 0,

và có nghiệm là λ0= −a1

a0.Khi đó hệ thức đệ quy có nghiệm tổng quát làx n=C.λ n

0

• Với k = 2, phương trình đặc trưng trở thành

a0λ2+a1λ +a2= 0

• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt

λ1, λ2 thì hệ thức đệ quy có nghiệm tổng quát là

x n=C1.λn1+C2.λn2.

• Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực λ0 thì hệ thức đệ quy có nghiệm tổng quát làx n= (C1+nC2).λn0.

• Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp được viết dưới dạng λ =r(cos ϕ ± i sin ϕ)thì hệ thức đệ quy có nghiệm tổng quát làx n=r n(A cos nϕ + B sin nϕ).

Trang 10

Rạc

Nguyễn Anh

Thi

Nội dung

thuần nhất

Nội dung

Hệ thức đệ quy tuyến tính với hệ số hằng

Nghiệm của hệ thức đệ quy tuyến tính thuần nhất

Ví dụ

Giải hệ thức đệ quy

xn − 2xn−1= 0

x0= 5

Tìm nghiệm của



xn= 5xn−1− 6xn−2;

x0= 4;

x1= 9

Nghiệm xn= 3.2n+ 3n

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	178,9 KB