Trong thöïc teá tính toaùn coù theå thaáy roõ raèng, phöông phaùp chuyeån vò trong nhoùm phöông trình vi phaân lieân heä gaén boù ñeán möùc khoâng taùch rôøi nguyeân lyù theá naêng[r]
Trang 1CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Trong phần bàn về cơ học kết cấu, hai nhóm phương pháp số xây dựng bài
toán cơ học kết cấu đã được đề cập: phương pháp thành lập phương trình vi phân và
phương pháp biến phân Nhóm thứ nhất bao gồm ba phương pháp chúng ta đã sử
dụng trong phần I giáo trình, phương pháp chuyển vị, phương pháp lực và phương pháp hỗn hợp chuyển vị – lực; nhóm thứ hai thuộc về các phương pháp năng lượng, nền
tảng của cơ học kết cấu, gồm các nguyên lý:
- Nguyên lý tổng thế năng tối thiểu
- Nguyên lý công bù nhỏ nhất
- Nguyên lý công dừng do Reissner đề xuất giành cho hàm năng lượng
Hai phương pháp xây dựng bài toán cơ học kết cấu
1/ Phương pháp phương trình vi phân 2 Phương pháp biến phân
Phương pháp chuyển vị Nguyên lý thế năng tối thiểu
Phương pháp lực Nguyên lý công bù nhỏ nhất
Phương pháp chuyển vị-lực Nguyên lý Reissner
Trong thực tế tính toán có thể thấy rõ rằng, phương pháp chuyển vị trong nhóm phương trình vi phân liên hệ gắn bó đến mức không tách rời nguyên lý thế năng tối thiểu, phương pháp lực có chung gốc nguyên lý công bù nhỏ nhất, trong khi đó phương pháp hỗn hợp chuyển vị – gần gũi với nguyên lý công dừng của Reissner Các phương trình vi phân xây dựng theo phương pháp lực, phương pháp chuyển vị và phương pháp hỗn hợp trình bày tóm tắt như sau:
Từ phương trình cân bằng:
có thể viết dạng chung: D
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0 0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
Bz By Bx
yz zx xy
z y x
y z z
z x
y
x y x
f f f
τ τ τ
σ σ σ
L M
M M
T σ + f B = 0 Định luật Hooke trình bày theo quan hệ: σ
= Cε hoặc ngược lại ε = E.σ, hay là ε = C -1σ
Áp dụng nguyên lý công ảo giải phương trình cân bằng D T σ + p v = 0 trong miền V, cùng các điều kiện biên: p = p * hay là p - p * = 0 tại biên Sp, có thể viết:
* T
V T
δ
Trang 2Biên S có thể coi là tập họp từ hai biên: S = Sp + Su, tại Su điều kiện biên thuộc chuyển vị u được áp đặt Tích phân thứ hai phương trình cuối được viết thành:
T T
S
T
u p
dS u p dS u p dS u
Nguyên lý thế năng tối thiểu
Thay thế quan hệ ε = Du và δε = Dδu tại V, nêu tại phần đầu tài liệu, vào phương trình trên đây, cùng điều kiện biên δu = 0 tại Su có thể viết:
T V
T
Phương trình dạng này về mặt hình thức chứa ứng suất và chuyển vị, mặc dầu chuyển vị là ẩn cơ bản Để chuyển phương trình về hẵn dạng chỉ chứa chuyển vị cần thiết tiến hành các bước biến đổi như chúng ta đã thực hiện trong phần đầu sách Với
vật liệu đàn hồi, σ = Eε, có thể sử dụng quan hệ động học ε = Du khi xác định ứng suất: σ = Eε = E(Du) = ED u u
Vì rằng εT = (Du) T, chúng ta có thể viết: δεT = δ(Du) T = δu T
D u T
Thay các biểu thức vừa xác định vào phương trình sau:
T V
T
δ
có thể viết tiếp:
V u
T u
p
(b)
Trong đó ma trận E và D u được định nghĩa như sau:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
y z
x z
x y
z y x
u
0 0 0
0 0
0 0
0 0
L L L
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
−
−
−
2 2 1 2 2 1 2 2 1
0
1
0 1
1
2 1 2
ν ν ν
ν ν
ν
ν ν ν
ν ν ν
ν
M M M
L L L L
L L
M M M
G
( +ν)
=
1 2
E
G , với E – mô đun đàn hồi
Nguyên lý công bù nhỏ nhất
Từ quan hệ ε = Du trong miền V, và các điều kiện biên u = u * tại Su, trong khuôn khổ nguyên lý công bù ảo có thể viết:
( − ) −∫ ( * − ) =0
∫
Su
T V
hay là
0
− ∫
∫
Su
T V
Trang 3Phiếm hàm Hellinger-Reisner
Từ phương trình năng lượng áp dụng cho vật thể đàn hồi có thể viết:
( )
−
T T
V B T
dV
Trong đó U0*(σ) = σTε - U0(ε), xem hình dưới
σ
σ
d
u
Hình 1.2 Từ phương trình cuối có thể viết:
= )
(
*
0 σ
U σT ε -
2
1 σT ε =
2
T E σdV σ
dV
0
2
1 )
(σ
Hàm năng lượng trên đây còn được biết dưới dạng thường gặp:
−
=
Π
i i i i
i i
B i V
j ij V
R U0* σ dV σ u, dV u p ,dV u p*dS p (u u*)dS (e) Hàm ΠR mang tên gọi phiếm hàm Hellinger-Reisner, là phương trình chủ đạo
của phương pháp hỗn hợp (mixed)
Thoả mãn điều kiện dừng, biến phân δΠR tính theo cách sau:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− +
i i i i
i i
B i V
j ij V
dS u u p dS p u dV p u dV u dV
δ
phải bằng 0
Nếu đưa biểu thức vào công thức cuối, đồng thời để
ý đến quan hệ U
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∫
∫
V ij ij V
ij
ε δ
0*(σ) = σTε - U0(ε) có thể thấy:−∫ ( ) +∫ =∫
V
ij
dV
Biến phân hàm năng lượng dạng pha trộn:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
− +
+
= +
* T
* T V
B T T
U0
còn được hiểu theo cách khác như sau:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
* T V
T
* T B
T
U0
Trang 4Ba thành phần trong dấu ngoặc lớn biểu thị nguyên lý công ảo, còn hai thành phần còn lại
* T B
T V
dS p u dV p u dV
U0*(ε)
Su
* T V
diễn tả điều kiện động học của vấn đề Từ điều kiện dừng, biến phân đang đề cập bằng 0, chúng ta có thể xác định phiếm hàm của thế năng:
=
Π
i i i V
ij j
i i i
i
p dV
,
* ,
*
Giả sử rằng chuyển vị u thoả mãn điều kiện động học trong miền V, hay là ε =
Du trường hợp này biến phân vừa xác lập mang dạng:
= 0
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
T
T B
u dV
δ
u
u
Thành phần là thành phần bổ sung cho điều kiện biên δp ≠ 0 tại S
Su
p ( *)
trong trường hợp này mang tên gọi phiếm hàm lai trộn (hybrid functional)
= Π
T
T B
T
0 ε
Phương pháp phần tử hữu hạn trong nhóm các phương pháp số, sử dụng cả ba cách làm đang nêu khi xây dựng bài toán Những bài toán thường gặp khi xác định ứng suất, chuyển vị trong cơ học kết cấu thông thường được xử lý theo phương pháp chuyển vị Trong giáo trình này chủ yếu đề cập phương pháp chuyển vị, hay là
phương pháp tính dựa trên nguyên lý thế năng tối thiểu
1 Phương pháp biến phân
Để giải phương trình cân bằng dạng tổng quát:
và thoả mãn các điều kiện biên:
Bk(u) = qk trên biên S , k =1,2, (b) Bước đầu tiên phải tìm phiếm hàm tương ứng bài toán (a) trong miền V, và phiếm hàm đó phải thỏa mãn điều kiện biên (b)
Phiếm hàm, ký hiệu I(u), thông thường là tích phân chứa u và các đạo hàm riêng của u trong toàn miền V và biên S Nếu ký hiệu toán hạng của phiếm hàm là F, công thức chung của phiếm hàm sẽ là:
V
u u
F( , , , )
Trong đó F - phương trình Euler-Lagrange
Biến hàm u được tìm dưới dạng:
Trang 5=
= N
i
i
i f a u
1
trong đó các hàm fi - là hàm tuyến tính, hay còn gọi hàm thử; ai - các hệ số phải tìm từ quan hệ sau:
0
*)
i
a
u
∂
Các bước thực hiện khi sử dụng phương pháp biến phân như sau:
(1) Áp dụng nguyên lý Euler-Lagrange để tìm phiếm hàm tương ứng cho bài toán dạng (a) Phiếm hàm I(u) xác định trong miền V, thỏa mãn điều kiện biên trên biên S
1
, ) , , (
S V
qdS dx
x u u F
(2) Miền V được chia thành E phần tử, liên kết với nhau qua các nút, biên
(3) Biến hàm u, nghiệm cần tìm của bài toán đưa về dạng hàm chuyển vị các nút phần tử:
trong đó:
[N] = { N1 N2 ]; [δ ] = [ u1 u2 ]
(4) Thực hiện phép đạo hàm:
∑
=
= E
e
∂
∂
Trong các bài toán cơ học kết cấu phương trình trên tương đương biểu thức:
}
{δ
∂
∂I = [k]{δ} - {p}, tính trong mỗi phần tử (i)
Ma trận [k] và {p} được tính cho mỗi phần tử, mang ký hiệu [k]e, {p}e
(5) Tập họp ma trận cứng và vector lực:
trong đó: [ ] ∑ và { }
=
= E
e e
k K
1
]
=
= E
e e
p P
1
} {
Ma trận [K] và vector {P} xác định trong hệ toạ độ chung, do vậy trước khi tập họp ∑ ∑ cần tiến hành tính chuyển [k]
=
=
E e e E
e
k
1 1
} { ]
minh họa có thể xem ở trường hợp giản đơn nhất là phần tử BAR sau đây
Trang 6Từ cơ sở cách làm trong phương pháp chuyển vị, phương trình cân bằng được xác lập từ phương trình thế năng của đối tượng đang được nghiên cứu Ẩn bài toán của phương pháp này là chuyển vị các nút và các ẩn này tham gia vào hàm thế năng Theo cách đặt vấn đề từ các chương trước, điều kiện để thế năng đạt gía trị nhỏ nhất đạo hàm của hàm thế năng tính theo các bậc tự do các nút phải bằng 0 Thỏa mãn điều kiện này chúng ta nhận được phương trình (hệ phương trình) cân bằng Những bước thực hiện như sau
Bước 1: Phân chia vật thể đang xem xét thành số lượng hữu hạn các phần tử
Quá trình này còn được gọi là “lý tưởng hóa” hay “rời rạc hóa” Thực tế đây là quá trình mô hình hóa kết cấu, chuyển từ kết cấu thực tế thành tập họp của nhiều cơ cấu vừa tách từ chủ thể
Bước 2: Mô hình chuyển vị trong mỗi phần tử tìm dưới dạng vector:
{ }u e =[ ]N { }δ e
trong đó [N] – ma trận các hàm hình dáng, {δ}e- vector các bậc tự do chuyển vị nút của phần tử
Bước 3: Xác lập ma trận đặc trưng gọi là ma trận cứng và vector lực cho mỗi
phần tử trên cơ sở nguyên lý thế năng tối thiểu Trong những bài toán thuộc cơ học vật rắn phiếm hàm thế năng của hệ thống được hiểu như tổng thế năng các phần tử cấu thành
∑
=
−
=
e
e
1
) (π
Bước 4: Xử lý hệ phương trình và giải hệ phương trình đại số tuyến tính ghi
tại (m) Kết quả giải phương trình sẽ là chuyển vị nút trong hệ tọa độ chung Cần thiết chuyển đổi chuyển vị từ hệ tọa độ chung sang hệ tọa độ cục bộ, gắn liền phần tử
Bước 5: Thực hiện các phép tính lực căn cứ quan hệ giữa ứng suất – biến
dạng
Trang 7Kết cấu thật
Mô hình hóa
Tính từng phần tử
Tập họp
Kết quả cuối cùng