Vôùi moâ hình naøy chuùng ta coù ñieàu kieän xem xeùt toaøn boä keát caáu thöïc cuûa caû taám laøm giaù, trong ñoù coù caùc loã baét bu loâng, baét moùc treo troïng vaät.. Moät trong n[r]
Trang 14 Các thủ tục giải bài toán cơ học kết cấu trong khuôn khổ phương pháp phần tử hữu hạn
4.1 Mô hình hóa kết cấu
Giai đoạn đầu tiên của giải bài toán cơ học kết cấu dựa vào phương pháp PTHH là mô hình hóa, chuyển cấu hình của kết cấu thực thành mô hình kết cấu thích hợp tính toán trên cơ sở đảm bảo tương đương về tính chất vật lý của vấn đề đang xem xét Nhìn từ khía cạnh hình học, mọi vật thể đều là khối ba chiều (3D), tuy nhiên trong tính toán người ta có thể phân loại theo những tiêu chuẩn qui ước Thông lệ vật thể có kích thước theo cả ba chiều không gian, Ox, Oy, Oz khác nhau không quá lớn chúng ta coi đó là vật thể 3D Hình ảnh khối tứ diện, khối sáu mặt dxdydz chúng ta làm quen trong phần lý thuyết đàn hồi là những ví dụ về vật thể 3D Trong tự nhiên những vật thể mà kích thước hai chiều lớn hơn hẳn chiều thứ ba chúng ta có thể xem xét dưới khía cạnh khác, gọi đây là vật thể 2D Hình 1 trình bày cách nhìn đang được xem xét Vật đặc, có chiều dài ghi bằng ký hiệu L (dài), B (rộng), H (cao) không khác nhau nhiều có tên gọi vật rắn 3 chiều Trường hợp H < L và H < B chúng ta tiếp xúc với tấm hoặc vỏ Cần bổ sung thêm, nhóm tấm và vỏ được hiểu gồm hai phân nhóm, tấm mỏng, chúng ta sẽ xem xét trong chương trình này, và tấm dày, một hình ảnh khác của vật thể 3D
Hình 1
Trang 2Quan niệm từ lâu nay, tấm giành chỉ những kết cấu 2D, chiều dày nhỏ nếu so
với chiều dài, chiều rộng, đối xứng qua mặt trung hòa, còn mặt trung hòa là mặt
phẳng Trong khi đó vỏ giành cho cơ cấu dạng tấm song cong theo một chiều hoặc cả
hai chiều Hình ảnh vỏ địa cầu là dạng cong đặc trưng của vỏ trong không gian Tấm, nếu xét từ khía cạnh lý thuyết vỏ, không khác vỏ về cơ bản, ngoại trừ bán kính cung lượn vô cùng lớn Từ khía cạnh này, một phần tử nhỏ trích từ vỏ địa cầu với bán kính cung cong bằng ½ đường kính trái đất đủ điều kiện để coi là một tấm Nói điều này để góp ý nhỏ giải thích một vài cải biên trong các chương trình tính toán cỡ lớn bạn đọc gặp trong thực tế Những năm gần đây nhiều chương trình máy tính lớn viết trên cơ sở phương pháp PTHH đã cho thôi sử dụng phần tử “plate - tấm” mà dùng chung phần tử
“shell - vỏ” thay cho tấm
Với những vật tròn xoay phân chia vật thể 3D và 2D cũng theo cách nhìn vừa nêu Trong trường hợp sau L và h được minh họa trên hình 2
Hình 2 Vật thể tròn xoay Tấm tròn, vỏ trên vật tròn xoay được phân biệt rõ ràng theo cách nghĩ lâu nay của các nhà nghiên cứu cơ học kết cấu
Quay lại hình 1 để quan sát điều mang tính phổ thông Từ hình ảnh tấm 2D, nếu chiều dài của một chiều, ví dụ tại hình 1, B < L, chúng ta gặp hình ảnh dầm, hay là kết cấu 1D Cùng thỏa mãn điều kiện đó, song kết cấu 1D trích từ vỏ có tên gọi là dầm cong
Trang 3Về mặt hình học, vật thể trong tự nhiên phải được mô hình hóa về một trong
ba nhóm phần tử: a) phần tử 3D , b) phần tử 2D và c) phần tử 1D, hình 3
Hình 3 Vấn đề có tí chút rườm rà hơn khi mô hình hóa vật thể tròn xoay Là vật thể phải được đối xử như cấu hình 3D, phần tử vành khuyên, mặt tam giác hoặc chữ nhật dùng vào đây sẽ thích hợp, hình trên của hình 4 Trường hợp h < L chúng ta có quyền sử dụng phần tử tấm hay chính xác hơn tấm phẳng hoặc vỏ đối xứng qua trục để mô hình hóa kết cấu, hình 4, phía dưới
Hình 4
Trang 4Ví dụ minh họa tại hình 5 trình bày cách nhìn đưa các vật thể tuy trong thực tế là vật ba chiều song có thể mô hình hình hóa dạng các phần tử 1D, phục vụ công tác tính toán mà không làm hỏng tính hiện thực Hệ thống đường ống gồm ống thẳng, đầu nối cong, các mặt bích vành khuyên liênkết với nhau đảm bảo đưa được nước từ đầu này hệ thống đến đầu kia Sau mô hình hóa chúng ta thấy rõ đây là hệ kết cấu gồm các phần tử dầm phẳng, chịu uốn
Mô hình hóa kết cấu nhằm đảm bảo tính vật lý của bài toán là vấn đề không giản đơn Chọn mô hình toán đúng, lời giải mới có độ tin cậy Khi chọn sai mô hình toán, các lời giải máy móc sẽ trở thành vô nghĩa vì lời giải đó không miêu tả được bản chất vật lý của vấn đề
Hình 5 Hệ thống đường ống
PT 1 PT 2 PT 3 Nút 3
PT 4 Nút 4
Trong bất kỳ mô hình toán nào, những vấn đề sau đây phải được xem xét kỹ:
- Đặc trưng hình học kết cấu
- Động học kết cấu
- Vật liệu chế tạo
- Tải
- Điều kiện biên
- Vv
Chúng ta cùng quan sát kết cấu giá đỡ thường gặp, chịu tác động lực vuông góc trục ngang giá đỡ Chân tấm bản làm giá đỡ bị bắt chặt bằng hai bu lông vào tường đủ cứng vững, trường hợp đó có thể coi giá đỡ như dầm bị ngàm một đầu Đầu tự do của dầm côn xôn chịu tải trọng W, điểm đặt lực ngay tại lỗ chứa chốt móc Mô hình bài toán đang nêu có thể xét như bài toán 3D nếu coi kết cấu này thực sự là kết cấu ba chiều, theo cách phân loại sơ bộ chúng ta đã nêu Thông thường bài toán dạng này
Trang 5người ta đưa về câu chuyện xem xét dầm côn xôn, hay nói rõ hơn, chuyển về bài toán 1D Thực tế hơn, tấm thép làm “dầm” thỏa mãn những điều kiện mà chúng ta đã qui vào nhóm “tấm phẳng”, và như vậy nó cần được xử lý như “bài toán phẳng” Cả ba mô hình vừa nêu đều dùng được trong tính toán thực tế Mô hình 3D thường đưa lại kết quả sát với thực tế hơn vì nó mô hình đúng về mặt hình học, và cả mặt cơ học khi bố trí tải đúng chỗ, đúng qui luật hơn mô hình khác Điều phiền toái tại đây chỉ là công sức và thời gian thực hiện tính toán Mô hình 3D luôn đòi hỏi nhiều thời gian hơn cho việc này
Hình 6 Dầm công xôn Nếu quan tâm của người ra đầu đề là xem xét trạng thái ứng suất phẳng, mô hình 2D, mô hình tấm chịu lực trong mặt phẳng sẽ tỏ ra thích hợp hơn khi giải bài toán này Với mô hình này chúng ta có điều kiện xem xét toàn bộ kết cấu thực của cả tấm làm giá, trong đó có các lỗ bắt bu lông, bắt móc treo trọng vật Một trong những kết quả quí của bài toán phẳng là có điều kiện phân tích tập trung ứng suất, và theo đó chúng ta có điều kiện phân tích kết cấu cả trong giai đoạn vượt qua giới hạn đàn hồi
Mô hình dầm côn xôn thực sự giản đơn hơn hai mô hình vừa nêu Điều kiện biên tại mối liên kết tấm làm giá đỡ với chi tiết cứng để gắn vào tốt nhất nên chọn ngàm cứng
Một vài mô hình phần tử hữu hạn, kể cả mô hình siêu phần tử (superelement) dùng nghiên cứu các phương tiện giao thông vận tải được giới thiệu tiếp theo như tài liệu tham khảo
Hình 7 Mô hình superelement dùng cho máy bay
Trang 6⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
5
4 6
1 4
1 5
5
14
3 4
với j =3
( ) ⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
−
−
=
−
−
=
−
=
=
=
=
=
−
=
−
−
−
=
−
=
=
=
−
−
−
7 15 5 16 7 8 5
1 23
23 13 13 33 33
5 14 5 16
22
23 23
11
13 13
5 16 5
4 13
12 23 23
13 13
) ( ) 1 )(
( 6
7 8 5 1
) 1 )(
( 4 1
g l g l k d
d
g l
d
g l
g l k g
k g
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
5 4 1 5
7 15 7 8 5
14
5 1 3 4
sau lần tính cho j = 4 sẽ nhận được:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
−
6 5 3 4 7 15 14 5 7 8 5
14
5 1 3 4
5
Các ma trận L T và D có dạng sau
D =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
6 5 7 15 5 14
5
; L T =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
6 5 7 20 7 15 5 16 5
0 1 4 5
Hàm Chdecomp phục vụ giải hệ phương trình qua phân tích Choleski có dạng sau
/* main for resolving Ax = b */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
double Chdecomp( int N, double *a, double *b )
/*
POSITIVE DEFINITE MATRIX EQUATION SOLVER
Trang 7a[MAX][MAX], b[MAX]
in return b[] will hold outputs
*/
{
int four =4;
double c = 0.0625;
int i, j, k,d2;
double x, d1;
for ( i=0; i < N; i++)
for ( j =0; j < N ;j++)
{
x = a[ i*N + j];
k = i -1;
while ( k >= 0 ) {
x -= a[i*N+k]*a[k*N+j];
k ; }
if ( i != j ) a[ i*N+j] = x* a[N*N +i];
else {
d1 *= x;
if ( x == 0.0e+0 ) { d1 = 1.0; printf("failure\n"); exit(0); } while ( fabs(d1) >= 1.0e+0 ) {
d1 *= c;
d2 += four; } while ( fabs(d1) < c ) {
d1 *= 16.0; d2 -= four; }
if ( x < 0.0e+0 ) { printf("no-positive\n"); exit(0); }
a[N*N + i] = 1.0 / sqrt(x);
}
}
for (i=0; i <N; i++)
{
x = b[i];
k = i-1;
while ( k >= 0 ) {
x -= a[i*N+k] * b[k];
k ; }
b[i] = x * a[ N*N+i];
}
i = N-1 ;
do {
x = b[i];
k = i+1;
while ( k <= N-1 ) {
x -= a[i*N+k] * b[k];
k++ ; }
b[i] = x * a[N*N + i];
i ;
while ( i >= 0 );
return d1;
}