[r]
Trang 1TRẦN CÔNG NGHỊ
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
VÀ
CƠ HỌC KẾT CẤU
(TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI)
Trang 2Trang này để trống
Trang 3Chương 1
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Tóm tắt
Phương trình cân bằng:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
0 0 0
Z y x
z
Y z x
y
X z y
x
yz zx
z
yz yx
y
xz xy
x
τ τ
σ
τ τ
σ
τ τ
σ
(1.1)
trong đó X, Y, Z – lực khối
Phương trình biến dạng:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
=
=
=
x
w z u y
w z v x
v y
u z
w y
v x u
zx yz xy z y x
∂
∂
∂
∂ γ
∂
∂
∂
∂ γ
∂
∂
∂
∂ γ
∂
∂ ε
∂
∂ ε
∂
∂ ε
(1.2)
Điều kiện tương hợp (liên tục):
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
z x z
x
z y y
z
y x x
y
xz x
z
yz z
y
xy y
x
γ ε
ε
γ ε
ε
γ ε
ε
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
và
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
z y
x z y x
z y
x y z x
z y
x x
z y
xy xz
yz z
xy xz
yz y
xy xz
yz x
γ γ
γ ε
γ γ
γ ε
γ γ
γ ε
2 2 2
2 2
2
(1.3)
Công thức chuyển của tensor ứng suất Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là [c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ∗] tính
Trang 4với [ ] [ ]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z yz xz
yz y xy
xz xy x
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
c c c
c c c
c c c c
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ σ
;
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Ứng suất chính xác định từ phương trình:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
− + +
= +
− +
= +
+
−
0 ) (
0 )
(
0 )
(
m l
k
m l
k
m l
k
z yz xz
zy y
xy
zx yx x
σ σ τ
τ
τ σ σ τ
τ τ σ
σ
hoặc dưới dạng ma trận:
} {
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
m l k
z zy
zx
yz y
yx
xz xy
x
σ σ τ
τ
τ σ σ τ
τ τ
σ σ
(1.6)
trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k 2 + l 2 + m 2 = 1 Lời giải hệ phương
trình:
trong đó J1 = σx + σy + σz
J2 = σyσz + σzσx + σxσy - τyx2 - τzx2 - τxy2 (1.8)
J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz - τxy2σz - τyz2σx - τzx2σy (1.9)
Các đại lượng J 1 , J 2 , J 3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của
tenso ứng suất
Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức:
2 2 4
1 2
,
y
x σ σ σ τ
σ
Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức:
y x
xy n
tg
σ σ
τ θ
−
Ứng suất cắt lớn nhất:
2
2 1 min
max,
σ σ
xy
y x s
tg
τ
σ σ
θ = 2 −
Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình:
Trang 52 2
2
2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
τ σ
σ
Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν
( )
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
+
−
=
+
−
=
+
−
=
y x z
z
z x y
y
z y x
x
E
E
E
σ σ ν σ ε
σ σ ν σ ε
σ σ ν σ ε
1
1
1
và
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
zx zx
yz yz
xy xy
G G G
τ γ
τ γ
τ γ
1 1
1
trong đó
) 1 (
2 +ν
Nếu ký hiệu: e=εx +εy +εz có thể viết:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ⎪⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
+
+
− +
=
+
+
− +
=
+
+
− +
=
z z
y y
x x
E e E
E e E
E e E
ε ν ν
ν
ν σ
ε ν ν
ν
ν σ
ε ν ν
ν
ν σ
1 2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫ +
=
+
=
+
=
z z
y y
x x
G e
G e
G e
ε λ
σ
ε λ
σ
ε λ
σ
2 2
2
trong đó ( ν)( ν)
ν λ
2 1
= E mang tên gọi hằng số Lamé
Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0
;
;
;
2 2
2 2
2
y x y
x y xy
x ∂ ∂
Φ
∂
−
=
∂
Φ
∂
=
∂
Φ
∂
σ
Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c,
chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const
Điều kiện biên như sau:
a) Tại x = 0:
σx = 0; τxy = 0
q
Trang 6Ứng suất:
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
−
=
0
1 1
1
2
2 2
2
2 2
z
r
dr
w d dr
dw r z E
dr
dw r dr
w d z E
σ
ν ν
σ
ν ν
σ
Nếu ký hiệu M – momen uốn phân bố trên đơn vị chiều dài, công thức cuối có thể viết thành:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
3
3
12
12
t
z
M t
z
M r
r
θ θ
σ
σ
(d)
với
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
−
=
2 2 2
2
1
dr
w d dr
dw r D M
dr
dw r dr
w d D
M r
ν
ν
θ
với ( 2)
3
1
12 −ν
= Et
Công thức trình bày tại (d) dùng cho tấm dày t có dạng:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
±
=
±
=
3 min
max,
3 min
max,
6 )
(
6 )
(
t
M t
M r
x
θ θ
σ
σ
Phương trình vi phân bậc bốn uốn tấm, chịu tác động lực pháp tuyến p(r) được viết thành:
D
r p dr
dw r dr
w d dr
d r dr
d r
2 2
2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
∇
7 Xác định chiều dày t tấm thép hình chữ nhật nhằm tránh mất ổn định tấm trong trường hợp chịu lực nén P=30kN phân bố đều dọc cạnh ngắn tấm Tấm tựa tự do bốn cạnh Biết rằng cạnh tấm a = 35cm, b = 10cm, E = 2.105MPa, ν = 0,28
8 Tấm thép hình vuông cạnh b = 25cm, tựa bốn mép trên gối, chịu lực nén cường độ q cả hai chiều, hình 5.6 Xác định ứng suất giới hạn (ứng suất Euler) của tấm, biết rằng chiều dày tấm t = 0,40cm, E = 7.104MPa, ν = 0,3
Trường hợp lực nén cường độ như trên chỉ tác động theo một hướng, kết quả tính sẽ như thế nào?
τ
Trang 7Hình 5.6 Hình 5.7
9 Tấm làm từ hợp kim nhôm, hình chữ nhật cạnh a = 40cm, b = 25cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động lực cắt τ, hình 5.7 Xác định tải giới hạn, biết rằng E = 7,2.104MPa, [τ] = 120MPa
10 Tấm hình chữ nhật cạnh nhật cạnh a = 36cm, b = 20cm, tựa tư do trên bốn cạnh, chịu tác động lực cắt τ, và lực nén T = 2τ, hình 5.8 Xác định τcr để tấm không bị mất ổn định
τ τ
τ
τ
Hình 5.8 Biết rằng E = 7,2.104MPa, ν = 0,3