Phân tích khung phẳng bằng phương pháp phần tử b spline wavelet

Các phương pháp này sử dụng các công cụ toán ñặc biệt có khả năng phân tích và xấp xỉ các hàm ña thức với ñộ chính xác cao, và ñáp ứng ñược khả năng hội tụ kết quả nhanh.. Dựa trên nền t

LÊ HOÀNG

PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦ N TỬ B-SPLINE WAVELET

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 02 NĂM 2009

Xin cảm ơn bạn bè, gia ñình - những người ñã giúp ñỡ và ñộng viên tinh thần học viên rất nhiều ñể có thể hoàn thành ñề tài của mình

Cuối cùng học viên xin gửi lời cảm ơn ñến tác giả TS Xiang Jiawei, tác giả bài báo [1] mà học viên chọn làm tài liệu tham khảo chính cho luận văn của mình

TS Xiang Jiawei ñã tận tình giúp ñỡ học viên trong việc tìm hiểu về các vấn ñề cơ bản của ñề tài, và cung cấp cho học viên một số tài liệu tham khảo quan trọng

Tp Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 02 năm 2009

HỌC VIÊN THỰC HIỆN

Lê Hoàng

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : LÊ HOÀNG Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 09/05/1983 Nơi sinh: Cần Thơ Chuyên ngành : Xây dựng DD&CN Mã số: 23.04.10 I- TÊN ðỀ TÀI : PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN

TỬ B-SPLINE WAVELET II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 21/06/2008

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 03/12/2008

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS ðỖ KIẾN QUỐC

PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS ðỖ KIẾN QUỐC

PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Nội dung và ñề cương luận văn thạc sĩ ñã ñược Hội ðồng Chuyên Ngành thông qua

Tp HCM, ngày 06 tháng 02 năm 2009 PHÒNG ðÀO TẠO SðH KHOA QUẢN LÝ NGÀNH

ðẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

Chương 1 4

MỞ ðẦU 4

I TỔNG QUAN 4

II MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA ðỀ TÀI 7

Chương 2 8

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8

I CÁC GIẢ THUYẾT: 8

II LÝ THUYẾT VỀ B-SPLINE: 8

II.1 Giới thiệu về B-spline: 8

II.2 Hàm B-spline ña ñiểm nút (B-spline Function with Multiknots System): 12

II 3 Lý thuyết B-spline trong khoảng [a,b] (interval [a,b]): 15

III LÝ THUYẾT VỂ B-SPLINE WAVELET: 19

III.1 Lý thuyết wavelet: 19

III.2 B-spline wavelets: 22

III.3 OUBS wavelet trong khoảng [0,1]: 23

Chương 3 32

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ B-SPINLE WAVET 32

I MỞ ðẦU: 32

II CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮN HẠN VỚI PHẦN TỬ B-SPLINE WAVELET TRONG KHOẢNG [0;1]: 32

III PHẦN TỬ THANH PHẲNG CHỊU KÉO - NÉN ðÚNG TÂM: 35

IV PHẦN TỬ THANH PHẲNG CHỊU XOẮN: 41

IV.1 Lý thuyết BSWM (B-spline Wavelet Element Method): 41

IV.2 Xây dựng ma trận ñộ cứng [K], ma trận lực [P]: 44

V PHẦN TỬ DẦM TIMOSHENKO: 47

V.1 Lý thuyết BSWM (B-spline Wavelet Element Method): 47

V.2 Xây dựng ma trận ñộ cứng [K], ma trận lực [P]: 51

VI PHẦN TỬ DẦM EULER: 56

VI.1 Lý thuyết BSWM (B-spline Wavelet Element Method): 56

VI.2 Xây dựng ma trận ñộ cứng [K], Vector tải trọng phần tử cho phần tử dầm Euler ñơn giản: 60

VII PHẦN TỬ THANH PHẲNG: 62

Chương 4 68

THÍ DỤ MINH HỌA 68

I BÀI TOÁN THANH CHỊU KÉO (NÉN) ðÚNG TÂM: 68

I.1 Bài toán 1: khảo sát với hàm dạng ña thức bậc cao: 68

I.2 Bài toán 2: khảo sát kết quả tính toán với phép phân tích ña phân giải và tăng thông số rời rạc j: 78

I.3 Bài toán 3: khảo sát bài toán thanh chịu nén có tiết diện thay ñổi, với hàm dạng bậc cao: 86

I.3 Bài toán 4: khảo sát bài toán với phép phân tích ña phân giải và tăng thông số rời rạc jo: 95

II BÀI TOÁN THANH CHỊU XOẮN: 103

II.1 Bài toán 1: thanh chịu xoắn trục với hàm dạng bậc cao: 103

II.2 Bài toán 3: thanh chịu xoắn với tiết diện thay ñổi: 112

III BÀI TOÁN DẦM TIMOSHENKO CHỊU UỐN: 115

III.1 Bài toán thanh dầm Timoshenko chịu tải trọng phân bố ñều với hàm dạng bậc cao: 115

III.2 Bài toán dầm Timoshenko chịu uốn chịu tải trọng tập trung với hàm dạng bậc cao: 123

IV BÀI TOÁN DẦM EULER CHỊU UỐN: 132

IV.1 Bài toán thanh dầm chịu uốn tải trọng phân bố thay ñổi: 132

IV.2 Bài toán dầm chịu uốn tiết diện mặt cắt ngang thay ñổi: 136

IV.3 Bài toán dầm chịu uốn với phép ña phân giải: 140

V BÀI TOÁN KHUNG PHẲNG: 153

V.1 Bài toán thanh dàn phẳng: 153

V.2 Bài toán khung: 154

VI PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH KẾT QUẢ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH, KẾT LUẬN VÀ NHẬN XÉT: 159

VI.1 Trình tự thực hiện: 159

VI.2 Kết quả tính toán, kết luận và nhận xét: 160

Chương 5 162

KẾT LUẬN 162

I NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN CHUNG VỀ ƯU ðIỂM VÀ NHƯỢC ðIỂM: 162

I.1 Ưu ñiểm: 162

I.2 Nhược ñiểm: 163

II ðỀ RA HƯỚNG PHÁT TRIỂN TIẾP THEO 163

TÀI LIỆU THAM KHẢO 165

sở ñó, nhiều phương pháp cải tiến ñã ñược quan tâm, nghiên cứu ñể khắc phục ñược nhược ñiểm của TFEM như Spectral Element Method (SEM), Discrete Element Method (DEM), Wavelet Element Method (WEM) … Các phương pháp này sử dụng các công cụ toán ñặc biệt có khả năng phân tích và xấp xỉ các hàm ña thức với

ñộ chính xác cao, và ñáp ứng ñược khả năng hội tụ kết quả nhanh

Trong những thập kỷ 70 (thế kỷ 19), thuật toán wavelet ñược nghiên cứu, những tính chất của thuật toán wavelet ñược biến ñổi, bổ xung và hoàn thiện, áp dụng rộng rãi và là công cụ toán học mạnh mẽ áp dụng trong các lĩnh vực khoa học

kỹ thuật như lĩnh vực ñiện tử, tín hiệu, viễn thông, y học, cơ học … Khái niệm wavelet ñược bắt nguồn từ khái niệm “ondelette” (tiếng Pháp) với ý nghĩa “làn sóng nhỏ”, ñược phát triển ñầu tiên bởi Alfred Haar (1909) với tên Haar wavelet (box wavelet) dựa trên ý tưởng cải tiến khoảng (interval) của phép biến ñổi Fourier Vào những năm 1980, Jean Morlet xây dựng hệ thống phân tích wavelet (Analysis Wavelet) ñể giải quyết các vấn ñề phân tích khung dữ liệu hình ảnh (Siesmic Data),

và làm cơ sở phát triển lý thuyết về biến ñổi wavelet (Transform Wavelets) Kế thừa những thành tựu về wavelet trước ñó, vào ñầu thập niên 80 - 90 thế kỷ 20 các họ

wavelet lần lượt xây dựng bởi Yves Meyer (1985) với lý thuyết phân tích tuần hoàn (Harmonic Analyst), Stephane Mallet (1987) với lý thuyết về weavelet trực giao (orthogonal wavelet) và là tiền ñề cho lý thuyết ña phân giải wavelet (Multi-Resolution Wavelets) Những năm 1986-1988 Ingrid Daubechies hệ thống và xây dựng hoàn chỉnh họ wavelet với tên gọi Daubchies wavelets, và là phương pháp số phân tích và biến ñổi hoàn chỉnh Wavelet trở thành công cụ phân tích và biến ñổi mạnh ñược áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa hoc kỹ thuật [34,35,36]

Dựa trên nền tảng phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết toán wavelet, phương pháp phần tử wavelet (Wavelet Element Method - WEM) ra ñời, ñược nghiên cứu và hoàn chỉnh bởi Claudio Canuto, Anita Tabacco, Karsten Urban (1997) [19, 20], WEM trở thành cơ sở cho các nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực kỹ thuật Việc áp dụng các họ wavelet vào lĩnh vực phân tích kết cấu chỉ mới ñược quan tâm và nghiên cứu trong những thập kỷ 90 thế kỷ 20, với các hướng nghiên cứu phần tử hữu hạn, lý thuyết và phân tích kết cấu.Tuy nhiên chúng vẫn chưa ñược áp dụng cho các bài toán thực tế một cách rộng rãi Ở Việt Nam, lý thuyết wavelets và WEM còn khá mới mẻ, việc ứng dụng và nghiên cứu wavelet vào phân tích kết cấu chưa ñược nhiều và rộng rãi, các lý thuyết về biến ñổi và phân tích wavelet ñược áp dụng chủ yếu trong các lĩnh vực xứ lý tín hiệu, ảnh số và thông tin

Một nhánh trong phương pháp phần tử wavelet là phương pháp phần tử spline wavelets (Basic-Spline Wavelet Element Method - BSWM) ñược ñặt ra và quan tâm nhiều [1, 2, 3, 28, 29, 30 , 31, 32], bởi khả năng xấp xỉ và nội suy của hàm B-spline [21, 16, 27] kết hợp lý thuyết thuật toán Wavelets [7, 8, 22], có thể xấp xỉ hàm dạng dưới dạng hàm ña thức bậc cao với ưu ñiểm là có khả năng diễn tả số lượng nhiều bậc tự do trong 1 phần tử, giảm ñược sự phức tạp trong sự kết nối giữa các phần tử trong kết cấu làm cho kết quả phân tích kết cấu nhanh chóng và chính xác cao BSWM về cơ bản dựa trên nền tảng TFEM với mô hình tương thích ñể phân tích cho các bài toán kết cấu

B-Kế thừa những nghiên cứu và ưu ñiểm của phương pháp B-spline wavelets,

ñề tài sẽ nghiên cứu về khả năng áp dụng phương pháp phần tử B-sline wavelet hữu hạn (B-spline Wavelets Finite Element Method) vào việc phân tích khung phẳng, ñể ñánh giá khả năng hội tụ kết quả chính xác của phương pháp này

Một số nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học sử dụng phương pháp phần tử wavelet trong những năm gần ñây:

- Lý Vĩnh Phan [33] sử dụng phương pháp biến ñổi Wavelet ñể phân tích ñộ nhảy cảm cho ñộ võng của dầm có vết nứt

- W H Chen; C W Wu [10], sử dụng hàm phần tử spline wavelet ñể phân tích dao ñộng khung phẳng, cho thấy ñược thuận lợi trong việc sử dụng sự phân chia các nút nhỏ cho phần tử thanh bằng thuật toán ña phân giải (Multiresolution analysis – MRA)

- Jian Han; Gang Han,Wei-Xin Ren,Yih Huang [12] sử dụng hàm Multivariable wavelet trong bài toán phân tích tấm, và [13] sử dụng hàm Spline-wavelet cho việc tính toán các bài toán cơ học Tuy nhiên chỉ dừng lại ở việc sử dụng hàm dạng theo lý thuyết FEM truyền thống

- Xuefeng Chen; Shengjun Yang; Junxing Ma; Zhengjia He [14] xây dựng phương pháp phần tử wavelet với hàm Daubechies wavelet và ứng dụng cho các bài toán phẳng

- Junxing Ma; Jijun Xue; Shengjun Yang; Zhengjia He [11] sử dụng hàm Daubechies wavelet xây dựng các phần tử dầm trên nền tảng phương pháp phần tử hữu hạn ðây là cơ sở cho việc phát triển lý thuyết phương pháp phần tử hửu hạn với phần tử B-spline wavelet

- C H Wu, W H CHen [26] sử dụng hàm spline-wavelet cho bài toán dao ñộng của tấm

- J Xiang và cộng sự [1, 2, 28, 29, 30, 31, 32] ñã sử dụng hàm B-spline wavelet trong xây dựng giải quyết các bài toán cơ học vật rắn

II MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ CỦA ðỀ TÀI

Nghiên cứu khả năng hội tụ kết quả chính xác của phương pháp phần tử spline wavelet trong các trường hợp chịu tải trọng khác nhau cho các bài toán thanh phẳng

B-Dựa trên lý thuyết WEM, hàm B-spline và các giả thuyết cơ học ban ñầu, xây dựng các bài toán BSWM với các phần tử ñơn giản: phần tử chịu kéo nén ñúng tâm, phần tử dầm theo lý thuyết Euler, dầm Timoshenko, phần tử khung phẳng

Xây dựng công thức tổng thể cho các các ma trận ñộ cứng phần tử, Vector tải trọng và phương trình phần tử Áp dụng cho các bài toán thanh phẳng, so sánh với kết quả tính toán chính xác theo lý thuyết và kết quả tính toán bằng TFEM

Công cụ sử dụng chủ yếu ñể phân tích kết quả là chương trình lập trình Matlab 6.5 và Etabs 9.04

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I CÁC GIẢ THUYẾT:

- Các phần tử làm việc trong miền ñàn hồi

- Vật liệu ñược xem là ñồng nhất vể mặt vĩ mô

- Việu liệu chưa chịu tải và ñẳng hướng lúc ban ñầu

- Biến dạng ñược xảy ra trong ñiều kiện ñẳng nhiệt

- Tải trọng tác dụng xem như tác dụng rất chậm ñể loại trừ các ảnh hưởng ñộng (bài toán tĩnh) và bỏ qua một số hiệu ứng ảnh hưởng kết cấu như hiệu ứng từ biến và từ trễ

II LÝ THUYẾT VỀ B-SPLINE:

II.1 Giới thiệu về B-spline:

Vào ñầu những năm 60 (thế kỷ 19) ý tưởng về việc xấp xỉ các hàm số phức tạp về mặt hình học (Geometry Complex System) ñược ñặt ra Xuất phát từ lý thuyết toán của Schoenberg (1946) một hàm số ñược xấp xỉ dưới dạng các hàm ña thức riêng phần (Piecewise Polynomial), Carl De Boor’s và N.G Cox (1972) ñưa ra

lý thuyết về hàm B-spline, ứng dụng trong việc xây dựng mô hình xe gắn máy và nhanh chóng ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác

Dựa trên cơ sở lý thuyết Carl de Boor [37], và các tài liệu [18], [21] Ta xét một hàm số bất kỳ f(x) ñược xác ñịnh bởi các ñiểm pi(xi), i = 0 , n Tại mỗi 2 ñiểm

pi(xi) và pi+1(xi+1) liên tục kế tiếp nhau, ta luôn xây dựng ñược một hàm ña thức )

(

, x

gmi bậc m, xấp xỉ ñường cong f(x) liên kết giữa 2 ñiểm, hàm gm,i( x )ñược gọi là hàm ña thức riêng phần (Piecewise Polynomial)

=

= ni

k m

i N x p

x f

0 , ( ) )

Trong ñó k ñược gọi là thông số dịch

Hình 2.2 ðường cong spline xấp xỉ hàm fi(x) qua 6 ñiểm CPs

B-spline (Basic Spline) là các hàm Spline cơ sở mà trong ñó các hàm chính )

- Hàm chính B-spline Nm,k( x ) (Cardinal B-spline) bắt ñầu ở pi và kết thúc ở

i k

m xN0 , ( ) 1 (p: tổng số ñiểm kiểm soát)

- Các ñường cong dựa trên các hàm B-spline là bất biến Do ñó, ñể biến ñổi một ñường cong B-spline, chỉ cần biến ñổi các ñiểm kiểm soát, sau ñó khởi tạo lại ñường cong từ các ñiểm kiểm soát

- Hàm trộn B-spline Nm,k( x ) qua các ñiểm pi trong giá mang [0,1] có các tính chất sau:

=1 0

1 1

1 0 , ( ) ( )

)(x Nmk x dx f x xm dx dxn

k m k m k

m m

i g C dx

x N x g

0 ,

) (

) ( )

1 ( )

( )

1 ,

1

;0

;1

k k

k k k

ttx

ttx

1 ,

1 1

t t

x t x N t t

t x x

k m k

m k i

m k m k

k k

+ +

, 1 1

0 , 1 0

k m k

k k m

2 2

1 , 1

) ( )

( )

( ' , x N 1, x N 1, 1 x

kxk

kx

N k

0

11

00 ,

k x k x

k x k x

k x

N k

2 0

2 2

1 0

0 ,

+

<

≤ + +

+

+

<

≤ +

− +

k x k

x x

k x k

x x

k x k x

k x

N k

3 0

3 2

9 6 2

1

2 1

3 6 2 2 1

1 2

10

2 2 2

0 ,

<

≤ +

−

+

<

≤ + +

−

+

<

≤ +

k x k

x

k x k

x x

k x k

x x

k x k x

k x

N k

4 0

4 3

) 2 ( 6 1

3 2

3 6 4 6 1

2 1

3 6 4 6 1

1 6

10

3

3 2

3 2 3

0 ,

Với ñiểm nút dịch chuyển thứ k sẽ có hàm B-spline:

) ( , , N x k

Hình 2.3 Các hàm B-spline bậc 2, 3, 4 II.2 Hàm B-spline ña ñiểm nút (B-spline Function with Multiknots System):

Một tính chất quan trọng khi xây dựng ñường cong B-spline xấp xỉ hàm f(x)

ñó là có thể khống chế số ñiểm nút tk (knots) mà không phụ thuộc vào số lượng ñiểm kiểm soát pi (Controled Points) Bằng cách xây dựng hệ thống ña ñiểm nút phân bố ñều và không ñều (uniform knots B-spline - UBS, open uniform B-spline - OUBS, non-uniform B-spline - NUBS)

∑

=

= ni

k m

i N x p

x f

0 , ( ) )

Hàm B-spline với số ñiểm nút phân bố ñều (Uniform B-spline UBS): các ñiểm nút ñược chia ñều khoảng cách ñều với nhau ti= const, và tại mỗi ñiểm nút chỉ tồn tại 1 hàm B-spline duy nhất và Nm,k = Nm,0( x − k )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

- Tổng số nút: n = m+p+1

- Trong ñó:

o n: tổng số ñiểm nút

o m: bậc ña thức hàm B-spline

o p: tổng số ñiểm nút kiểm soát

o Vị trí các ñiểm nút với hàm B-spline trong khoảng [a,b]

Tại biên a:

1 , , 2

1 , ,

2 ,

họ hàm B-spline wavelet ðiều này là một ưu ñiểm ñể sử dụng OUBS cho các phần

tử khi kết nối với nhau và chịu ràng buộc ñiều kiện biên theo phương pháp phần tử hữu hạn

II 3 Lý thuyết B-spline trong khoảng [a,b] (interval [a,b]):

ðể tăng khả năng xấp xỉ chính xác 1 hàm ña thức bậc cao f(x) trong khoảng [a,b], ta chia chia ñoạn [a,b] thành nhiều ñiểm kiểm soát với tỉ lệ 2 j ( j ∈ N ), Khi

ñó sẽ tồn tại 2 j khoảng con với 2 j+1 ñiểm kiểm soát Với thông số dịch k các hàm B-spline ñược xác ñịnh dựa theo công thức (2.17-2.20), hàm B-spline này còn ñược gọi là hàm tỉ lệ B-spline (B-spline scaling function) với thông số rời rạc j (discrete parameter) và thỏa các ñiều kiện:

)2

()

2 j ≥ m − (khi B-spline là hàm UOBS hoặc NUBS) (2.22)

Hình 2.7 Phân chia khoảng con ñoạn [a,b] với thông số rời rạc j

Trong ñó, các giá mang sẽ thay ñổi theo (2.17)

− + +

<

≤

− + +

− +

<

≤

− +

− +

a b m k x a b m k x b

a b k x a b k

a b k x a b k x

a

a b k x

x N

j j

m i

i i

j j

j j

m i

i i

j

k m

2 0

2

2 2

1

2

2 2

1

2

1 2

2 0

) (

1 0

1 0

- Hàm B-spline OUBS bậc 2: (m=2, thông số rời rạc j)

o Tổng số hàm B-spline 2 j + m − 1 và thỏa ñiều kiện 2 j ≥ m 2 − 1

o Tại nút biên a có 1 hàm B-spline vời thông số dịch k=-1

11

)(1 , 2

ax

xaxx

N

j

j j

)(1 2 ,

bxbxx

N

j

j j

k j

o Tại giữa khoảng [a,b] có 2j − m+1 hàm B-spline với thông số dịch k=0, , 2j − m

; [ 0

2 1

2

1 )

( , 2

k k x

k x k

x

k x k x

x N

j

j j

j j

k

- Hàm B-spline OUBS bậc 3: (m=3, thông số rời rạc j)

o Tại nút biên a có 2 hàm B-spline với thông số dịch k= -2,-1

1 )

(

2 2

, 3

a a x

a x a k x x N

j

j j

2 1

2 2 1

1 2

3 2

2 2

1 , 3

a a x

a x a

t

a x a t

t N

j j j k

o Tại nút biên b có m-1 hàm B-spline với thông số dịch k=2 − j 2, 2 − j 1

1 2

2 1

1 2

2

3 2

2 2

2 2 , 3

b b x

b x b t

b x b

t t N

j

j j

1 2

1 ) (

2 1

2 , 3

b b x

b x b

k x x

N

j

j j

k j

o Tại giữa khoảng [a,b] có 2j − m+1 hàm B-spline với thông số dịch k=0, , 2 j − m

<

≤ +

j j

j j

j

k

x k

k x k

k x

k x k

k x

k x k k

x

k x

x N

3 0

3 2

3 2

1

2 1

2

3 4

3

1 2

1 0

) (

2

2 2

, 3

- Hàm B-spline OUBS bậc 4: (m=4, thông số rời rạc j)

o Tổng số hàm B-spline 2 j + m − 1 và thỏa ñiều kiện 2 j ≥ m 2 − 1

o Tại nút biên a có m-1 hàm B-spline vời thông số dịch k=-3, -2, -1

1 1

) (

2 3

, 4

a a x

a x a x

x N

j

j j

− +

−

+

<

≤ +

−

=

−

) 2 , [ 0

2 1

2

3 9

18 12

1 2

21 27

18 6

3 2

2 , 4

a a x

a x a

x x

x

a x a x

x x

N

j

j j

j j

j j

j j

− +

−

+

<

≤ + +

− +

3 2

9 27 27

2 1

2

7 18 27

9

1 2

11 9

6

1

3 2

3 2

3 2

1 , 4

a a x

a x a

x x x

a x a

x x x

a x a x

x N

j

j j

j j

j j

j j

j j

j k

o Tại nút biên b có m-1 hàm B-spline với thông số dịch k=2 − j 3,

2

2 − j , 2 − j 1, theo (2.8), ta có:

1 , 4 3 2 , − = N −

N j

m

2 , 4 2 2 , − = N −

N j

m

3 , 4 1 2 , − = N −

N j

m

o Tại giữa khoảng [a,b] có 2j − m+1 hàm B-spline với thông số dịch k=0, , 2j − m

+

<

≤ +

−

+

<

≤ + +

−

+

<

≤ +

j j

j

j j

j

j j

j

k

x k

k x k

x

k x k

x x

k x k

x x

k x k x

k x

N

4 0

4 3

) 2 ( 6 1

3 2

3 6 4 6 1

2 1

3 6 4 6 1

1 6

1 0

3

3 2

3 2 3

, 4

III LÝ THUYẾT VỂ B-SPLINE WAVELET:

III.1 Lý thuyết wavelet:

Phép biến ñổi wavelet một hàm f(x) ñược bắt ñầu từ một hàm mẹ ψ(x )(Mother Wavelet - MW) và hàm tỉ lệ ϕ(x )(Scaling function – SF) Hàm wavelet mẹ )

- Hàm ψ(x )và ϕ(x ) phải hàm bình phương khả tích, thuộc không gian 2 ( )

R L

Các họ hàm wavelet con ñược xây dựng dựa vào hàm MW và SF như sau:

- Trường hợp biến ñổi wavelet liên tục (Continues Wavelet Transform - CWT):

x k

x k

m ( )=22 2 −

o Trong ñó:

m là thông số tỉ lệ rời rạc (scale parameter)

k là thông số dịch (position parameter)

j là thông số rời rạc (discrete parameter)

Mối quan hệ giữa hàm wavelet và hàm tỉ lệ theo lý thuyết ña phân giải (Multi-Resolution Analysis - MRA):

- Trong miền tỉ lệ V0 và miền wavelet W0 ta xác ñịnh hàm tỉ lệ 0 ( )

1 V W

V = ⊕

o 1 ( ) 0 ( ) 0 ( )

x x

o Tổng thể:

l o

V V V

V 0 ⊂ 1 ⊂ ⊂ −1 ⊂

= +

0

0 1

) ( )

( ) (

l i

i x x

(a) Hàm wavelet bậc 1 (b) Hàm wavelet bậc 2

Hình 2.8 Hàm wavelet và hàm tỉ lệ theo MRA Một hàm số f(x) ñược biến ñổi dựa theo hàm tỉ lệ và hàm wavelet theo lý thuyết ña phân giải:

0

) ( )

( ) (

l i

i k o

l

k x q x

f x

Do việc tính toán các hệ số Wavelet tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức phức tạp, nếu tính toán như vậy sẽ tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ ðể giảm thiểu công việc tính toán người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và các vị trí ñể tiến hành tính toán Hơn nữa nếu việc tính toán ñược tiến hành tại các tỷ lệ và các vị trí trên cơ sở luỹ thừa cơ số 2 thì kết quả thu ñược sẽ hiệu quả và chính xác hơn rất nhiều ðiều này hoàn toàn phù hợp với phương pháp FEM, vì vậy trong luận văn này, chỉ trình bày về hàm wavelet rời rạc

III.2 B-spline wavelets:

Theo Michael Unser [15], tác giả ñã ñánh giá và ñưa ra các lợi thế của hàm B-spline wavelet:

- Bằng tính chất cuộn, các hàm B-spline có quan hệ với nhau, nó cho phép diễn ta một cách rõ ràng các miền thời gian lẫn tần số

- Việc xây dựng hàm cũng như phép vi phân, ñạo hàm ñơn giản

- Các tính chất của hàm B-spline cho phép khả năng xấp xỉ cao, giảm thiểu sai

m k

m x p N x k

0

) ( )

(

k m m

- Hàm tỉ lệ B-spline với thông số rời rạc j

)2

()(, x Nm jx kj

) ( )

( m k

m k

q

0 2 1

) 1 (

2 ) 1

- Hàm wavelet B-psline với thông số rời rạc j

)2

()(, x m jx kj

o Bán trực giao (semi-orthogonal):

Hàm wavelet

0 ) ( ), ( x − k i x − l =

ψ nếu j ≠ i ( i , j , k , l , m ∈ Z )

0 ) ( ), ( x − k i x − l ≠

) 1 2 ( )

xiψi( ) =0 (i = m 1 , − 1) III.3 OUBS wavelet trong khoảng [0,1]:

Chọn hàm tỉ lệ là hàm OUBS,φm,k( x ) = Nm,k( x ) Dựa theo lý thuyết B-spline wavelet bán trực giao (semi-orthogonal), Charler K Chui và Ewald Quak [7], [8] và [3,4,5,6], xây dựng hàm OUBS wavelet trong khoảng [0,1] (Open Uniform B-spline wavelet on the interval):

−

=

−

− +

−

=

= − −

functions) scaling

(inner 2

, , 0 )

2 (

functions) scaling

boundary (1

1 2 , , 1 2

) 2 1 (

functions) scaling

boundary (0

1 , , 1 )

2 ( )

(

0 ,

2 ,

, ,

m k

k x

m k

x

m k x

x

j j

m

j j

j k m m

j m k j

−

=

−

− +

−

=

= − + +

elets) (inner wav 1

2 2 , , 0 )

2 (

avelets) boundary w

(1 2

, , 2 2 2 )

2 1 (

avelets) boundary w

(0 1

, , 1 )

2 ( )

(

0 ,

1 2 2

, ,

m k

k x

m m

k x

m k x

x

j j

m

j j

j k

m

j k m j

- Các hàm wavelets ở giữa ñoạn [0,1] (k=0,1, ,2 j − m 2 + 1) xác ñịnh theo công thức (2.36-2.38)

∑−

=

−

=3 20

) ( )

( m k

m k

m x q N x kψ

q

0 2 1

) 1 (

2 ) 1

)2

()(

m j

− +

−

− +

− +

l

j k m m

k j

k m m

l l k j

k

2 2 2 0

1 , 2 0

, 2 1

, 2 1

1 ,

ψ

} { ] [ }

r

B −

=α

−

−

= m km t

m m

k

r

2 2 3

0 , 2 0

] 2 ) 1 2 ( , 2 [

avelets) boundary w

1 ( ]

1 , 2 [

avelets) boundary w

0 ( ] 2 ) 1 2 ( , 0 [ ) ( ,

i k

m k

k

k m x

j j

j j m

k

Xây dựng hàm OUBS bậc 2 (m=2) theo C.K Chui, E Quak :

- Hàm tỉ lệ: xác ñịnh theo hàm B-spline ña ñiểm nút mở (II.3) với m=2

- Hàm wavelet theo [3, 6]:

=

= 10 , ( )

i

i o k

Trong ñó [a] = [ao a1], ñược xác ñịnh theo bảng 2.1

) , [ +1

- Hàm tỉ lệ: xác ñịnh theo hàm B-spline ña ñiểm nút mở (II.3) với m=4, j=0 và công thức (2.39)

5040

1 ) (

i

i o k

Trong ñó [a] = {ao a1 a2 a3}, ñược xác ñịnh theo bảng 2.2

[0.5;1.0) [a] =[25795.06384, -110235.7345,

140390.7438, -55216.07994]

[a] =[96.3035852, -8807.039551, 22468.15735, -12864.78201]

[1.0;1.5) [a] =[53062.53069, 126337.0492,

-96182.03978, 23641.5146]

[a] =[37655.11514, 104447.2167, -90786.09884, 24886.63674]

[1.5;2.0) [a] =[56268.26703, -92324.54624,

49592.35723, -8572.795836]

[a] =[132907.7898, -236678.5931, 136631.1078, -25650.52030]

[2.0;2.5) [a] =[31922.33501, 39961.3568,

16550.59433, 2271.029421]

[a] =[-212369.3156, 281237.0648, -123326.7213, 17509.11789]

[2.5;3.0) [a] =[8912.77397, -9040.773971,

3050.25799, -342.4175544]

[a] =[184514.4305, -195023.4306, 68177.47685, -7891.441873]

8

− , 2,

-6

1] [a] =[21319.5, -16148.5, 4072.5,

-342]

=[-6

11539,1283.5, -285.5,

6

127]

6

125-12.5, 2.5,

6

1]

[0.5;1.0) [a] =[330.8868107, -1984.095658,

3863.517164, 2237.904686] [a] =[3

8 , -16, 32, -

6

127 ]

[2.0;2.5) [a] =[-270337.7867,376355.5451,

-171907.2184, 25770.69585]

[a] =[-72596.5, 105107.5, -50194.5, 7891.5]

[5.0;5.5) [a]

=[-3

10540 , 1918, -349,

6

127 ] [a] =[-353277.5, 195777.5, -36115.5, 2218]

[5.5;6.0) [a] =[36, 18, 3,

-6

1 ] [a] =[72642.5, -36542.5, 6124.5,

-342]

[6.0;6.5) [a] =[0] [a] =[-5801.5, 2679.5, -412.5,

6

127 ]

[6.5;7.0) [a] =[0] [a] =[

6

343 ], -24.5, 3.5, -

6 1 ]

(a) Hàm tỉ lệ φ4,0( x ) (b) Hàm tỉ lệ φ4,0(2x)

Hình 2.9 Hàm tỉ lệ B-spline m=4

Hình 2.10 Hàm B-spline wavelet ψ4,0( x )III.2 Lý thuyết về phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử B-spline wavelet

(B-spline wavelet element method - BSWM) trong khoảng [0;1]:

Dựa trên các giả thuyết ban ñầu, lý thuyết về FEM, B-spline và Wavelet ta

xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử B-spline wavelet trong khoảng

[0,1] (B-spline wavelet mth order - 2jth scale on the interval), trong ñó j là thông số rời rạc, m-1 là bậc ña thức hàm B-spline

Một hàm số f(x) xác ñịnh trong khoảng [a,b] ñược chuyển ñổi về khoảng ñơn

vị [0,1] bằng biến chuyển ñổi ξ∈ [ 0 , 1 ]

a b

a x

f x

Xấp xỉ hàm f(ξ) trong khoảng [0,1] bằng hàm B-spline OUBS bậc m (hàm

ña thức m-1) trong khoảng [a,b] bằng cách chia khoảng [a,b] thành n=2 j khoảng con với thông số rời rạc j và 2 j+1 ñiểm kiểm soát ðường cong B-spline ñược xác ñịnh:

∑−

+

−

=2 11

, , ( ) )

(

j

m

j k m j k m

)2

()

m = B , xây dựng hàm B-spline wavelet dựa theo (2.35-2.45)

Theo [1] trong không gian 1 chiều (1 demensionm – 1D), xét hàm chuyển vị u(x) của một phần tử hữu hạn xác ñịnh trong khoảng [a,b] Xấp xỉ u(x) bằng hàm BSWMmj u(x) = ( ) ( 2 jξ)

f x

] , [ ] , [ x1 x 1 a b

x ∈ n+ = ,ξ∈ [ 0 , 1 ]

el

(

j

m k

j k m j k m a

m m e

j

a a

a a

1 2 , 2

, 1 ,− + − + −

n e

uu

u

n T T

T e

R = φ (ξ1) φ (ξ2) φ (ξ +1) (2.59)

e e e a R

Từ (2.55) và (2.60), suy ra:

( )e e e e e e

u N u T u R

u ξ =ϕ −1 =ϕ = )

( )− 1

= e e R

e e T

Kết hợp với hệ phương trình ñược thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng:

e e e P u

Ke: ma trận ñộ cứng phần tử trong hệ tọa ñộ ñịa phương

Pe: vector tải trọng phần tử trong hệ tọa ñộ ñịa phương

Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích mà kết quả là hệ thống phương trình

B-II CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮN HẠN VỚI PHẦN TỬ B-SPLINE WAVELET TRONG KHOẢNG [0;1]:

Dựa trên các giả thuyết (chương 2.I), lý thuyết về FEM [23, 24, 25], B-spline

và Wavelet [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 18, 19, 20] ta xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử B-spline wavelet trong khoảng [0,1] (B-spline wavelet finite element method on the interval - BSW Imj), trong ñó j là thông số rời rạc, m-1 là bậc ña thức hàm B-spline

Một hàm số f(x) xác ñịnh trong khoảng [a,b] ñược chuyển ñổi về khoảng ñơn

vị [0,1] bằng biến chuyển ñổi ξ∈ [ 0 , 1 ]

a b

a x

f x

Xấp xỉ hàm f(ξ) trong khoảng [0,1] bằng hàm B-spline OUBS bậc m (hàm

ña thức m-1) trong khoảng [a,b] bằng cách chia khoảng [a,b] thành n=2 j khoảng con với thông số rời rạc j và 2 j+1 ñiểm kiểm soát ðường cong B-spline ñược xác ñịnh:

+

−

=2 11

, , ( ) )

(

j

m

j k m j k m

)2

()

p , : hệ số ñiểm kiểm soát thứ k của hàm B-spline

Chọn hàm tỉ lệ φ j, (ξ) j, (ξ)

k m k

m = B , xây dựng hàm B-spline wavelet dựa theo (2.35-2.45)

Theo [1] trong không gian 1 chiều (1 demensionm – 1D), xét hàm chuyển vị u(x) của một phần tử hữu hạn chiều dài xác ñịnh trong khoảng [a,b] Xấp xỉ u(x) bằng hàm BWSImj u(x) = f ( x ) = f ( 2 jξ):

] , [ ] , [ x1 x 1 a b

eL

(

j

m k

j k m j k m a

m m e

j

a a

a a

1 2 , 2

, 1 ,− + − + −

{ }T

n T T

T e

R = φ (ξ1) φ (ξ2) φ (ξ +1) (3.14)

e e e a R

Từ (3.10) và (3.15), suy ra:

( )e e e e e e

u N u T u R

u ξ =ϕ −1 =ϕ = )

( )− 1

= e e R

e

e T

N =ϕ : hàm dạng ña thức bậc m-1 (3.18) Dựa trên nguyên lý thế năng toàn phần dừng:

W U

Xây dựng hệ phương trình :

Pu

K: ma trận ñộ cứng trong hệ trục tổng thể

P: vector tải trọng trong hệ trục tổng thể

Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích mà kết quả là hệ phương trình [K]{q} = {P} Với [K] là ma trận ñộ cứng tổng thể, {q} là vector chuyển vị nút tổng thể, và {P} là vector tải tổng thể

Áp ñặt ñiều kiện biên của bài toán, giải hệ phương trình ñể xác ñịnh các ẩn

số, là chuyển vị ui của các nút

Hoàn thiện việc tính toán Từ kết quả tìm ñược khi giải hệ phương trình, sử dụng lý thuyết cơ vật rắn tiếp tục tìm ứng suất, biến dạng của tất cả các phần tử trong miền khảo sát

III PHẦN TỬ THANH PHẲNG CHỊU KÉO - NÉN ðÚNG TÂM:

x dV

U σ ε

21

L

xuPudx

xfW

e

Theo lý thuyết cơ vật rắn:

x A

x

u x

V x x

i

i i

L L

E: module ñàn hồi vật liệu phần tử thanh

A: diện tích mặt cắt ngang phần tử thanh

Le: chiều dài phần tử thanh

Theo lý thuyết về B-spline wavelet, chia phần tử thanh thành j

2 miền liên tục, gồm n=2j+1 ñiểm nút Tại mỗi ñiểm nút 1 bậc tự do ui ( = 1 , 2 j + 1

uu

u

Xấp xỉ hóa hàm chuyển vị tổng thể theo B-spline wavelet như sau:

e a

u (ξ) =ϕ = e e

u T

oL

xL

xx

Trong ñó: