Phân tích động lực học bài toán đàn hồi 2d bằng phương pháp không lưới (meshless)

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN Từ ý tưởng xấp xỉ trên nút của bài toán mà không xấp xỉ trên phần tử như phương pháp phần tử hữu hạn FEM, từ đó phương pháp không lưới Meshless hoặc Meshfree đư

Trang 1

NGUYỄN THÀNH QUỐC

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI 2D BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI (MESHLESS)

Chuyên nghành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp

Mã số nghành: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2008

Trang 2

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Đỗ Kiến Quốc

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Hoàng Nam

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Trọng Phước

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ – TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 06 tháng 02 năm 2008

Trang 3

Tp HCM, ngày 04 tháng 12 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: NGUYỄN THÀNH QUỐC Giới tính: Nam 6 / Nữ Ngày, tháng, năm sinh: 04 -10- 1977 Nơi sinh: Bình Định

Chuyên nghành: Xây dựng Dân dụng và Công Nghiệp

Khóa (Năm trúng tuyển): K16 (2005)

1 - TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI 2D

BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI (MESHLESS)

2 - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

Trình bày lý thuyết phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG), áp dụng phương pháp tính toán các bài toán đàn hồi 2D thông qua các ví dụ cụ thể, ứng dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải các ví dụ đó So sánh kết quả với các lời giải khác như SAP2000, ANSYS hoặc các phương pháp khác (nếu có) và rút ra các kết luận về phương pháp Element Free Galerkin

4 - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30-11-2008

5 - HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Nghành thông qua

QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

PGS TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả thầy cô giáo trường Đại Học Bách Khoa TPHCM đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức quý giá trong thời gian qua

Tôi xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư Tiến sỹ Đỗ Kiến Quốc, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn Chính những kiến thức mà tôi có được từ sự truyền đạt hướng dẫn nhiệt tình của thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sỹ Nguyễn Hoài Sơn, giảng viên Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh, người đã có nhiều góp ý quý báu trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn những người bạn đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học và thực hiện luận văn

Cuối cùng, xin được cảm ơn những người thân trong gia đình đã luôn luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Trang 5

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN

Từ ý tưởng xấp xỉ trên nút của bài toán mà không xấp xỉ trên phần tử như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), từ đó phương pháp không lưới (Meshless hoặc Meshfree) được xây dựng dựa trên các hàm xấp xỉ như phương pháp nhân chất điểm (The Kernel Particle Method), phương pháp bình phương cực tiểu động (The Moving Least Squares Approximation- MLS), phương pháp nội suy Kriging (Kriging Interpolation)… Trong luận văn này một trong những phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG) với xấp xỉ MLS được áp dụng để phân tích động lực học bài toán đàn hồi 2D Tuy nhiên việc xây dựng hàm dạng dựa trên MLS không thỏa mãn điều kiện Delta Kronecker tức là không thể áp đăït điều kiện biên chính như trong FEM Do đó, trong luận văn này, hai phương pháp hàm nhân tử Lagrange và hàm phạt được sử dụng để khắc phục những hạn chế vừa nêu Ơû đây, bài toán dao động tự do (Free Vibration) được nghiên cứu theo cả hai phương pháp, tuy nhiên bài toán đáp ứng động lực học chỉ dùng phương pháp hàm phạt Phần áp dụng luận văn này chúng tôi đề nghị khảo sát vào một số bài toán cụ thể, qua đó các kết quả sẽ được so sánh, đánh giá sai số với các chương trình tính toán khác như SAP2000, ANSYS

Trang 6

ABSTRACT

From the main idea of approximation on nodes of problem instead of approximation on elements used in the finite element method (FEM), Meshless method is established using approximation funtions such as The Kernel Particle Method, The Moving Least Squares (MLS), Kriging Interpolation, etc In this thesis, one of the Meshless mothods called Element Free Galerkin method (EFG) using MLS is used to analyze the two dimensional elastic dynamic However, the shape function established by using MLS is not adopted to Delta Kroneckers’ condition That means the essential boundary conditions can not be assigned as in FEM Therefore, two EFG methods called EFG with Lagrange multipliers funtion and EFG with penalty funtion are used in this thesis to cover limitations mentioned above These two methods are used to solve the free vibration problems, but only the EFG method with penalty funtion is used to solve the dynamic response problems In case study, we would like to introduce some typical numerical examples in order to compare the results and errors to other programmes such as SAP2000 and ANSYS

Trang 7

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Tóm tắt luận văn ii

Abstract iii

Mục lục iv

Các ký hiệu vii

Danh mục hình ix

Chương I: Giới thiệu 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Tình hình phát triển của phương pháp EFG trên thế giới 1

1.3 Tình hình phát triển của phương pháp EFG tại Việt Nam 3

1.4 Mục tiêu của luận văn 4

1.5 Phạm vi nghiên cứu 4

Chương II: Cơ sở lý thuyết đàn hồi phẳng 5

2.1 Ứng suất và biến dạng 5

2.2 Các phương trình cơ bản 6

2.3 Phương trình cân bằng 8

Chương III: Lý thuyết phương pháp Element Free Galerkin (EFG) 9

3.1 Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) 9

3.2 Hàm trọng số 13

3.3 Dao động tự do (Free Vibration) 15

3.3.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange 15

3.3.1.1 Phương pháp Lagrange Multipliers 15

3.3.1.2 Dạng yếu Galerkin với nhân tử Lagrange 15

3.3.1.3 Xây dựng Phương pháp EFG với nhân tử Lagrange 17

3.3.2 Phương pháp EFG với hàm phạt 24

3.3.2.1 Phương pháp hàm phạt 24

3.3.2.2 Dạng yếu Galerkin với hàm phạt 24

3.3.2.3 Xây dựng phương pháp EFG với hàm phạt 26

3.4 Lưới nền trong phương pháp EFG 29

3.5 Tích phân Gauss (phép cầu phương Gauss) 30

3.5.1 Tích phân Gauss một chiều 30

3.5.2 Tích phân Gauss hai chiều 30

3.6 Trình tự phân tích và tính toán bài toán 31

3.7 Thiết lập sơ đồ khối 32

Trang 8

3.7.1 Phương pháp EFG với nhân tử Lagrange 32

3.7.2 Phương pháp EFG với hàm phạt 34

3.8 Đáp ứng động lực học (Dynamic Response) 35

3.8.1 Xây dựng phương pháp EFG với hàm phạt 35

3.8.2 Phương pháp Newmark-β 37

3.8.3 Phân tích đáp ứng theo thời gian 38

Chương IV: Các ví dụ tính toán 39

4.1 Dao động tự do (Free Vibration) 39

4.1.1 Ví dụ 1 39

4.1.1.1 Trường hợp chia 63 nút (nxxny = 20x2) 40

4.1.1.1.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange 40

4.1.1.1.2 Phương pháp EFG với hàm phạt 40

4.1.1.3 Khảo sát sự hội tụ và sai số của 3 mode đầu tiên theo số nút 44

4.1.1.3.1 Mode 1 44

4.1.1.3.2 Mode 2 46

4.1.1.3.3 Mode 3 49

4.1.2 Ví dụ 2 51

4.1.2.3 Khảo sát sự hội tụ và sai số của 3 mode đầu tiên theo số nút 56

4.1.2.3.1 Mode 1 56

4.1.2.3.2 Mode 2 58

4.1.2.3.3 Mode 3 61

4.1.3 Ví dụ 3 63

Trang 9

4.1.3.2 Khảo sát sự hội tụ và sai số của 3 mode đầu tiên theo số nút67

4.1.3.2.1 Mode 1 67

4.1.3.2.2 Mode 2 69

4.1.3.2.3 Mode 3 70

4.1.4 Nhận xét và kết luận 72

4.2 Đáp ứng động lực học (Dynamic Response) 72

4.2.1 Ví dụ 1 72

4.2.1.1 Trường hợp chia 63 nút (nxxny = 20x2), ∆t = 0.002 (s) 73

4.2.1.2 Trường hợp chia 63 nút với các bước thời gian khác nhau (nxxny= 20x2), ∆t = 0.001 (s), ∆t = 0.002 (s) 74

4.2.2 Ví dụ 2 75

4.2.2.3 Trường hợp chia 297 nút với các bước thời gian khác nhau (nxxny= 32x8), ∆t = 0.002 (s), ∆t = 0.005 (s) 78

4.2.3 Nhận xét và kết luận 78

Chương V: Kết luận và kiến nghị 79

5.1 Nhận xét và kết luận 79

5.2 Kiến nghị hướng phát triển tiếp theo 80

Tài liệu tham khảo 81

Phụ lục 83

Trang 10

CÁC KÝ HIỆU

EFG Element free Galerkin

EFG(Lagrange) Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange

EFG(Ham phat) Phương pháp EFG với hàm phạt

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn

MLPG Phương pháp không lưới Petrov-Galerkin

MLS Bình phương cực tiểu động

PT Hàm cơ sở đơn thức

E Modul đàn hồi

ρ Khối lượng riêng vật liệu

ν Hệ số Poisson

(),i Đạo hàm δ( )/δx i

Φ Hàm dạng của phép xấp xỉ MLS

di Khoảng cách từ nút xi đấn nút x

dmax Khoảng cách xa nhất của miền con theo các phương

∆x Khoảng cách giữa 2 nút

i

u Giá trị chuyển vị giả định tại nút i

Trang 11

Γ Biên của miền tổng thể

KIJ Ma trận cứng của nút

K Ma trận cứng tổng thể

U Vectơ tham số chuyển vị tổng thể

F Vectơ tải tổng thể

fi Vectơ tải tại nút

G Ma trận chuyển vị trên biên

q Ma trận tải trên biên

δij Kronecker delta

Ω Miền tính toán

Trang 12

DANH MỤC HÌNH

Hình 2.1 Bài toán đàn hồi 2D

Hình 2.2 Bài toán ứng suất phẳng

Hình 2.3 Bài toán biến dạng phẳng

Hình 3.1 Miền ảnh hưởng của nút và miền xác định của phép xấp xỉ MLS tại

điểm x

Hình 3.2 Sự khác biệt giữa uh(xi) và ui

Hình 3.3 Biên chính Γu và biên tự nhiên Γt

Hình 3.4 Thể hiện ô lưới nền trong phương pháp EFG

Hình 3.5 Biên chính và biên tự nhiên

Dao động tự do (Free Vibration)

Hình 4.7 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode1 theo số nút

Hình 4.8 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm

phạt)– Sap2000 của mode 1 theo số nút

Hình 4.9 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys, EFG(Hàm

phạt)–Ansys của mode 1 theo số nút

Hình 4.10 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode 2 theo số nút

Hình 4.11 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm

phạt)–Sap2000 của mode 2 theo số nút

Hình 4.13 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode 3 theo số nút

Trang 13

Hình 4.22 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode1 theo số nút

Hình 4.25 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode2 theo số nút

phạt)–Sap2000 của mode 2 theo số nút

Trang 14

Đáp ứng động lực học (Dynamic Response)

Ví dụ 1

Hình 4.41 Sơ đồ tính toán ví dụ 1

Hình 4.42 Chuyển vị theo phương y trường hợp 63 nút, ∆t = 0.002 (s)

Hình 4.43 Vận tốc theo phương y trường hợp 63 nút, ∆t = 0.002 (s)

Hình 4.44 Chuyển vị theo phương y với các bước thời gian khác nhau trường hợp

63 nút, ∆t = 0.001 (s), ∆t = 0.002 (s)

Ví dụ 2

Hình 4.45 Sơ đồ tính toán ví dụ 2

Hình 4.50 Chuyển vị theo phương y với các bước thời gian khác nhau trường hợp

297 nút, ∆t = 0.002 (s), ∆t = 0.005 (s)

Trang 15

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU 1.1 Đặt vấn đề

Trong nhiều thập niên qua sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) với ý tưởng thay thế hàm liên tục đã cho bởi xấp xỉ các phần tử dùng các

đa thức, giúp giải quyết thành công nhiều bài toán cơ học, nó trở thành một phương pháp phát triển rộng rãi Tuy nhiên vẫn còn một số khó khăn trong phương pháp phần tử hữu hạn như thay đổi về hình học, các bài toán biến dạng lớn, các bài toán vết nứt… thường thì trong tính toán phương pháp FEM phải chia lại lưới cho bài toán, nhưng việc chia lại lưới phải đảm bảo tính liên tục cho bài toán, thường thì việc kết nối nút cho phần tử trong tính toán thường bị thiếu sót Từ ý tưởng xấp xỉ trên nút của bài toán, mà không xấp xỉ trên phần tử, từ đó các nhà khoa học đưa ra một phương pháp gọi là phương pháp không lưới (Meshless hoặc Meshfree) Đây là một phương pháp tính gần đúng, phương pháp này giải quyết hiệu quả các bài toán trị biên Đặc điểm của phương pháp này chỉ yêu cầu xây dựng một hệ các điểm nút cùng các miền ảnh hưởng của nút, từ đó xây dựng lời giải xấp xỉ mà không phụ thuộc vào sự kết nối, hay ràng buộc giữa các nút, trái ngược với phương pháp phần tử hữu hạn, ở chỗ là không cần kết nối phần tử Hơn nữa việc thêm bớt các nút được thực hiện dễ dàng trên miền phân tích Vì vậy phương pháp này tiện lợi và linh hoạt trong sử dụng Với những ưu điểm đó mà phương pháp này ngày càng được ưa chuộng trong tính toán các bài toán cơ học

1.2 Tình hình phát triển của phương pháp EFG trên thế giới

Trong những năm gần đây phương pháp không lưới trở nên phổ biến và được nhiều tác giả phổ biến theo nhiều hướng khác nhau như The Smooth Particle Hydronamics (SHP), The Diffuse Element Method (DEM), The Hp-Clouds, Meshless Local Petrov Galerkin, The Element Free Galerkin (EFG) …… tất cả các phương pháp này điều có chung một đặc điểm là chỉ cần xây dựng các điểm nút, các điểm nút được xác định trong miền xấp xỉ mà không cần tìm cả miền, chỗ khác nhau giữa các phương pháp này là kỹ thuật nội suy Nhìn chung có nhiều cách nội suy như phương pháp nhân chất điểm (The Kernel Method), xấp xỉ bình phương cực tiểu động (The Moving Least Quares Approximation) và phương pháp phân chia động nhất (The Partition of Unity), phương pháp nội suy Kriging (Kriging Interpolation)

Trang 16

Mặc dù phương pháp không lưới được phổ biến trong những năm gần đây nhưng ý tưởng của nó đã có vào năm 1970 Lucky (1977) giới thiệu The Smooth Particle Hydronamics (SHP) Khi mô phỏng các hiện tượng vật lý Monaghan (1982) đã xây dựng cơ sở lý thuyết từ ý tưởng của SHP bởi chấp nhận khái niệm hàm nhân tử, hàm nhân tư này cho phép xây dựng hàm thử cho bài toán

Libersky và Petcheck (1991) ứng dụng phương pháp này để giải quyết một số vấn đề trong bài toán cơ kỹ thuật tuy nhiên nó ít chính xác

Nayroles, Touzot và Villon (1992) sử dụng phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) trong phương pháp Galerkin và cơ sở của phương pháp này đã được phát triển bởi Lancaster và Salkauskas (1981)

Belytschko, Liu và Gu (1994) đã đưa hàm nhân tử Lagrangevào phép biến đổi tích phân trong phương pháp DEM và sử dụng phép cầu phương trên lưới nền

cơ bản, việc điều chỉnh này làm tăng sự chính xác cho kết quả tính toán so với phương pháp ban đầu và gọi là phương pháp Element Free Galerkin (EFG) Belytschko, Liu , Gu và M.Tabbara (1995) ứng dụng phương pháp Element Free Galerkin (EFG) cho bài toán tĩnh và động cơ phá hủy

Duarta, Oden (1996) và Melenk, Babuska (1996) đưa ra phương pháp the Hp-clouds và The Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM) cả hai phương pháp này cùng sử dụng sự phân chia đồng nhất để xây dựng hàm xấp xỉ không lưới Đã thừa nhận phương pháp bình phương cự tiểu động là trường hợp riêng của sự phân chia đồng nhất những phương pháp này là cơ sở ngoài nhằm tăng cường cho việc giải quyết bài toán Sự giống nhau của các phương pháp không lưới trên được tóm tắt tổng kết lại bởi Belytschko cùng một số tác giả khác

N.sukumar, B.moran, T.black, Belytschko (1997) ứng dụng phương pháp EFG vào tính toán cơ phá hủy ba chiều

Atluri và Zhu (1998) giới thiệu phương pháp không lưới mà phương pháp không yêu cầu lưới rõ ràng cho phép nội suy của việc giải quyết các biến, nền tảng cơ bản của phương pháp này là dạng yếu đối xứng cục bộ kết hợp với phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động và được gọi là phương pháp không lưới cục bộ Petrov-Galerkin (The Meshless Local Petrov Galerkin Method (MLPG))

Bouillardand Suleau (1998) đã ứng dụng phương pháp không lưới xây dựng vấn đề âm học cho kết quả khá tốt

Onate và Idelsohn (1998) đưa ra phương pháp không lưới Finite point method cơ bản trên phép nội suy bình phương trọng số nhỏ nhất với sự sắp xếp nút và ứng dụng trong bài toán cơ lưu chất

Atluri và một số tác giả khác (1998) đã tìm ra được hàm kiểm tra như các hàm cơ sở cho việc kiểm tra bài toán trong phương pháp MLPG, dẫn tới ma trận

Trang 17

cứng đối xứng và đã mở rộng phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động bằng cách kết hợp đạo hàm các biến vào trong phép nội suy để có thể đạt được kết quả xấp

xỉ phương trình vi phân cấp 4

Atluri và Zhu (2000)[1] giải bài toán đàn hồi tĩnh học bằng phương pháp MLPG Đã kiểm tra độ chính xác và hội tụ bằng các thí nghiệm số Trong phương pháp MLPG ứng suất và biến dạng được tính toán biến thiên phù hợp trong vật thể Những kết quả bằng số cho thấy phương pháp này cho kết quả tốt đối với vật liệu không nén (incompressible materials)

Kim và Atluri (2000) đã chứng minh cách dùng nút thứ cấp kết hợp với MLPG cho phép tính toán sẽ dễ dàng cho việc thêm nút trong miền tính toán và đạt được độ chính xác cao

M.H.Karganonin, H.E.Toussi, S.J.Faiborz (2004) với phương pháp Element Free Galerkin (EFG) cho vấn đề Elasto-plastic

IV Singh (2004) ứng dụng phương pháp Element Free Galerkin (EFG) trong bài toán cơ lưu chất

Một số tác giả khác kết hợp giữa phương pháp khác và phương pháp không lưới để đưa ra nhiều phương pháp có lợi hơn như phương pháp Finite Volume kết hợp với phương pháp không lưới MLPG

1.3 Tình hình phát triển của phương pháp EFG tại Việt Nam [7][17]

Phạm Tiến Cường (2005) luận văn cao học tại trường Đại Học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh với đề tài ứng dụng phương pháp không lưới Petrov-Galerkin giải bài toán dầm chịu uốn

Dương Quốc Hùng (2006) luận văn cao học tại trường Đại Học Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh với đề tài ứng dụng phương pháp Element Free Galerkin (EFG) giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi

Nguyễn Hoài Sơn (2000) tại hội nghị khoa học quốc tế Nha Trang trình bày phương pháp hàm điều chỉnh nhân tử (Reproduccing Kernel Particle Method (RKPM)) là một trong những phương pháp không lưới

Bùi Quốc Tính, Ngô Thành Phong (2005) Tạp Chí Phát Triển & Công Nghệ vơi nghiên cứu Aùp dụng phương pháp meshless cho bài toán ứng suất phẳng

Trương Tích Thiện, Nguyễn Ngọc Minh, Hà Long Vân, trường Đại Học Bách Khoa với nghiên cứu giải quyết bài toán đàn hồi trường hợp ứng suất phẳng bằng phương pháp meshless

Trang 18

Nguyễn Nhật Tân (2007) Luận văn cao học chương trình EMMC với đề tài A meshless Kriging methods for thin plate bending

1.4 Mục tiêu luận văn

Nghiên cứu lý thuyết phương pháp Element free Galerkin (EFG)

Aùp dụng phương pháp EFG tìm trị riêng và phân tích động lực học bài toán đàn hồi 2D với các ví dụ tính toán cụ thể, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab Từ kết quả đánh giá độ chính xác, hiệu quả của phương pháp EFG so với các phương pháp khác như Sap2000, Ansys ……

Nhận xét đánh giá phương pháp EFG trong phạm vi nghiên cứu của luận văn và hướng phát triển tiếp theo

1.5 Phạm vi nghiên cứu

Sử dụng hai phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange và phương pháp EFG với hàm phạt khảo sát trị riêng sau đó so sánh kết quả với các phương pháp khác như Sap2000, Ansys……

Sử dụng phương pháp EFG với hàm phạt khảo sát chuyển vị của bài toán phân tích động lực học sau đó so sánh kết quả với phương pháp Sap2000

Trang 19

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI PHẲNG

2.1 Ứng suất và biến dạng

Xét bài toán đàn hồi 2D trong miền Ω và biên Γ chịu tác dụng của lực khối b và lực mặt t, với Γ = Γ ∪ Γu t trong đó:

Ω

Hình 2.1 Bài toán đàn hồi 2D

Trang 20

yy

xy

u x v y

u v

x y

εεε

0

x y

2.2 Các phương trình cơ bản:

Định luật Hooke cho bài toán phẳng có dạng ma trận như sau:

Trang 21

{ } 2 1 1 001

1

0 0

2

E c

υυυ

υυ

Với : E – Mô đun đàn hồi

υ - hệ số Poisson

Hình 2.2 Bài toán ứng suất phẳng

Hình 2.3 Bài toán biến dạng phẳng

Trang 22

2.3 Phương trình cân bằng:

Phương trình cân bằng cho bài toán động có dạng như sau:

yx xx

Trang 23

CHƯƠNG III LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP ELEMENT FREE GALERKIN (EFG) 3.1 Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) [2][4][5][15][16]

Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) bắt nguồn từ các nhà toán học từ việc xây dựng bề mặt và kết nối dữ liệu và ứng dụng nó vào tính toán kỹ thuật Ngày nay phép MLS được sử dụng rộng rãi trong việc xây dựng các hàm dạng trong các phương pháp không lưới

Trong phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG) hàm chuyển

vị u(x) thì được xấp xỉ bởi kỹ thuật bình phương cực tiểu động, phép xấp xỉ này dựa trên ba thông số cơ bản sau:

+ Hàm trọng số của miền ảnh hưởng liên quan đến mỗi nút

+ Ma trận các đơn thức hoàn chỉnh

+ Các hệ số phụ thuộc vào vị trí điểm x ( điểm cần xấp xỉ )

Hình 3.1 Miền ảnh hưởng của nút và miền xác định của phép

xấp xỉ MLS tại điểm x

Xét miền con Ωx chứa điểm x và những điểm lân cận x, gọi là miền xác định của phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) cho hàm thử tại điểm x Để xấp xỉ hàm u(x) trong miền Ωx tại các nút với i =1,2,….,n

Trang 24

n: số nút chứa trong miền Ωx

Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động uh(x) của u(x), ∀ x ∈ Ωx có thể định nghĩa như sau:

1(2

1

)2)(

+ Bài toán 3-D

6

)3)(

2)(

1(3

21

)3)(

2)(

1

x x

t t t m

+ Bài toán l chiều

xl x x

l t t

t m

21

)) (

2)(

Trang 25

J(a(x)) = 2 (3.2)

1( )[ ( ) ( ) ]

Wi(x) = W(x-xi) là hàm trọng số của nút I với Wi(x) >0 với mọi x nằm trong miền ảnh hưởng của Wi(x)

n: số nút lân cận của x trong miền Ωx với hàm trọng số Wi(x) >0

Ma trận P và W được định nghĩa như sau:

.

) (

2 1

n T

T T

x p

0 )

(

1

x w

x w W

n

L

M O M

Hình 3.2 Sự khác biệt giữa uh(xi) và ui

Công thức (3.3) có thể được viết lại như sau:

Trang 26

[A] là ma trận vuông m hàng, m cột

[B] ma trận m hàng, n cột

Trong đó:

[A] = PTWP = B(x)P = ( ) ( ) ( ) (3.6)

1

i T i n

{a} = [A]-1 [B] { }u (3.8) (m,1) (m,m) (m,n) (n,1)

Ta thấy a(x) tồn tại chỉ khi ma trận A trong công thức (3.6) không được suy biến, khi và chỉ khi hạng của P (với n hàng và m cột) bằng m, Vì vậy điều kiện cần thiết cho phép xấp xỉ MLS là có ít nhất m hàm trọng số khác không (n≥ m) cho mỗi điểm x ∈ Ω

Thay a(x) từ (3.8) vào công thức (3.1) ta có mối quan hệ viết dưới dạng hàm nội suy tương tự như FEM

uh(x) = PT(x)a(x) = PT(x) [A]-1 [B] { }u (3.9) hay

Trang 27

thường chọn là miền tròn bán kính ri, tâm tại nút I hay hình chữ nhật cho bài toán 2D với khoảng cách dmax và hình cầu cho bài toán 3D

Từ công thức (3.10) không phụ thuộc vào x nên ta chỉ lấy đạo hàm

) ( [ )

, , 1 1

m

j k j i

=

+ +

Ký hiệu ( ),i là ký hiệu cho đạo hàm ∂( )/∂x i

Từ công thức (3.14) tính đạo hàm cấp 2 như sau:

(3.16)

])(

)(

)([)

(

,

1 , , 1 1

, , 1

1 , ,

1 ,

1 , , 1 1

1 , ,

ji l k k l kl kl j

ji k k l

ji l kl j

ji m

j k j i

kl

B A B A B A B A

P

B A B A P B A B A P B A P x

++

1 , 1 1 , 1 1 ,

1 , 1 1

Độ phẳng mượt của hàm dạng Φi(x) thì được xác định bởi hàm cơ sở P(x) và hàm trọng số Wi(x)

3.2 Hàm trọng số [2][5][11][15]

Hàm trọng số đóng vai trò quan trọng trong phương pháp không lưới việc lựa chọn hàm trọng số ảnh hưởng tới kết quả bài toán Nếu hàm trọng số Wi(x) =

0 dẫn tới hàm dạng Φi(x) = 0

Trong phép xấp xỉ MLS có nhiều cách chọn hàm trọng số, các hàm trọng số thường đuợc chọn như sau:

Hàm trọng số Spline bậc 3 được định nghĩa như sau:

Trang 28

3 2

i i

i

i i

d d x

1

12

d d

4 3 2

i i i i

d d d x

W

1

10

Với:

max

d

x x

d i − i

= x-xi: là khoảng cách giữa x và xi

dmax = αsdc

αs: là hệ số kinh nghiệm tính toán, αs từ 2 đến 3 cho kết quả rất tốt [15]

dc : Khoảng cách giữa các nút phân bố đều Nếu các nút phân bố không đều thì nó là giá trị trung bình khoảng cách các nút trong miền tính toán

dmax: được chọn sao cho bao phủ các nút tính toán Hàm trọng số tại một điểm bất kỳ có thể tính toán như sau:

1

])/(exp[

)/(exp[

)

2 2

k i i

k i i k

i i

c r c

d x

i i

r d

≥

≤

≤0

Trong đó:

ci: Tham số điều khiển dạng hàm trọng số Wi và gọi là trọng số quan hệ

ri: bán kính miền ảnh hưởng đối với hàm trọng số

k: cũng là một tham số điều khiển dạng của dạng của hàm trọng số Gauss và để đơn giản chọn k = 1

Hiện nay chưa có lý thuyết nào xác định tối ưu giá trị tham số ci và chỉ được chọn theo kinh nghiệm Lu, Belytschko và Gu (1994) giới thiệu một phương pháp chọn ci Các tác giả gợi ý xem ci như khoảng cách từ nút xi đến nút thứ 3 gần nhất và bán kính miền ảnh hưởng ri được chọn sao cho ≥ 3 5

Trang 29

số Wi đủ che phủ nút trong miền của hàm trọng số, để đảm bảo cho ma trận A trong công thức (3.6) không suy biến

Kích thước ri của miền ảnh hưởng cũng rất quan trọng, ri được chọn sao đủ lớn để hàm trọng số Wi đủ che phủ số nút của miền con Ωx (n≥m) để đảm bảo cho ma trận A không suy biến Nếu ri chọn quá nhỏ có thể dẫn đến sai số lớn cho phép tính toán cầu phương Gauss của hệ thống ma trận Mặc khác ri nên chọn vừa đủ nhỏ để bảo đảm phép xấp xỉ MLS có tính chất cục bộ phần tử

3.3 Dao Động Tự Do (Free Vibration)

3.3.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange [5][13][15][21] 3.3.1.1 Phương pháp Lagrange Multipliers

Trong phương pháp Lagrange Multipliers hàm Lagrange được viết như sau:

) ( ) (

Ω

d u C L

L λT (3.21) Trong đó L là hàm Lagrange

T là động năng T = ∫Ωρu&T&dΩ

21

Πs là thế năng Πs = ∫ΩεTσdΩ

21

Wf là công W =∫Ωu bdΩ +∫Γu t dΓ

t

T T

f

λ véctơ nhân tử Lagrange được viết như sau:

λT = {λ1, λ2, …………., λk} (3.22) C(u): là ma trận các hệ số:

) (

) ( )

1

u C

δ

3.3.1.2 Dạng yếu Galerkin với nhân tử lagrange

Trang 30

Dạng yếu Galerkin được tính trực tiếp từ nguyên lý Hamilton cho các bài toán kỹ thuật như sau:

Cho bài toán động lực học:

0

=Ω+

Γ

−Ω

t u bd

u

t

T T

T

&&

ρδδ

σε

Cho bài toán tĩnh học:

0

=Γ

−Ω

u d

t

T T

/

/0/

//

0

/00

0/

0

00

/

x y

x z

y z

z y

dx

0 0

2

0 0

0

0 0

0

0 0

0

12 11

12 11 11

12 11

12 12 11

c c

c c c

c c

c c c

21

(

)1(

νν

21

2 +ν

E

Trong đó:

E: môđun đàn hồi

ν: hệ số Poisson

Trang 31

Từ công thức (3.23), (3.24), (3.25) ta có dạng yếu Galerkin với nhân tử Lagrange như sau:

Bài toán động lực học:

Ω

−Ω

−Γ

−Ω

−ΩΔ

t

T T

&&

ρδδ

λδλ

δδ

(3.29) Bài toán tĩnh học:

0)

()

u C d

t u bd

u ud

c

t

T T

T

3.3.1.3 Xây dựng Phương pháp EFG với nhân tử Lagrange

Chúng ta xét bài toán 2 chiều đàn hồi trong miền Ω và biên Γu

Hình 3.3 Biên chính Γu và biên tự nhiên Γt

Từ (2.8) ta có phương trình cân bằng cho bài toán dao động tự do:

ΔTσ = ρ u&& (3.31) Với σn = t = 0 điều kiện biên trên biên tự nhiên Γt (3.32)

u = u = 0 điều kiện biên trên biên chính Γu (3.33) Dao động tự do với hàm điều hòa tần số ω và chuyển vị u(x,t) theo dạng như sau:

Trang 32

u&&(x,t) = -ω2 u(

σ: Tensor ứng suất

u: Vectơ chuyển vị

ρ: Khối lượng riêng

n: pháp tuyến đơn vị trên Γ = Γu∪Γt

Δ a trận vi phân công thức (3.27)

Ta có dạng yếu Galerkin với nha

g hợp bài toán 2 chiều ta có:

0 /

như sau:

I n

n: số nút trong m

Φi(x) của phép MLS

I n

I I I

I I I h

u v

u u

Trang 33

Δuh = Δ n I

I I I

x I y I

y I

x I I I I n

I I n

I I

n

I

x y

y

x u

=

, , , , 1

0

00

0/

/

/0

0/

φφφ

φφ

y

I

y I

x

I

, ,

φI,x ; φI,y : đạo hàm hàm dạng theo x, y

BI: ma trận tính biến dạng cho nút I

Ở đây sử dụng phép xấp xỉ MLS trong công thức (3.39) ta có uh - u ≠ 0 Việc sử

dụng phép xấp xỉ MLS để xây dựng hàm dạng φI(x) nên hàm dạng không có tính

chất của Kronecker delta

uI = u i cho nút I trên Γu (3.44)

Vì vậy chúng ta cần xác định điều kiện biên

u(xI) = u i cho nút I trên Γu (3.45)

Vì vậy thành phần thứ 2 và thứ 3 trong công thức (3.36) thì yêu cầu xác định điều kiện biên tại biên Γu

nλ : số nút dùng nội suy

s: chiều dài cung dọc theo biên chính

λI: nhân tử Lagrange tại nút I trên biên chính

Phép nội suy Lagrange bậc n có dạng tổng quát như sau:

Trang 34

Nếu chúng ta chọn phép nội suy Lagrange bậc nhất, ta có n = 1 và phép nội suy Lagrange tại điểm s = s0 và s = s1 như sau:

1 0

n

I I

N

N N

(3.56)

Trang 35

Ở đây K được gọi là ma trận cứng tổng thể có được từ tập hợp ma trận cứng của nút và có dạng sau:

Kích thước của ma trận K là (2nt)x(2nt)

U: là véctơ tham số chuyển vị tổng thể, có được tập hợp từ tham số chuyển vị của tất cả nút trong toàn miền Ω và có dạng sau:

chiều dài của véctơ U là (2nt)

Xét thành phần thứ hai trong công thức (3.51) với việc dùng công thức (3.39), (3.50) ta có:

∫

Γ

Trang 36

Ta có:

λδλδ

λ

n

I n

J

T I T

I n

Xét thành phần thứ 4 của công thức (3.51) ta có:

t

T T

n n

n

n n

M M

M

M M

M

M M

M

L

M O M M

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

Từ các công thức (3.56), (3.62), (3.65), (3.68) cuối cùng ta được:

δUT(KU -ω2MU + Gλ) + δλTGTU = 0 (3.70) Bởi vì δUT và δλT là số bất kỳ vì thế phương trình trên chỉ thỏa khi

(K -ω2M)U + Gλ = 0 (3.71)

GTU = 0 (3.72) Viết lại dưới dạng ma trận như sau:

0 0

Trang 37

Với các thành phần ma trận và vectơ nút của công thức như sau:

y I

x I

, , ,

,00

φφφφ

(3.76)

ΓΦ

−

= ∫

Γ

d N G

u

T I T

N

N N

0 0

∫

Ω

Ω Φ Φ

Ma trận cứng của nút KIJ định nghĩa trong công thức (3.74) là thành phần

cơ bản tạo nên ma trận cứng tổng thể của phương pháp EFG, điều này cho thấy sự làm việc của phương pháp không lưới trên nút tương phản với sự làm việc trên phần tử trong phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống

Bởi việc sử dụng tính chất đối xứng của ma trận c ta có:

T I I

T T I T

I T I T

Ω Ω

Ω

(3.81)

T J I

T T J T

J T I T

Ω Ω

Ω

(3.82) Từ các công thức trên ta thấy phần lấy tích phân trên toàn miền, trên biên

Do biểu thức dưới dấu tích phân nên chúng ta áp dụng tích phân Gauss (phép cầu phương Gauss) để tính toán Độ chính xác của phép tính phụ thuộc vào số điểm Gauss trên mỗi miền Ωs tích phân Gauss cho độ chính xác tới đa thức bậc 2n-1, với n là số điểm Gauss như vậy n phụ thuộc vào bậc của biểu thức nên nó phụ thuộc vào hàm cơ sở và hàm trọng số mà ta lực chọn để giải bài toán Một đặc điểm trong tính toán sử dụng phép cầu phương trong phương pháp EFG là sử dụng các ô lưới cho việc lấy tích phân, lưới này còn gọi là lưới nền, lưới nền phải không chồng lên nhau Trong phương pháp EFG lưới nền chỉ đơn thuần

Trang 38

dùng để tính tích phân cho hệ thống ma trận về cơ bản tổng ô lưới nền độc lập với sự sắp xếp của nút

Ma trận trong công thức (3.73) có thể lớn hơn so với ma trận cứng trong phương pháp phần tử hữu hạn do sự có mặt của ma trận cứng G có được từ điều kiện biên chính và phụ thuộc vào số nút trên biên

Để xác định chuyển vị U ta giải phương trình (3.73) chúng ta tìm được chuyển vị U với các thành phần chuyển vị uI, thay vào công thức (3.10) ta tìm được chuyển vị cuối cùng của bài toán

3.3.2 Phương pháp EFG với hàm phạt [15][22]

3.3.2.1 Phương pháp hàm phạt

Trong phương pháp hàm phạt hàm Lagrange được viết như sau:

1( ) ( ) ( )2

) (

) ( )

1

u C

δ

3.3.2.2 Dạng yếu Galerkin với hàm phạt

Dạng yếu Galerkin được tính trực tiếp từ nguyên lý Hamilton cho các bài toán kỹ thuật như sau:

Cho bài toán động lực học:

Trang 39

ε: ma trận biến dạng

/

/0/

//

0

/00

0/

0

00

/

x y

x z

y z

z y

dx

0 0

2

0 0

0

0 0

0

0 0

0

12 11

12 11 11

12 11

12 12 11

c c

c c c

c c

c c c

21

(

)1(

νν

21

2 +ν

E

Trong đó:

E: môđun đàn hồi

ν: hệ số Poisson

Từ (3.83),(3.86),(3.87),(3.88) ta có dạng yếu Galerkin với phương pháp hàm phạt như sau:

Bài toán động lực học:

Trang 40

3.3.2.3 Xây dựng phương pháp EFG với hàm phạt

Chúng ta xét bài toán 2 chiều đàn hồi trong miền Ω và biên Γu

Ta có phương trình cân bằng:

ΔTσ = ρu&& (3.94) Với σn = t = 0 điều kiện biên trên biên tự nhiên Γt (3.95)

u = u = 0 điều kiện biên trên biên chính Γu (3.96) Dao động tự do với hàm điều hòa tần số ω và chuyển vị u(x,t) theo dạng như sau:

ρ: Khối lượng riêng

n: pháp tuyến đơn vị trên Γ = Γu∪Γt

Δ: ma trận vi phân công thức (3.90)

Từ điều kiện biên ta có dạng yếu Galerkin với phương pháp hàm phạt cho bài toán dao động tự do (Free Vibration) như sau:

0

≠

u nếu uh - u = 0 thì thành phần thứ hai bằng không

Trường hợp bài toán 2 chiều ta có:

y x

/ /

/ 0

0 /

Từ phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động ta viết lại chuyển vị theo phương x, y như sau:

Định dạng
Số trang	129
Dung lượng	2,47 MB