Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 5: Lược đồ mức xám

[r]

CHƯƠNG 5 LƯỢC ĐỒ MỨC XÁM

5.1 GIỚI THIỆU

Một trong những công cụ đơn giản và hữu ích nhất cho xử lý ảnh số là lược đồ mức xám Hàm này tóm tắt nội dung mức xám của một ảnh Trong khi lược đồ mức xám của một ảnh bất kỳ chứa một lượng thông tin đáng kể, thì dĩ nhiên các loại ảnh cũng hoàn toàn được xác định rõ bởi các lược đồ mức xám của chúng Tính toán lược đồ mức xám cũng đơn giản và có thể thực hiện với giá khá rẻ khi một ảnh ảnh được sdao chép từ nơi này sang nơi khác

5.1.1 Định nghĩa

Lược đồ mức xám là một hàm cho thấy, cho mỗi mức xám, số lượng điểm ảnh thuộc một mức xám có trong một ảnh Trục hoành là mức xám và trục tung là tần suất xuất hiện (số các điểm ảnh) Hình 5-1 cho thấy một ví dụ

Có một cách khác để định nghĩa lược đồ mức xám bài tập dưới đây cho ta hiểu rõ hơn

sự hữu ích của hàm này Giả sử chúng ta có một ảnh liên tục được định nghĩa bởi hàm số

D(x,y), hàm biến thiên chậm từ mức xám cao tại tâm đến mức xám thấp tại các điểm biên Chúng ta có thể chọn một vài mức xám D 1 và định nghĩa tập các bao quanh nối tất

cả các điểm coa cùng giá trị D 1 trong ảnh lại với nhau Kết quả ta được các đường cong

khép kín bao quanh các vùng, mà các mức xám trong vùn là lớn hơn hay gằng D 1

Hình 5-2 cho thấy một ảnh chứa một đường bao với mức xám D 1 Đường bao thứ hai

được vẽ với mức xám D 2 cao hơn A 1 là diện tích khu vực bên trong đường bao thứ nhất,

tương tự A 2 là diện tích khu vực bên trong đường bao thứ hai

Hàm diện tích ngưỡng A(D) của ảnh liên tục là khu vực được khép kín bởi tất cả các đường bao có cùng mức xám D Bây giờ có thể xác định lược đồ mức xám như sau

) ( )

( ) ( lim )

dD

d D

D D A D A D

H

o

D 













Cho nên, lược đồ mức xám của ảnh liên tục là phủ định của đạo hàm hàm diện tích

của nó Dấu âm của kết quả từ thực tế là A(D) giảm trong trường hợp tăng D Nếu ảnh

được xem là biến ngẫu nhiên hai chiều, thì hàm diện tích sẽ tương ứng với hàm phân bố luỹ tích của nó và lược đồ mức xám tương ứng với hàm mật độ xác suất của nó

HÌNH 5-1

Hình 5-1 Ảnh và lược đồ mức xám của ảnh

HÌNH 5-2

Hình 5-2 Các đường bao của một ảnh

Với trường hợp hàm rời rạc, ta đặt D=1, khi đó biểu thức (1) trở thành

) 1 ( ) ( ) (D  A D A D

Hàm diện tích của một ảnh số đơn thuần là số các điểm ảnh có mức xám lớn hơn hoặc bằng mức xám D bất kỳ

5.1.2 Lược đồ mức xám hai chiều

Thường thì người ta tìm cách để tạo ra các lược đồ mức xám có chiều từ hai trở lê Đây là ích lợi đặc biệt cho ảnh màu, được đề cập trong chương 21 Hình 5-3 cho thấy các ảnh được số hoá từ ảnh hiển vi chứa tế bào bạch cầu (máu trắng) và nhiều tế bào hồng cầu Khu vực được số hoá trong ánh sáng trắng, đỏ và lam thông qua bộ lọc màu

Lược đồ mức xám đỏ - lam (red versus blue) hai chiều của hai ảnh cuối cùng ở trạng thái

thấp hơn

Lược đồ mức xám hai chiều là một hàm hai biến: mức xám tring ảnh đỏ và mức xám

trong ảnh lam Giá trị tại toạ độ (D R ,D B ) của nó là số cặp diểm ảnh tương ứng có mức xám D R trong ảnh đỏ và mức xám D B trong ảnh lam Nhớ lại rằng một ảnh số đa phổ (multispectral) ví dụ như ảnh này có thể cho rằng mỗi điểm lấy mẫu chỉ có một điểm ảnh đơn, nhưng mỗi điểm ảnh lại có nhiều giá trị - trong trường hợp này là hai Lược đồ mức xám hai chiều cho thấy sự phân bố các điểm ảnh trên cơ sở kết hợp hai mức xám Nếu các thành phần đỏ và lam giống nhau thì lược đồ mức xám sẽ có giá trị không (zero), ngoại trừ các điểm trên đường chéo 450C Những điểm ảnh có mức xám đỏ cao hơn mức xám lam và ngược lại sẽ tập trung ở trên và dưới đường chéo của lược đồ mức xám

Trong ánh sáng trắng, ảnh hiển vi trong hình 5-3 cho thấy thông tin đáng kể về màu sắc những tế bào hồng cầu hình như có màu hồng nhạt, trong khi tế bào bạch cầu màu xám với nhân màu lam sẫm do phép nhuộm màu Vì thế, những tế bào hồng cầu sẽ có màu sẫm trong ánh sáng lam, mà chúng hấp thu, và màu sáng trong ánh sáng đỏ Bởi vậy lược đồ mức xám đỏ-lam có bốn đỉnh phân biệt, ký hiệu màu nền (B-background), các tế bào hồng cầu (R-red), các nhân (N=nucleus) và tế bào chất (C-cytoplasm) của tế bào bạch cầu Sự phân tích lược đồ mức xám hai chiều sẽ được đề cập đến trong chương

21

5.1.3 Các tính chất của lược đồ mức xám

Khi một ảnh được cô đọng thành lược đồ mức xám, tất cả thông tin về không gian đều bị loại bỏ Lược đồ mức xám chỉ rõ số các điểm ảnh có trong mỗi mức xám, nhưng khôngliên quan một chút nào đến vị trí mà những điểm ảnh đó định vị trong ảnh Vì thế, lược đồ mức xám là duy nhất cho một ảnh bất kỳ, nhưng điều ngược lại không đúng

Các ảnh hết sức khác nhau có thể có lược đồ mức xám giống hệt nhau Tất cả những phép toán dịch chuyển các đối tượng khắp nơi trong ảnh đều không làm ảnh hưởng đến đặc thù lược đồ mức xám Tuy nhiên, lược đồ mức xám cũng có một vài thuộc tính hữu ích

Nếu chúng ta thay đổi các biến trong biểu thức (1) và tích phân hai vế với cận từ D

đến vô cùng, chúng ta nhận được hàm diện tích

 ( ) ( ) )

D   

Nếu đặt D = 0, giả sử các mức xám không âm, ta được

nh

¶ cña tÝch diÖn



Hoặc, trong trường hợp rời rạc









255

0

) (

D

NS NL D

trong đó NL và NS là số hàng và số cột tương ứng trong ảnh

HÌNH 5-3

Hình 5-3 Ví dụ về lược đồ mức xám hai chiều; (a) ảnh ánh sáng trắng;

(b) ảnh ánh sáng đỏ; (c) ảnh ánh sáng lam; (d) ảnh ánh sáng đỏ-lam

Nếu ảnh chứa chỉ một đối tượng xám cùng kiểu trên nền tương phản và chúng ta quy định rằng biên của đối tượng đó là đường bao định nghĩa bởi mức xám D1, khi đó

D H(D)dD diÖntÝchvËt thÓ (6) Nếu trong ảnh chứa nhiều đối tượng, thì tất cả những đường biên của chúng là đường

bao tại mức xám D 1, khi đó biểu thức (6) cho ta tổng diện tích tất cả các đối tượng Chuẩn hoá lược đồ mức xám bằng cách chia cho diện tích của ảnh ta được hàm mật

độ xác suất (PDF) của ảnh Một sự chuẩn hoá hàm diện tích tương tự tạo ra hàm phân bố

luỹ tích (CDF) của ảnh Những hàm thường sử dụng trong phép xử lý thống kê ảnh, đươc minh hoạ trong chương 6

Lược đồ mức xám còn có tính chất hữu ích khác, trực tiếp từ định nghĩa của nó như

số các điểm ảnh có trong mỗi mức xám: nếu ảnh gồm có hai miền rời nhau và đã biết lược đồ mức xám của mỗi miền, sau đó cộng hai lược đồ mức xám thành một lược đồ mức xám của toàn bộ ảnh Hoàn toàn rõ ràng điề này có thể mở rộng cho số lượng miền rời nhau

5.2 MỤC ĐÍCH CỦA LƯỢC ĐỒ MỨC XÁM

5.2.1 Các tham số số hoá

Lược đồ mức xám cho ta một dấu hiệu đơn giản có thể nhìn thấy được một ảnh có được sắp xếp đúng đắn trong khoảng mức xám có sẵn hay không Nói chung, một ảnh số hoá nên sử dụng tất cả hoặc hầu như tất cả các mức xám có sẵn, như hình 5-4 Sự thực hiện thất bại sẽ làm tăng hiệu quả khoảng cách lượng tử hoá Khi mà ảnh được số hoá ít hơn 256 mức xám, thông tin bị mất chỉ có thể khôi phục lại bằng cách số hoá lại

Cũng như vậy, nếu ảnh có phạm vi độ sáng lớn hơn bộ số hoá được thiết lập để điều khiển, thì mức xám sẽ được bỏ bớt tại 0 và/hoặc 255, tạo ra các xung nhọn tại một hay

cả hai đầu lược đồ mức xám Đó là một thói quen tốt thường làm đêt xem trước lược đồ mức xám khi số hoá Kiểm tra nhanh một lược đồ mức xám có thể làm cho nhiều người biết các vấn đề số hoá trước khi lãng phí quá nhiều thời gian

5.2.2 Lựa chọn ngưỡng biên (Boundary Threshold Selection)

Như đã đề cập đến trước đây, các đường bao cung cấp một cách hiệu quả để thiết lập đường biên của một đối tượng đơn giản trong ảnh Kỹ thuật sử dụng đường bao như các

đường biên gọi là chọn ngưỡng (thresholding) Mục đích của các kỹ thuật tối ưu đối với

sự lựa chọn ngưỡng mức xám là một chủ đề thảo luận đáng quan tâm trong tài liệu và sẽ được giải quyết trong chương 18

Giả sử ảnh có chứa một đối tượng màu tối trên nền sáng Hình 5-4 minh hoạ sự thể hiện lược đồ mức xám như một ảnh Các điểm ảnh tối bên trong đối tượng làm thành đỉnh cực phải của lược đồ Đỉnh cực trái là do số lượng lớn các điểm ảnh nền tạo nên Các điểm ảnh có mức xám trung bình nằm xung quanh cạnh của đối tượng tạo thành chỗ trũng xuống giữa hai đỉnh Ngưỡng mức xám được chọn trong phạm vi trũng sẽ là đường biên hợp lý của đối tượng

HÌNH 5-4

Hình 5-4 Lược đồ mức xám của ảnh có một đối tượng

Theo quan niệm chung, mức xám tương ứng với điểm cực tiểu giữa hai đỉnh là định nghĩa tốt nhất cho đường biên Xem lại biểu thức (1), lược đồ mức xám là đạo hàm của hàm diện tích Trong vùng lân cận của điểm trũng, lược đồ mức xám đảm nhận các giá trị tương đối nhỏ, ngụ ý rằng hàm diện tích thay đổi chạm theo ngưỡng mức xám Nếu chúng ta lấy giá trị điểm trũng làm ngưỡng mức xám, chúng ta sẽ tối thiểu hóa được ảnh hưởng của nó lên đường biên của đối tượng Nếu chúng ta quan tâm đén việc xác định diện tích đối tượng, thì việc chọn ngưỡng tại điểm trũng trong lược đồ mức xám sẽ làm tối thiểu hoá độ nhạy của phép đo diện tích thành những thay đổi trong ngưỡng mức xám

5.2.3 Mật độ quang học tích hợp (Integrated Optical Density)

Theo lược đồ trong hình 5-4, chúng ta có thể xác định được một ngưỡng mức xám tối

ưu cho đối tượng và tính được diện tích của nó (biểu thức (6)) mà không cần phải nhìn thấy ảnh Một phép đo khác cũng có thể được tính trực tiếp từ lược đồ của các ảnh đơn

giản là mật độ quang học tích hợp (integrated optical density-IOD) Nó là phép đo “khối

lượng” một ảnh và được định nghĩa như sau

 

 a b D x y dxdy IOD

trong đó a và b phân định vùng ảnh Khi ảnh gồm có một đối tượng tối ở trên nền mức xám không (zero), IOD sẽ cho thấy bản chất của sự kết hợp diện tích và mật độ đối tượng

Đối với ảnh số



 



NL i NS j

j i D IOD

1 1

) ,

trong đó D(i,j) là mức xám của điểm ảnh tại dòng i, mẫu thứ j Đặt N k bằng số lượng

điểm ảnh có mức xám bằng k trong ảnh Khi đó biểu thức (8) có thể viết lại như sau







255

0

k k

kN

rõ ràng vì thế mà biểu thức này làm tăng các mức xám của tất cả các điểm ảnh có

trong ảnh lên Tuy nhiên, N k chỉ đơn thuần là lược đồ được ước lượng tại mức xám k Vì

thế, ta có thể viết lại biểu thức (9)







255

0

) (

k

k kH

đó là tổng trọng lượng mức xám của lược đồ Cân bằng biểu thức (8) và (10), lấy giới hạn khi số gia giữa các mức xám tiến dần về không, chúng ta nhận được biểu thức tương

tự đối với ảnh liên tục:





0 DH(D)dD

và



 a b D(x,y)dxdy DH(D)dD (12)

Nếu một đối tượng trong ảnh được mô tả bằng một biên ngưỡng tại mức xám T, thì

IOD trong đường biên đối tượng sẽ được cho bởi





)

Mức xám chủ yếu bên trong là tỷ số của IOD với diện tích:













0

0

) (

) ( )

(

) (

dD D H

dD D DH T

A

T IOD

5.3 QUAN HỆ GIỮA LƯỢC ĐỒ MỨC XÁM VÀ ẢNH

Bởi vì lược đồ mức xám của một ảnh là duy nhất, nên có khả năng nhận được lược đồ của các ảnh đơn giản mà ta đã biết dạng hàm của chúng Mặc dù kỹ thuật này có lẽ ít khi

sử dụng, nhưng nó mang lại sự hiểu biết bản chất lược đồ, và nó thiết lập cơ sở cho việc nghiên cứu sự chọn ngưỡng trong chương 18 sau này

Giả sử chúng ta có một ảnh của dạng hàm đã cho và chúng ta muốn tính lược đồ mức xám của nó Chúng ta biết rằng đây là phủ định của đạo hàm đối với mức xám của hàm diện tích (biểu thức (1)) Bởi thế cho nên, chúng ta có thể nhận được lược đồ nếu trước tiên chúng ta nhận được hàm diện tích từ chính sự thể hiện ảnh Đôi khi điều này có thể được thực hiện một cách đơn giản bằng cơ sởự quan sát

5.3.1 Một chiều

Với mục đích để cho dễ hiểu, đầu tiên chúng ta nói về trường hợp một chiều (dimension) Ở đây từ “diện tích” thực tế chỉ có chiều dài, nhưng nó giải thích mối quan

hệ giữa lược đồ và ảnh của nó

Xem xét xung Gauss một chiều cho bởi









x e

x

Lưu ý rằng với x  0 (không âm), hàm là đơn điệu tăng (monotonic) Hơn nữa, diện tích chỉ đơn thuần là nghịch đảo của hàm ảnh Vì thế, với giá trị x  0 (không âm), chúng

ta có thể giải biểu thức (15) bằng cách xem x như một hàm mức xám

0 )

ln(

)

Là hàm diện tích đối với nửa ảnh bên phải Bởi vì hai phần nửa ảnh đối xứng nhau, toàn bộ hàm diện tích sẽ gấp hai lần diện tích trong biểu thức (16)

HÌNH 5-5

Hình 5-5 Xung Gauss

Lược đồ được cho bởi

) ln(

1 )

ln(

2 )

(

D D

D dD

d D

H









Và được trình bày trong hình 5-6 Lược đồ nhọn dần lên tại D = 0 bởi vì những vùng rộng của những mức xám thấp với các giá trị x dương và âm Đỉnh nhọn nhỏ tại D = 1do ảnh có hệ số góc (slope) không tại x = 0 (chẳng hạn, xung Gauss “bằng phẳng” cục bộ

chính tại đỉnh)

HÌNH 5-6

Hình 5-6 Lược đồ mức xám của xung Gauss

5.3.2 Hai chiều

Thủ tục tương tự có thể mở rộng cho ảnh hai chiều bằng cách sử dụng có suy xét tính đối xứng trong ảnh Ví dụ, giả thiết rằng xung Gauss một chiều của biểu thức (15) thực chất là một dòng của của ảnh hai chiều Nếu tất cả các dòng đều giống nhau, thì lược đồ

sẽ có hình dáng tương tự như trong hình 5-6, chỉ khác tỷ lệ tung độ

Ta có thể lấy đối xứng vòng theo cách dưới đây Giả sử ảnh là xung Gauss đối xứng vòng tròn tâm nằm ở gốc (Hình 5-7) Hàm ảnh theo toạ độ cực cho bởi





)  0 , 0  ,

HÌNH 5-7