Ảnh hưởng của vênh trong phân tích phi tuyến hình học dầm không gian

2.3.2 Công ảo gia tăng ---32 Chương 3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN PHI TUYẾN HÌNH HỌC THANH THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ.. Kết cấu được xem là thanh thành mỏng, theo Prokie [26], phả

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

****

PHẠM CẢNH TIẾN

ẢNH HƯỞNG CỦA VÊNH TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC

DẦM KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã số ngành : 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, Tháng 8 năm 2008

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS.TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS NGUYỄN HOÀI SƠN

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

Tp HCM, ngày 27 tháng 6 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: PHẠM CẢNH TIẾN Giới tính : Nam

Ngày, tháng, năm sinh 02/07/1979 Nơi sinh : Bình Định

Chuyên ngành : Xây dựng dân dụng và cơng nghiệp

Khố (Năm trúng tuyển) : 2005

1- TÊN ĐỀ TÀI: ẢNH HƯỞNG CỦA VÊNH TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH

2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN

- Nghiên cứu ứng xử của thanh thành mỏng tiết diện hơ û làm việc tới thời điểm mất ổn định, vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi

- Trình bày cơ sở lý thuyết của thanh thành mỏng tiết diên hở , các đặc trưng hình

học, sự vênh của tiết diện

- Dựa vào lý thuyết dầm cong, để phát triển các thành phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất của thanh thành mỏng Từ đó, thiết lập các phương trình cân bằng bằng phương pháp năng lượng, sử dụng công thức Lagrangian tổng quát để cập nhật hình học sau mỗi bước tải

- Dùng phương pháp điều chỉnh công để phân tích lặp gia tăng trong mỗi bước gia tải

- Dùng MATLAB lập trình tính toán ứng xử của thanh thành mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn qua các ví dụ cụ thể

- Từ kết quả phân tích sẽ được cụ thể hóa qua các ví dụ minh họa

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 16/07/2007

4- NGÀY HỒN THÀNH NHIỆM VỤ : 27/06/2008

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS CHU QUỐC THẮNG

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thơng qua

(Họ tên và chữ ký)

PGS TS CHU QUỐC THẮNG

LỜI CẢM ƠN

-

Tôi xin thành thật cám ơn đến quý Thầy Cô, Ban Giám Hiệu, phòng đào tạo sau đại học đã truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như lòng đam mê nghiên cứu khoa học Trong thời gian hai năm đã giúp tôi trưởng thành hơn và đặc biệt là trong thời gian làm tốt nghiệp Tôi đặc biệt gởi lời biết ơn đến thầy CHU QUỐC THẮNG đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này

Cảm ơn sự động viên của gia đình đã giúp tôi vươt qua khoảng thời gian học tập khó khăn này

Thành thật biết ơn tất cả

MỤC LỤC Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Giới Thiệu -1

1.2 Sơ lược tình hình nghiên cứu kết cấu thanh thành mỏng - 2

1.3 Phạm vi nghiên cứu và giới hạn -3

1.3 Cấu trúc luận văn -4

Chương 2 LÝ THUYẾT THANH THÀNH MỎNG 2.1 Khái niệm chung -7

2.2 Hiện tượng vênh và xoắn -8

2.2.1 Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang thanh thành mỏng tiết diện hở -9

2.2.1.1 Tọa độ quạt của một điểm: -9

2.2.1.2 Biểu đồ tọa độ quạt -9

2.2.1.3 Các đặc trưng tọa độ quạt -11

2.2.2 Thanh thành mỏng chịu uốn ngang -15

2.2.3 Thanh thành mỏng chịu xoắn thuần túy -Ứng suất trên mặt cắt ngang -17

2.2.3.1 Độ vênh của tiết diện thanh thành mỏng tiết diện hở -18

2.2.4 Xoắn kềm chế thanh thành mỏng tiết diện hở -20

2.3 Phân tích chuyển vị, ứng suất, biến dạng của thanh thành mỏng tiết diện hở -27

2.3.1 Mối quan hệ ứng suất và biến dạng -31

2.3.2 Công ảo gia tăng -32

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN PHI TUYẾN HÌNH HỌC THANH THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ 3.1 Công thức phần tử hữu hạn -35

3.2 Thiết lập ma trận độ cứng phần tử và ma trận chuyển -36

3.3 Phương trình cân bằng trong hệ trục tọa độ tổng the å -41

3.4 Phân tích phi tuyến hình học -42

3.4.1 Phương pháp điều chỉnh công -47

Chương 4 LẬP TRÌNH PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 4.1 Giới thiệu -48

4.2 Ma trận độ cứng tiếp tuyến–Vector lực nút -Ma trận chuyển -49

4.2.1 Ma trận độ cứng phần tử ø -49

4.2.2 Vector nội lực phần tử -51

4.2.3 Vector tải trọng phần tử -52

4.2.4 Ma trận chuyển -53

4.3 Sơ đồ giải thuật phân tích tuyến tính -54

4.4 Sơ đồ giải thuật phân tích phi tuyến -55

Trang 1 Chương 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu

Cùng với sự phát triển khoa học như vũ bão, ngành xây dựng cũng có những bước tiến đáng kể, nhiều dạng kết cấu cũng như vật liệu mới đưa vào ứng dụng sau một thời gian nghiên cứu Kết cấu thanh thành mỏng ngày nay được sử dụng rộng rãi trong các công trình dân dụng, cầu đường… Do vậy cần phải nghiên cứu dạng kết cấu này

Mặc dù thép có độ cứng hơn bêtông, nhưng thép thanh thành mỏng cũng có nhược điểm riêng, do đặc tính nhẹ, gọn nên các cấu kiện nếu được thiết kế bằng thép thường có xu hướng mảnh, cho nên chính yếu tố này làm kết cấu có độ mảnh rất lớn, điều này dần tới mất ổn định của cấu kiện

Để sử dụng kết cấu thanh thành mỏng cần phải hiểu các đặc tính làm việc của nó Kết cấu được xem là thanh thành mỏng, theo Prokie [26], phải thỏa mãn điều kiện sau:

t/b≤0.1; b/L≤0.1

t: chiều dày thanh

b:kích thước phương điển hình

L:chiều dài phần tử thanh

Dạng thanh này có đặc tính độ cứng xoắn rất bé cho nên rất dễ bị uốn xoắn Ngoài ra, dạng kết cấu thanh thành mỏng khác dạng kết cấu thanh thông thường: trọng tâm thường không trùng với tâm xoắn (tâm cắt) cho nên khi thanh chịu uốn

Trang 2 Chương 1

ngang sẽ xuất hiện thêm momen xoắn Chẳng hạn như xác định ứng suất pháp, ứng suất tiếp trong trường hợp chịu uốn ngang thì có thể dùng công thức sức bền vật liệu là xác định được, tuy nhiên khi kết hợp cả xoắn uốn thì việc xác định các thành phần ứng suất không còn đơn giản nữa, thêm vào đó ứng suất và mode phá hoại của thanh thành mỏng sẽ khó xác định hơn do tiết diện ngang xoay xung quanh tâm cắt và hiện tượng xoắn vênh xảy ra Cho nên, đây là điều cần phải quan tâm khi tiếp cận kết cấu dạng thanh này

Như đã nói trên, thanh thành mỏng có độ mảnh lớn, cho nên ứng xử tải trọng-chuyển vị của kết cấu thường không còn là tuyến tính nữa, nhất là khi tải trọng tác dụng tiến dần đến giá trị tới hạn Cho nên, cần phải xem xét yếu tố ứng xử phi tuyến ở dạng kết cấu này

1.2 Sơ Lược Tình Hình Nghiên Cứu Kết Cấu Thanh Thành Mỏng

Đã có nhiều lời giải phân tích thanh thành mỏng Nhiều tác giả đã đưa ra nhiều mô hình tính toán khác nhau

Timosheko là người đầu tiên đưa ra lý thuyết tính toán thanh thành mỏng [5], sau đó Vlasov đã thừa kế và phát triển hoàn chỉnh lý thuyết tính toán về độ bền, ổn định của thanh thành mỏng tiết diện hở

Saint-Venant đưa ra lời giải bài toán xoắn thuần túy của dầm đàn hồi vào năm 1885, với quan niệm rằng: tất cả tiết diện của dầm đều chịu cùng một giá trị mômen và cho rằng chịu sự phân bố ứng suất tiếp và vênh là như nhau, điều này được xem như góc xoắn tỷ đối là hằng số Quan niệm chỉ có giá trị trong bài dầm

Trang 3 Chương 1

thanh, độ vênh và góc xoắn tỷ đối không còn là hằng số nữa và dẫn đến sự xuất hiện của ứng suất pháp Do đó, đối với dạng bài toán thanh thành mỏng chịu xoắn kiềm chế, độ cứng xoắn gồm 2 thành phần: độ cứng xoắn cổ điển Saint-Venant và độ cứng xoắn do cản trở vênh tại tiết diện gây ra

Nếu góc xoắn tỷ đối là hằng số thì bỏ qua độ cứng xoắn do vênh gây ra- bài toán chịu xoắn thuần túy, nếu góc xoắn tỷ đối thay đổi theo chiều dài phần tử thì độ cứng xoắn do vênh phải được kể đến trong tính toán bài toán chịu xoắn kiềm chế Theo giả thiết của Vlasov[1] [5], lý thuyết xoắn tổng quát của thanh thành mỏng tiết diện hở như sau:

- Biến dạng cắt trên đường trung bình ( chu tuyến ) được bỏ qua

- Mặt trung bình không bị biến dạng ngang trong suốt quá trình thanh bị biến dang

Sau đó, các nghiên cứu của các tác giả Reill 1972, Murray 1986, De Ville 1989… đều thừa nhận giả thiết của Vlasov, góc xoắn tỷ đối được xem như là một bâc tự do vênh mới Như vậy, theo phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử thanh thành mỏng được mô tả với 14 bậc tự do

Ngoài ra, theo [26] Prokie cũng trình bày mô hình vênh tính toán đối với tiết diện kín và hở bất kỳ, theo lý thuyết này tiết diện được xem như tạo nên từ các đa giác, từ đó hàm vênh được xác định từ các thông số chưa biết tại các nút đã chọn trên tiết diện

Bên cạnh đó, theo quan điểm của Wilde đưa ra năm 1968 rằng, thanh thành mỏng được xem như là các phần tử tấm vỏ mỏng dạng lăng trụ với các ràng buôïc nội tại, các ràng buộc này theo các giả thiết của Vlasov Về mặt hình học, phần tử

Vấn đề tiếp theo cần quan tâm đối với thanh thành mỏng là bài toán phi tuyến Bài toán phi tuyến có hai dạng: phi tuyến vật liệu và phi tuyến hình học Trong bài toán phi tuyến vật liệu mối quan hệ ứng suât và biến dạng không phải là duy nhất, còn phi tuyến hình học tạo ra bởi các biến dạng gia tăng dẫn đến sự thay đổi ma trận độ cứng của kết cấu khi tải trọng tác dụng Cả 2 bài toán đều phải viết lại phương trình cân bằng khi xuất hiệân các biến dạng mới

Như đã đề cập trên thanh thành mỏng là một dạng thanh có độ mảnh lớn nên chuyển vị lớn khi đạt đến tải trọng giới hạn Bài toán phi tuyến hình học là một chuỗi các bài toán tuyến tính với bước gia tải đủ nhỏ Biến dạng trong từng bước gia tải xem là nhỏ, trong khi chuyển vị cộng dồn là lớn [1][10][25], với các bài toán xét đến mô hình chuyển vị lớn, tải trọng được chia thành các bước gia tải đủ nhỏ, tính toán chuyển vị gia tăng trong một bước gia tải, sau đó cập nhật chuyển vị vào ma trận độ cứng Ma trân độ cứng sẽ được tính lại sau mỗi bước gia tải Có hai công thức tính cập nhật ma trận độ cứng: công thức cập nhật Lagrangian

1.3 Phạm Vi Nghiên Cứu Và Giới Hạn

Nghiên cứu ứng xử của thanh thành mỏng tiết diện hơ ûlàm việc tới thời điểm mất ổn định, vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi Từ kết quả phân tích sẽ được cụ thể hóa qua các ví dụ minh họa

Trình bày cơ sở lý thuyết của thanh thành mỏng tiết diện hở, các đặc trưng hình học, sự vênh của tiết diện

Dựa vào lý thuyết dầm cong, để phát triển các thành phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất của thanh thành mỏng Từ đó, thiết lập các phương trình cân bằng bằng phương pháp năng lượng, sử dụng công thức Lagrangian tổng quát để cập nhật hình học sau mỗi bước tải

Dùng phương pháp điều chỉnh công để phân tích lặp gia tăng trong mỗi bước gia tải

Dùng MATLAB lập trình tính toán ứng xử của thanh thành mỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn qua các ví dụ cụ thể

Trang 6 Chương 1

1.3 Cấu Trúc Luận Văn

Luận văn gồm các chương sau:

Chương 1 TỔNG QUAN

Chương 2 LÝ THUYẾT THANH THÀNH MỎNG

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH TOÁN PHI

TUYẾN HÌNH HỌC THANH THÀNH MỎNG TIẾT DIỆN HỞ

Chương 4 LẬP TRÌNH PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC BẰNG

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chương 5 VÍ DỤ MINH HỌA

Chương 6 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

PHẦN PHỤ LỤC

Trang 7 Chương 2



CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT THANH THÀNH MỎNG

2.1 Khái Niệm Chung [22]

Hình dưới là dạng đặc trưng cơ bản của một dạng thanh thành mỏng tiết diện hở, quan sát ta thấy rằng chiều dày rất nhỏ so với đường chu tuyến s của mặt cắt ngang , và s thì rất nhỏ so với chiều dài L của phần tử

Hình 2.1 Mô hình thanh thành mỏng Nhờ đặc tính trọng lượng nhẹ vận chuyển dễ dàng, sức chịu lực lớn nên thanh thành mỏng tiết diện hở được sử dụng rộng rãi trong xây dựng cũng như trong các ngành khác

Timoshenko là người đầu tiên đưa ra lý thuyết tính toán thanh thành mỏùng, và Vlasov góp công hoàn thiện tính toán về lý thuyết tính toán về bền, ổn định…

Ta có thể xem xét các yếu tố sau:

- Mặt cách đều hai mặt bên thanh gọi là mặt trung gian

- Giao tuyến của mặt trung gian với mặt cắt ngang gọi là đường trung gian,

do đó ta thấy dạng của đường trung gian tao thành chu tuyến của mặt cắt ngang

Như vậy có hai dạng thanh thành mỏng:

Trang 8 Chương 2

- Thanh thành mỏng mặt cắt hở, do chu tuyến la một dạng đường hở

- Thanh thành mỏng mặt cắt kín, do chu tuyến la một dạng đường kín

Tiết diện hở Tiết diện kín Hình 2.2 Các dạng tiết thanh thành mỏng

2.2 Hiện Tượng Vênh Và Xoắn: [5][6] [7] [8] [22] [24] [25] [27]

Một điều cần được xem xét ở dạng thanh này là độ cứng xoắn nhỏ so với dạng thanh đặc thông thường, điều này do yếu tố vênh của thanh thanh mỏng gây

ra Do sự liên hệ giữa chuyển vi xoắn và biến dạng vênh sẽ gây ra ứng suất pháp dọc trục, đây là điều cần lưu ý khi tính toán dạng thanh này, vì phải kể thêm phần ứng suất phát sinh này

Và điều thứ hai, thông thường thì thanh đặc chỉ cần quan tâm tới một dạng đường trục thanh đi qua trọng tâm của tiết diện, tuy nhiên đối với thanh thành mỏng

co sự khác biệt Tiết diện thanh này xoay xung quanh tâm cắt, nhưng thông thường tâm cắt lại không trùng với trọng tâm, cho nên khi chịu tải trọng ngang khi tác dụng nên phát sinh ra lực xoắn, đây là điều đáng chú ý

Do từ sự khác biệt đó cho nên sẽ đưa và một số thông số đặc biệt khi tính

Ta có một chu tuyến như hình 2.3, có các đặc điểm sau:

O: gốc tọa độ trên chu tuyến

P: một điểm cực trên mặt phẳng tiết diện ngang

s: tọa độ cong của điểm A, tính từ gốc O

ds: chiều dài phân tố AB

Như vậy tọa độ quạt của điểm A được xác định như sau:

2.2.1.2 Biểu Đồ Tọa Độ Quạt

Ta có thể xác định tọa độ quạt của từng điểm trên đường trung gian ứng với một cực P và một gốc O xác định Từ định nghĩa này ta xác định được biểu đồ tọa

Trang 10 Chương 2

A x

y

O ' O

y

O ' O

C B

P

( ) 2

Tọa độ quạt phụ thuộc vào vị trí cực P và gốc O

Hình 2.4 Biểu đồ tọa độ quạt của tiết diện chữ C Vẽ biểu đồ quạt của tiết diện chữ C, có gốc O và cực P như trên

Tọa độ quạt diểm A (áp dụng 2.1)

WA=2xdiện tích POA

Tọa độ quạt điểm D

WB=2xdiện tích POD =ab/2

Tọa độ quạt điểm E

WE=2x(diện tích POD - diện tích PDE)

Trang 11 Chương 2

wx F

wy F

S wdF

2

w F

Hình 2.5 Biểu đồ tọa độ quạt của tiết diện chữ I

2.2.1.3 Các Đặc Trưng Tọa Độ Quạt

Mômen tĩnh quạt đường (2.3)

(2.4) Mômen quán tính quạt (2.5)

Trong đó :

- df: vi phân diện tích của mặt cắt ngang

dF

-x,y: tọa độ của dF trong hệ trục tọa độ Oxy

-Thực tế thường thanh thành mỏng có chiều dày không đổi, nên các công thức (2.2)…(2.4) có tính đơn giản

Do các công thức trên đều phụ thuộc biểu đồ tọa độ quạt w, cho nên nếu biết w,

ta có thể tìm được các đặc trưng hình học dễ dàng Có thể dùng phép nhân biều đồ để tính các tích phân trên Aùp dụng cho tiết diện I, C có biểu đồ tọa độ quạt và các biểu đồ tọa độ điểm x,y như hình 2.7

Trang 13 Chương 2

( ) 2

d

Hình 2.7 Mômen tĩnh quạt

12 12 24

i

s

i i F

J  wyds  wyds



    (2.13) Mômen tĩnh quạt

3

1 24

i

s

i i F

Nếu J  y J  x  0 thì cực P tương ứng là cực chính

Nếu S  0 thì gốc O tương ứng là gốc chính

Từ định nghĩa trên, so sánh với tiết diện chữ I ở trên ta thấy gốc O, cực P đều thỏa như vậy O là gốc chính, P là cực chính Còn tiết diện chữ C, O là gốc chính, nhưng để P là cực chính thì

( 6 )

x

b c a c ab J

c c

Trang 15 Chương 2

P

Hình 2.8 Thanh chịu lực ngang

2.2.2 Thanh Thành Mỏng Chịu Uốn Ngang [22]

Cũng như thanh đặc khi thanh thành mỏng chịu uốn thì các thành phần ứng suất pháp, ứng suất tiếp được tính từ thành phần nội lực: mômen M, lực cắt Vx,Vy

x

M

y J

P r



Vx

x

y Vy

Hình 2.9 Phân bố ứng suất tiếp

Tuy nhiên nếu tâm xoắn không trùng với trọng tâm thì khi đó sẽ phát sinh mômen xoắn, sau đây ta sẽ xem xét thanh thành mỏng tiết diện hở chịu xoắn, đây là vấn đề mấu chốt của dạng thanh này

Hình 2.10 Phân bố ứng suất tiếp Hình 2.11 Phân bố ứng suất tiếp

tiết diện hở tiết diện kín

Ứùng suất tiếp lớn nhất trong trường hợp hở:

Với M: mômen xoắn trên mặt cắt ngang

s: chiều dài đường trung bình

chiều dày mặt cắt ngang

Khi đó góc xoắn

Với L: chiều dài thanh

G: module đàn hồi trượt

2.2.3.1 Độ Vênh Của Tiết Diện Thanh Thành Mỏng Tiết Diện Hở

Trong dạng thanh đặc, giả thiết tiết diện không biến dạng trong suốt quá trình biến dạng, tuy nhiên giả thiết này không còn đúng trong trường hợp thanh thành mỏng, vì trong quá trình biến dạng tiết diện sẽ bị vênh ra khỏi mặt phẳng ban đầu (biến dạng theo phương trục dầm), nhưng giả thiết bỏ qua biến dạng cắt của tiết diện vẫn còn đúng cho dạng thanh thành mỏng tiết diên hở, tức tiết diện vẫn giữ hình dạng ban đầu theo phương ngang

Xét thanh chịu xoắn như hình sau

AB

C D

x z

D

AA'O





dx

Hình 2.12 Thanh chịu xoắn Hình 2.13 Phân tố ABCD

Giả sử khi chịu xoắn mặt cắt ngang xoay quanh tâm xoắn O

2.2.4 Xoắn Kềm Chế Thanh Thành Mỏng Tiết Diện Hở [5][[6][22]

Đây là một trong những điểm hay thường gặp trong thanh thành mỏng tiết diện hở, quan sát hình dưới ta thấy độ vênh của tiết diện tại đầu ngàm sẽ không tồn tại, tuy nhiên tại đầu mút độ vênh sẽ là lớn nhất, như vậy độ vênh của thanh sẽ thay đổi dọc theo chiều dài thanh

M

Hình 2.14 Theo (2.32) w xem như là hằng số, trong khi độ vênh f thay đổi, điều này

d 

* Ứùng Suất Pháp Phụ

Như vậy biến dạng theo trục dầm:

Trang 22 Chương 2

0 0 0

* Ưùng Suất Tiếp Phụ

Thanh thành mỏng tiết diện hở là dạng thanh cần phải quan tâm đến độ cứng xoắn Sự xoắn được hình thành từ hai thành phần:

- Do thành phần xoắn thuần túy

Trang 23 Chương 2

Đối với thanh chịu xoắn thuần túy thì không kể đến thành phần thứ hai, do không tạo ra ứng suất tiếp phụ Ngược lại thanh chịu xoắn kiềm chế thì phải kể đến thành phần thứ hai

Trên hình 2.13 ta thấy rằng, khi thanh chịu xoắn kiềm chế thì vênh sẽ biến thiên theo chiều dài trục thanh, điều này dẫn đến ứng suất pháp cũng biến thiên

Như vậy để cân bằng ứng suất pháp biến thiên, trên tiết diện thanh sẽ xuất hiện một thành phần ứng suất tiếp phụ

2

Fc

d dF dx

Như vậy theo công thức (2.32), độ vênh f không còn tuân theo hình dạng của tọa

độ quạt nữa, vì đại lượng d ''

dx



không còn là hằng số nữa.Như trên đã phân tích, sự xoắn được hình thành từ hai thành phần:

-Thành phần xoắn thuần túy

Là thành phần ứng tiếp phân bố dạng vòng có dạng như hình 2.10, khi đó sẽ tạo ra mômen xoắn M1

P v

Hình 2.16 Chuyeån vò xoaén uoán cuûa tieát dieän C

Mxp Bp My

Mz

P: tâm xoắnO':trọng tâmHình 2.17 Các thành phần chuyển vị-lực của thanh thành mỏng Tuy nhiên có một vấn đề khá phức tạp khi tính toán, thanh thành mỏng tiết diện hở sẽ có hai tâm: tâm xoắn và trọng tâm, để đơn giản ta có thể xem trục thanh

đi qua trọng tâm của tiết diện

Đây là các phương trình chuyển hệ lực từ hệ trục qua tâm xoắn đến trọng tâm

Trong biểu thức trên xuất hiện thêm đại lượng B

J  , đây là điểm khác biệt

so với dạng thanh đặc thông thường

Ứng suất tiếp tạo ra trên tiết diện do lực cắt Vy,Vz, mômen xoắn thuần túy và mômen xoắn kềm chế

Ứng suất tiếp tạo ra trên tiết diện do lực cắt Vy,Vz, đây là thành phần thông thường cũng giống như tiết diện đặc

M S J

ứng suất tiếp

do momen xoắn kềm chế

Vì thế mục đích của luận văn là sẽ minh họa ứng xử của kết cấu dưới dạng chuyển vị lớn, trường chuyển vị sẽ được xây dựng theo giả thiết Euler-Bernouli và sử dụng công thức Lagrangian tổng quát để tính các thành phần biến dạng theo các giai đoạn tải

Ứng xử của dầm không gian được xây dựng dựa vào các giả thiết sau:

 Phần tử kết cấu chịu chuyển vị lớn và xoay lớn, tuy nhiên biến dạng vẫn bé nhằm duy trì các đặc trưng hình học (diện tích, mômen quán tính) của phần tử

 Tiết diện ngang không biến dạng trong mặt phẳng của nó

Trang 28 Chương 2

 Mất ổn định và biến dạng cục bộ thì không xem xét đến

 Lực tác dụng phải duy trì độ lớn và phương tác dụng trong suốt quá trình chuyển vị và những lực này đều tác dụng tại nút

Để mô tả biến dạng đàn hồi, hệ trục tọa độ địa phương là x , y, z kết hợp với hệ vector đơn vị trực chuẩn ex , ey , ez Ở đó x là đường trục dọc theo chiều dài phần tử trước khi biến dạng

Khi có ngoại lực tác dụng, phần tử sẽ bị biến dạng, biến dạng này sẽ được mô tả theo những chuyển vị của trục thanh khi chưa bị biến dạng

Thành phần chuyển vị u , v, w theo hướng vector đơn vị ex , ey , ez., bên cạnh đó mỗi tiết diện sẽ quay quanh vector êx , là vector tiếp tuyến với trục biến dạng

Theo hình nếu điểm A nằm trên trục chưa biến dạng, vị trí điểm A được xác định

Khi dầm chuyển vị thì vị trí điểm A sẽ chuyển đến vị trí mới A’

r=x.ex+ u.ex+ v.ey+ w.ez (2.53)

với vector đơn vị êx được cho bởi

(1 ') x ' y ' z

x

r

u e u e w e x

e

D r

ey x

A

v u w êx

êy êz

A'

Hình 2.19 Biến dạng của một dầm không gian Tuy nhiên, trong trường hợp góc xoắn lớn thì vấn đề trở nên khó khăn trong mối liên hệ giữa trục biến dạng và trục chưa biến dạng với một khái niệm vector,

do đó nên sử dụng góc Euler Bằng cách xoay liên tiếp, x là góc xoay theo chiều kim đồng hồ quanh vector ex, tương tự như vậy ta cũng có các góc xoay y , z và như vậy ta có ta có được hệ vector đơn vị êx , êy, êz tương ứng với trục biến dạng

e e

(2.60), (2.61), (2.62) dựa vào giả thiết góc xoắn nhỏ:



1 2

'' ' '' '' ' x ''

Trang 31 Chương 2

2.3.1 Mối Quan Hệ Ưùng Suất Và Biến Dạng [1][10]

Để thành lập tensor biến dạng, cần thiết phải biết chuyển vị của các điểm trên tiết diện của phần tử thanh Trước khi biến dạng vị trí của một điểm bất kỳ được biểu diễn bởi vector:

 : độ biến thiên của góc xoắn tương ứng bậc tự do vênh

Nếu chúng ta xem biến dạng cắt gây bởi vênh không đáng kể thì ' có thể được thay thế bởi thành phần xoắn của dầm 

Vì giả thiết biến dạng nhỏ nên thành phần biến dạng Green trong hệ trục tọa độ biến dạng được xác định như sau:

  1

1 ' 2

Trang 32 Chương 2

2.3.2 Công ảo gia tăng [1][10][12]

Để diễn tả sự biến dạng khác nhau giữa trạng thái tải hiện tại với một trạng thái tải kế tiếp, ta đưa ra nguyên tắc sự biến thiên gia tăng (the incremental variational princile) Chuyển vị gia tăng được được định nghĩa là sự khác nhau giữa những biến số ở dạng hình học đã biết và dạng hình học kế tiếp được tham chiếu trong cùng một hệ trục tọa độ trước khi biến dạng

Kí tự bên trái 1 : số hạng ở trạng thái hình học đã biết hiện tại

Các thành phần biến dạng gia tăng có thể được viết lại

' ' ' 2

yL

D v

Thế (2.73)… (2.85)vào (2.87) ta được như sau