Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao: Chương 3 - PGS.TS. Huỳnh Thái Hoàng

Tổng kết chương Sau khi học xong chương 3, sinh viên phải có khả năng:  Giải bài toán tối ưu động không ràng buộc và có ràng buộc  Thành Thà h lậ lập các á bài ttoán á điề điều khiể kh[r]

Môn Môn học học

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO

Giả iê PGS TS H ỳ h Thái H à

Giảng viên: PGS TS Huỳnh Thái Hoàng

Bộ môn Điều Khiển Tự Động

Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP HCM

Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: http://www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Chương Chương 33

Chương Chương 33

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

 Giới thiệu

Nội

Nội dung dung chương chương 33

 Giới thiệu

 Tối ưu hóa tĩnh

 Tối ưu hóa động và phương pháp biến phân

 Tối ưu hóa động và phương pháp biến phân

 Điều khiển tối ưu liên tục dùng phương pháp biến phân

 Phương pháp qui hoạch động Bellman

 Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR

 Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR

 Ước lượng trạng thái tối ưu (lọc Kalman)

 Điều khiển tối ưu LQG

 Điều khiển tối ưu LQG

GIỚI THIỆU

 Điều khiển tối ưu : xác định luật ĐK cho hệ thống động

Giới thiệu

 Điều khiển tối ưu : xác định luật ĐK cho hệ thống động

cho trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng

 ĐK tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương

 ĐK tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương

pháp biến phân (Bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass,…)

 Từ những năm 1950, ĐK tối ưu phát triển mạnh mẽ và trở thành một lĩnh vực độc lập

 Phương pháp quy hoạch động do Richard Bellman đưa

t thậ iê 1950

ra trong thập niên1950.

 Nguyên lý cực tiểu Pontryagin do Lev Pontryagin và

các đồng sự đưa ra trong thập niên 1950

các đồng sự đưa ra trong thập niên 1950

 Bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính và lọc

Kalman do Rudolf Kalman đưa ra trong những g g

năm1960

Có hiề bài t á điề khiể tối tù th

Phân loại bài toán điều khiển tối ưu

 Có nhiều bài toán điều khiển tối ưu, tùy theo:

 Loại đối tượng điều khiển

 Miền thời gian liên tục hay rời rạc

 Chỉ tiêu chất lượng

 Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không

 ĐK tối ưu tĩnh: chỉ tiêu chất lượng không phụ thuộc thời gian

 ĐK tối ưu động: chỉ tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian

 Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear

Quadractic Regulator LQR)

Quadractic Regulator – LQR)

 Bài toán điều khiển tối ưu H2

 …

 Trước khi máy tính số ra đời chỉ có thể giải được

Ứng dụng

 Trước khi máy tính số ra đời, chỉ có thể giải được

một số ít bài toán điều khiển tối ưu đơn giản

 Máy tính số ra đời cho phép ứng dụng lý thuyết điều y p p g ụ g ý y khiển tối ưu vào nhiều bài toán phức tạp.

 Ngày nay, điều khiển tối ưu được ứng dụng trong

ề

nhiều lĩnh vực:

Không gian (aerospace)

Điều khiển quá trình (proccess control)

Điều khiển quá trình (proccess control)

Ố Ó Ĩ

TỐI ƯU HÓA TĨNH

 Bài toán tối ưu tĩnh không ràng buộc: tìm m thông

Tối ưu hóa tĩnh không ràng buộc

 Bài toán tối ưu tĩnh không ràng buộc: tìm m thông

số thực (hay phức) u1, u2,…, um sao cho hàm

 Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu cục bộ nếu

 Điểm u được gọi là điểm cực tiểu cục bộ nếu

L(u) L(u*) với mọi u nằm trong lân cận  của u*

 Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu toàn cục nếu

L(u) L(u*) với mọi u

 Giả sử L(u) khả đạo hàm theo u thì điều kiện cần và

Điều kiện cực trị không ràng buộc

 Giả sử L(u) khả đạo hàm theo u , thì điều kiện cần và

(

0 )

1trong đó:

u u L

u u L

u u

L L

L

1

2 2

1

2 1

1 2

L L

2

2 1

2

u u

L u

2

2 1

21 1 2

u

L u

u L

u u

uu

L

 (u*,u*)  (0.7222;0.3889) là điểm cực tiểu.

Tìm cực trị không ràng buộc

Tìm cực trị không ràng buộc –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

)38890

;72220

0

;7222

0( 



u

150 200

100

L

0 50

-4 -2

0 2

4

-6 -4

-2 0

2 4

6 -50

u1u

u *

4

u2

 Bài toán tối ưu tĩnh có ràng buộc: tìm vector thông số

Tối ưu hóa tĩnh có ràng buộc

 Bài toán tối ưu tĩnh có ràng buộc: tìm vector thông số

u sao cho hàm L(x,u) đạt cực tiểu, đồng thời thỏa

điều kiện f(x u)=0

điều kiện f(x,u) 0

n

: hàm đánh giá

p m

n

f :      : điều kiện ràng buộc

Hàm Hamilton

 Định nghĩa hàm Hamilton :

 Định nghĩa hàm Hamilton :

) , ( )

, ( )

, ( x u L x u T f x u

trong đó   p là vector hằng số gọi là thừa số Larrange

Do ràng buộc f(x,u) = 0 nên cực tiểu của L(x,u) cũng

hí h là tiể ủ H( )

trong đó là vector hằng số, gọi là   p thừa số Larrange

 Biến đổi bài toán tìm cực tiểu hàm L(x,u) với ràng buộc

ể

chính là cực tiểu của H(x,u)

u

x u

Thừa số Lagrange

 Do ta cần tìm cực trị theo u nên có thể tự do chọn

 Do ta cần tìm cực trị theo u nên có thể tự do chọn thừa số Lagrange sao cho:

) (

) (

, ( )

,

( )

f x

u

x x

u

x u

f x

u x

Độ dốc của hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc

 Vi hâ hà tiê dL L(x,u) d L(x,u) d

)(

x

u

x u

,(

f x

u x

u x f u

x f u

x u

,()

,()

,

()

(

1

 Thay (2) vào (1), ta được:

u u

u u

x x

u

u x u

x

f u

,(

(

u



)(

 Điều kiện để L(x u) đạt cực trị với ràng buộc f(x u)=0 là:

 Điều kiện để L(x,u) đạt cực trị với ràng buộc f(x,u)=0 là:

0)

,

(x u 

u

H

Điều kiện cần cực trị có ràng buộc

 Kết hợp với điều kiện xác định hằng số Lagrange

 Kết hợp với điều kiện xác định hằng số Lagrange, điều kiện cần để L(x,u) đạt cực trị có ràng buộc

là:

0 )

, ( x u 

, ( )

, (

0 )

, ( )

, ( )

,

(

u x f

u x

u x f

u x u

2 1

2 2

2

5 )

0 2

6 )

( )

H   T

) 2 6

( 3

8 2

2 5

) (  u12  u22  u1u2  u1  u2  u1  u2 



2 10

(

0 )

3 4

2

) (

0 8

H

u

u u

6 )

(

0 6

3 4

2

2 1

2

1 2

f

u

u u

0 8412

0

*  

) 2 6

( 3

8 2

2 5

) (  u2  u2  u u  u  u  u  u 

Tìm cực trị có ràng buộc

Tìm cực trị có ràng buộc –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

47350

84120

100

L

0 50

-2 0

2 4

6 -50

u1u

u *

4

u2

, ( )

,

) 6

3 (

) 2 (

) 2 (

) ,



u x

, (

0 )

,

(

u x H

u x H

u

x

0 )

2 (

2

) ,

u x H

3 )

,



u x

x u

x f

u

) 22 8

; 68 1 ( ), 04 2

; 71 1 ( ), 92 0

; 53 4 ( )

2 (

) (

2 (

) , ( u  x   u 

2 )

(

) ,

( )

,

(

1

2 1

x

x u

f

u

f u

x

x x

f

2 )

, ( )

,

H x  x  T f x

) 2 (

) 4 2

( 3

) , ( u  x12  x22  u2  1 x1  x2   2 x1  u 



2 /

) ,

, (

0 )

,

(

u H

u H

/ ) , (

0 6

/ ) , (

2

1 2

u H

x x

) , (

0 4

2 )

, (

1 2

2 1

u f

x x

) ,

5714 1

1429 7

1429 5



 Giải hệ phương trình, ta được:

8514

0 5714

1



1429

7 1429

5

)42

(3

),

TỐI ƯU HÓA ĐỘNG TỐI ƯU HÓA ĐỘNG

VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

Tối ưu hóa động không ràng buộc

 Bài toán tối ưu động không ràng buộc: tìm vector hàm

min )

( )

dt t

L

J x x x 

 Bài toán tối ưu động không ràng buộc: tìm vector hàm

x(t) sao cho phiếm hàm J(x) đạt cực tiểu:

min )

, , ( )

x t

 Phiếm hàm có cực tiểu cục bộ tại nếu J (x ) x*( t )

(functional = function of function)

với mọi hàm nằm trong lân cận  của

)) ( (

)) (

J x  x

) (

(t x* t

x

Khái niệm biến phân

) ( )

( )

J

L i ủ hiế hà  J ( x )  J ( x   x )  J ( x ) trong đó là biến phân của hàm

 Lượng gia của phiếm hàm:

(t x t

x 

tt

Minh họa biến phân của hàm x (t )

 Biến phân của phiếm hàm:

)]

( )

( [ lim )

( lim

Thí dụ tính biến phân phiếm hàm

1

0

2( ))

(x x t dt J

 Cho phiếm hàm:

 Biến phân của phiếm hàm được tính như sau:

 Biến phân của phiếm hàm được tính như sau:

) ( )

( )]

( [ x t J x x J x

x x x

J x

J

x

lim )

1 0

Công thức tính biến phân phiếm hàm dạng tích phân

f

t

dt L

J

0

) ( )

Biến phân phiếm hàm bài toán tối ưu động không ràng buộc

 Phiế hà t f

d L

( x x x 

 Biến phân phiếm hàm:

dt

t L

, ,

(

x x

x

x x

( )

d t

Điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực trị cục bộ

 Điều kiện cần để phiếm hàm J (x ) đạt cực trị cục bộ

 Điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực trị cục bộ

tại là biến phân của phải bằng 0 tại x*( t )

, ,

d t

J

0

x x

 ( c là hằng số)

Tối ưu hóa động không ràng buộc

Tối ưu hóa động không ràng buộc –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

2 /

) / ( )

(

i điề ki bi

3 )

2 / ( , 1 )

d x

 Lời giải tổng quát: x ( t )  C1 sin t  C2 cos t

 Thay điều kiện biên, suy ra: C1  C 3 , 2 1

 Kết luận: x*( t )  3 sin t  cos t

Tối ưu hóa động không ràng buộc

Tối ưu hóa động không ràng buộc –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

 Tìm hàm x(t) sao cho phiếm hàm dưới đây đạt cực tiểu:

 Tìm hàm x(t) sao cho phiếm hàm dưới đây đạt cực tiểu:

min )

( 1

(

* t   t 

x

Tối ưu hóa động có ràng buộc

 Bài toán tối ư động có ràng b ộc: tìm ector hàm x(t) ác

t f

 Bài toán tối ưu động có ràng buộc: tìm vector hàm x(t) xác định trên đoạn [t0, tf] sao cho phiếm hàm J(x) đạt cực tiểu:

min )

, , ( )

với điều kiện ràng buộc f ( x , x , t ) 0

và điều kiện biên: x(t0)=x0, x(tf)=xf

x t

x t

 :

f

Hàm Hamilton và điều kiện cần để có cực trị

 Định nghĩa hàm Hamilton :

 Định nghĩa hàm Hamilton :

) , , ( )

, (

) , , ,

H x x    x, x   T f x x 

t đó  ( t ) p là t hà i là thừ ố L

trong đó là vector hàm, gọi là  ( t )  p thừa số Larrange

 Do nên cực tiểu của f ( x , x  , t )  0   1

0

) , , ( )

J x x x  

 tìm cực tiểu không ràng buộc phiếm hàm J ( x )

 Điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: J (x )

0

) , , , ( )

, , ,

( PT Euler-Lagrange của bài toán tối ưu động có ràng buộc)

Tối ưu hóa động có ràng buộc dạng tích phân

 Bài toán tối ưu động có ràng buộc: tìm vector hàm x(t) xác

min )

( )

dt t

, , ( )

và điều kiện biên: x(t0)=x0, x(tf)=xf

 Hàm Hamilton và phương trình Euler-Lagrange trong

, , ,

 H x x   t d H x x   t

0

) (

Trình tự giải bài toán tối ưu động có ràng buộc

Đ.kiện ràng buộc hoặc f ( x , x  , t )  0

) (

) (

)

H x x    x x   T f x x 

f f

x ( )  Điều kiện biên và x t ( 0) x0

) , , ( )

, , ( )

, , ,

H x x   x x   f x x

) (

, , ,

d t

ràng buộc và điều kiện biên

Tối ưu hóa động có ràng buộc

Tối ưu hóa động có ràng buộc –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Tìm hàm x(t) sao cho phiếm hàm dưới đây đạt cực tiểu:

 Tìm hàm x(t) sao cho phiếm hàm dưới đây đạt cực tiểu:

min )

( )

, , ( )

, , , ( x x t L x x t f x x t

) ( )

( )

, , , ( x x t x2 t x t

H      



Tối ưu hóa động có ràng buộc

Tối ưu hóa động có ràng buộc –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Phương trình Euler Lagrange:

 Phương trình Euler-Lagrange:

0

) , , , ( )

, , ,

x

H dt

d x

t x

t x



2

) ( t t c

24

( )

, , , ( x x t x2 t x t

H      

4

Tối ưu hóa động có ràng buộc

Tối ưu hóa động có ràng buộc –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Xác định các hằng số dựa vào điều kiện ràng buộc và điều

 Xác định các hằng số dựa vào điều kiện ràng buộc và điều kiện biên:



0 0

0

4

4 )

16 2

9 )

)

(

2 1

4

)

Tối ưu hóa động có ràng buộc

Tối ưu hóa động có ràng buộc –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

 Tìm vector hàm  T sao cho phiếm hàm

t x t

x

t ) ( ) ( ) ( 

2

2 2

(

0

2 2

2

J x

với điều kiện ràng buộc: f ( x x t )  x   2 x  x  0

với điều kiện ràng buộc: f ( x , x , t )  x1  2 x1 x2  0

và điều kiện biên: x1( 0 )  x 0 ; 1( 2 )  1

 Hàm Hamilton:

) 2

( ]

) 1 (

5 [ )



) , , ( )

, , ( )

, , , ( x x t L x x t f x x t

) 2

( ]

) 1 (

5 [ )

, , , ( x x t x1 2 x22 x1 x1 x2



Tối ưu hóa động có ràng buộc

Tối ưu hóa động có ràng buộc –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

 Phương trình Euler-Lagrange:

 Phương trình Euler Lagrange:

0

1 1

d x

H

1 1

0

2 2

d x

2

1 1

2

2

2

x x

x

x x

(]

)1(

5[),,,

y ( ) ( ) 10(x1 1)  4(x1  2x1) 2(x1  2x1) 0

010

18

2x  x  

Tối ưu hóa động có ràng buộc

Tối ưu hóa động có ràng buộc –– Thí dụ 2 Thí dụ 2

N hiệ tổ át ủ hươ t ì h (6)

Nghiệm tổng quát của phương trình (6)

556

0)

5549

0

1

C C

(7)



1556

.042

.4030025

2 x 2x

x2  1  1

 x2(t)  0.5549e3t  0.0055e3t 1.112

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LIÊN TỤC

DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

 Cho đối tượng:

Bài toán điều khiển tối ưu liên tục

)) ( )

( ( )

( t f x t u t

 Cho đối tượng: x ( t )  f ( x ( t ), u ( t ))

trong đó: x ( t )  [ x1( t ), x2( t ), , xn( t )]T : vector trạng thái

u t

x ( )  Trạng thái đầu: , trạng thái cuối: x ( 0 ) x0

 Bài toán điều khiển tối ưu: tìm tín hiệu ĐK u(t) sao cho:

f f

x ( )

min )

), ( ), ( ( ))

( ( )

 Khoảng thời gian xảy ra quá trình tối ưu là t có thể phân loại:

Phân loại bài toán điều khiển tối ưu

 Khoảng thời gian xảy ra quá trình tối ưu là tf , có thể phân loại:

Bài toán tối ưu có tf cố định, ví dụ:

 Điề khiển đoàn tà hỏa giữa 2 ga ới lịch trình ác

 Điều khiển đoàn tàu hỏa giữa 2 ga với lịch trình xác định sao cho năng lượng đoàn tàu tiêu thụ là thấp nhất;

 Điều khiển quá trình chuyển đổi hóa học trong thời gian

 Điều khiển quá trình chuyển đổi hóa học trong thời gian cho trước với chi phí thấp nhất

Bài toán tối ưu có Bài toán tối ưu có t tf f không cố định, ví dụ: không cố định, ví dụ:

 Điều khiển tên lửa lên độ cao xác định với thời gian nhanh nhất

 Điều khiển tàu biển đi được xa nhất với một nguồn năng lượng cố định cho trước

 Các bài toán điề khiển tối ư động có trạng thái đầ x

Phân loại bài toán điều khiển tối ưu (tt)

 Các bài toán điều khiển tối ưu động có trạng thái đầu x0

cho trước Trạng thái cuối quá trình tối ưu là xf =x(tf) , có

th ể phân loại:

th ể phân loại:

Điểm cuối tự do, ví dụ:

 Điều khiển tên lửa lên độ cao lớn nhất;

 Điều khiển tàu biển đi được xa nhất với một nguồn năng lượng cố định cho trước

Điể ối bị à b ộ í d

Điểm cuối bị ràng buộc, ví dụ:

 Điều khiển tên lửa vào quỹ đạo với thời gian nhanh nhất

nhất.

Điểm cuối cố định cho trước, ví dụ:

 Điều khiển ghép nối các con tàu g p

 Điều khiển hệ thống về trạng thái cân bằng

Giải bài toán ĐK toán tối ưu dùng PP biến phân

 Bài toán ĐK tối ưu liên tục có thể phát biểu lại như sau:

 Bài toán ĐK tối ưu liên tục có thể phát biểu lại như sau:

) ), ( ), ( ( )

0

) (

u

trong đó t0, tf, và cho trước x ( t0)  x0

 Kết hợp điều kiện ràng buộc vào hàm mục tiêu dùng hàm Lagrange:

( ), ( ( )

( )

), ( ), ( ( ))

( ( )

Giải bài toán ĐK toán tối ưu dùng PP biến phân

 Định nghĩa hàm Hamilton:

 Định nghĩa hàm Hamilton:

) , , ( ) ( )

, , ( )

, , ,

t T

t t

Điều kiện cần để có lời giải bài toán điều khiển tối ưu

 Chú ý là  x ( t )  0 do điều kiện đầu cố định;  x ( t )  0

 Chú ý là do điều kiện đầu cố định;

nếu điểm cuối ràng buộc, nếu điểm cuối tự do

0 )

( t0 

x

0 )

( t f 

x



 Để  J ( ) 0 ới i  ầ ó á điề kiệ

 Để với mọi cần có các điều kiện:  J ( u )  0  u

Trình tự giải bài toán điều khiển tối ưu

) ) ( )

( ( )



t t

L t

( ( )

(

min)

 Bài toán điểm cuối ràng buộc :

(

min)

u

Điều kiện đầu và x ( t0)  x0 điều kiện cuối x ( t f )  xf

Trình tự giải bài toán điều khiển tối ưu

 Bước 3: Thành lập hàm Hamilton: H (t)  L(x u t)  T (t) f (x u t)

 Bước 3: Thành lập hàm Hamilton: H (t) L(x,u,t)   (t) f (x,u,t)

 Bước 4: Viết điều kiện cần để có lời giải tối ưu:

))()(()

hoặc

x*(t)



Điều khiển tối ưu

Điều khiển tối ưu –– Thí dụ 1 Thí dụ 1

 Đặc tính động học nhiệt độ lò sấy cho bởi phương trình:

 Đặc tính động học nhiệt độ lò sấy cho bởi phương trình:

)()

)((2)

y    a 

trong đó y(t) là nhiệt độ lò sấy và y a = 250C là nhiệt độ môi trường;

trong đó y(t) là nhiệt độ lò sấy và y a 25 C là nhiệt độ môi trường;

u(t) là cường độ dòng nhiệt cấp lò sấy và t là thời gian (giờ)

 Yêu cầu: Thiết kế luật điều khiển u(t) điều khiển nhiệt độ nhiệt độ lò

sấy sao cho sau một giờ đạt đến càng gần nhiệt độ đặt y d = 750C

càng tốt và tối thiểu năng lượng tiêu tốn

 Bước 1: Thành lập phương trình trạng thái:

y t

y t

y t

x( ) ( )

Đặt biến trạng thái:

 Trạng thái cuối mong muốn: x f  x(1)  y(1)  y a  y d  y a  50

Điều khiển tối ưu

Điều khiển tối ưu –– Thí dụ 1 (tt) Thí dụ 1 (tt)

 Bước 2: Xác định hàm mục tiêu và điều kiện biên:

 Bước 2: Xác định hàm mục tiêu và điều kiện biên:

Theo yêu cầu thiết kế là trạng thái cuối x(t f) càng gần x f =50 càng tốt, đồng thời tối thiểu năng lượng tiêu tốn, suy ra hàm mục tiêu:

min)

(2

1]

)(

[2

1)

(Đây là bài toán tối ưu điểm cuối tự do)trong đó  là trọng số tùy chọn (muốn trạng thái cuối càng gần x f thì chọn  càng lớn)

 Bước 3: Định nghĩa hàm Hamilton:

Điều kiện đầu: x0  0;t f 1

chọn  càng lớn)

 Bước 3: Định nghĩa hàm Hamilton:

),,()()

,,()

,,,

H x u   x u   x u

1 2

 H(x,u,,t)  1 u2(t)  (t)[2x(t)  u(t)]