Phương pháp số cân bằng cho mô hình dòng chảy hai pha baer nunziato trường hợp đẳng entrop

Một số mô hình điển hình thu hút sự quan tâm của nhiều nhà cơ học và toán họcnhư mô hình dòng chảy lưu chất trong ống dẫn, phương trình nước nông, dòng chảy đa pha v.v· · · Mô hình dòng

TR ƯỜ NG ðẠ I H Ọ C QU Ố C GIA TP.H Ồ CHÍ MINH

TR ƯỜ NG ðẠ I H Ọ C QU Ố C GIA TP.H Ồ CHÍ MINH

TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: PHAN THANH TÂM Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 29/05/1985 Nơi sinh: ðồng Nai

2- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : Ngày 19 tháng 2 năm 2009

3- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : Ngày 30 tháng 7 năm 2009

4- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS Mai ðức Thành

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 1: TS Nguyễn Bá Thi

6- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ PHẢN BIỆN 2: TS Lê Thị Quỳnh Hà

Nội dung và ñề cương Luận văn thạc sĩ ñã ñược Hội ðồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

(Họ tên và chữ ký)

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

(Họ tên và chữ ký)

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin gửi đến Thầy hướng dẫn của tôi, TS Mai Đức Thành, lời cảm

ơn chân thành và sâu sắc đã dìu dắt tôi trong suốt quá trình học tập, cũng như địnhhướng con đường nghiên cứu, thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt

là các thầy cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng – Khoa Khoa Học và Ứng Dụng trườngĐại Học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất chotôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn đến gia đình, người thân và những người bạn

đã động viên, giúp đỡ để luận văn này được hoàn thành

Phan Thanh Tâm

Giới thiệu

Lĩnh vực dòng đa pha có liên quan đến các ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp,như hệ thống làm lạnh với áp suất cao trong nhà máy điện nguyên tử, sự vận tải nhiênliệu trong đường ống, hiện tượng phun sương trong trong máy bơm nhiên liệu v.v Các yếu tố vật lí (khối lượng, động lượng, tổng năng lượng v.v· · · của một lưu chất)này nảy sinh các phương trình toán học Hệ các phương trình đạo hàm riêng hyperbolicphi tuyến bậc nhất dưới dạng divergence còn được gọi là Hệ hyperbolic các luật bảotoàn Một số mô hình điển hình thu hút sự quan tâm của nhiều nhà cơ học và toán họcnhư mô hình dòng chảy lưu chất trong ống dẫn, phương trình nước nông, dòng chảy

đa pha v.v· · ·

Mô hình dòng chảy hai pha một áp suất là một dạng đơn giản hơn của mô hìnhdòng chảy hai pha Baer-Nunziato [1, 3], hệ có dạng của hệ luật bảo toàn có nguồn.Các dạng này gây ra khó khăn cho lược đồ sai phân hữu hạn hay thể tích hữu hạnvới việc rời rạc hóa trực tiếp dạng nguồn Để minh chứng cho điều này, ta chú ý trong[2] cho trường hợp luật bảo toàn vô hướng với nguồn, tác giả chỉ ra rằng, những cáchgiải quyết trực tiếp dạng nguồn bằng lược đồ thể tích hữu hạn cho kết quả không thỏamãn cho việc giảm điều kiện Courant-Friedrich-Lewy (C.F.L) lẫn việc làm mịn lướichia, vì thiếu sự chính xác trên trạng thái cân bằng Chúng ta sẽ đi xây dựng lược đồ

số cho hệ mà có khả năng duy trì trạng thái cân bằng gây ra bởi nguồn, phương phápnày xây dựng một dạng sóng mới, được gọi tên là sóng tĩnh, dựa trên tính chất khôngphụ thuộc thời gian của nó Lược đồ số cân bằng có thể bảo toàn trạng thái cân bằng,

và nghiệm số hội tụ về nghiệm chính xác trội hơn so với lược đồ số cổ điển Một số

mô hình đơn giản hơn, xem [2, 7, 8, 14, 24], lược đồ cân bằng được giới thiệu và thựcnghiệm

Giới thiệu viTrong luận văn này, dựa vào các kết quả của tác giả M.D Thành và A Izani MdIsmail [25], chúng ta nghiên cứu tính hyperbolic của mô hình dòng hai pha một ápsuất, cách xây dựng lược đồ sô cân bằng, và áp dụng lược đồ số Lax–Friedrichs, Lax–Wendroff cho hai trường hợp đối với lược đồ số cổ điển và lược đồ số mới Kết quả thựcnghiệm đã chứng minh rằng, lược đồ số cân bằng cho kết quả trội hơn lược đồ số cổđiển Luận văn cũng chú ý rằng nghiệm xấp xỉ cho bởi lược đồ Lax–Wendroff thườnggây nhiễu tại các điểm sốc, điều này cũng phù hợp với những gì ta đã biết về lược đồnày.

Luận văn này được trình bày như sau:

Chương 1: Trình bày các kiến thức tổng quan như hệ luật bảo toàn, các sóng cơ bản của hệ

luật bảo toàn một chiều, lý thuyết cơ bản phương pháp số cho các hệ luật bảotoàn

Chương 2: Giới thiệu mô hình toán học của mô hình dòng hai pha một áp suất, tính

hyper-bolic của hệ, khái niệm sóng tĩnh và các tính chất, phương pháp xây dựng lược

đồ số cân bằng cho bài toán này

Chương 3: Các kết quả tính toán thực nghiệm và kết luận tương ứng

Mục lục

1.1 Hệ luật bảo toàn 4

1.1.1 Tính Hyperbolic và thí dụ 4

1.1.2 Nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn 7

1.1.3 Hệ thức Rankine-Hugoniot 10

1.1.4 Nghiệm entropy 13

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 15

1.2.1 Hệ tuyến tính với hệ số hằng 15

1.2.2 Hệ phi tuyến 17

1.2.3 Sóng giãn và đường cong tích phân 19

1.2.4 Sóng sốc và gián đoạn tiếp xúc 21

1.2.5 Đường đặc trưng và điều kiện entropy 22

1.2.6 Nghiệm của bài toán Riemann 26

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 29

1.3.1 Tổng quan về phương pháp sai phân hữu hạn 29

1.3.2 Một số lược đồ sai phân hữu hạn và ví dụ 31

MỤC LỤC 2

2.1 Mô hình dòng hai pha một áp suất một chiều 36

2.2 Tính hyperbolic 36

2.2.1 Phương trình đặc trưng 36

2.2.2 Giải pháp toán cho đa thức đặc trưng 40

2.2.3 Biễu diễn hình học 41

2.2.4 Kết luận 48

2.3 Lược đồ số cân bằng cho mô hình 49

2.3.1 Sóng tĩnh 49

2.3.2 Xây dựng lược đồ số cân bằng 56

3 Kết quả thực nghiệm và kết luận 58 3.1 Các thực nghiệm số 58

3.2 Thực nghiệm 1 59

3.3 Thực nghiệm 2 68

3.3.1 Trường hợp 1 68

3.3.2 Trường hợp 2 71

3.3.3 Trường hợp 3 74

3.3.4 Trường hợp 4 77

3.4 Kết luận 80

Kết luận và hướng phát triển 81 Tài liệu tham khảo 82 Hình vẽ 85 Phụ lục 87 A Chương trình các lược đồ trong ví dụ 87 A.1 Ví dụ 1 87

A.2 Ví dụ 2 90

MỤC LỤC 3

C.1 Chương trình chính 97

C.2 Chương trình con 103

C.2.1 Chương trình con cho lược đồ số cổ điển 103

C.2.2 Chương trình con cho lược đồ số cân bằng 106

Chương 1

Kiến thức tổng quan

Chương này được chia làm ba phần Phần đầu đưa ra các khái niệm cơ bản cùngcác ví dụ của hệ luật bảo toàn tổng quát Phần thứ hai đưa ra các khái niệm và cácloại sóng cơ bản trong hệ luật bảo toàn một chiều Phần cuối bao gồm phương phápsai phân hữu hạn, các lược đồ số cơ bản và các ví dụ

1.1 Hệ luật bảo toàn 5trong đó hàm u = u(x, t), x ∈ RI d, t > 0 là một hàm từ RI d× [0, +∞) vào Ω:

Tập Ω được gọi là tập các trạng thái và các hàm

được gọi là các hàm thông lượng Hơn nữa, ta nói hệ (1.1) được viết dưới dạng bảotoàn

Ý nghĩa vật lí

Một cách hình thức, hệ (1.1) biểu thị sự bảo toàn của p đại lượng u1, u2, , up.Thực vậy, giả sử D ⊂ RI d là một miền tùy ý Gọi n = (n1, n2, , np) là vectơ pháptuyến đơn vị hướng ra ngoài của biên ∂D của D Khi đó, lấy tích phân trên D hai vếcủa (1.1) và sử dụng định lí Gauss-Green, ta có

∂

∂tZ

1.1 Hệ luật bảo toàn 6

Hệ (1.1) được gọi là hyperbolic các luật bảo toàn nếu với mỗi u ⊂ Ω và với bất kì

thừa nhận p giá trị riêng

λ1(u, ω) 6 λ2(u, ω) 6 6 λp(u, ω),cùng với một hệ p vectơ riêng độc lập tuyến tính r1(u, ω), r2(u, ω), , rp(u, ω) Khi đó,

A(u, ω)rk(u, ω) = λk(u, ω)rk(u, ω), 1 6 k 6 p

Hơn thế, nếu tất cả các giá trị riêng λk(u, ω) là phân biệt:

λ1(u, ω) < λ2(u, ω) < < λp(u, ω),thì hệ (1.1) được gọi là hyperbolic ngặt

Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic Vì một ma trận và ma trận chuyển vị của nó có cùngtập các giá trị riêng nên tồn tại các vectơ riêng lk(u, ω) ứng với mỗi giá trị riêng λkcủa ma trận AT(u, ω), tức là

AT(u, ω)lk(u, ω) = λk(u, ω)lk(u, ω), 1 6 k 6 p

Lấy chuyển vị hai vế ta được

lTk(u, ω)A(u, ω) = λk(u, ω)lkT(u, ω), 1 6 k 6 p

Từ đó, các vectơ lk thường được gọi là các vectơ riêng trái, và các vectơ rk thườngđược gọi là vectơ riêng phải của ma trận A

Bài toán Cauchy đối với hệ (1.1) là bài toán sau đây: tìm hàm u : RI d×[0, +∞) →

Ω là nghiệm của (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu

1.1 Hệ luật bảo toàn 7trong đó u0 : RI d× [0, +∞) → Ω là một hàm cho trước.

Trong trường hợp x là biến một chiều và u0 có dạng:

bài toán Cauchy với u0 có dạng (1.3) được gọi là bài toán Riemann

Bây giờ, giả sử hệ (1.1) là hyperbolic ngặt Khi đó,

li(u, ω) · ri(u, ω) = 0 ∀i 6= j, ∀u ∈ Ω, ω 6= 0 (1.4)

Thật vậy

λj(u, w)(li(u, w) · rj(u, w)) = li(u, w) · (A(u, w)rj(u, w))

= (li(u, w)A(u, w)) · rj(u, w)

= λi(u, w)(li(u, w) · rj(u, w))

Vì λi 6= λj nên ta nhận (1.4)

Hàm u : RI d× [0, +∞) → Ω được gọi là nghiệm cổ điển của bài toán Cauchy (1.1),(1.2) nếu u là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn các phương trình (1.1), (1.2) tại từngđiểm

Vấn đề là nghiệm cổ điển có thể không tồn tại trên một quãng thời gian hữu hạnngay cả khi dữ liệu ban đầu đối với hệ là trơn Ta sẽ thấy điều này trong trường hợpđơn giản nhất với hệ luật bảo toàn vô hướng một biến không gian, nghĩa là

p = d = 1, u ∈ RI , x ∈ RI

Sự không tồn tại nghiệm cổ điển

Xét bài toán (1.1), (1.2) khi p = d = 1 Nếu ta đặt

a(u) = df (u)

du

1.1 Hệ luật bảo toàn 8

ta có thể viết lại hệ (1.1) dưới dạng phi bảo toàn

dx

dtu(x(t), t) = ut(x(t), t) + ux(x(t), t)

dx(t)dt

1.1 Hệ luật bảo toàn 9

Tại điểm P này, theo phương pháp đặc trưng nêu trên, nghiệm u nhận cả hai giá trị

u0(x1) và u0(x2) Do đó, nghiệm u gián đoạn tại P Hiện tượng này không phụ thuộcvào độ trơn của u0 và a Thực vậy, từ (1.7) ta suy ra rằng điều kiện để hai đường đặctrưng cắt nhau là

t[a(u0(x1)) − a(u0(x2))] = x2− x1.Vậy trừ phi hàm x 7→ a(u0(x)) là tăng để phương trình trên không có nghiệmdương, ngoài ra thì ta không thể xác định được nghiệm cổ điển u nào với mọi t > 0 Tuy nhiên, nghiệm cổ điển u có thể tồn tại trong một quãng thời gian tối đa T∗ xácđịnh bởi

min α, 0, α = minx∈R I

d

dxa(u0(x1))

Khái niệm nghiệm yếu

Xét bài toán Cauchy (1.1), (1.2) và giả sử u0 ∈ L∞

loc(RI )p Giả sử u là nghiệm cổđiển và hàm ϕ ∈ C0∞(RI d× [0, +∞))p Áp dụng công thức Green ta được

1.1 Hệ luật bảo toàn 10

Định nghĩa 1.1 Hàm u0 ∈ L∞

loc(RI )p được gọi là nghiệm yếu của bài toán Cauchy(1.1), (1.2) nếu u(x, t) ∈ Ω hầu khắp và thõa mãn (1.8) với bất kì hàm thử ϕ ∈

C0∞(RI d× [0, +∞))p

Rõ ràng một nghiệm cổ điển cũng là nghiệm Ngược lại, giả sử hàm khả vi liên tục

u là nghiệm yếu Lấy bất kì ϕ ∈ C0∞(RI d× [0, +∞))p, tích phân hệ thức (1.8) ta được

Hệ thức trên đúng với mọi hàm thử ϕ ∈ C0∞(RI d× [0, +∞))p nên (1.1) được thỏamãn tại từng điểm

Bây giờ ta nhân (1.1) với một hàm thử tùy ý ϕ ∈ C0∞(RI d× [0, +∞))p Sau đó tíchphân từng phần và so sánh với (1.8) ta được

Z

R

I d

(u(x, 0) − u0(x))ϕ(x, 0)dx = 0

vì ϕ tùy ý nên hệ thức cuối cùng kéo theo (1.2) tại từng điểm

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu nghiệm yếu u khả vi liên tục thì u cũng

n = (n1, n2, , nd)T là các vectơ pháp tuyến của Σ và gọi u+, u− là các giới hạn mỗibên của u tại Σ, tức là

u±= lim

ε→0 ±u((x, t) + εn)

1.1 Hệ luật bảo toàn 11Định lí 1.1 Giả sử u : RI d× [0, +∞) 7→ Ω là hàm C1 từng mảnh Khi đó, u là nghiệmyếu của (1.1) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

(i) u là nghiệm cổ điển của (1.1) trong những miền mà u là C1

(ii) u thỏa mãn điều kiện bước nhảy

tại các mặt gián đoạn

Hệ thức (1.9) được gọi là hệ thức Rankine-Hugoniot

Chứng minh Giả sử hàm C1 từng mảnh u là nghiệm yếu Như trên ta đã chứngminh rằng u là nghiệm cổ điển trong những miền mà nó trơn

Giả sử M là một điểm tùy ý trên Σ Gọi D là hình cầu tâm M đủ bé Hơn thế, đểđơn giản ta có thể giả thiết Σ ∩ D là mặt gián đoạn duy nhất của u trông D Gọi D±

là hai miền mở của D nằm về hai bên của Σ Lấy bất kì ϕ ∈ C0∞(D)p Ta viết

Để cố định, giả sử vectơ pháp tuyến n tại Σ hướng vào trong D+ Áp dụng côngthức Green trong D− ta có

+Z

=Z

(1.10)

vì u là nghiệm cổ điển trong D−

1.1 Hệ luật bảo toàn 12Tương tự ta cũng có

−Z

= −Z

Hệ thức (1.12) đúng với mọi hàm ϕ nên ta suy ra (1.9) tại điểm M

Ngược lại, giả sử u là hàm C1 từng mảnh thỏa mãn (i), (ii) Khi đó, ta cũng dễdàng kiểm tra được u thỏa đẳng thức tích phân trong định nghĩa của nghiệm yếu

Và do đó, hệ thức (1.13) trở thành

1.1 Hệ luật bảo toàn 13

Khái niệm entropy

Giả sử u là một nghiệm trơn của hệ luật bảo toàn (1.1) Giả sử U : Ω 7→ RI là hàmkhả vi Nhân cả hai vế của (1.1) với U0(u) ta được

Vậy nếu tồn tại các hàm khả vi Fj, 1 6 j 6 d sao cho

U0(u) · fj0(u) = Fj0(u), 1 6 j 6 d, u ∈ Ω (1.17)thì hệ (1.16) có thể viết lại dưới dạng bảo toàn

Điều này dẫn đến định nghĩa khái niệm entropy như sau

Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω là tập hợp lồi Khi đó, một hàm U : Ω 7→ RI được gọi làmột entropy của hệ (1.1) nếu tồn tại d hàm khả vi Fj : Ω 7→ RI , 1 6 j 6 d, được gọi làcác thông lượng entropy, thỏa mãn hệ thức (1.17)

Khái niệm nghiệm entropy Tính duy nhất

Định nghĩa 1.3 Một nghiệm yếu của bài toán (1.1), (1.2) được gọi là nghiệm entropynếu với mọi hàm entropy U cùng với thông lượng entropy tương ứng Fj, 1 6 j 6 d, vàvới mọi hàm thử ϕ ∈ C0∞(RI d× [0, +∞))p

Z

R

I d

U (u0(x)ϕ(x, 0)dx > 0

1.1 Hệ luật bảo toàn 14

Lí luận tương tự như trong chứng minh Định lí 1.1 ta có thể thấy rằng một hàm

C1 là nghiệm entropy của (1.1), (1.2) nếu:

(i) u là một nghiệm cổ điển của (1.1) trong những miền mà u là C1 và thỏa (1.2)hầu khắp;

(ii) u thỏa mãn điều kiện Rankine-Hugoniot (1.9);

(iii) u thỏa mãn điều kiện bước nhảy

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 15

λ1 < λ2 < < λp.Ứng với mỗi giá trị riêng λk, ta chọn một vectơ riêng phải rk

và một vectơ riêng trái lTk

nghĩa là lk là vectơ tơ riêng của AT Do các giá trị riêng là phân biệt, các vectơ riêng

rk, 1 6 k 6 p, tạo nên một cơ sở của RI p và ta có

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 16

do hệ cấp một (1.22) tương đương với p phương trình vô hướng

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 17với quy ước λ0 = −∞, λp+1= +∞ Như vậy, ta có

Bây giờ ta đi xét trường hợp tổng quát Giả sử Ω ∈ RI p là một tập con mở và

f : Ω 7→ RI p là một hàm đủ trơn tùy ý (ít nhất là thuộc lớp C2) Ta xét hệ luật bảotoàn phi tuyến

Aj(u) =  ∂fi(u)

∂uj



16i,j6p

thừa nhận p giá trị riêng thực phân biệt

λ1(u) < λ2(u) < < λp(u)

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 18Với mỗi giá trị riêng λk(u) ta liên kết với một vectơ riêng phải Rk(u)

và một vectơ riêng trái lT

k(u)

nghĩa là lk(u) là một vectơ riêng của AT Do các giá trị riêng là phân biệt, các vectơ

lk(u), 1 6 k 6 p tạo thành một cơ sở của RI p và là cơ sở đối ngẫu của rk(u), 1 6 k 6 p,

và ta có

lj(u) · rk(u) = δjk, u ∈ Ω, 1 6 j, k 6 p (1.35)

Định nghĩa 1.4 Trường đặc trưng thứ k, (λk, rk), được gọi là phi tuyến thực sự nếu

Trường đặc trưng thứ k, (λk, rk), được gọi là suy biến tuyến tính nếu

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 19

Cho uL, uR ∈ Ω Ta sẽ khảo sát các hàm liên tục trơn từng mảnh tự đồng dạng

u : (x, t) 7→ u(x, t) là nghiệm của bài toán (1.32) nối uL và uR:



(1.41)Thay u từ (1.41) vào phương trình đạo hàm riêng (1.40), ta được

−x

t2



v0xt

+ 1t

v0(ξ) = α(ξ)rk(v(ξ)), λk(v(ξ)) = ξ

Nếu v0(ξ) không triệt tiêu trên một khoảng thì do các giá trị riêng là phân biệt, chỉ

số k không phụ thuộc vào ξ trong khoảng đó Nếu ta lấy đạo hàm riêng phương trìnhthứ hai đối với ξ, ta được

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 20

Từ đó, ta thấy rằng hoặc

v0(ξ) = 0hoặc là

từ uL đến uR dọc theo đường này Lý luận trên chỉ ra rằng hàm

Định nghĩa 1.5 Nghiệm yếu tự đồng dạng (1.44) được gọi là một sóng k−giãn

Sự tồn tại của sóng giãn được cho bởi định lí dưới đây

Định lí 1.3 Giả sử trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự với sự chuẩn hóa(1.38) Cho trước một trạng thái uL ∈ Ω, tồn tại một đường cong <k(uL) gồm cáctrạng thái u ∈ Ω mà có thể nối với uL về phía bên phải bởi một sóng k−giãn Hơn thế,tồn tại một phép tham biến hóa của <k(uL) : s 7→ Φ(s) xác định với 0 6 s 6 s0, s0 đủ

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 21

Cho trước hai trạng thái uL, uR ∈ Ω Ta sẽ khảo sát các nghiệm gián đoạn là hằng

số từng mảnh của (1.32) nối uLvà uR Nhắc lại rằng dọc theo đường gián đoạn x = ξ(t)của một nghiệm yếu u của (1.32), u thỏa mãn hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot

có thể nối với uL về phía bên phải một sóng gián đoạn, Từ đó, ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.6 Tập Rankine-Hugoniot của u0 là tập tất cả các trạng thái u ∈ Ω saocho tồn tại một số σ(u0, u) ∈ RI thỏa mãn

−σ(u0, u)(u − u0) + (f (u) − f (u0)) = 0 (1.49)

Định lí 1.4 Giả sử u0 ∈ Ω Tập hợp Rankine-Hugoniot của u0 một cách địa phươnggồm p đường cong Hk(u0), 1 6 k 6 p Hơn thế, với mỗi k, tồn tại một phép tham biếnhóa của H(uL) : s 7→ Ψ(s) xác định với |s| 6 s1, s1 đủ bé sao cho

2

6

(∇(∇λk· rk) · rk) + ∇λk· rk

2 lk(Drk· rk)

(u−) + O(s3)

(1.51)

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 22Một gián đoạn có dạng (1.47) liên kết với một trường đặc trưng suy biến tuyến tínhđược gọi là một gián đoạn tiếp xúc.

Định lí 1.5 Giả sử trường thứ k là suy biến tuyến tính, nghĩa là

∇λ · rk≡ 0

Khi đó, đường cong tích phân <k(u0) và đường cong Hugoniot Hk(u0) trùng nhau Hơnthế, vận tốc đặc trưng dọc theo đường cong tích phân và vận tốc sốc dọc theo đườngcong Hugoniot là hằng số và trùng nhau

Chứng minh Ta nhận thấy rằng dọc theo đường cong tích phân s 7→ w(s) =

Giả sử u là nghiệm cổ điển của (1.32) trong miền D:

ut+ A(u)ux = 0, trong Dhay

lk(u)T(ut+ λk(u)ux) = 0, 1 6 k 6 p (1.52)

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 23

Ta định nghĩa đường đặc trưng Ck của hệ như là đường cong tích phân của phươngtrình vi phân

Các phương trình (1.52) được gọi là các phương trình đặc trưng

Chú ý rằng việc biến đổi không ảnh hưởng đến giá trị riêng λk thì sẽ không ảnhhưởng đến phương trình đặc trưng

Định lí 1.6 Giả sử u là một sóng k−giãn trong D Khi đó các đường đặc trưng Ck

là các đươngg thẳng dọc theo đó hàm u nhận giá trị hằng số

Chứng minh Để đơn giản, ta bỏ chỉ số trong tham số hóa và giả sử Ck đượctham số hóa bởi s 7→ (x(s), t(s)) Nếu u(x, t) = v(x/t) là một sóng k−giãn, thì dọctheo đường đặc trưng tương ứng, ta có:

x

xt

t

s = λk(v(x(s)/t(s)))t

0

(s)d

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 24thông tin từ dữ kiện biên Nói riêng, nếu Σ là một đường x = ξ(t) trong mặt phẳng(x, t) với σ = ξ0(t) và nếu

λ1(u) < < λk(u) < σ < λk+1(u) < < λp(u) trên Σ (1.55)

ta cần đưa ra

• p−k điều kiện biên trên Σ để chỉ rõ giá trị của các nghiệm trong miền {(x, t), x >σt,

• p điều kiện biên trên trên Σ để chỉ rõ nghiệm trong miền {(x, t), x < σt

Nếu một nghiệm yếu u của (1.32) là C1 từng mảnh và gián đoạn qua Σ và thỏamãn

Định nghĩa 1.7 Ta nói rằng một gián đoạn thỏa mãn các bất đẳng thức sốc Lax nếutồn tại một chỉ số k ∈ {1, 2, , p} sao cho trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sựthì

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 25

Sử dụng tham biến hóa trong định lí 1.4 ta định nghĩa Sk(uL) là tập hợp tất cả cáctrạng thái Ψk(uL) ∈ Hk(uL) mà có thể nối với uL bởi một k−gián đoạn thỏa mãn cácbất đẳng thức Lax

Định lí 1.7 Nếu trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự thì đường cong Sk(uL)gồm các trạng thái Ψk(uL) ∈ Hk(uL) ứng với s > 0 Nếu trường đặc trưng thứ k là suybiến tuyến tính, đường Sk(uL) = Hk(uL)

Một cách khác để chọn ra phần thích hợp của Hk(uL) là dựa vào bất đẳng thứcentropy Nhắc lại rằng một hàm lồi trơn U : Ω 7→ RI là một entropy nếu tồn tại mộthàm trơn F : Ω 7→ RI thỏa mãn

U0(u)A(u) = F0(u), u ∈ Ω

Khi đó, một nghiệm yếu C1 từng mảnh u của (1.32) là nghiệm entropy nếu qua mỗiđường gián đoạn, u thỏa hệ thức Rankine-Hugoniot và điều kiện entropy

với tất cả cặp entropy (U, F )

Từ đó, sử dụng tham biến hóa của định lí 1.4, ta muốn xác định tất cả các trạngthái Ψk(s) ∈ Hk(uL) thỏa mãn bất đẳng thức

−σ(uL, Ψk(s))(U (Ψk(s)) − U (uL)) + (F (Ψk(s)) − F (uL)) 6 0, ∀u ∈ Hk(uL) (1.61)

Định lí 1.8 Giả sử (U, F ) là một cặp entropy Nếu trường đặc trưng thứ k là phituyến thực sự và nếu U là lồi ngặt, bất đẳng thức (1.61) đúng với s đủ nhỏ nếu và chỉnếu s6 0

Nếu trường đặc trưng thứ k là suy biến tuyến tính thì ta có

−σ(uL, u)(U (u) − U (uL)) + (F (u) − F (uL)) 6 0, ∀u ∈ Hk(uL) (1.62)

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 26Như vậy, ta đã chỉ ra rằng sốc đủ yếu, các bất đẳng thức sốc Lax tương đương vớiđiều kiện entropy (1.60) Trong trường hợp tổng quát, ta chưa có câu trả lời chính xác.Tuy nhiên, trong thực tiễn, người ta hay dùng bất đẳng thức Lax hơn Sau đây ta sẽnói rằng một gián đoạn (1.47) là một sóng k−sốc nếu nó là nghiệm yếu và thỏa cácbất đẳng thức sốc Lax.

Chú ý 1.1 Giả thiết rằng trong Ω các vận tốc đặc trưng tách nhau ra, nghĩa là

sup

u∈Ω

λk−1(u) < inf

ít nhất điều này cũng đúng trong một lân cận đủ bé của trạng thái bên trái cho trước

uL nào đó Kí hiệu σ(uL, uR) là vận tốc sốc của một gián đoạn với trạng thái bên trái

và bên phải một cách tương ứng là uL và uR Khi đó, các bất đẳng thức Lax được viếtmột cách đơn giản

λk(uR) < σ(uL, uR) < λk(uL) (1.64)

Chú ý 1.2 Cần nói thêm rằng Liu đã đưa ra một điều kiện entropy cho hệ tổng quát.Điều kiện entropy Liu được phát biểu như sau

σ(uL, u) > σ(uL, uR) với bất kì u ∈ Hk(uL) ở giữa uL và uR (1.65)

Bây giờ chúng ta có đủ công cụ để giải quyết bài toán Riemann cho hệ luật bảotoàn

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 27Định lí 1.3, Định lí 1.4 ta thấy rằng các đường cong Rk(uL) và Sk(uL) tiếp xúc cấp haivới nhau tại s = 0 Từ đó, hàm (s, uL) 7→ χk(s; uL) định nghĩa bởi

Chứng minh Giả sử uL ∈ Ω Ta xét ánh xạ

χ : s = (s1, s2, , sp) 7→ χ(s) = χp(sp; χp−1(sp−1; ; χ1(s1; uL) ))

xác định trong một lân cận của 0 ∈ RI p với giá trị trong Ω ∈ RI p Nói cách khác, trạngthái uL được nối về bên phải với χ1(s1; uL) = u1 bởi một 1−sóng, sau đó trạng thái u1với u2 = χ2(s2; u1) về bên phải một 2−sóng, ., và up−1 với up = χp(sp; up−1) về bênphải một p−sóng Ta muốn kiểm tra rằng liệu ta có thể đạt đến bất kì một trạng thái

uR trong D Tức là ta giải phương trình

1.2 Hệ các luật bảo toàn một chiều 28

Ta nhận thấy rằng χ là ánh xạ lớp C2 và

χ(0) = χp(0; ; χ1(0, uL) )) = uLMặt khác, ta có, từ Định lí 1.3 và 1.4 rằng



Giả sử s = (s1, s2, , sp) Khi đó, sk được gọi là độ lớn của sóng thứ k trongnghiệm bài toán Riemann

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 29

Chúng ta xem xét lại bài toán Cauchy cho hệ bảo toàn tổng quát

(1.72)

trong đó hàm u = u(x, t) = (u1, u2, , up)T là p-véctơ Thông thường, ta giả sử rằng

hệ là hyperbolic, tức là ma trận Jacobi A(u) = f0(u) của f (u) có p trị riêng thực phânbiệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần

a1(u) 6 a2(u) 6 6 ap(u),

và một tập đầy đủ các vectơ riêng Hơn nữa, ta giả sử rằng với 16 k 6 p, trường đặctrưng thứ k là phi tuyến thực sự hay suy biến tuyến tính

Cho bước nhảy đơn vị theo thời gian ∆t và bước nhảy không gian ∆x, chúng tađịnh nghĩa một xấp xỉ vn

j ∈ RI p của u(xj, tn) tại điểm (xj = j∆x, tj = j∆t) bởi côngthức

với hàm g : RI p×2k7→RI p là hàm liên tục và được gọi là hàm thông lượng Lược đồ đượcgọi là phi mâu thuẫn (consistent) với (1.72) nếu g thỏa mãn

g(u, · · · , u) = f (u), ∀u ∈ RI p

Nó được gọi là lược đồ (2k + 1)-điểm, và khi k = 1 ta có lược đồ 3-điểm Lược đồ làbản chất 3-điểm (essentially 3-point) nếu nó thỏa mãn tính chất nhất quán mạnh hơn

g(v−k+1 · · · v−1.u.u.v1 · · · vk) = f (u).∇v−k+1, · · · , vk ∈ RI p, ∀u ∈ RI p

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 30Lược đồ (1.73) có thể được viết dưới dạng tổng quát

với H : RI p×(k+1) 7→ RI p là toán tử nghiệm rời rạc Phần đảo là không đúng, và khi lược

đồ được viết dưới dạng (1.73) với thông lượng số g, nó được gọi là bảo toàn, và (1.73)

j hội tụ bị chặn hầukhắp nơi tới hàm u(x, t) Dựa theo định lí Lax và Wendroff [15], u(x, t) là một nghiệmyếu của (1.72)

Khẳng định rằng, điều kiện entropy (1.60) được thỏa mãn cho tất cả miền gián đoạncủa u

Hơn nữa, lược đồ sai phân hữu hạn đơn điệu ở dạng bảo toàn là có độ chính xáccấp 1 Một trong lược đồ thỏa mãn định lí là lược đồ Lax–Friedrichs

Chú ý 1.3 Nghiệm yếu của (1.72) tồn tại không duy nhất với các điều kiện đầu;nghiệm hội tụ của lược đồ đơn điệu tới nghiệm có tương quan vật lí, có thể được giảithích bởi quan hệ rất gần gũi sự đơn điệu và sự hiện diện của dạng nhớt

Bây giờ chúng ta nêu một số lược đồ sai phân hữu hạn 3-điểm và hàm thông lượngtương ứng được giới thiệu trong [6] và áp dụng cho trường hợp đơn giản

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 31

Xét lược đồ 3-điểm thông thường xuất phát từ trường hợp vô hướng Một trong sốchúng, lược đồ Lax–Friedrichs và Lax–Wendroff, có thể được tổng quát hóa trực tiếpcho hệ

Nó có độ chính xác cấp 1 (first-order accurate) và trong trường hợp vô hướng, điềukiện ổn định C.F.L (C.F.L stability condition)

2

2 {An j+12(f (vj+1n ) − f (vjn)) − Anj−1

j

2

,hay

Anj+1 2

= A(vnj, vj+1n ),

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 32với A = A(u, v) là một p × p-ma trận thỏa mãn







A u + v2

(f (v) − f (v))

A2(u, v)(v − u),

tùy theo cách chọn Anj+1

2

.Lược đồ số này sẽ khó khăn cho việc tính toán vì phải tính toán ma trận A(u, v)

và tích Af Chúng ta có thể dùng lược đồ hai bước Lax–Wendroff

2(f (v

n j+1) − f (vj−1n )),

2(f (v

n j+1) − f (vjn)),

Chú ý 1.4 Lược đồ sai phân với độ chính xác cao hơn 1 là không đơn điệu Lược đồLax–Wendroff thường gây nhiễu tại các điểm sốc

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 33

Dễ thấy, nghiệm chính xác của phương trình đạo hàm riêng (1.86) có dạng f (x−vt),

và f là công thức cho bởi điều kiện đầu, nghiệm của (1.86) là tịnh tiến điều kiện đầutheo trục hoành Tức là:

Ví dụ 2

Xét nghiệm số bài toán giá trị đầu sau:

ut+ f (u)x= 0, f (u) = u − αu2(u − 1)2,

1.3 Phương pháp số cho hệ luật bảo toàn một chiều 34

Hình 1.1: Kết quả số của (1.86)

Hình 1.2: Kết quả số của (1.88)