Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho phân bố thế trong hệ thống nối đất

ƒ Tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn để giả quyết bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất.. TÊN ĐỀ TÀI: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHÂN BỐ THẾ TRONG HỆ THỐNG NỐI ĐẤT”

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

PHẠM THANH HƯNG

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHÂN BỐ THẾ TRONG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm

- -oOo -

Tp HCM, ngày tháng năm

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: PHẠM THANH HƯNG Giới tính : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 03 – 11 – 1982 Nơi sinh : TP Hồ Chí Minh Chuyên ngành : Thiết Bị, Mạng và Nhà Máy Điện

Khoá (Năm trúng tuyển) : 2006

1- TÊN ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG PHUƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHÂN BỐ THẾ TRONG HỆ THỐNG NỐI ĐẤT 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

ƒ Khảo sát mô hình toán của hệ thống nối đất

ƒ Tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn để giả quyết bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng một cọc

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng nhiều cọc

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng thanh

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng hai điện cực

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng bốn điện cực

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng lưới hình vuông

ƒ Xây dựng bài toán phân bố thế cho hệ thống nối đất dạng lưới bất kỳ

ƒ Sử dụng ngôn ngữ lập trình MATLAB viết phần mềm ứng dụng để giải bài toán trên

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ :

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS VŨ PHAN TÚ

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

(Họ tên và chữ ký)

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu, hôm nay em hoàn thành

đề tài tốt nghiệp cao học của mình, chuẩn bị bước sang một bậc mới

Những gì em tiếp thu trong suốt thời gian học ở bậc Cao Học đã cho em được nhiều hơn về kiến thức chuyên ngành, mà giá trị của nó thật

sự khác biệt so với bậc đại học

Để có được kết quả trên, em đã nhận được sự hỗ trợ và giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, đơn vị công tác, thầy cô và bạn bè

Em xin chân thành cám ơn các Thầy Cô giáo Khoa Điện – Điện

Tử trường Đại Học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt

cho em những kiến thức quý báu trong suốt những năm tháng học tại trường

Em xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến TS Vũ

Phan Tú, người thầy đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thời gian

vừa qua

Con xin cám ơn Ba mẹ đã che chở, luôn tạo điều kiện tốt nhất cho

con, động viên, khích lệ con vượt qua những khó khăn, thử thách

Xin cám ơn bạn bè, đồng nghiệp tại trường Cao Đẳng Điện Lực

TP.Hồ Chí Minh đã chia sẻ, giúp đỡ tôi thực hiện luận văn này

Học viên PHẠM THANH HƯNG

TÊN ĐỀ TÀI:

“ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO

PHÂN BỐ THẾ TRONG HỆ THỐNG NỐI ĐẤT”

Nội Dung:

Hệ thống nối đất là một trong những phần tử chính trong hệ thống điện

Hệ thống nối đất thường dùng để bảo vệ thiết bị, đảm bảo hệ thống điện vận hành khi có sự cố xảy ra và bảo vệ an toàn cho người khi vận hành, khi tiếp xúc hoặc khi đến gần thiết bị

Trong hệ thống nối đất thường thường có: nối đất dạng cọc thẳng đứng, nối đất dạng thanh, hệ thống nối đất dạng điện cực, hệ thống nối đất dạng lưới Mục đích chính của hệ thống nối đất là dùng để tản dòng sự cố vào trong đất

Việc phân tích dòng điện tản vào đất, ta sử dụng thuyết điện từ Maxwell Tuy nhiên nếu sử dụng để tính ở mạng lưới lớn thì sẽ rất khó khăn khi giải bài toán bằng tay, do đó người ta sẽ sử dụng chương trình máy tính để tính Một trong những phương pháp đó là FEM (Finite element Method), FDM (Finite Differences Method)

Trong luận văn này sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn bậc một để giải bài toán phân bố thế trong hệ thống nối đất gồm có hệ thống nối đất dạng thanh, hệ thống nối đất dạng cọc, hệ thống nối đất dạng điện cực và lưới nối đất, bằng cách giải phương trình Laplace với các ràng buộc về biên

Kết quả của bài toán phân bố thế trong hệ thống nối đất bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã được kiểm tra đối chiếu với phương pháp sai phân ở một số trường hợp và kết quả cho thấy là hợp lý

Ngoài ra trong luận văn này còn đưa ra một số ví dụ của các bài toán phần

tử hữu hạn khác

CHƯƠNG 1: Giới thiệu đề tài 1

1 Giới thiệu chung 1

2 Các công trình đã nghiên cứu 1

3 So sánh phương pháp phần tử hữu hạn với phương pháp sai phân hữu hạn 2

4 Kết luận 3

Chương 2: Hệ thống nối đất 5

1 Giới thiệu .5

2 Các dạng nối đất đơn giản .6

2.1 Dạng nối đất hình bán cầu 6

2.2 Dạng hai bán cầu trên bề mặt của đất 9

2.3 Dạng hai điện cực hình cầu chôn trong đất 11

3 Các dạng hệ thống nối đất 13

3.1 Các phương trình cơ bản 14

3.2 Dạng cọc nối đất thẳng đứng 16

3.3 Dạng thanh nối đất nằm ngang 18

3.4 Một số dạng khác của hệ thống nối đất 19

  Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn 21

1 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn 21

1.1 Giới thiệu chung 21

1.2 Lịch sử phát triển phương pháp phần tử hữu hạn 21

1.3 Xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn 22

1.4 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn 23

1.5 Các dạng phần tử hữu hạn 23

1.7 Một số dạng phần tử qui chiếu 25

1.8 Sơ đồ toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn 26

2 Phân tích phần tử hai chiều 28

2.1 Bài toán trị biên 28

2.2 Ví dụ về bài toán trị biên hai chiều 30

2.3 Các phương trình phần tử hữu hạn sử dụng phương pháp Galerkin 33

2.4 Phần tử chữ nhật 38

2.5 Phần tử tam giác 46

2.6 Phần tử ánh xạ 55

2.7 Bài toán ba chiều 68

2.8 Thuật toán ghép nối phần tử 75

3 Các bài toán ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn 77

3.1 Bài toán một chiều 77

3.2 Bài toán hai chiều 77

  Chương 4: Kết quả chạy mô phỏng 79

1 Mô hình bài toán nối đất 79

2 Mô phỏng phân bố thế của cọc, thanh dẫn nối đất 81

2.1 Một cọc nối đất 81

2.2 Nhiều cọc nối đất 84

2.3 Thanh nối đất 94

2.4 Hệ thống nối đất gồm hai điện cực 97

2.5 Hệ thống nối đất gồm bốn điện cực 100

3 Mô phỏng phân bố thế cho hệ thống lưới nối đất 103

3.1 Lưới nối đất hình chữ nhật 103

3.1 Lưới nối đất bất kỳ 104

Chương 5: So sánh và kết luận 105

1 So sánh 105

2.1 Một cọc nối đất 106

2.2 Ba cọc nối đất có độ dài bằng nhau 107

3 Kết luận 109

3.1 Nhận xét về kết quả 109

3.2 Ưu điểm của phương pháp phân tử hữu hạn cũng như của luận văn 110

3.3 Hướng phát triển tiếp theo của đề tài 110

Page 1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

1 Giới thiệu chung:

Hệ thống nối đất là một trong những phần tử chính trong hệ thống điện Nối đất

hệ thống điện bao gồm những mục tiêu sau:

- Bảo vệ thiết bị và đảm bảo hệ thống điện vận hành khi có sự cố xảy ra (dẫn

dòng sự cố tản nhanh vào đất)

- Bảo vệ an toàn cho người khi vận hành, khi tiếp xúc hoặc khi đến gần thiết bị

Ngày nay các chương trình máy tính được sử dụng để tính toán các thông số

an toàn để đạt được mô hình nối đất tin cậy

Việc phân tích dòng điện tản vào đất, ta sử dụng thuyết điện từ Maxwell Tuy

nhiên nếu sử dụng để tính ở mạng lưới lớn thì sẽ rất khó khăn khi giải bài toán

bằng tay, do đó người ta sẽ sử dụng chương trình máy tính để tính Một trong

những phương pháp đó là FEM (Finite element Method), FDM (Finite Differences

Method)

2 Các công trình đã nghiên cứu trước:

Analysis of Transferred Earth Potentials in Grounding Systems: A BEM

Numerical Approach: Bài báo dùng phương pháp số BEM (Boundary Element

method – Phương pháp phần tử biên) để giải bài toán phân bố thế trong đất phân

bố của dây dẫn chôn trong đất, đường ống, hàng rào kim loại, Bài báo này miêu

tả tổng quan về phương pháp BE và trình bày kỹ thuật mới trong phân tích phân bố

thế

Resistance to ground of combined grid - multiple rods electrodes: bài báo này

trình bày các loại lưới nối đất hình vuông, hình chữ nhật với nhiều cọc được chôn

sâu trong đất trường hợp lớp đất là đều, và trường hợp hai lớp đất Tác giả sẽ sử

dụng phần mềm máy tính để phân tích Dựa vào kết quả phân tích tác giả đã đưa

ra công thức và đồ thị của các điện trở nối đất

Page 2

Phương pháp phần tử hữu hạn được giới thiệu lần đầu tiên trong luận văn về

toán học của Couran vào thập niên 40, ở đó tác giả sử dụng phần tử tam giác Vào

cuối thập niên 60 những luận văn toán học về phương pháp phần tử hữu hạn được

phát triển nhiều hơn, và cũng vào cuối thập niên 60 thì phương pháp phấn tử hữu

hạn đã được Silvester đưa vào ứng dụng trong ngành điện để phân tích dạng sóng

và sự cộng hưởng Vào những cuối thập niên 60 và đầu thập niên 70 nhiều nhà

khoa học, kỹ thuật đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu nhiều

lĩnh vực như máy móc, điện, v.v…

Ưu điểm chính của phương pháp phần tử hữu hạn là tương thích với mọi dạng

hình học và vật liệu không đồng nhất mà không cần phần thay đổi lại công thức

cũng như những đoạn mã chương trình của máy tính

3 So sánh phương pháp phần tử hữu hạn với phương pháp sai

phân hữu hạn:

Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp khác để giải phương trình vi

phân từng phần Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và Phương

pháp sai phân hữu hạn là:

• Phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn

phương pháp phần tử hữu hạn thì xấp xỉ lời giải của bài toán này

• Điểm đặc trưng nhất của phương pháp phần tử hữu hạn là nó có khả năng

áp dụng cho những bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với

mối quan hệ rời rạc Trong khi đó phương pháp sai phân hữu hạn về căn

bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản,

việc vận dụng kiến thức hình học trong phương pháp phần tử hữu hạn là

đơn giản về lý thuyết

• Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực

hiện được

• Trong một vài trường hợp, phương pháp sai phân hữu hạn có thể xem như

là một tập con của phương pháp phần tử hữu hạn xấp xỉ Việc lựa chọn hàm

Page 3

cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta Dirac Trong cả hai

phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành trên toàn miền, nhưng miền

đó không cần liên tục Như một sự lựa chọn, nó có thể xác định một hàm

trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không sinh ra

chiều dài hơn, tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là phương pháp phần tử

hữu hạn

• Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu

hạn trở lên đúng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong phương pháp sai phân hữu hạn

đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới còn hạn chế

• Kết quả của việc xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn thường chính

xác hơn phương pháp sai phân hữu hạn, nhưng điều này còn phụ thuộc vào

nhiều vấn đề khác và một số trường hợp đã cho kết quả trái ngược

Nói chung, phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp thích hợp để

phân tích các bài toán về kết cấu (giải các bài toán về biến dạng và ứng suất của

vật thể dạng khối hoặc động lực học kết cấu), trong khi đó phương pháp tính trong

động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn

hoặc những phương pháp khác (như phương pháp khối lượng hữu hạn).Những

bài toán của động lực học chất lỏng thường yêu cầu phải rời rạc hóa bài toán

thành một số lượng lớn những “ô vuông” hoặc những điểm lưới (hàng triệu hoặc

hơn), vì vậy mà nó đòi hỏi cách giải phải đơn giản hơn để xấp xỉ các “ô vuông”

Điều này đặc biệt đúng cho các bài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng

không khí bao quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một

vùng rộng lớn Có rất nhiều bộ phần mềm về phương pháp phần tử hữu hạn, một

Page 4

Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều ưu điểm hơn so với phương pháp sai

phân hữu hạn

Luận văn này sẽ thực hiện việc nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn và

ứng dụng vào để giải bài toán phân bố thế trong hệ thống điện

Page 5

CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG NỐI ĐẤT

1 Nối đất trong hệ thống điện:

1.1 Giới thiệu:

Tác dụng của hệ thống nối đất là tản dòng điện sự cố như dòng ngắn mạch

(bao gồm ngắn mạch 3 pha đối xứng, ngắn mạch 2 pha, ngắn mạch 2 pha chạm

đất, ngắn mạch 1 pha), dòng sét và dòng điện rò vào trong đất và giữ cho điện

thế của các phần tử được nối đất thấp Có các loại nối đất sau:

Nối đất làm việc: Có nhiệm vụ bảo đảm sự làm việc của trang thiết bị điện

trong các điều kiện bình thường và sự cố theo các chế độ qui định Đó là nối đất

điểm trung tính các cuộn dây máy phát, máy biến áp và máy bù, nối đất máy biến

áp đo lường

Nối đất an toàn: hay nối đất bảo vệ đảm bảo an toàn cho người khi đứng

gần hoặc tiếp xúc với thiết bị điện đã được nối đất khi cách điện của trang thiết bị

điện đó bị hư hỏng gây rò điện Đó là nối đất vỏ máy phát, máy biến áp, vỏ thiết bị

điện, vỏ cáp, nối đất các kết cấu kim loại của trang bị phân phối điện Nói chung

đó lả nối đất các bộ phận kim loại, bình thường có điện thế bằng không, nhưng

khi cách điện bị hư hỏng do phóng điện xuyên thủng hay phóng điện bề mặt sẽ

có điện thế khác không

Nối đất chống sét: Có nhiệm vụ tản dòng sét vào đất 1 cách nhanh chóng

và đảm bảo điện áp của các phần tử không quá cao, do đó tránh được phóng

điện ngược từ các phần tử đó đến các bộ phận mang điện và các trang thiết bị

điện khác Thiết bị nối đất chống sét thường là cột thu sét, dây đai chống sét, …

Trong nhiều trường hợp, cùng một hệ thống nối đất đồng thời thực hiện hai

hoặc ba nhiệm vụ trên Tuy nhiên, việc thực hiện một hệ thống nối đất cụ thể,…

Các loại hệ thống nối đất thông thường được thực hiện bằng một hệ thống

những cọc thép (hoặc đồng) đóng vào đất hoặc những thanh ngang bằng cùng

loại vật liệu chôn trong đất, hoặc cọc và thanh nối liền nhau và nối liền với vật cần

nối đất Cọc thường làm bằng thép ống hoặc thép thanh tròn không rỉ (hoặc mạ

kẽm), đường kính từ 3 đến 6cm, dài từ 2 đến 3m hoặc bằng thép góc

Page 6

40mm×40mm, 50mm×50mm đóng thẳng đứng vào đất, còn thanh ngang bằng

đến 20 mm Cọc và thanh được gọi chung là cực nối đất, thường được chôn sâu

cách mặt đất 50 cm đến 80 cm để giảm bớt ảnh hưởng thời tiết không thuận lợi

(quá khô về mùa nắng hoặc băng giá về mùa đông) và tránh khả năng hư hỏng

về cơ giới (do bị đào bới, cày cuốc)

quanh đất một điện trường (điện trường trong môi trường dẫn điện) Mỗi điểm

trong điện trường đó kể cả trên mặt đất có một điện thế nhất định Trên mặt đất

những điểm cách xa điện cực 20m trở lên có thể coi điện thế tại các điểm đó

bằng không do cường độ điện trường ở các khoảng cách đó thường không quá

1V/m Điện thế của các cực nối đất đối với các điểm có điện thế “không” , về trị số

trở của bản thân điện cực phụ thuộc vào vật liệu và kích thước của điện cực Khi

tản dòng một chiều hoặc xoay chiều tần số 50Hz thì bản thân trị số điện trở của

điện cực rất bé có thể bỏ qua Khi tản dòng điện xung có độ dốc lớn thì nó có thể

có trị số đáng kể, cần được xem xét

1.2 Các dạng nối đất đơn giản

1.2.1 Dạng điện cực hình bán cầu

Xét hệ thống nối đất đơn giản với điện cực hình bán cầu, có điện trở suất là ρ

Tâm của điện cực được đặt trên bề mặt đất

Điện trở suất = ρKhông khí

Page 7

Do tính đối xứng nên dòng điện chạy vào trong đất của điện cực bán cầu

được xem như điện cực hình cầu được chôn sâu một nửa trong đất Nếu tổng

dòng điện chạy trong điện cực bán cầu là I thì tổng dòng điện chạy trong điện cực

hình cầu là 2I Mật độ dòng điện tại một điểm cách tâm của điện cực một khoảng

là r sẽ được xác định theo công thức sau:

                       2.1

Trong đó a là bán kính của điện cực bán cầu, là vectơ đơn vị Cường độ

điện trường sẽ được tính như sau:

              2.2 Điện áp của điện cực bán cầu đối với điểm x cách tâm điện cực một

V1

V2

r

Điện trở suất = ρĐiện trở suất = ρ

Hình 2.1 – Điện cực bán cầu chôn trong đất

Page 8

Điện áp của điện cực hình cầu đối với điểm ở xa vô cùng:

∞ 2        2.5 Điện trở của điện cực bán cầu với điểm đất ở xa vô cùng:

Page 9

1.2.2 Dạng hai bán cầu trên bề mặt của đất

Xét một hệ thống đơn giản, gồm hai điện cực nửa bán cầu trên bề mặt của đất

như hình vẽ:

Một nguồn dòng được nối giữa hai điện cực bán cầu có tổng dòng điện I

chạy trong đất Để dễ phân tích ta giả sử rằng các điện cực bán cầu không bị ảnh

hưởng bởi sự phân bố dòng trong bề mặt đất của điện cực bán cầu kia, với giả

thiết này ta có thể xem khoảng cách giữa hai điện cực bán cầu lớn hơn rất nhiều

lần so với bán kính của điện cực khi đó mật độ dòng điện J(x,y) tại điểm (x,y)

được tính theo công thức sau:

Page 11

1.2.3 Dạng điện cực hình cầu chôn trong đất

Xét điện cực hình cầu được chôn trong đất có độ sâu d như hình sau:

Không khí Điện trở suất ρ

Page 12

Theo phương pháp ảnh điện thì điện áp tại một điểm trong đất được tạo

bởi điện cực chôn sâu trong đất và ảnh của nó đối xứng với điện cực qua bề mặt

đất Đồng thời, xem như không gian giữa hai điện cực được lắp đầy bởi môi

trường có điện trở suất ρ

Nếu điện cực có tổng dòng điện I chạy vào trong đất thì ảnh của nó có tổng

dòng điện là I

Một cách tổng quát, dòng điện phân bố trên bề mặt của quả cầu là không

đồng nhất và phương pháp tính cũng rất phức tạp Để đơn giản, ta sử dụng

khoảng cách d lớn hơn rất nhiều so với bán kính của quả cầu (tỷ lệ trên hình vẽ

chỉ mang tính chất tham khảo) Khi đó các đại lượng J, E, V được tính theo công

điểm khảo sát và và là các vectơ đơn vị

Lấy tích phân hai vế ta được:

Hình 2.4 - Điện cực hình cầu chôn trong đất

c) Hướng tản dòng điện

Page 13

1.3 Các dạng hệ thống nối đất

1.3.1 Các phương trình cơ bản:

Khảo sát phương trình vi phân của điện cực kim loại chôn sâu trong đất Giả

Điện áp V(r,φ,z) tại điểm có tọa độ (r,φ,z) trong đất được xác định theo phương

Trong đó: r, φ, z xác định tọa độ điểm A trong hệ trục tọa độ Do bài toán có tính

đối xứng nên kết quả sẽ độc lập với biến φ, vì thế V(r,φ,z) = V(r,z)

Khi đó phương trình Laplace sẽ được viết lại như sau:

Với k là biến giả và θ(k) là hàm bất kỳ của biến k Đối với bài toán cụ thể thì

θ(k) được xác định theo điều kiện biên Có hai dạng nghiệm tổng quát là cộng

hoặc trừ tương ứng với trục +z hoặc –z

Page 14

Hình 2.5 – Dòng điện tại một điểm trong đất

Điện áp trong vùng 2 (+z):

,4

Page 15

âm vô cùng

phần này được xác định thông qua việc giải bài toán điều kiện biên Tại mặt tiếp

xúc giữa hai môi trường (mặt tiếp xúc giữa hai lớp) hàm điện áp và hàm dòng

điện phải liên tục

∞

        2.25

,4

∞

       2.31

1.3.2 Dạng cọc nối đất thẳng đứng

Trong trường hợp này ta khảo sát điện cực nối đất chôn thẳng đứng có đường

kính d, chiều dài l với độ sâu là t và đất có điện trở suất là ρ

Điện áp tại 1 điểm có tọa độ (z,x) và dòng điện I chạy qua điện cực được tính

theo công thức sau :

4 √        2.36

Page 17

Hình 2.6 – Nối đất thẳng đứng

Để đơn giản hơn ta áp dụng phương pháp ảnh điện và giả sử không gian khảo

sát là đồng nhất, điện áp ở 1 điểm có tọa độ (l/2, r) sẽ là :

Điện áp trên đoạn từ điểm C đến vô cùng chính là điện áp tại điểm C, vì

điện áp ở xa vô cùng ϕ(∞) = 0 Giá trị điện áp này được tính theo công thức sau :

1.3.3 Dạng thanh nối đất nằm ngang

Xét thanh nối đất được chôn trong đất như hình vẽ

ρ

Z

r

x L/2 -L/2

ρ

Để đơn giản trong việc tính toán, ta có thể không xem xét đến ảnh hưởng

của độ chôn sâu t Ngoài ra ta giả thiết rằng điện trường xung quanh điện cực là

đối xứng theo mọi phía của mặt cắt ngang

Trong thực tế l/2r >>1 nên :

ρ

2 2        2.47 Điện trở nối đất :

ρ

2 2         2.48

1.3.4 Một số dạng khác của hệ thống nối đất

Ngoài các dạng cọc, thanh nối đất, trong thực tế còn có một số dạng nối đất khác,

như vòng, đĩa, lưới, v.v…

Page 20

Dạng đĩa tròn chôn gần mặt đất :

ρ

4        2.51 Dạng vòng :

ρ

4

8        2.52

Page 21

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 Giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Giới thiệu chung:

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi kỹ sư thực hiện những đề án ngày

càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu

cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạng thái

ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu

thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu, … đến những bài toán của lý thuyết trường

như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ

trường, v.v… Với sự phát triển của ngành công nghệ thông tin và hệ thống CAD,

nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ

dàng

Trên thế giới có rất nhiều phần mềm phần tử hữu hạn nổi tiếng như

NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP2000, CASTEM2000, FEMLAB,…

1.2 Lịch sử phát triển phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các

bài toán phức tạp về lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ

thuật hàng không Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và

Richard Courant (1942) Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là

khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục

thành những miền con rời rạc Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách

sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những

miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần

Page 22

elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ Sự đóng góp

của Courant là phát triển, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho

Phương pháp vi phân toàn phần elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và

Galerkin Sự phát triển chính thức của Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt

đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và

công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley (xem Early Finite

Element Research at Berkeley) trong những năm 1960 trong ngành xây dựng

Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với

việc xuất bản cuốn Strang và tổng kết trong An Analysis of The Finite Element

Method và kể từ đó Phương pháp phần tử hữu hạn được tổng quát hóa thành một

ngành của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được

ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng

Sự phát triển của Phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học kết cấu đặt

cơ sở cho nguyên lý năng lượng, ví dụ như: nguyên lý công khả dĩ, Phương pháp

phần tử hữu hạn cung cấp một cơ sở tổng quát mang tính trực quan theo quy luật

tự nhiên, đó là một yêu cầu lớn đối với những kỹ sư kết cấu

1.3 Xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó, ta chia V

ra thành nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn Đại lượng xấp xỉ

của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve

Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ

bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:

• Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn

vào nút của ve và biên của nó

• Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho liên tục

trên ve và phải thỏa mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau

• Các miền con ve được gọi là các phần tử hữu hạn

Page 23

1.4 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn

1.4.1 Nút hình học

Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các phần

tử hữu hạn Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các

phần tử ve có dạng đơn giản hơn Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác

định giải tích duy nhất theo các tọa độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là

các tọa độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó

1.4.2 Qui tắc chia miền thành các phần tử

Việc chia V thành các phần tử ve phải thỏa mãn hai qui tắc sau:

• Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của

chúng Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử Biên giới

giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt

• Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V

cho trước càng tốt Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử

1.5 Các dạng phần tử hữu hạn

Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều, ba chiều

Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử

bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v… Một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp:

Với mục đích đơn giản hóa việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức

tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu hay phần tử chuẩn hóa, ký hiệu

là vr Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không

gian qui chiếu, mà từ đó ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ

phép biến đổi hình học re

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Hình 3.2 – Các dạng phần tử hữu hạnPhần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Page 25

Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực, phải thỏa mãn các qui

tắc chia phần tử Muốn vậy, phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có

các tính chất sau:

• Phép biến đổi phải có tính hai chiều, đối với mỗi điểm ξ trong phần tử qui

chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm ve và

ngược lại

• Mỗi phần tử biên của các phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình

học của biên đó, ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các

Page 26

Phần tử qui chiếu hai chiều:

Phần tử qui chiếu ba chiều:

1.8 Sơ đồ toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Một chương trình tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn thường gồm các khối

Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba

Hình 3.4 – Một số dạng phần tử qui chiếu

Page 27

Khối 2: tính toán ma trận độ cứng phần tử k và vectơ lực nút phần tử f của mỗi

phần tử

Khối 3: Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và vectơ lúc nút F chung cho cả hệ

Khối 4: Áp đặt điều kiện biên bằng cách biến đổi ma trận độ cứng K và vectơ lực

nút tổng thể

Khối 5: giải PTHH, xác định nghiệm của hệ và vectơ chuyển vị chung Q;

Khối 6: Tính toán các đại lượng khác

Khối 7: Lưu và in kết quả, vẽ đồ thị, biểu đồ của các đại lượng theo yêu cầu

Đọc dữ liệu đầu vào:

- Các thông số hình học của kết cấu

- Các thông số điều khiển lưới

- Thông tin ghép nối các phần tử

- Điều kiện biên

Tính toán ma trận độ cứng phần tử k Tính toán vectơ phần tử f

Page 28

2 Phân tích phần tử hữu hạn hai chiều

Ở phần trên chúng ta đã nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn và đã

giải thích các ứng dụng của nó trong không gian một chiều Mặt dù phương pháp

không được sử dụng rộng rãi cho các bài toán một chiều, nó phổ biến trong không

gian hai chiều, ở đó các mô hình toán của hầu hết là các bài toán vật lý thường

phức tạp đến nỗi mà một nghiệm (hoặc lời giải) giải tích hoặc dạng đóng là không

thể Ngày nay phương pháp phần tử hữu hạn được phát triến rất tốt cho các bài

toán hai chiều và đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ

thuật kể cả điện tử Trong chương này trước tiên ta thành lập nghiệm (lời giải)

hữu hạn cho bài toán giá trị biên hai chiều tổng quát bằng cách dùng các phần tử

ba chiều tuyến tính Tiếp theo chúng ta minh hoạ các ứng dụng của nó trong các

bài toán điện tử, và các lĩnh vực khác

2.1 Bài toán giá trị biên

Bài toán trị biên hai chiều được mô tả bởi phương trình vi phân có dạng

chính tắc sau:

0       3.1

Trong đó: kx(x,y), Ky(x,y), p(x,y), q(x,y) là các hàm định nghĩa trước trên

miền bài toán ẩn số bài toán là hàm u(x,y) Diện tích và biên của miền lần lượt

được ký hiệu là A và C Vị trí biên được định nghĩa bởi tọa độ của các điểm biên

và vectơ pháp tuyến ngoài n: ;     | | 1

Page 29

Phương trình vi phân chính tắc của bài toán là phương trình vi phân cấp 2

nên các điều kiện biên kể đến u gọi là điều kiện biên chính (EBCs), và kể đến đạo

hàm của nó gọi là điều kiện biên tự nhiên (NBCs) Với dạng bài toán đã nêu các

điều kiện biên có thể có như sau:

Các điều kiện biên chính (EBCs) được định nghĩa trên biên Ce

u là giá trị cho trước trên biên Ce, với c là độ dài của biên Ce

Các điều kiện biên tự nhiên (NBCs) được định nghĩa trên biên Cn:

α β        3.2 Trong đó α(c), β(c) là các thông số định nghĩa trước dọc theo biên

Khi kx = ky = k, vế trái là đạo hàm của u theo pháp tuyến ngoài của biên

Các điều kiện biên tự nhiên sẽ là:

α β        3.2

Phương trình mô tả bài toán cũng như các điều kiện biên ở trên có thể dễ

dàng chứng minh là trường hợp tổng quát cho bài toán trị biên một chiều

Pháp tuyến ngoài n

Diện tích A

Page 30

2.2 Ví dụ về bài toán trị biên hai chiều:

Bài toán dòng chảy có thế hai chiều:

Bài toán dòng chảy hai chiều không nén, không ma sát được gọi là bài toán dòng

chảy có thế hai chiều mà nó phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

Phương trình liên tục:

0        3.3 Điều kiện không xoáy:

0        3.4 Trong đó:

u(x,y); v(x,y) là vận tốc dòng chảy theo phương x, y Có hai phương pháp

thường được dùng để giải bài toán này là: Phương pháp hàm dòng và phương

pháp hàm thế

a Phương pháp hàm dòng:

Ở đây người ta giả sử 1 hàm vô hướng ψ(x,y) gọi là hàm dòng, mối quan hệ giữa

vận tốc dòng chảy theo phương x,y với hàm ψ(x,y) là như sau:

ψ

;         ψ

       3.5 Với giả thiết là thỏa mãn điều kiện liên tục, và điều kiện không xoáy là:

0        3.6 Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán 2D

Page 31

Hình 3.6 – Dòng chảy quanh vật cản Hình 3.7 – Các điều kiện biên với

phương pháp hàm dòng

b Phương pháp hàm thế:

Giả sử một hàm vô hướng φ(x,y) gọi là hàm thế, mối quan hệ giữa vận tốc dòng

chảy theo phương x,y với hàm φ (x,y) là như sau:

φ

;         φ

        3.7 Với giả thiết là thỏa mãn điều kiện không xoáy, và này điều kiện liên tục là:

0        3.8

Hình 3.8 – Các điều kiện biên với phương pháp hàm thế Chúng ta nhận thấy rằng cả hai phương pháp đều dẫn đến phương trình vi

phân chính tắc cùng loại Tuy nhiên các điều kiện biên áp đặt cho bài toán ở mỗi

phương pháp là khác nhau Để minh họa rõ hơn điều này ta khảo sát dòng chảy

có thế hai chiều xung quanh một vật cản đối xứng Vận tốc dòng chảy theo

Page 32

phương x ở vị trí cách xa vật cản một khoảng cách đủ lớn được xem là hằng số

kể cả trước và sau vật cản Giả sử rằng biên của miền khảo sát được giới hạn bởi

các vị trí mà ở đó vận tốc dòng chảy được xem là theo phương ngang Do tính đối

xứng của bài toán nên ta chỉ cần mô hình 1/4 miền khảo sát Chúng ta cũng có thể

chọn giá trị của hàm ψ = 0 dọc theo biên x = 0 Lúc đó các điều kiện biên như sau:

Điều kiện biên với phương pháp hàm dòng:

1 Trên biên dưới và dọc theo lân cận biên vật cản:

Các điều kiện biên với phương pháp hàm thế:

Trên biên trên và dưới:

φ

0       3.14