– We need only compute the image of the two endpoints of the original line and then draw a straight line between them.. – Preservation of collinearity guarantees that polygons will tr[r]
Trang 1B ài 4 Các phép biến đổi Đồ hoạ
Transformations
Le Tan Hung Email: hunglt@it-hut.edu.vn
2
Phép biến đổi - Transformations
zTrong kỹ thuật đồ hoạ 3 bước: Mô hình, Tô trát
và Hiên thị (modeling, rendering, displaying)
zVới Modeling ( Mô hình hóa) :
zTransformation: là phép ánh xạ tọa độ điểm hay vector thành tọa độ hay vector khác
modeling
coordinate Modeling transformation Viewing transformation
world coordinate viewing coordinate( eye
coordinate)
3
Phép biến đổi Transformations
zBiến đổi mô hình hoá - Modeling transformations
– build complex models by positioning simple
components
zBiến đổi tạo góc nhìn - Viewing transformations
– placing virtual camera in the world
– transformation from world coordinates to camera
coordinates
zBiến Phép chiếu – Projection Transform
4
Transformations - Modeling
world
5
Phép biến đổi Affine
Affine Transformations?
zPhép biến đổi Affine là phép biến đổi tọa độ
điểm đặc trưng của đối tượng thành tập tương
ứng các điểm mới để tạo ra các hiệu ứng cho
toàn đối tượng.
–Ví dụ: phép biến đổi tọa độ với chỉ 2 điểm đầu cuối của
đoạn thẳng tạo thành 2 điểm mới mà khi nối chúng với
nhau tạo thành đoạn thẳng mới
zCác điểm nằm trên đoạn thẳng sẽ có kết quả là
điểm nằm trên đoạn thẳng mới với cùng phép biến
đổi thông qua phép nội suy
6
Modeling Transformations
Transform objects/points
Transform coordinate system
Trang 2Biểu diễn Ma trận
zViệc biến đối các đối tượng làm thay đổi các
điểm P thành các điểm Q theo thuật toán
zViệc biến đổi P sử dụng tọa độ của P (Px,Py) ánh
xạ thành các tọa độ mới Q (Qx,Qy)
zViệc biến đổi có thể biểu diễn thông qua hàm T,
hàm ánh xạ của điểm:
– T(P x ,P y ) = (Q x ,Q y)
– or:
– T(P) = Q
8
Matrix Representation
z Phép biến đổi đồ họa - affine transformation T ánh xạ tập P sang tập Q:
– –
– where a, b, c, d, tx and ty là các hệ số
z Biểu diễn ma trận:
z i.e ⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞=⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞+⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞
y x y x y
x
t t P P d c b a Q Q
x x x
x aP bP t
y y y
y cP dP t
Tr MP
9
Các phép biến đổi hình học hai
chiều
z Phương pháp biểu diễn đối tượng P = [ x y ]
z Phép biến đổi vị trí điểm
z Thực thi phép biến đổi đúng trên 1 điểm ảnh sẽ đúng
trên toàn bộ đối tượng
⎥
⎢
=
d c b a T
[ ] [ ] [* y]* [ (ax cy) ( bx dy) ] [x' y']
d c b a x T
y
x z
pM
10
Phép biến đổi
z Phép bất biến
z Phép biến đổi tỉ lệ - Scaling
z A scaling changes the size of an object with two scale
factors, S x and S y
z Phép biến dạng
z A shearing shears an object in a particular direction, (in 2D, it’s either in the x or in the y direction
⎥
⎤
⎢
⎡
= 1 0 0 1
T
[ ] [ ] [ ] [ ( ) ] [' ']
1 0
0
*
[ ] [ ] [ ] [ ] [' ']
1 0
1
*
x z
y
11
Phép quay- Rotation
x = ρ cos α, y = ρ sin α ;
x’ = ρ cos (θ +α ), y’ = ρ sin (θ +α ) ;
x’ = ρ ( cosθ cosα - sinθ sinα )
= x cos θ - y sinθ
y’ = ρ ( sinθ cosα + cosθ sinα )
= x sin θ + y cosθ
[x' y']= [xcosθ - ysinθ xsinθ + ycosθ]
y
( x, y )
x
α ρ
θ
ρ
( x’, y’ )
⎥
⎤
⎢
⎡
−
=
θ θ θ θ cos sin sin cos ]
[T
12
Thuộc tính cơ bản của phép biến đổi Affine Transformations
zPreservation of lines:
– They preserve lines, so the image of a straight line is another straight line
– This vastly simplifies drawing transformed line segments
– We need only compute the image of the two endpoints
of the original line and then draw a straight line between them
– Preservation of collinearity guarantees that polygons will transform into polygons
–Affine transformations map lines to lines;
Trang 3zPreservation of parallelism
– Preservation of parallelism guarantees that
parallelograms will transform into parallelograms
zPreservation of proportional distances
– Preservation of proportional distances means that
mid-points of lines remain mid-mid-points
zAffine transformations change volume by |
Det(M) |;
14
Kết hợp các phép biến đổi Composition of Affine Transforms
z Any affine transformation can be decomposed into elementary transformations
z Mọi phép biến đổi phức tạp đều
có thể tạo thành từ các phép biến đổi cơ sở như:
–Dịch chuyển - Translation –Tỉ lệ - Scaling
–Quay- Rotation –Biến dạng - Shearing
15
Affine transformations preserve
affine combinations
z It is rare that we want to perform just one elementary
transformation
z Usually an application requires that we build a
complex transformation out of several elementary
ones
– e.g translate an object, rotate it, and scale it, all in one move
z These individual transformations combine into one
overall transformation
z This is called the composition of transformations
z The composition of two or more affine transformations
is also an affine transformation
16
Thuộc tính
z Tác động lên tập các điểm đặc trưng của đối tượng tạo thành phép biến đổi cho đối tượng
z We have defined each transformation by their effects on single points
z In practice these will be applied to multiple points to transfer entire scenes or objects made up of many defining points
T
17
Điểm gốc - Pivotal points
Cho phép quay và tỉ lệ Rotation and Scaling
z The simple versions of rotation and scaling have been based around the
origin.
z This means that when we rotate or scale, the object will also move, with
respect to the origin
z Translate all points through (-c1,-c2)
z Rotate all points about the origin by
z Translate all points back through (c1,c2)
(c1,c2)
Pivotal points
z Often we wish to rotate or scale with respect to some pivotal point, not the origin
z Most significantly, we often wish to rotate or scale an object about its centre, or midpoint
z In this way, the object’s location does not change
z To do this, we relate the rotation or scaling about the pivotal point V, to an elementary rotation or scaling about the origin
– We first translate all points so that V coincides with the origin – We then rotate or about the origin
– then all points are translated back, so that V is restored to its original location
Trang 4Hệ toạ độ đồng nhất
zVấn đề gặp phải:
zAn affine transformation is composed of a linear
transformation followed by a translation
zUnfortunately, the translation portion is not a
matrix multiplication but must instead be added as
an extra term, or vector
zWhat we need is a “trick”, so that translations can
be represented in matrix multiplication form
zThis then means that they can be easily
composed with other transformations, by simply
multiplying the matrices together
20
Tọa độ đồng nhất Homogeneous Transform
–x' = ax + by + n
–y' = cx + dy + m
zPhương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng nhất của các vector vị trí
zVới ứng dụng của phép chiếu hình học mà
ở đó tọa độ điểm được mô tả dưới ma trận [ x* y* h]
–với x = x*/h, y = y*/h, z = z*/h và h là một số thực tuỳ ý
21
Ưu điểm của Hệ tọa độ đồng nhất
Homogeneous Transform
zÐưa ra cái nhìn hợp nhất của các phép biến đổi
dưới phép nhân ma trận, hỗ trợ cho việc xử lý
bằng cả phần cứng và phần mềm
zKết hợp các các phép biến đổi tạo thành ma trận
tích đơn giản duy nhất Tránh nhầm lẫn về thứ tự
của các phép nhân khi sử dụng.
– Order matters: AB is generally not the same as BA
zCho phép kết hợp với cả các phép biến đổi đặc
biệt không tuyến tính khác(non-affine) như:
– Phép chiếu phối cảnh - Perspective projections!
– Uốn - Bends, Vuốt tapers v.v.v
22
Phép biến đổi với tọa độ đồng nhất
zMa trận biến đổi đồng nhất
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= 1 0
0 ]
[
n m d c b a T
] 1 [
1 0 1 0 0 0 1 ] 1 [ ] 1 ' '
n m y x y
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
(t x , t y , t z )
23
Phép tỉ lệ
] 1 2 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 ] 1 [ ]
1
'
'
S y x y
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
24
Phép quay
y
( x, y )
x
α
ρ
θ
ρ
( x’, y’ )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos ] 1 [ ] 1 ' '
φ φ
y x y x
] 1 cos sin sin cos
=
Trang 5Phép biến đổi tổng hợp
26
Ma trận biến đổi 3 chiều 3D Matrix Transformations
zCác phép biến đổi chuyển vị - translation, tỉ lệ-scaling và quay-rotation sử dụng trong không gian 2D đều co thể mở rộng trong không gian 3D
zAgain, using homogeneous coordinates it is possible to represent each type of transformation
in a matrix form
zIn 3D, each transformation is represented by a 4x4 matrix
27
Các phép biến đổi hình học 3 chiều
z Biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều
z[ x* y* z* h ] = [ x y z 1 ] [ T ]
z[x' y' z' 1 ]= [ x*/h y*/h z*/h 1 ][ T ]
z Ma trận biến đổi
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
s n m l
r j i g
q f e d
p c b a ]
[T
28
Phép tịnh tiến
– [X'] = [ X ] [ T(dx,dy,dz) ]
– [ x' y' z' 1 ] =
– [ x y z 1 ].[ T(dx,dy,dz) ]
z = [ x+dx y+dy z+dz 1 ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 )]
, , ( [
dz dy dx
dz dy dx T
29
Phép tỉ lệ
z s1, s2, s3 là các hệ số tỉ lệ
tương ứng trên các trục toạ độ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1 1 1
s s s z y x z
y
x' ' ' ] [ ]
[
] 1 3 2 1
.
=
30
Rotation
zIn 2D, the only rotation possible was about the origin.
zIn 3D, there are 3 possible rotations, one about each of the x, y and z axes
zPositive rotations are anti-clockwise, negative rotations are clockwise, when looking down a positive axis towards the origin
x y
z
x y
z
x y
z
Trang 6Phép quay 3 chiều
zQuay quanh các trục toạ độ
z Quay quanh trục x
z Quay quanh trục z
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
φ φ φ φ cos sin sin cos ]
[Tx
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos ]
ϕ ϕ
Tz
32
Quay quanh trục y
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
=
1 0 0 0
0 cos 0 sin
0 0 1 0
0 sin 0 cos ] [
θ θ
θ θ
Ty
33
Phép biến dạng
(secondary translation)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 0 0 0
0 1 0 1 0 1
1 1
i g f d c b z
y x z y
x' ' ' ] [ ]
[
] 1 [ x + yd + gz bx + y + iz cx + fy + z
=
34
Phép lấy đối xứng ( reflections-secondary translation)
35
Quay quanh một trục bất kỳ song song với
các trục tọa độ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1 0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
]
[
z y
Tr
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
φ φ φ φ φ
cos sin sin cos )]
(
[T
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 1
z y
Tr]
[
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− +
−
−
=
1 sin ) cos 1 ( sin )
cos
1
(
0
0 cos sin
0
0 sin cos
0
0 0 0
1
]
[
φ φ φ φ
φ φ
φ φ
y z z y
Tth
36 Quay quanh một trục bất kỳ
Trang 7Solution
z Chuyển P1 về gốc tọa độ
z Quay quanh trục y sao cho P1P2 nằm trờn mặt phẳng
(y, z)
z Quay quanh trục x sao cho P1P2 trựng với trục z
z Quay quanh trục z sao cho P1P3 nằm trờn mặt phẳng
(y, z)
z Euler’s Theorem: Every rotation around the origin
can be decomposed into a rotation around the x-axis
followed by a rotation around the y-axis followed by a
rotation around the z-axis.
38
Biến đổi gúc nhỡn Viewing Transformation
Lờ Tấn Hựng
39
Nội dung
zPhộp biến đổi nhỡn cơ bản
zBiến đổi hệ thống tọa độ
zCamera
zBiến đổi 3D viewing
zVớ dụ
40
Hệ tọa độ thực (WCS-World Coordinate System)
z Là hệ tọa độ của đối tượng được cỏc chương trỡnh ứng dụng sử dụng để mụ
tả tọa độ của cỏc đối tượng trong thế giới thực
z Đơn vị trong hệ thống tọa
độ phụ thuộc vào khụng gian và kớch thước của đối tượng được mụ tả, cú thể
từ A0, nm, mm đến m,
km
z Modeling Coordinate
41
Hệ tọa độ thiết bị
(DCS-Device Coordinate System)
zLà hệ thống tọa độ của thiết bị nơi hiển thị
hỡnh ảnh và khụng gian của đối tượng mà
ứng dụng mụ tả
Thiết bị hiển thị
subselect.me
Vùng tọa độ thiết bị VGA=640x480
42
Hệ tọa độ chuẩn (NCS - Normalized Coordinate System)
zChuyển đổi hệ tọa độ
zGiải quyết vấn đề khi ứng dụng chạy trờn cỏc thiết bị khỏc nhau
zCú kớch thước 1x1
Wcs
chuyển đổi 1
NCS Dcs
chuyển đổi 2