Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 9: Các bài toán tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí

Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc. Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc [r]

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 09:

CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA TRONG

THIẾT KẾ CƠ KHÍ

Thời lượng: 6 tiết

Thiết kế về hình dạng

1

x

2

x

Thiết kế hình chữ nhật trong 2 trường hợp sau:

a) Chu vi của nó bằng C và diện tích

của nó lớn nhất có thể

b) Diện tích của nó bằng S và chu vi

của nó nhỏ nhất có thể

Gọi x1, x2 là độ dài 2 cạnh của hình chữ nhật, ta có các công thức:

Chu vi hình chữ nhật: P  2  x1  x2 

Diện tích hình chữ nhật: A  x x1 2

1 2

f x x x x

x x









1 2

f x x x x

g x x x x A

x x









Ví dụ như một người nông dân có 1 diện tích đất trồng trọt rất lớn Tuy nhiên ông ta chỉ có lượng lưới thép dài 200 m dùng để làm hàng rào Như vậy ông ta sẽ cần giải bài toán để tìm kích thước thửa đất trồng trọt sao cho chu vi của nó bằng 200 m, và diện tích bên trong của nó lớn nhất có thể để năng suất canh tác của ông ta được lớn nhất

Mảnh cần rào lại để trồng trọt

Mảnh cần rào lại để trồng trọt

Cũng tương tự như trường hợp 1, nhưng lúc này người nông dân cần một diện tích trồng trọt là 1 hécta trên tổng diện tích 20 hécta

mà ông ta có Lúc này ông cũng cần biết nên chọn kích thước thửa đất như thế nào, để nguyên vật liệu làm hàng rào của ông ta là ít nhất có thể

Quy trình 1 lập mô hình toán tối ưu hóa

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,

nó sẽ bao gồm 2 loại:

- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số

- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc

Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính toán các hàm mục tiêu và ràng buộc

Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm Các ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời giải SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN

Quy trình 2 lập mô hình toán tối ưu hóa

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài Xác định các điều kiện ràng buộc kỹ thuật của bài toán Xác định các kiến thức cần thiết để tính được hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc

Xây dựng các công thức, hệ thức, hoặc quy trình tính toán các hàm mục tiêu và ràng buộc

Xác định toàn bộ các tham biến thiết kế của bài toán,

nó sẽ bao gồm 2 loại:

- Các tham biến không đổi, còn gọi là hằng số

- Các tham biến có thể thay đổi, còn gọi là tham biến điều khiển

Xác định khoảng giá trị cho phép của các hàm ràng buộc và tham biến điều khiển sao cho hợp lý nhất về mặt kỹ thuật nhưng cũng lỏng nhất có thể để dễ tìm được nghiệm Các ràng buộc càng chặt, khoảng tham biến càng hẹp thì càng có ít lời giải SAU ĐÓ PHÁT BIỂU MÔ HÌNH TOÁN

Chú ý, từ quy trình 1 ta đẩy bước 1 xuống về sau bước 5 thì

sẽ thu được quy trình 2

- Quy trình 1 ứng dụng cho những mô hình toán không

quá phức tạp, ngay từ đề bài ta đã có thể liệt kê được toàn bộ các tham biến thiết kế

- Quy trình 2 ứng dụng cho những mô hình toán phức tạp,

mà ở đó phát biểu của bài toán là chưa đủ để biết được hết tất cả các tham biến thiết kế Chỉ sau khi xây dựng được hết tất cả các hệ thức, công thức tính toán thì các tham biến mới lộ diện cũng như ý nghĩa của chúng được làm rõ Khi đó ta mới có thể liệt kê được toàn bộ danh sách của chúng

Sự khác biệt của quy trình 1 và 2

Các bài toán thiết kế dầm (Beam)

Hãy thiết kế kích thước mặt cắt ngang của một cái dầm công-xon bằng

thép dài L=2m chịu tải P=20 kN ở một đầu như hình vẽ để sao cho nó

đủ bền khi chịu uốn và cắt, độ võng tối đa của đầu chịu lực là 1 cm,

đồng thời ít tốt vật liệu nhất có thể Cho biết bề rộng 60mm ≤ w ≤ 300mm, bề dày 10mm ≤ t ≤ 40mm Tỉ lệ w/t không vượt quá 8

Cho E=21e4 N/mm2, G=8e4 N/mm2, [σ u]=165 N/mm 2, [τ c]=90 N/mm 2

- Các hằng số:

L=2e3 mm – chiều dài dầm

P=2e4 N – tải trọng tác dụng vào đầu dầm

E=21e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi kéo-nén của thép làm dầm

G=8e4 N/mm2 – Môđun đàn hồi trượt của thép làm dầm

[f]=10 mm – độ võng tối đa của đầu dầm chịu tải

- Các tham biến điều khiển:

w [mm] – bề rộng mặt cắt

t [mm] – độ dày thành ống mặt cắt

Xác định hàm mục tiêu dựa vào yêu cầu của đề bài

Khối lượng của dầm phải nhỏ nhất có thể thì sẽ tốn ít vật liệu nhất Do dầm đồng chất, chiều dài L đã biết nên khối lượng nhỏ nhất cũng sẽ tương đương với tiết diện mặt cắt nhỏ nhất

Có 3 ràng buộc:

- Ứng suất pháp dạng uốn lớn nhất xuất hiện trong dầm không

được vượt quá giới hạn cho phép [σu]

- Ứng suất tiêp dạng cắt lớn nhất xuất hiện trong dầm không

được vượt quá giới hạn cho phép [τc]

- Độ võng (chuyển vị) lớn nhất của dầm không được vượt qua

giới hạn cho phép [f]

Xác định các kiến thức cần thiết

SỨC BỀN VẬT LIỆU

- Xem lại vẽ biểu đồ để tìm mặt cắt có 2 nội lực M x lớn nhất và Q y lớn nhất

- Xem lại chương các đặc trưng hình học của mặt cắt để tính mômen tĩnh và

mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt

- Xem lại chương điều kiện bền ƯS pháp lớn nhất để tính σmax

- Xem lại chương các trạng thái ứng suất trong dầm chịu uốn để tính τmax

- Xem lại chương chuyển vị của dầm chịu uốn để tính độ võng vmax

5.1 Vẽ các biểu đồ Q y và M x để tìm mặt cắt có các nội lực lớn nhất

20 kN

y

Q

x

M

max

max

20 kN

= 2e4 N

40 kN.m 4e7 N.mm

y

x

Q

M







z

z

z

A là mặt cắt có nội

lực Q y và M x lớn nhất với:

trung tâm của cả mặt cắt đối với trục x

x

3 3

1

2

3

2

2

dac

rong C

dac

x

y

x

w w

I



Các điểm có ứng suất pháp lớn nhất trong mặt cắt A

Các điểm có ứng suất tiếp lớn nhất trong mặt cắt A

a

b

 

max

24e7 4e7

2

12

x a

x

y

5.4 Tính ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm b trong mặt cắt A

3 3

1 max 2

3 3

4 4

2 2e4

8 2 2

12

2 3e4

b

x

t



phân hàm gián đoạn để dễ tìm vị trí chuyển vị đạt cực đại

max

2e4

y

max

4e7

x

2

1

2

x x

x

EI v z M z z

z



Điều kiện biên: Tại A (z=0) là ngàm nên

góc xoay và độ võng bằng 0, do đó:

1

2

0 0

c c





 



Vậy hàm độ võng và góc xoay của

dầm là:

2

3

2

e4

4e3

e4

2e3 3

x

x

EI

z

EI









Ta dễ thấy do z thuộc [0 2e3] mm, nên hàm góc xoay θ(z)<0 tức là hàm đô võng

luôn nghịch biến, do đó tại mặt cắt B có

z=2e3 mm thì hàm độ võng đạt cực tiểu

giá trị âm, tức là cực đại giá trị dương,

hay tại B thì độ võng dầm đạt cực đại

     

4

3

21e4

12

v

Phát biểu mô hình toán:

2 2

1 4 4

3 3

4 4

4 4

1 2

1 2

24e7

165 2

2 3e4

90

64e9

10

8

x

x x

x x























  





5.6 Tính diện tích của mặt cắt (thay vì tính khối lượng của dầm)

2

2

A  w  w  t

Gọi w=x1, t=x2, ta có:

Đây là bài toán tối ưu hóa phi

tuyến với ràng buộc bất đẳng

thức: 2 tham biến và 8 ràng

buộc bất đẳng thức

- Điểm b

 

max

3 2

y b

Q bh

     

- Điểm a

 

max 2

a

M bh

     

3

12

x

bh I

 



 2 2

4 8

S y A 

  

- Điểm b

 

2

td

bh

         

Nếu mặt cắt đang xét có cả M x

- Điểm a

 

a

M bh

3

*

*

2

*

2

; 36

2

;

2 3

; 9

2 3

; 3

2 3

; 18

3 2 3

; 81

x

c

x

bh I

y

y

b

h

A

h

S

h





  















- Điểm b

 

b

Q bh

Nếu mặt cắt đang

xét ko có M x

 4 4

; 4

x



1

3

1 1

;

2

; 3

x





 

2

; 3

x





 

 4 4   4

0

x a

a

M R















- Điểm b

4 3

y b



 



 

4

4 3

4

x d

y d

td

M r

Q









  





 



3 3

; 12

x

1

1

1 1

;

;

4

; 8

x

y

S





 







 

6 x

a



2

;

4

; 8

x

h y

S





 

 



- Điểm b

 2  2   

3 2

y b

- Điểm e

 

6

3 2

4

x d

y d

td







  





 

3 3

1

1 12

x x

x x

b t h bh



 2 2  2 2

8

x



- Điểm b

3 2

y b

- Điểm a

6 x

a

M h

1

1

6

3 2

4

x d

y d

td







  



 

