Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4.0 điểm) :
a) Cho biểu thức : M=a+2ab-b Tính giá trị của M với a =1,5 ; b = -0,75
b) Xác định dấu của c, biết 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2
Bài 2 (4.0 điểm) :
a/ Tìm các số x, y, z biết rằng : 3 4 3 12;
x y y z
và 2x – 3y +z = 6
b/ Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
Tính giá trị của biểu thức M, với
a b b c c d d a M
c d d a a b b c
Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho hàm số y = f(x)= 2-x2
a/ Hãy tính : f(0);
1 ( ) 2
f
b/ Chứng minh: f(x-1)=f(1-x)
Bài 4 (4.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung truyến AM Qua A kẻ đường
thẳng d vuông góc với AM Qua M kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC, chúng cắt d
theo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng:
a) BD // CE
b) DE = BD + CE
Bài 5 (3.0 điểm) : Tìm tỉ số của A và B, biết rằng :
A
B
Trong đó A có 25 số hạng và B có 1980 số hạng
Bài 6 (2.0 điểm) : Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho CD = 25 BD.
Chứng minh rằng:
2
BAD CAD
Hết
Trang 2-GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 : HUY N HO NG HOÁ N M 2011-2012ỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ĂM 2011-2012
Câu 1
a/ a =1,5 => a=1,5 hoặc a=-1,5
Với a=1,5 và b= - 0,75 => M=0
b/ Để 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2 thì 2a3bc.( -3a5b3c2) < 0
<=> -6 a8b4c3 <0
Do -6 a8b4 0 và a,b,c khác không nên => c3 <0
=> c < 0
Vậy c < 0 thì 2a3bc trái dấu với -3a5b3c2
2.0
Câu 2
a/ Từ 3 4 9 12
(1)
3 5 12 20
(2)
Từ (1) và (2) ta có 9 12 20
x y z
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
3
x y z x y z
từ đó suy ra x=27;y=36;z=60
2.0
b/ Nếu a+b+c+d=0 thì ta có
a+b= - (c+d); b+c= - (d+a);c+d= - (a+b);d+a= -(b+c) thì M = -4
Nếu a+b+c+d 0
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3
a b c d a b c d a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c
b c d a c d a b d a b c
=>a=b=c=d
=> M=4
2.0
Câu 3 Cho hàm số y = f(x)= 2-x2
a/ Hãy tính : f(0);
1 ( ) 2
f
Trang 3M
C
E A
D
Ta có f(x – 1)= 2- (x-1)2=2- (1-x)2 = f(1-x)
Vậy f(x-1)=f(1-x)
Câu 4
a) Nhận xét: ta có định lý sau
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa
cạnh huyền
M
D
C B
A
qua tia MA lấy điểm D đối xứng với A qua ta chứng minh được AMB=
CMD(c-g-c) => AB=CD; AB//CD,ACD 900 do đó
ACB=CAB(c-g-c)
=> AD=CB
=> MA=MB=MC
áp dụng định lý trên vào tam giác ABM ta có MA=MB
=> ABM cân tại M
mà MD là đường cao nên MD là phân giác
xét AMD và BMD có
DM – cạnh chung
AMD BMD ( theo trên)
AM=BM
AMD = BMD (c – g- c)
0 90
DBM DAM DAM (1)
tương tự ECB 900(2)
từ (1) và (2) => DB//EC
1.5
b) theo câu a ta có DA=DB ; EC=EA
từ DE= DA+EA=DB+EC(đpcm)
Trang 4Câu 5
A
A
A
B
B
B
B
từ đó ta suy ra tỉ số A và B là
5 369
3.0
Câu 6
I
K
C I
D
A
B
Trên cạnh CD lấy điểm I sao cho CI =BD
nên ta có BD=DI =CI
Ta có ADB=ACI(c-g-c)
Trang 5=> DAI KAC CIA IAC AKB
2
DAI IAC IAC(2)
từ (1) và (2)
=>
2
BAD CAD
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức
a/ A 2 5 8 11 2012
b/
B
Bài 2 (4.0 điểm) :
a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
b/ Chứng minh rằng : 2 2 2 2
Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức :
A
a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên
b/ Tìm n để A là phân số tối giản
Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab ba là số chính phương
Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o
và với tia OB một góc bằng (a + 20)o
Tính ao
b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao
Bài 6 (3.0 điểm) : Cho A 102012 102011 102010 102009 8
a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24
b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương
Hết
Trang 6-GI I ẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 THI H C SINH GI I TOÁN 6 : HUY N HO NG HOÁ N M 2011-2012ỌC SINH GIỎI TOÁN 6 : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ỎI TOÁN 6 : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 ĂM 2011-2012
Câu 1
a/ A 2 5 8 11 2012
(2 2012) (2012 2) : 3 1 : 2 675697
b/
B
1 2 3 2010 2011
2 3 4 2011 2012
B
1 2012
B
2.0
Câu 2 a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
=>(3y – 2)(2x + 1) = -55
=>
55
x
y
Để x nguyên thì 3y – 2 Î Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55
+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28
+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y =
7
3 (Loại) +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =
13
3 (Loại) +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1
+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =
1
3 (Loại) +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5
+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =
53 3
(Loại) Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là
2.0
Trang 7Ta có
A
n
A
n
A
A
1
A
n
Câu 3
Cho biểu thức :
A
a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n 3
Ta có :
A
1
n A
A nguyên khi n – 3 ÎƯ(4) = 1;2; 4; 1; 2; 4 => n Î4;5;7; 2;1; 1 (Thoả mãn)
1.0
b/ Tìm n để A là phân số tối giản
Ta có :
1 3
n A n
(Theo câu a) ( n 3)
TH 1 : n là số lẻ => n + 1 và n – 3 là số chẵn
=>
1 3
n A n
không tối giản
TH 2 : n là số chẵn => n + 1 không chia hết cho 2
Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3) => d không chia hết cho 2
=> (n + 1) d và (n – 3) d
=> (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d
=> 4 chia hết cho dÎƯ(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4)
Vì d không chia hết cho 2 => d = 1 ; - 1
=> ƯCLN(n + 1; n – 3) = 1 =>
1 3
n A n
là phân số tối giản
Kết luận : Với n là số chẵn thì A là phân số tối giản
1.0
Câu 4 Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab ba là số chính phương
Ta có : ab ba (10a b ) (10 b a ) 10 a b 10b a 9a 9b9(a b ) 3 ( 2 a b )
Vì => a,b 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 => 1 £ a- b £ 8
Để ab ba là số chính phương thì a – b = 1; 4
+) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21
Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn
+) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51
3.0
Trang 8Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73
Câu 6
Hình vẽ
E
y
x
48 o
22 o
D C
(a+20) o
(a+10) o
a o
A
Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB
a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một
góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao
Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
COD COA a a Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD
=> AOC COD DOB AOB
=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o
=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o
2.0
b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB
Ta có : AOy180o BOy180o 48o 132o AOx22o
Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy
=> AOx xOy AOy 22oxOy 132o xOy 132o 22o 110o
1.0
c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc
AOC bằng ao
V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên
=> AOx xOD AOD 22oxOD 110o xOD 110o 22o 88o
Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o
1.0
Câu 6 Cho A 10 2012 10 2011 10 2010 10 2009 8
a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24
Ta có :
3 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006
A
1.5
Trang 9nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1
8 chia cho 3 dư 2
Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vậy A chia hết cho 3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24
b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương
Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0
Nên A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ
số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9
1.5