Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi: Chương 3 - Trần Minh Tú

Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 3.3.. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng.[r]

Tr ần Minh Tú

Đ ại học Xây dựng – Hà nội

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Chương 3

Lý thuyết về ứng suất

NỘI DUNG

3.1 Định nghĩa về ứng suất

3.2 Điều kiện cân bằng

3.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

3.4 Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất

3.5 Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính

3.6 Ứng suất tiếp cực trị

3.7 Cường độ ứng suất

3.8 Bài tập tự giải

3.1 Định nghĩa về ứng suất

Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các

phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác

dụng.

Vật thể chịu tác dụng của ngoại lực

ΔP

ν

Nội lực: mặt cắt – pháp tuyến ν

Ứng suất:

mặt cắt – pháp tuyến ν

điểm P(x1, x2, x3)

0

lim

A

P p

A

ν Δ →

Δ

=

Δ

JG JG

pν - ứng suất toàn phần

3.1 Định nghĩa về ứng suất

Phân tích vec tơ ứng suất p

ν

ν

pν3

pν1

pν2

pν = p eν + p eν + p eν

pν = σνν + σνη

pν = pν + pν + pν

2 2

pν = σνν + σνη

pν

σνη σνν

ν

pν1, pν2, pν3 – các thành phần ứng suất

theo các phương 1, 2, 3

σνν – ứng suất pháp σi j

σνη – ứng suất tiếp

3.1 Định nghĩa về ứng suất

x 2 x 1

x 3

33

σ

22

σ

11

σ

xy

σ

32

σ

12

σ

31

σ

13

σ

23

σ

21

σ

Tenxơ ứng suất

Qui ước chiều dương của ứng suất

trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các

trục tương ứng

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một

trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các

trục tương ứng

3.1 Định nghĩa về ứng suất

3.2.1 Đặt vấn đề:

Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:

1 , 2 , 3

( 1 , 2 , 3 )

• Lực thể tích có cường độ

V

S

f*

f

3.2 Điều kiện cân bằng

Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các

mặt song song mặt phẳng toạ độ

- Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật

- Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện

Vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng 3.2 Điều kiện cân bằng

3.2.2 Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy

(Điều kiện cân bằng phân tố loại 1)

- Lực tác động lên phân tố gồm:

- Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i

- Nội lực: các thành phần ứng suất σij

- Các thành phần ứng suất trên các

x

x

σ11+ σ11

x

σ12+ σ12

x

σ13+ σ13

x

dx

dx

dx

σ11

σ12

σ13

K

M

P

1

1

1

1

1

1 1

2

3

2

11 21 31 1

1 2 3

= ⇒ ∂ + ∂ + ∂ + = ⎜ ⎟

∑

2

12 22 32 2

1 2 3

= ⇒ ∂ + ∂ + ∂ + = ⎜ ⎟

∑

1 2 3

là khối lượng riêng

ρ

3.2 Điều kiện cân bằng

(3.7)

2 2

0

i j

u f

σ

ρ

+ = ⎜ ⎟

Navier-Cauchy

• H ệ phương trình cân bằng

Navier-Cauchy

3.2 Điều kiện cân bằng

3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp σij = σ ji (3.8)

3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất

(điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)

σ22

f1

σ11

σ12

σ13

B C

σ23

σ21

*

f2*

f3*

ν

x2

x1

x3

A

Xét điều kiện cân bằng phân tố tứ diện

(3.9)

*

ji jl fi

•Điều kiện biên:

•Điều kiện biên:

- (3.7) và (3.9): điều kiện cân bằng

của toàn thể môi trường

- (3.9) l điều kiện biên để x c định c c hằng số t ch phân

( )

cos ,

l = ν G JJG x

3.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

3.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

σ22

σ11

σ12

σ13

B C

σ23

σ21

ν

x2

x1

x3

A

p

p

p ν1

ν2

ν3

Cosin chỉ phương của mặt nghiêng:

( )

cos ,

l = ν G JJG x

Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:

pν pν pν

ν

*

1 1

*

2 2

*

3 3

Từ (3.9):