Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 7: Phương pháp đồ thị để giải bài toán tối ưu hóa có 2 tham biến

- Vẽ các đường cong đồng mức của hàm mục tiêu để xác định cực trị ở trong miền hợp lệ. Chú ý: Đi theo hướng của Gradient đến điểm cực trị nhưng phải trong khuôn khổ miền hợ[r]

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 07:

PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA CÓ 2 THAM BIẾN

Thời lượng: 3 tiết

Đặt vấn đề

Trong rất nhiều bài toán thiết kế, kỹ thuật phức tạp, số lượng các hàm ràng buộc (bất đẳng thức) là rất lớn, tuy nhiên hàm mục tiêu

và các ràng buộc chỉ có 2 tham biến Với những bài toán này, nhiều khi áp dụng phương pháp đồ thị sẽ đem lại hiệu quả tốt, đồng thời đưa ra một lời giải trực quan và dễ hiểu Hơn nữa, trong 1 số trường hợp khi lời giải cần tìm phải là số nguyên, thì phương pháp

đồ thị trong trường hợp này lại giúp tìm ra kết quả dễ dàng mà không cần sử dụng những kỹ thuật phức tạp khác

3 bước Cơ bản của phương pháp này là:

- Vẽ đồ thị các hàm ràng buộc

- Xác định miền lời giải hợp lệ (vùng diện tích được giới hạn bởi

các đường cong ràng buộc)

- Vẽ các đường cong đồng mức của hàm mục tiêu để xác định cực

trị ở trong miền hợp lệ

Chú ý: Đi theo hướng của Gradient đến điểm cực trị nhưng phải trong khuôn khổ miền hợp lệ

Phương pháp đồ thị

Cực đại hóa hàm số sau: f x x 1 , 2   400x1  600x2  max

Với các ràng buộc: 1 2 16; 1 2 1; 1 2 1; 1 0; 2 0

Bước 1: Kẻ hệ trục tọa độ x1x2

Nhìn vào các ràng buộc để dự đoán một cách tương đối về khoảng giá trị của các tham biến Ví dụ ở đây ta có thể lấy

[0;25]

Trong nhiều trường hợp khoảng giá trị trên các trục chỉ có thể xác định sau khi vẽ các đồ thị

Bước 2: Vẽ các đường ràng buộc bất đẳng thức

Xét ràng buộc đầu tiên, ta bỏ dấu bất đẳng thức ≤ để vẽ đồ thị đường: x1  x2  16  0

Bước 3: Phân định miền bất đằng thức: Dựa vào tọa độ của 1 điểm thuận tiện không nằm trên đường cong ràng buộc thuộc 1 trong 2 miền Từ đó xác định được dấu của 2 miền 2 phía đường cong

Không hợp lệ

Hợp lệ

Bước 4: Vẽ các đường cong ràng buộc còn lại và xác định miền hợp lệ: Làm tương tự bước 3 cho các đường cong ràng buộc còn lại

A

C

F G

  1 2

28 14

  1 2

14 24

 g5 x2  0

 g4 x1  0

 g x1 1 x2  16

D E

Miền

ABCDE

hợp lệ

Bước 5: Vẽ các đường đồng mức của hàm mục tiêu

14 24

x x

 g x1 1  x2  16

  1 2

28 14

x x

Tính Gradient của hàm số để biết hướng độ dốc khiến hàm số tăng Trên hình các mũi tên đều song song với véc tơ <2;3>, chúng sẽ vuông góc với các

đường đồng mức của hàm f Ta

vẽ hàng loạt đường thẳng song song nhau và vuông góc với véc

tơ Gradient vì đường đồng mức

của f là các đường thẳng (hàm f

bậc 1 với 2 biến)

Để hàm f đạt giá trị ngày càng

lớn thì đường đồng mức cần đi theo hướng mũi tên của Gradient, nhưng cần phải có một đường đồng mức xa nhất mà vẫn

“chạm” vào miền hợp lệ Trên

hình ta thấy là điểm D

x

A

C

D

E

B

Bước 6: Tìm tọa độ điểm D là điểm mà ta nhận thấy hàm f đạt

cực đại mà vẫn thỏa mãn miền hợp lệ

Dễ dàng nhận thấy D là giao điểm của 2 đường cong ràng buộc

g1 và g2 Tọa độ giao điểm này chính là nghiệm của hệ phương trình:

1

1 2

1

2

2

4

1

1

16

x x

f x

x x

x

x x



 







 













Kết luận: Cực đại của hàm f = 8800 với x1*=4, x2*=12

Phương pháp đồ thị

Khi hàm ràng buộc song song với hàm mục tiêu, chúng ta sẽ có

tình huống nhiều lời giải

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x 1 , 2    x1 0.5x2  min

Với các ràng buộc: 2x1  3x2  12; 2x1  x2     8; x1 0; x2  0

Do hàm mục tiêu f song song với ràng buộc g2=2x1+x2 -8 nên ta thấy lời

giải có thể là cả đoạn thằng BC do đường đồng mức của hàm f sẽ trùng với đoạn BC giúp f đạt giá trị nhỏ nhất có thể khi xét tới các ràng buộc

Phương pháp đồ thị

Khi ta bỏ sót các ràng buộc hoặc phát biểu sai bài toán tối ưu

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x 1 , 2    x1 2x2  min

Với các ràng buộc:  2x1  x2   0; 2x1  3x2     6; x1 0; x2  0

Do miền hợp lệ mở rộng đến

vô cùng bên phải, nên không

có lời giải tối ưu hữu hạn

Cần xem lại phát biểu bài toán tối ưu

Phương pháp đồ thị

Khi các ràng buộc mâu thuẫn nhau khiến cho miền lời giải rỗng

Cực tiểu hóa hàm số sau: f x x 1 , 2   x1 2x2  min

Với các ràng buộc: 3x1  2x2  6; 2x1  3x2  12; x x1 , 2  0;5

Miền hợp lệ phải là giao của 2

miền OAG và HDEF Và 2 miền

này hoàn toàn không có 1 khoảng chung nên giao của nó

là 1 tập rỗng Như vậy bản thân các ràng buộc đã mâu thuẫn nhau nên không tồn tại vùng tìm kiếm hợp lệ Bài toán vô nghiệm  Xem lại đề bài

H