Nghiên cứu xây dựng quy trình xác lập mô hình đường cong NURBS thuộc mặt cong

Trong thực tế sản xuất gia công cơ khí và các ngành côngnghiệp khác như mỹ thuật, phim ảnh phim hoạt hình, một bài toán rất thường gặp là cần phải tạo ra và quản lý được các đường cong t

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-LÊ NGUYỄN NHẬT TRƯỜNG

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG QUY TR ÌNH

XÁC LẬP MÔ HÌNH ĐƯỜNG

CONG NURBS THUỘC MẶT CONG

Chuyên ngành: công nghệ chế tạo máy

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 11 NĂM 2008

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP, HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS TS ĐOÀN THỊ MINH TRINH

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM, ng ày 07 tháng 01 năm 2009.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày …… tháng ……năm 2008

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

oOo

-Tp HCM, ngày tháng 11 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Lê Nguyễn Nhật Trường Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 18 – 02 - 1980 Nơi sinh : Khánh Hoà

Chuyên ngành : Công Nghệ Chế Tạo Máy

Khoá (Năm trúng tuyển) : 2006

1 TÊN ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG QUY TR ÌNH XÁC LẬP MÔ

HÌNH ĐƯỜNG CONG NURBS THU ỘC MẶT CONG 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN :

- Nghiên cứu phương pháp mô hình hóa NURBS

- Nghiên cứu phương pháp mô hình hoá đường cong thuộc mặt cong

- Xây dựng phương pháp nội suy đường cong NURBS thuộc mặt cong

- Ứng dụng nội suy một đường cong NURBS thuộc mặt trụ tròn

- Xây dựng chương trình nội suy đường cong NURBS trên phần mềm Matlab

3 - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ :

4 - NGÀY HOÀN THÀNH NHI ỆM VỤ :

5 - HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN ( Ghi đầy đủ học hàm, học vị ) :

PGS TS Đoàn Thị Minh Trinh

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUY ÊN NGÀNH

Lời cảm ơn

Sau hai năm học tập tại Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, em đ ược

sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của Thầy Cô trong Khoa C ơ Khí cũng như các Thầy Cô khác trong Trường Nhân trong luận văn tốt nghiệp, em xin đ ược bày

tỏ sự cảm ơn đối với tất cả thầy cô, những ng ười không chỉ giúp em nắm bắt kiến thức mà còn định hướng cho em trong việc tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu tri thức.

Trong quá trình thực hiện luận văn, em được Cô Đoàn Thị Minh Trinh

trực tiếp hướng dẫn, góp ý nhiệt tình để có thể từng bước hoàn thiện luận văn.

Mặc dù đã xem xét chỉnh sửa nhiều lần nhưng trong đề tài không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận được những đánh giá của quí Thầy Cô để sau n ày em

có thể tự nâng cao kiến thức và áp dụng những ý kiến đó trong quá trình học tập và làm việc sau này.

Tĩm tắt luận văn

Luận văn nghiên cứu xây dựng quy trình xác lập mô hình đườ ng cong NURBSthuộc mặt cong gồm nội dung sau: (i) Hệ thống hoá và phân loại các dạng đườngcong: đường cong Bezier, đường cong B -Spline, đường cong NURBS (ii) Ngh iêncứu lý thuyết mô hình hóa NURBS (iii) Nghiên cứu nghiên tắc mô hình hoá đườngcong thuộc mặt cong ( iv) Xây dựng thuật toán nội suy cục bộ đường cong NURBSbậc 3 thuộc mặt cong (v) Nội suy đường cong NURBS bậc 3 thuộc mặt trụ tròn trên

cơ sở thuật toán nội suy xây dựng (vi) Xây dựng chương trình phục vụ tính toántrên cơ sở phần mềm matlab

Kết quả của phương pháp này cĩ thể áp dụng vào các bài tốn CAD/CAM và l ĩnh vực

đồ hoạ máy tính

This thesis contains : (i) Classifies and systematizes curve model: Bezier , B-pline,NURBS (ii) Geometric modeling theory of NURBS (iii) Theory geometric

modeling of curve on surface (iv) Set up local interpolation NURBS curve on a

surface algorithm (v) Based on the above resulst, carries out the experiment : localinterpolation cubic NURBS curve on a circular cylider ( iv) Build caculation programbase on Matlab software

Results show the methods are feasible and applicable to CAD/CAM and ComputerGraphics

+ CAD : (Computer aided design ): Thiết kế với sự trợ giúp của máy tính.

+ CAM : (Computer aided manufacturing ): Chế tạo với sự trợ giúp của máy tính.+ NURBS : (Non-uniform rational B- Spline): B-Spline hữu tỉ không đồng nhất.+ Surface curve: (Curve on surface ): Đường cong thuộc mặt cong

+ Liên tục C1, C2 (Continuous – C1, C2): Liên tục bậc nhất và liên tục bậc 2

+ Liên tục G1, G2 (Geometric G1, G2) : Liên hình học C1 và liên tục hình học C2

MỤC LỤC Lời nói đầu

Chương 1: Tổng quan về mô hình hóa đường cong thuộc mặt cong

1.1 Khái niệm về đường cong thuộc mặt cong … …… …… 11

1.2 Nhu cầu mô hình hóa đường cong thuộc mặt cong ……… ……… 12

1.3 Các dạng mô hình đường cong……… 16

1.4 Ứng dụng mô hình hóa hình học NURBS……….……….21

Chương 2: Cơ sở lý thuyết NURBS 2.1 Cơ sở lý thuyết đường cong NURBS ……… 26

2.2 Các phương pháp mô hình hóa NURBS………… 31

2.2.1 Phương pháp nội suy đường cong NURBS……… 31

2.2.2 Phương pháp xấp xỉ đường cong NURBS ……… …40

2.3 Lựa chọn phương pháp mô hình hóa NURBS.……… ………… 44

Chương 3: Nguyên tắc mô hình hóa đường cong thuộc mặt cong 3.1 Phát biểu bài toán mô hình hóa đường cong thuộc mặt cong ……… 46

3.2 Cơ sở toán học ……… ……… 47

3.2.1 Cơ sở toán học……….………… … 47

3.2.2.Bài toán nội suy tập điểm rivới các tiếp tuyến Ti xác định ……… 50

3.2.3.Bài toán nội suy tập điểm ri với tiếp tuyến Ti và độ cong hình học (hoặc vector độ cong) tại các điểm xác định ….……… …50

3.2.4.Bài toán nối hai đường cong thuộc mặt cong ……… …… 50

3.3 Giải quyết các bài toán ……… 50

3.3.1.Giải bài toán nội suy tập điểm rivới các tiếp tuyến Ti xác định … ……50

3.3.2.Giải bài toán nội suy tập điểm ri với tiếp tuyến Ti và độ cong hình học

(hoặc vector độ cong) xác định …….……… 5 23.3.3.Giải bài toán nối hai đường cong thuộc mặt cong ……… 533.3.4.Một ví dụ minh họa ………… ……… .54

3.4 Nhận xét ……… ……… 57

4.1 Phát biểu bài toán nội suy đường cong NURBS thuộc mặt cong ….… 59 4.2 Phân tích bài toán và xây dựng quy trình nội suy 59 4.3 Thuật toán nội suy đường cong NURBS bậc 3 thuộc mặt cong ………… 61 4.4 Phương pháp hiệu chỉnh sai số ………68

Kết luận……… ……74 Tài liệu tham khảo ……… …… 76 Phụ lục ……… ……… …….77

Lời nói đầu

Ngày nay, các nhà sản xuất trong nước chịu áp lực cạnh tranh lớn từ các doanhnghiệp nước ngoài với trình độ công nghệ vượt trội Để phù hợp với xu thế hội nhậpvới thế giới, cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, xu h ướng tự động hoátrong sản xuất là một hường đi tất yếu Việc gia công các chi tiết bằng thủ côngkhông còn phù hợp nữa Trong thực tế sản xuất gia công cơ khí và các ngành côngnghiệp khác như mỹ thuật, phim ảnh (phim hoạt hình), một bài toán rất thường gặp

là cần phải tạo ra và quản lý được các đường cong từ một tập hợp điểm thuộc mặtcong nhằm thoả mản được các yêu cầu nào đó của sản phẩm (về mặt các ràng buộc

kỹ thuật hay thẩm mỹ của đối tượng) Vấn đề cơ bản trong sản xuất theo h ướng tự

động là phải xây dựng được mô hình toán cho đối tượng cần sử lý Cụ thể, đối với

bài toán xây dựng và quản lý đường cong thuộc mặt cong, ta phải mô hình hoá đượcđường cong qua các điểm thuộc mặt cong Lợi ích thiết thực của việc xây dựngđược mô hình đường cong thuộc mặt cong là trong lĩnh vực mô hình hoá, xây dựng

quỹ đạo robot, máy CNC,…

Nhu cầu giải quyết bài toán này trong thực tế là rất lớn và phù hợp với xu hướngsản xuất theo hướng tự động Với động lực giải bài toán trên, em thực hiện đề tài

“NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG QUY TR ÌNH XÁC LẬP MÔ HÌNH ĐƯỜNG

CONG NURBS THUỘC MẶT CONG “

Luận văn nghiên cứu cơ sở lý thuyết mô hình hoá đường cong thuộc mặt cong, tr ên

cơ sở đó xây dựng phương pháp mô hình đường cong NURBS thuộc mặt cong từ

dữ liệu điểm cho trước, ứng dụng nội suy đ ường cong NURBS bậc 3 tr ên mặt trụtròn Xây dựng phương pháp này nhằm góp phần hiện đại hoá công nghệ sản xuất

cơ khí, tăng cường tính cạnh tranh cho sản phẩm c ơ khí

Chương 1 : Tổng quan về mô hình hoá đường cong thuộc mặt cong.

1.1 Khái niệm về đường cong thuộc mặt cong

1.2 Nhu cầu mô hình hóa đường cong thuộc mặt cong

1.3 Các dạng mô hình đường cong

1.4 Ứng dụng mô hình hóa hình học NURBS

Nội dung chương này trình bày khái niệm về đường cong thuộc mặt cong, phân tíchnhững khó khăn trong việc thực hiện trao đổi dữ liệu hình học; nhu cầu mô hình hóahình học đường cong thuộc mặt cong đáp ứ ng yêu cầu tự động hoá sản xuất; Ph ântích và lựa chọn mô hình đường cong NURBS làm đối tượng nghiên cứu

1.1 Khái niệm đường cong thuộc mặt cong :

Đường cong không gian ‘ nằm‘ tr ên một bề mặt xác định, thoả mãn các tính chất về

hình học của bề mặt đó thì ta gọi là đường cong đó thuộc mặt cong tr ên Đây là mộtbài toán rất phổ biến trong lĩnh vực CAD/CAM, đồ hoạ máy tính, nghi ên cứu vềrobot, máy CNC, cũng như các lĩnh vực tự động khác

Xét về mặt hình học, thì một sản phẩm là tập hợp các bề mặt, các đ ường, các điểmnhằm thoả mãn một tập hợp các yêu cầu nào đó, theo những ràng buộc nhất địnhcủa bài toán thiết kế và chế tạo Nhìn chung, trong một chi tiết có rất nhiều các

đường, các điểm nằm trên các bề mặt cơ sở của chi tiết đó V ì thế, nếu không mô

hình hóa hình học được các đường cong thuộc mặt cong c ơ sở của chi tiết đó thìviệc ứng dụng các công cụ thiết kế v à trao đổi dữ liệu hình học với các ứng dụngCAM, CAE, là rất khó khăn Do đó, cần phải có phương pháp mô hình hoá nào đó

để khắc phục khó khăn tr ên

Trong lĩnh vực mô hình hoá hình học, việc điều khiển hình dáng đối tượng và khả

năng trao đổi dữ liệu giữa khâu thiết kế CAD v à các ứng dụng CAM hay CAE có

quan hệ chặt chẻ với nhau (Hình 1.1)

Hình 1.1: Các ràng buộc về hình học trong CAD

Điều khiển hình dáng: là không chỉ là xây dựng phương pháp, thuật toán, hình dáng

qua các dữ liệu ràng buộc mà còn phải cho phép điều khiển đ ược hình dáng đối

tượng đó một cách linh hoạt Khi có sự thay đổi về một hoặc một v ài vị trí nào đó

trong tập dữ liệu thì không hoặc ít ảnh hưởng đến các vùng lân cận nhất Giảm thiểuthời gian xây dựng lại đối t ượng mới Điều này là rất cần thiết trong kỹ thuật v à tối

ưu hoá sản xuất

Khả năng trao đổi dữ liệu: ở đây được hiểu là khả năng trao đổi giữa các công cụthiết kế với nhau, giữa công cụ thiết kế v à các ứng dụng chế tạo trong một hệ thốngCAD - CAM Đây là tính chất rất quan trọng, bởi v ì ngày nay, vòng đời của một sảnphẩm ngày càng được rút ngắn, do đó thời gian đưa sản phẩm ra thị trường cần phảinhanh chóng trong khi qui mô c ủa thị trường lại mở rộng Đảm bảo đ ược điều nàythì khả năng trao đổi dữ liệu trong các bộ phận phải tốt, giảm thời gian điều chỉnhmột khi có sự thay thay đổi trong một yếu t ố nào đó

Sức hấp dẫn của sản ph ẩm đa phần được quyết định bởi hai yếu tố chính là côngdụng và hình dáng của nó

1.2 Nhu cầu mô hình hóa đường cong NURBS thuộc mặt cong :

Như đã nói trên, một bài toán rất phổ biến trong lĩnh vực CAD/ CAM, đồ hoạ máy

tính, nghiên cưú về robot, máy CNC, cũng nh ư các lĩnh vực tự động khác l à nhữngbài toán là cần phải tạo một đường cong nào đó trên bề mặt sản phẩm, nhằm đáp

ứng yêu cầu cho sản phẩm đó Ví d ụ, khi cần hàn hai đường ống hình trụ vuông góc

nhau để tạo chi tiết dạng chữ T, ta cần phải cắt một bi ên dạng đường cong kín thích

hợp trên mặt bề mặt trụ tròn của đường ống nằm ngang và ống thẳng đứng(Hình1.2) Trường hợp này rất thường gặp trong thực tế đối với các ngành liên quan

đến sử lý đường ống như dầu khí, gas,…, hình 1.3 là hai đường ống sau khi được

hàn lại với nhau

Hình 1 2 : Biên dạng đường cong cần tạo trên hai mặt trụ tròn trước

khi hàn của ghép hai ống đường ống để tạo chi tiết h ình chữ T.

Trong ngành chế tạo các chi tiết máy, một chi tiết quen thuộc l à cơ cấu cam thùng,cũng là trường hợp cần phải tạo đ ường cong trên mặt cong ( trụ trịn ) của cam.Trên bề mặt hình trụ của cam ta tạo một đ ường cong ( rãnh ) theo một biên dạngnhằm thực hiện tác vụ nào đĩ của cơ cấu cam, hình 1.4

Hình 1.4 Biên dạng cam thùng

Trong ngành cơng nghi ệp ơ tơ, việc cần phải gia cơng một đ ường cong thuộc bề mặtcong rất thường gặp như cần tạo các đường cong thẩm mỹ, hay đường cong cơng

nghệ Các robot cần hàn (hoặc sơn) theo biên dạng đường cong trên bề mặt khung

xe Đặc biệt, trong ngành này, các cơng việc cĩ tỉ lệ tự động hố rất cao, nhờ các

thiết bị tự động Muốn tự động hố cần phải mơ h ình hố được các bề mặt, đường,

điểm Ví dụ khi cần phải h àn (hoặc sơn) theo một đường cong nào đĩ trên thân xe,

cần phải xây dựng được mơ hình tốn đường cong đĩ để quản lý chúng và xây dựngthuật tốn cho các robot thực hiện tác vụ theo quỹ đạo đường cong thuộc mặt congmong muốn

Hình 1.5, mơ tả một robot đang hàn khung xe hơi

Hình 1.5 Robot đang hàn khung xe hơi.

Bài toán nói trên, không chỉ thường gặp trong các ngành công nghiệp chế tạo mà cảtrong các ngành như phim ảnh ( phim hoạt hình ), mỹ thuật như kiến trúc, điêukhắc.Việc tạo các đường cong thuộc các bề mặt sản phẩm trong lĩnh n ày, thông

thường là nhằm làm tăng tính thẩm mỹ cho sản phẩm

Tóm lại, bài toán tạo đường cong thuộc mặt cong nhằm đáp ứng một y êu cầu nào đócủa sản phẩm rất thường gặp trong thực tế Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật

ngày nay, xu hướng tự động hoá trong sản xuất l à một hướng đi tất yếu Việc gia

công các chi tiết bằng thủ công không c òn phù hợp nữa Vấn đề cơ bản trong sảnxuất theo hướng tự động là phải xây dựng được mô hình toán cho đối tượng cần sử

lý Đây chính là bài toán mô hình hoá đường cong thuộc mặt cong

Tại các nước có công nghiệp phát triển, mức độ ứng dụng các công nghệ tự động

cũng như giải phóng sức lao động cho con ng ười Nhờ đó nền kinh tế của h ọ cómức độ cạnh tranh rất cao Tại các nước như Mỹ, Nhật Bản, Hàn Quốc, …, việcnghiên cứu cơ sở lý thuyết và ứng dụng của các phương pháp mô hình hoá đườngcong thuộc mặt cong đã xuất hiện rất lâu Cùng với sự phát triển của các kỹ thuậtCAD/CAM, mức độ áp dụng các ph ương pháp mô hình hoá này vào sản xuất chiếmmột tỉ lệ lớn như trong lĩnh vực cơ khí chế tạo, Robot, công nghệ vũ trụ, nghệ thuật( phim ảnh ) …

Trong nước, việc nghiên cứu, ứng dụng các phương pháp mô hình hoá đường congthuộc mặt cong hầu hết chỉ ở dạng nghiên cứu lý thuyết Những năm gần đây, c ùngvới xu hướng hội nhập nền kinh tế thế giới, nhu cầu tự động hoá ng ày càng cao, một

số nghiên cứu và ứng dụng các phương pháp này vào trong th ực tế sản xuất đã cónhững bước đầu phát triển như: việc xây dựng quỹ đạo cho các robot h àn, sơn (các

robot hàn, sơn theo các qu ỹ đạo 3D do một số tr ường đại học nghiên cứu ) Trongcác ngành khác như mỹ thuật, phim ảnh (ví dụ phim hoạt hình), tình hình nghiên

cứu, ứng dụng phương pháp mô hình hoá đường cong thuộc mặt cong, hầu nhưkhông có, mặt dù nhu cầu là rất lớn

Việc nghiên cứu xây dựng phương pháp mô hình hoá đường cong thuộc mặt cong

được thành công và áp dụng vào trong sản xuất sẽ góp phần cải thiện đáng kể

những yếu tố sau:

- Tự động hoá các ngành sản xuất

- Giảm giá thành sản phẩm, nâng cao năng xuất lao động

- Cải thiện được điều kiện lao động cho công nhân

1.3 Mô hình đường cong trong mô hình hóa:

Hiện tại, có rất nhiều ph ương pháp mô hình hóa hình h ọc và cũng có nhiều cáchphân loại khác nhau, việc chọn mô hình để nghiên cứu có ý nghĩa quan trong Môhình toán học biểu diễn đường cong có thể dưới dạng phương trình ẩn, phương trình

tường minh, hoặc phương trình tham số Nhược điểm chính của mô hình đường

cong dưới dạng phương trình ẩn là khó thực hiện đồ hình tuần tự (sequential

tracing) – đây là chức năng quan trọng trong đồ họa điện toán ( thiết kế v à biểu diễn

hính dáng ) Hơn nữa, với mô hình tham số bằng cách thêm vào toạ đô z là có thể dể

dàng mở rộng để biểu diễn một đường cong bất kỳ trong không gian 3D, C(u)=(x(u),y(u),z(u)), trong khi d ạng ẩn chỉ có thể đường cong trong mặt phẳng xy ( hoặc

xz hoặc yz) Do đó, trong mô hình hóa hình học, các đường conic dưới dạng

phương trình tham số được sử dụng phổ biến h ơn cả Thực tế, mô hình dạngphương trình đa thức ẩn có bậc cao hơn 2 rất ít được sử dụng Đối với mô hình dạngtường minh, trong nhiều trường hợp với mỗi giá trị của x, y sẽ có nhiều giá trị của z

và không thích hợp trong việc mô hình hóa

Do vậy, ở đây, ta sử dụng đường cong dạng tham số (x(u)=0; y(u)=0; z(u)=0 ) đểlàm đối tượng nghiên cứu Mô hình dạng tham số được ứng dụng rộng rải trong các

hệ thống CAD/CAM/CAE, do ứng với mỗi giá trị của tham số u chỉ có duy nhấtmột giá trị x,y,z và dễ dàng biểu diễn dưới dạng ma trận ( đây l à cách tính toántrong kỹ thuật số )

Nhìn chung, với một đường cong Bezier bậc 3 ta có thể giải quyết phần lớn cá c bàitoán kỹ thuật ( như liên tuc bậc 1, liên tục bậc 2 ) Tuy nhiên đường cong Bezier cómột nhược điểm lớn ( ta sẽ tìm hiểu kỹ ở phần sau ) là không có tính cục bộ Việchiệu chỉnh một phân đoạn sẽ làm thay đổi toàn bộ đường cong Do vậy, không thíchhợp với việc điều khiển biên dạng khi thiết kế

Trong các công cụ CAD/CAM/CAE, mô hình NURBS là một mô hình phổ biếnnhất, nhờ các đặt điểm nổi bậc của nó như: Sử dụng đường cong NURBS, cho phép

chúng ta điều khiển hình dạng cục bộ của đường cong nhận được bằng cách thay

đổi đỉnh điều khiển hoặc hiệu chỉnh trọng số, điều này cho phép điều khiển hình

dáng biên dạng thiết kế rất linh hoạt

NURBS còn được trang bị sẵn trong hầu hết cá c công cụ thiết kế thông dụng

Với những yếu tố trên, ta chọn mô hình NURBS làm đối tượng nghiên cứu trong đề

tài Mô hình hóa đường cong NURBS được chia làm hai phương pháp là nội suy vàxấp xỉ

Nội suy là dùng phương pháp toán h ọc để tạo các dữ liệu c òn thiếu từ những dữ liệu

đã có Có rất nhiều cách nội suy nh ư : nội suy bậc nhất, bậc hai,…

Xấp xỉ là cách biểu diễn không được chính xác nhưng vẫn gần giống nhau để sửdụng theo một sai lệch cho phép nào đó Xấp xỉ cũng có rất nhiều cách như: xấp xỉbậc nhất, bậc hai,….Việc chọn lựa phương pháp nội suy hay xấp xỉ tuỳ thuộc v àoyêu cầu và các dữ liệu của bài toán

1.3.1 Khái niệm mô hình hóa NURBS :

Đường cong NURBS bậc p đ ược định nghĩa như sau:

n

i

p i i i

u N W

u N P W u

C

)(

)()

Trong đó Pi là các điểm điều khiển, Wi là các trọng số và Ni,p(u) là hàm B-spline

cơ sở bậc p được tính từ các vectơ nút và có tính chất sau :

)()

()

(

:01

1 , 1 1 1 ,

1 1

, 1

, ,

1 i

,

u N

u u

u u

u N u u

u u u

N

u

;u u u

u u u N

p i i p i

i p i p

i i p i

i p

i

i i

i p

p 1 p

.,,

,

, ,

Với m là số vectơ nút

Các đặc điểm của NURBS :

- Đỉnh điều khiển tại điểm đầu v à điểm cuối đi qua điểm dữ liệu:

C(0) = P0 = Q0, C(1) = Pn = Qn

- Tính bất biến: cho phép chuyển đổi, tăng giảm tỉ lệ, xoay hoặc chiếu vuông góc

- Tính bao lồi: nếu  [ui, ui+1) thì khi đó C(u) nằm trong trong đa tuyến các đỉnh

điều khiển ( đa tuyến lồi ) Hình 1.6 với c(u) [ ¼, ½ ) - nét đứt

HÌnh 1.6( a) Một đường NURBS và hình 1.6(b) hàm cơ sở bậc 3

- Điều khiển địa phương u [ui, ui+1): nếu đỉnh điều khiển Piđược di chuyển (thayđổi) hoặc trọng số wi được thay đổi, thì nó chỉ ảnh hưởng đến phân đoạn đó củađường cong trong khoảng u[ui, ui+1) Đây là tính chất quan trọng và được ứng

dụng rất hiệu quả trong thi ết kế Sử dụng đường cong NURBS, chúng ta có thể sửdụng cả việc thay đổi đỉnh điề u khiển và hiệu chỉnh trọng số để điều khiển hìnhdạng cục bộ của đường cong nhận được (điều khiển hình dáng biên dạng thiết kế rấtlinh hoạt) Hình 1.7- mô tả cho tính chất này

( a) ( b)

Hình 1.7: ( a) Các đường cong B-spline hữu tỉ với w 3 khác nhau.

( b) đường cong hữu tỉ bậc 2 với w 1 khác nhau.

Mô hình hóa NURBS được chia làm hai hình thức sau:

Nội suy NURBS (NURBS Interpolation)

Nội suy NURBS là phương pháp xây dựng chính xác đường cong NURBS đi qua

dữ liệu điểm cho trước Phương pháp này đơn giản, mặc dù dữ liệu ban đầu cầnphải chính xác Với số lượng điểm dữ liệu lớn thì mức độ nội suy khá phức tạp.Hình 1.8 minh hoạ nội suy một đường cong qua 5 điểm dữ liệu

Hình 1.8 Xây dựng đường cong nội suy qua các điểm dữ liệu

Có hai phương pháp nội suy là: nội suy toàn phần và nội suy cục bộ Việc tìm hiểu

kỹ hai phương pháp này ta sẽ trình bày trong phần sau

Xấp xỉ NURBS (NURBS Approximation):

Xấp xỉ NURBS là phương pháp xây d ựng đường cong gần đúng, có sai số từ tập dữliệu điểm Hình 1.9 xây dựng đường cong bằng phương pháp xấp xỉ với sai số chophép là e.

Q0

Q1

Qm

Qi

Hình 1.9 xây dựng đường cong bằng phương pháp xấp xỉ.

Phương pháp này ph ức tạp hơn, tuy nhiên dữ liệu ban đầu không cần độ chính xáccao như phương pháp n ội suy Việc giải xử lý sai số đ ược nhiều người nghiên cứu

và hiện có nhiều kết quả, cách thức khác nhau

14 Ứng dụng NURBS trong mô hình hóa hình học:

Hiện nay, các định dạng trao đổi dữ liệu chuẩn nh ư IGES, STEP,…hầu hết đều

được trang bị trong các công cụ thiết kế (CAD) và ứng dụng (CAM, CAE, ) thương

mại Do đã được chuẩn hóa nên việc trao đổi dữ liệu giữa các công cụ n ày dễ dàng,nhanh chóng và chính xác NURBS c ũng là một thành phần trong định dạng chuẩnnên việc chọn lựa NURBS để mô h ình hóa là lựa chọn tối ưu Khả năng ứng dụngNURBS trong mô hình hoá hình h ọc là rất lớn, sau đây là một vài ví dụ cho thấy môhình NURBS đã được nghiên cứu ứng dụng trong thực tế rất nhiều

1.4.1 Ứng dụng mô hình đường cong NURBS để xấp xỉ tốc độ chạy dao trong giacông CNC 3 trục:

Nghiên cứu trên một số mô hình (Mô hình thể tích, mô hình vectơ lực) để tối ưu các

điều kiên cắt gọt CNC cho thấy: kết quả đầu ra của hai mô hình trên thường tạo racác đoạn thẳng nhỏ Mỗi đoạn thẳng trong ch ương trình máy CNC được cài đặt một

giá trị được tính trước của tốc độ chạy dao Những đoạn thẳng nhỏ tr ên với các tốc

độ chạy dao khác nhau sẽ nảy sinh các vấn đề sau :

- Sự tăng và giảm tốc độ của máy CNC tại điểm chuyển tiếp từ những đ ường kế

tiếp gây ra một thời gian tr ì hoãn

- Tốc độ truyền dữ liệu có thể không bắt kịp tốc độ cắt (do “sức nặng” dữ liệu gây

ra dao dộng, máy rung lắc)

- Tốc độ cắt thực giảm và thời gian cắt kéo dài

Do những vấn đề trên, người ta đã nguyên cứu hệ thống có tốc độ ch ạy dao phù hợp

để khắc phục các vấn đề trên Hệ thống này này xác định bằng cách tích hợp một

mô hình hình học Z- map với một nội suy lượng chạy dao NURBS Những giá trịcủa lượng chạy dao được xây dựng thành một đường cong NURBS Trong đ ườngchạy dao NURBs tốc độ chạy dao của mỗi trục thay đổi từ từ theo đường cong (chứkhông còn là một hằng số trên mỗi đoạn thẳng )

Bộ nội suy chuyển động li ên quan đến sự điều khiển vị trí v à bộ nội suy tốc độ ăndao của máy CNC được minh hoạ như lưu đồ sau, hình 1.10

Tính thời gian chu kỳ (T )từ lệnh ăn

dao, bước vít, bước góc động cơ

1.4.2 Ứng dụng NUBRS để cải thiện độ trơn láng đường chạy dao phay

Phương pháp xử lý trơn láng đường chạy dao gia công bi ên dạng góc và đường

chạy dao chuyển lớp cắt, nhằm mục đích bảo đảm năng suất v à chất lượng quá trình

gia công Đường chạy dao là đường cong phức hợp cấu th ành từ những đoạn đường

cong Xử lý trơn láng đường chạy dao là phải xử lý trơn láng trên toàn bộ các

đường cong và xử lý trơn láng sự kết nối giữa các đoạn đ ường cong Do đó, xử lýtrơn láng đường chạy dao được chia là hai giai đoạn: giai đoạn một xử lý tr ơn láng

từng đoạn đường chạy dao; giai đoạn hai xử lý tr ơn láng tại điểm kết nối các đoạn

đường chạy dao

Đối với xử lý trơn láng từng đoạn đường chạy dao: Trong gia công CNC truy ền

thống, tất cả các bề mặt từ bề mặt bậc thấp ( bậc nhỏ hơn ba) đến bề mặt bậc cao(bậc lớn hơn ba) thì đường chạy dao cũng chỉ bao gồm các đoạn đ ường cong bậcthấp, tương ứng với các lệnh như G00, G01, G02, G03 Cho nên không b ảo đảmthõa điều kiện liên tục C2, đường chạy dao không tr ơn láng và làm cho vận tốc, giatốc không thay đổi liên tục, động lực học quá tr ình gia công không ổn định Vì vậy,

để nâng cao chất lượng, bảo đảm sự liên tục về vận tốc và gia tốc thì nội suy

NURBS bậc ba thường được dùng để nội suy từng đoạn đường chạy dao

Đối với xử lý trơn láng tại điểm kết nối các đoạn đ ường chạy dao: Tương tự như đối

với việc xử lý trơn láng trên từng đoạn đường chạy dao, đòi hỏi sự liên tục về tốc độ

và gia tốc, yêu cầu sự kết nối các đoạn đường chạy dao (tại vị trí gấp khúc, vị tríchuyển đường chạy dao, vị trí chuyển lớp cắt ) phải đáp ứng điều kiện li ên tục bậc 2( C2) Đối với các trường hợp đường chạy dao gia công bi ên dạng góc tạo bởiđường cong độc lập C1(u) và C3(u) điều kiện C2chưa chắc được đảm bảo tại vị trí

kết nối này Thế nhưng nếu xử lý trơn láng trực tiếp cho hai đoạn đ ường cong nàybằng cách hiệu chỉnh điểm điều khiển để thỏa điều kiện C2thì sẽ làm biến dạng các

đường cong ban đầu Do đó , để tạo sự trơn láng tại vị trí này thì cần bổ sung mộtđoạn đường cong NURBS bậc ba trung gian C2(u) kết nối trơn láng với C1(u) và

C3(u) Hình 1.11 - sử lý đường chạy dao tại vị trí góc

Hình 1.11 Sử lý đường chạy dao tại vị trí góc

1.4.3 Ứng dụng NURBS trong các công cụ mô phỏng v à phân tích :

Trong các công cụ mô phỏng và phân tích, NURBS đư ợc sử dụng dưới dạng độnghọc NURBS (Dynamic NURBS) nhờ khả năng thay đổi hình dáng linh hoạt và hiệuquả Trọng số lúc này không còn là hằng số mà là hàm số của t (t có thể là độ biếndạng, lực tác dụng, thời gian , ) Khi cho các yếu tố tác động thay đổi, kết quả môphỏng hoặc phân tích chính xác h ơn ( gần giống với thực tế h ơn )

i

n

i

i i

p i

t w u R

p t w u R u

C

0 ,

0 ,

)()(

)()()

(

1.4.4 Ứng dụng NURBS tạo đ ường đi cho robôt

Nhờ dùng mô hình NURBS để tạo đường đi của rôbôt, quỹ đạo di chuyể n đảm bảo

được sự liên tục và trơn láng giúp robot di chuy ển êm, ổn định và tin cậy hơn, đặc

biệt trong giai đoạn robot tự hành di chuyển để tránh vật cản

Chương 2 : Cơ sở lý thuyết NURBS

2.1 Cơ sở lý thuyết đường cong NURB

2.2 Các phương pháp mô hình hóa NURBS

2.2.1 Phương pháp nội suy đường cong NURBS

2.2.2 Phương pháp xấp xỉ đường cong NURBS

2.3 Lựa chọn phương pháp mô hình hóa đường cong thuộc mặt cong

Ở chương này, trình bày lý thuyết đường cong NURBS và hai phương pháp mô

hình hóa hình học đường cong NURBS; Lựa chọn phương pháp nội suy NURBS áp

dụng cho việc xây dựng đ ường cong NURBS thuộc mặt cong sau n ày

2.1 Cơ sở lý thuyết đường cong NURBS

Đường cong NURBS được phát triển qua nhiều cấp bậc từ thấp đế n cao, từ đơn giảnđến phức tạp: Bezier -> Bezier hữu tỉ -> B-spline -> B- spline hữu tỉ -> NURBS

(Non Uniform Rational B-Spline) Các hình thức từ thấp đến cao của NURBS cóthể tóm lược như hình 2.1

Hình 2.1 Các hình thức của NURBS

Sau đây, ta thử tìm hiểu các hình thức của NURBS.

2.1.1 Đường Cong Bezier :

Một đường Bezier bậc n được định nghĩa theo công thức sau :

1 0

) ( )

u B u

n

i n i

Trong đó B i, n(u ) là hàm cơ sở Berstein bậc n và được xác định như sau :

i n i

n

i n i

n u

(

,

Pi : là các đỉnh điều khiển

Đường Bezier có một số tính chất quan trọng của nó nh ư sau:

- Đường Bezier đi qua điểm đầu, cuối của đa tu yến đỉnh điều khiển hay C(0) = P0

và C(1) = Pn

- Véctơ tiếp tuyến tại điểm đầu, cuối song song với đoạn đầu v à đoạn cuối của đa

giác đỉnh điều khiển

- Tính bao lồi: Được “chứa” trong đa giác bao lồi điểm điều khiển

- Mỗi một đa giác đỉnh điều khiển chỉ có thể có một đ ường Bezier

Hình 2.2 một đường cong Bezier bậc 3

Đường cong Bezier thích hợp cho việc thiết kế đường cong tương tác Các đỉnhđiều khiển cho người thiết kế cĩ cái nhìn trực quan trong hình dáng đường cong,.

Thuật tốn deCasteljau ít sai số h ơn sai số do quy trịn trong thuật tốn Horner

Điểm bất lợi của đường cong Bezier là việc ước lược điểm (point evaluation) ít hiệu

quả., khơng phù hợp với đường cong cĩ bậc lớn, đặt biệt là nĩ khơng cĩ tính cục

bộ, việc hiệu chỉnh một phân đoạn sẽ l àm thay đổi tồn bộ đường cong

2.1.2 Đường B - spline

Khi yêu cầu đường cong cĩ bậc cao th ì cần cĩ một số lượng lớn các ràng buộc, ví

dụ cần cĩ đường cong bậc ( n-1) thì đa thức đường cong Bezier cần qua n điểm dữliệu Do vậy, các đường cong cĩ bậc lớn thì khơng hiệu qua khi sử dụng mơ hình

đường Bezier và cũng khơng phù hợp với việc số hố dữ liệu Ngo ài ra, một phânđoạn đường cong riêng lẽ thì khơng phù hợp cho việc thiết kế h ình dáng cĩ tínhtương tác Mặc dù, đường Bezier cĩ thể điểu chỉnh h ình dạng bằng cách thay đổicác điểm điều khiển và các trọng số nhưng việc điều khiển khơng cĩ đủ tính c ục bộ

Từ những khĩ khăn đĩ ng ười ta phát triển mơ hình đường cong B- spline

Một đường B-spline cĩ bậc p được định nghĩa như sau :

)(

)()

0

b u a u

N u

1 i i 0

,

1 , 1 1 1

1 p i 1

, ,

( ) ( )

(

) (

)

(

u u u khi

u u u khi u

N

u N

u u

u u

u N u u

u u p

N

i i

p i i p i p

i i p i

i p

p 1 p

.,,

,

, ,

a

Đường cong B – spline có một số tính chất quan trọng sau:

- Nếu n = p và U ={ 0,…,0,1,…,1} thì C(u) là m ột đường Bezier

- Đi qua điểm đầu cuối : C( 0) = P0 và C( 1) = Pn

- C(u) có bậc là p, số điểm điều khiển là n+1 và số vectơ nút là m+1, giá trị của mđược xác định m = n + p + 1

- Tính bao lồi

- Tính cục bộ: di chuyển Pi thì C(u) chỉ thay đổi trong phân đoạn [ui,ui+p+1)

2.1.3 Đường NURBS : ( Non-Uniform Rational B-Spline )

Mô hình đường cong này mang tính tổng quát, các mô hình đường cong khác nhưBezier, B-spline chỉ là những trường hợp riêng đặt biệt của nó

Một đường cong NURBS bậc p được định nghĩa như sau :

bua)

(

)()

n

i

i i p i

w u N

w u N u

1 i i 0

,

1 , 1 1 1

1 p i 1

, ,

0

1)(

)()

()()(

)()(

u u u khi

u u u khi u

N

u N

u u

u u

u N u u

u u p

N

i i

p i i p i p

i i p i

i p

p 1 p

.,,

,

, ,

a

w u

w u p

R

0 p

p ,

)(N

)(N)(

thì đường cong NURBS được viết lại dưới dạng : 



 n

i

i p

i u p R

u C

0

) (

Tính chất của đường cong NURBS như sau :

- Không âm khi : Ri.p (u) ≥ 0 với mọi i, p và u  0,1

- Với p > 0, tất cả Ri,p (u) đạt một giá trị lớn nhất trong khoảng [ 0,1]

- Đạo hàm của Ri,p( u ) tồn tại trong khoảng nút khi nó là hàm hữu tỉ có mẫu số kháckhông

- Nếu tất cả wi =1 thì Ri,p(u) = Ni,p(u) ( với mọi i ) đường NURBS trở thành đườngB-Spline

- Nếu wi tăng, đường cong càng gần về phía đa tuyến đỉnh điều khiển Hình 2.3 mô

tả tính chất này của NURBS

Hình 2.3: Trọng số w 1 thay đổi.

2.2.Các phương pháp mô hình hoá NURBS :

Để mô hình cong NURBS có hai phương pháp chính: nội suy và xấp xỉ Việc chọn

nội suy hay xấp xỉ tuỳ thuộc y êu cầu và dữ liệu của từng bài toán cụ thể

2.2.1 Phương pháp nội suy NURBS

Trong phương pháp nội suy, đường cong dựng được sẽ đi qua các điểm dữ liệu đ ã

cho Số điểm điều khiển sẽ bằng với số điểm đ ã cho, do đó trong nhiều trường hợpkhông cần thiết phải nội suy, đặt biệt đối với với một số l ượng lớn các điểm dữ liệu

Có hai phương pháp n ội suy là nội suy toàn phần và nội suy cục bộ

Hình 2.4, mô tả cách nội suy một đ ường cong từ tập hợp điểm dữ liệu trong mặtphẳng Đặc điểm của phương pháp nội suy một tập hợp điểm dữ liệu l à :

- Số đỉnh điều khiển (n+1)bậc đường cong p; số điểm dữ liệu (m+1): m = n+p+1

- Xác lập véc tơ nút U: không quá phức tạp

- Không cần kiểm tra độ chính xác của đ ường cong

Hình 2.4 Mô tả phương pháp nội suy đường cong từ một tập hợp điểm

Hình 2.5 là sơ đồ thuật toán xây dựng đ ường cong NURBS từ một tập điểm dữ liệubằng phương pháp nội suy

Yes No

Hình 2.5 Sơ đồ thuật tính toán nội suy đ ường cong từ một tập hợp điểm

Nội suy tổng thể ( Global interpolation )

Cho tập hợp dữ liệu điểm Qk { k = 0,…, n }, nội suy đường NURBS có bậc p, đi

qua tập hợp điểm dữ liệu xác định tr ước - hình 2.6 :

i n

i

k p i k

0 ,

Nội suy NURBS

Nội suy NURBS

Hiệu chỉnh các điểm điềukhiển thoả ĐK liên tục

Kết thúc

Hình 2.6 Nội suy tổng thể qua tập điểm dữ liệu.

Trong đó Ri,p(u) xác định :

i

w u

w u p

R

0 p i,

p i, ,

) ( N

) ( N ) (

(2.2)

Để có được đường nội suy cần phải tính các thông số sau :

+ Bậc đường cong: tuỳ theo yêu cầu cụ thể của từng bài toán mà ta chọn bậc đườngcong P Tuy nhiên, thường chọn ít nhất là bậc 2 ( P = 2) để đảm bảo đ ược liên liêntục hình học đến bậc nhất ( đạo h àm bậc nhất ) Nếu cần yêu cầu liên tục hình họcbậc cao hơn, thì bậc 3 ( P =3 ) thường được chọn nhất Việc sử dụng bậc cao h ơn(P>3 ) cần dữ liệu tính toán phức tạp h ơn

+ Véc tơ nút: U = { u0,….um }, có nhiều cách để xác định vect ơ nút

+ Hàm cơ sở : Ni,p (ui), được xác định dựa trên vectơ nút

+ Đỉnh điều khiển Pi

+ Trọng số: Thông thường để đơn giản, ban đầu chọn tất cả các trọng số wi bằng 1.Sau khi có mô hình Spline, hiệu chỉnh trọng số tại từng vị trí cần thiết để có môhình NURBS hoàn chỉnh Trọng số là một yếu tố hiệu chỉnh h ình dáng đường conggiữa hai điểm dữ liệu, mà không ảnh hưởng đến các điểm dữ liệu lân cận Tr ình tựtìm các thông số trên được cụ thể hoá như sau :

Xác định véc tơ nút : Việc xác định vectơ nút có nhiều phương pháp:

Phương pháp khoảng cách bằng nhau ( Equally spaced ):

Theo phương pháp này, các vectơ nút xác đ ịnh như sau :

1)

(n ,1,k:n

-ku

1u0

k

n 0

Hình 2.7- Phương pháp khoảng cách bằng nhau

Phương pháp này nhìn chung đơn giản, tuy nhiên nó có thể xảy ra trường hợp: khiđiểm dữ liệu có sự thay đổi lớn tạo ra các v òng lặp không mong muốn

Phương pháp chiều dài cung:

-Qu

1u0

1 k 1 k

n 0

Q u

u

(2.4)

Nhìn chung đây là phương pháp sử dụng rộng rải nhất

Phương pháp hướng tâm :

1)

(n ,1,k:

-Qu

1u0

1 k 1 k

n 0

u

k k

(2.5)

Trong đó d: là tổng căn bãc hai của các điểm dữ liệu

p i i p

(

) (

) ( )

(

) (

)

1 1

1 1

,

u u

u u

u N u u

u u u

i p i

p i p

i i p i

i p

1 n 1

P.,.,

Q.,.,

Q Q

(

)(R )()

(

)(R )()

(

p n, ,

1 ,

0

1 p n, 1

, 1 1 ,

0

0 p n, 0

, 1 0 ,

0

m m

p m p

p p

p p

u u

R u R

u u

R u R

u u

R u R

Nội suy cục bộ ( Local interpolation )

Cho tập hợp các điểm dữ liệu { Qk}, k = 0,…, n Nội suy cục bộ là xây dựng đường

cong Ci(u), i = 0, , ( n-1 ) mà trong đó Qi và Qi+1là toạ độ hai điểm đầu cuối Các

phân đoạn đường cong liền kề nhau, liên kết nhau có sự thoả mản một số điều kiện

liên tục cụ thể tuỳ theo yêu cầu Liên tục ở đây gồm liên tục tham số và liên tụchình học

Hinh 2.8 nội suy cục bộ qua tập điểm dữ liệu

Qui trình nội suy này là tìm đỉnh điều khiển dựa trên phương pháp xây dựng đường

Bezier, sau đó xây dựng đường NURBS dựa trên các đỉnh điều khiển tìm được và

tính toán các thông số còn lại phù hợp

Để có đường Bezier bậc hai cần phải có th êm một đỉnh điều khiển, cần th êm haiđỉnh điều khiển nếu là đường Bezier bậc ba

Các đỉnh điều khiển tìm thêm này phải nằm trên đường kéo dài của tiếp tuyến tại

các điểm Qk đã cho

Nếu đề bài không cho tiếp tuyến thì phải tính véctơ tiếp tuyến Tk theo phương pháp

3 điểm:

1 k

1

_ _

k k

k

k

u u

u

k k

k k k k

V

V q

q

q

2 k 1 k

q

x q

k k

k K

Trong đó các giá trị q0, q-1, qn+1 và qn+2 được xác định như sau :

q1= 2q0– q1; q0= 2q1– q2

qn+1 = 2 qn– qn-1 ; qn+2= 2 qn+1 – qn (2.16)

Trong trường hợp Qk-2, Qk-1, Qk, Qk+1, Qk+2 thẳng hàng thì mẫu số của (2.15) triệt

tiêu Trường hợp này phải chọn k bằng một trong hai cách sau:

trong đó  k1  0 ,k  0 và  k1,k được tính như sau :

Nếu Tk-1 và Tkkhông song song ( như h ình 2.8 ) thì

k k k

Q Q

Q Q

cos4

1

1

1 1

+ α : là hằng số cĩ giá trị từ 0 đến 1, ở đây đ ược chọn bằng 2/3

+  k : là gĩc tạo bởi đường thẳng đi qua Q k-1 và Qk với Tk, lấy gĩc lớn hơn 900+  k1: là gĩc tạo bởi đường thẳng đi qua Qk-1 và Qk với T k-1, lấy gĩc nhỏ hơn 900

Hình 2.8 - Trường hợp tiếp tuyến T k và T k-1 khơng song song

Nếu Tk-1 và Tk song song nhau ( hình 2.9 ): thì Pk sẽ khơng tính được bằng cơngthức (3.12) hoặc γk-1 và γk khơng thoả cơng thức (2.13) thì cần phải thêm dữ liệu

điểm là Qk’ ở giữa hai điểm Qk-1và Qk sau đĩ ta tính thêm Pk’, Qk’ và điểm Pk+1’

theo các cơng thức sau :

(2.19)

1

' 1 1 '

'

1

'

1 1

k k k

k

k

k k k

k

k k k

k

P P

Q

T Q

P

T Q

k k k k

Q

Q 

  

Hình 2.9 -Tiếp tuyến T k và T k-1 song song nhau

Xác định vectơ nút :

n.,.2,k

;)

(

1u

;

0

1 1

1 2

_ 1 _ 1

k k k k k

k

P Q

Q P u

1,

1,

,,0 ,,

0 u u u n

Hiệu chỉnh trọng số w k :

Các trọng số wk tại các điểm dữ liệu Qk, để đơn giản thường chọn bằng 1 Trọng số

tại các đỉnh điều khiển Pkcó thể tuỳ chọn để cho cung nội suy giống cung tr òn hoặc

cung parabol Dưới đây là cách chọn trọng số wk cho các đỉnh Pk -hình 2.10 :

Hình 2.10 Hiệu chỉnh trong số

+ Nếu 3 điểm: Qk-1, Pk và Qk mà tạo thành tam giác cân thì ch ọn wk =cosθ Với θ

là góc tạo bởi Qk-1Qk và Qk-1Pk ( góc tam giác cân ), khi đó c ung nội suy là cung

tròn

+ Nếu tam giác Qk-1Pk Qk không phải là một tam giác cân thì chọn wknhư sau :

• Goị S1 là giao điểm của MPk với phân giác góc PkQk-1Qk

• Goị S2 là giao điểm của MPk với phân giác góc PkQkQk-1

Với

) 1

kw

M S w

k k





2.2.2 Phương pháp xấp xỉ NURBS.

Trong trường hợp xấp xỉ, đường cong dựng được không thoả mãn các dữ liệu đã

cho, cho phép một sai lệch nào đó theo yêu cầu Khoảng sai lệch l à khoảng cáchgiữa một điểm dữ liệu v à điểm tương ứng của nó trên đường cong Có hai phươngpháp xấp xỉ là xấp xỉ toàn phần và xấp xỉ xục bộ

Đặc điểm của phương pháp xấp xỉ là :

- Phải có yêu cầu độ chính xác của đường cong xấp xỉ

- Không biết cần bao nhiêu đỉnh điều khiển để đáp ứng độ chính xác

Như vậy, phương pháp xấp xỉ là phương pháp tính toán l ặp, sao cho số điểm điều

khiển là ít nhất mà ta vẫn thoả mản được sai lệch cho phép của b ài toán Hình 2.11

là sơ đồ thuật toán quá trình điều chỉnh hàm NURBS trong phương pháp xấp xỉ