Nghiên cứu tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục

- Tính toán tối ưu hình dạng và kích thước mô hình đĩa tròn xoay đối xứng trục bằng phương pháp Gradient và kiểm tra kết quả tính toán bằng phương pháp số.. Kết quả luận văn đã trình bà

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HỮU LỘC

Trang 3

Tp HCM, ngày 21 tháng 01 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 18/11/1980 Nơi sinh: Phú Yên

Chuyên ngành: Công nghệ chế tạo máy MSHV: 00406065

I- TÊN ĐỀ TÀI: Nghiên Cứu Tối Ưu Hình Dạng Và Kích Thước Chi Tiết Máy

Dạng Tròn Xoay Đối Xứng Trục

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Giới thiệu tổng quan về tối ưu hóa các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

- Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán tối ưu hóa chi tiết dạng tròn xoay

đối xứng trục

- Xây dựng mô hình bài toán tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết máy dạng

tròn xoay đối xứng trục

- Tính toán tối ưu hình dạng và kích thước mô hình đĩa tròn xoay đối xứng

trục bằng phương pháp Gradient và kiểm tra kết quả tính toán bằng phương pháp số

- Nhận xét kết quả tính toán

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/01/2008

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/06/2008

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYỄN HỮU LỘC

QL CHUYÊN NGÀNH

Trang 4

Xin gởi lời chân thành biết ơn sâu sắc đến:

Phĩ giáo sư - Tiến sỹ Nguyễn Hữu Lộc, Phó trưởng Khoa Cơ Khí, Trường Đại Học Bách Khoa Tp HCM đã trực tiếp tận tình hướng dẫn trong việc nghiên cứu và thực hiện luận văn

Các thầy cơ thuộc Khoa Cơ Khí, Phịng Đào tạo sau đại học, Trường Đại Học Bách Khoa Tp HCM

Lãnh đạo và các đồng nghiệp thuộc khoa Cơ Khí, Trường Cao Đẳng Kỹ Thuật Cơng Nghiệp Tuy Hịa tỉnh Phú Yên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian làm luận văn

Các bạn trong lớp Cao học CTM khố 2006-2008 đã đĩng gĩp ý kiến, giúp đỡ, hỗ trợ để hồn thành luận văn

Cùng gia đình cha, mẹ, anh, em, bạn bè và nhất là vợ Lê Thị Hồng luơn ủng hộ, động viên tinh thần, tạo mọi điều kiện thuận lợi để luận văn được hồn thành

Trang 5

Một sản phẩm muốn tồn tại trên thị trường thì phải hội đủ các yếu tố như: Chất lượng tốt nhất, chi phí thấp nhất, thời gian sản phẩm tung ra thị trường là ngắn nhất…Và thiết kế tối ưu hình dạng và kích thước kết cấu là một trong những cơng

cụ quan trọng để đáp ứng nhu cầu trên Tối ưu hĩa về hình dạng và kích thước giúp cho sản phẩm đạt hình dạng và kích thước tối ưu, nhưng dáng sản phẩm khơng thay đổi

Trong lĩnh vực thiết kế cơ khí, hiện nay việc thiết kế vẫn được thực hiện chủ yếu theo kinh nghiệm là chính Thiết kế theo kinh nghiệm gây lãng phí thời gian, chất lượng khơng đảm bảo, chi phí sản xuất lớn, năng suất kém, dẫn đến giá thành sản phẩm tăng Khi đĩ nếu ứng dụng tối ưu hình dạng và kích thước kết cấu vào trong thiết kế sẽ tăng năng suất và chất lượng sản phẩm Trong nhiều kết cấu

cơ khí thì kết cấu cĩ dạng trịn xoay đối xứng trục là phổ biến nhất Đĩ chính là lý

do để làm đề tài này

Luận văn đã sử dụng phương pháp giải tích Gradient và phương pháp số để giải bài tốn tối ưu hĩa kết cấu Đối tượng nghiên cứu chính là đĩa trịn xoay đối xứng trục, sử dụng cơng cụ phần mềm matlab và Ansys 9.0 để giải bài tốn tối ưu Kết quả luận văn đã trình bày tổng quan về tối ưu hĩa kết cấu, các phương pháp cơ bản giải bài tốn tối ưu, tính tốn được bài tốn tối ưu hình dạng và kích thước đĩa trịn xoay đối xứng trục bằng phương pháp Gradient và phương pháp số

Trang 6

A product want to exist on the market It seems that enough of element as: best quality, undermost cost, market place product time is the shortest And size and shape optimal design of structures is one of essential tool to meet the requirement upper Optimizing the shape and size of structure help product reach optimum shape and size, but product appearance is changeless

In the mechanical elements field design, present design still be realized chiefly empiric that be is main Design in experience causes waste of time, bad quality, away large-scale production cost, coarse productivity, leads on boost prime cost By then if size and shape optimal design Application gets into design,

it will increase productivity and quality of product In many mechanical elements that structures had axisymmetric model which is the most popular it was reason that make this topic

This thesis uses number method and Gradient analytic method to resolve Researched object was axisymmetric rotating disks, exertion tool is software matlab and Ansys 9.0 to solve optimum problem Thesis result presented general about structure optimization, basic methods for optimum problem, calculate to shape and size optimum problem of axisymmetric rotating disks by Gradient method and number method

Trang 7

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN 3

1.1 Giới thiệu tối ưu hóa hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục 3

1.2 Tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục 5

1.3 Tình hình nghiên cứu tối ưu hình dạng chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục 8

1.4 Xác định đề tài nghiên cứu 9

1.5 Đối tượng nghiên cứu của đề tài 10

1.6 Mục tiêu nghiên cứu 10

1.7 Phương pháp nghiên cứu 10

1.8 Phạm vi nghiên cứu 10

CHƯƠNG 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA CHI TIẾT DẠNG TRÕN XOAY ĐỐI XỨNG TRỤC 11

2.1 Phân loại các bài toán tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục 11

2.2 Bài toán không ràng buộc với một biến thiết kế 11

2.3 Bài toán không ràng buộc với nhiều biến thiết kế 12

2.4 Bài toán có ràng buộc với nhiều biến thiết kế 13

2.5 Bài toán quy hoạch động 35

2.6 Phần mềm giải bài toán tối ưu kết cấu 36

2.7 Kết luận 37

CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG MÔ HÌNH BÀI TOÁN TỐI ƯU HÌNH DẠNG VÀ KÍCH THƯỚC CHI TIẾT DẠNG TRÕN XOAY ĐỐI XỨNG TRỤC 38

Trang 8

3.2 Phân tích ứng suất 39

3.3 Xây dựng mô hình bài toán toán tối ưu 44

3.4 Kết luận 54

CHƯƠNG 4: GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU HÌNH DẠNG VÀ KÍCH THƯỚC MÔ HÌNH ĐĨA TRÕN XOAY ĐỐI XỨNG TRỤC 55

4.1 Mô hình bài toán 1 55

4.2 Mô hình bài toán 2 67

4.3 Ứng dụng phần mềm ANSYS để tính toán tối ưu hình dạng và kích thước bánh răng 76

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 82

5.1 Kết luận 82

5.2 Hướng phát triển của đề tài 82

TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

PHỤ LỤC 86

Trang 9

CBHD: PGS.TS NGUYỄN HỮU LỘC HVTH: PHẠM HỮU LỘC

LỜI MỞ ĐẦU

-oOo -

Tính Cấp Thiết Của Đề Tài

Một sản phẩm muốn tồn tại trên thị trường thì phải hội đủ nhiều yếu tố: Chất lượng tốt nhất, chi phí thấp nhất, thời gian sản phẩm tung ra thị trường là ngắn nhất

… Vì vậy thiết kế tối ưu kết cấu, đặc biệt là thiết kế tối ưu hình dạng và kích thước kết cấu, là một trong những công cụ quan trọng nhất để đáp ứng được các nhu cầu trên Tối ưu hóa về hình dạng và kích thước giúp cho sản phẩm đạt hình dạng và kích thước tối ưu, nhưng dáng sản phẩm không thay đổi

Thuật ngữ tối ưu các kết cấu cơ khí xuất hiện vào những năm 1970 Năm

1986, Haftka và Grandhi đưa ra tối ưu hóa hình dạng với những biến thiết kế là tọa

độ nút của khung kết cấu hay tọa độ nút của những điểm điều khiển đường Spline

Tối ưu hóa kết cấu cơ khí đã được nghiên cứu một bởi Seireg và Surana Nhưng chỉ trình bày lý thuyết một cách tổng quan chung [1]

Trong tối ưu kết cấu cơ khí gồm có: Tối ưu kiểu dáng, tối ưu hình dạng và tối ưu kích thước, trong đó tối ưu hình dạng và kích thước sẽ xác định được hình dạng và kích thước tối ưu của sản phẩm Tối ưu hình dạng và kích thước là giai đoạn sau giai đoạn tối ưu hóa kiểu dáng Ứng dụng tối ưu hình dạng và kích thước trong thiết kế sẽ tăng năng suất, chất lượng sản phẩm, rút ngắn thời gian sản phẩm tung ra thị trường và cải tiến mẫu mã sản phẩm

Hiện nay ở các cơ sở sản xuất tại Việt Nam, thiết kế các kết cấu cơ khí chủ yếu theo kinh nghiệm là chính Thiết kế theo kinh nghiệm gây lãng phí thời gian, chất lượng không đảm bảo, chi phí sản xuất lớn, năng suất kém Khi đó nếu chúng

ta ứng dụng công cụ tối ưu hóa hình dạng và kích thước kết cấu vào trong thiết kế

sẽ tăng năng suất và chất lượng sản phẩm Hiện tại tối ưu hóa hình dạng và kích thước kết cấu cơ khí là lĩnh vực khá mới mẻ ở nước ta

Trang 10

Với tính chất mới mẻ ở Việt Nam và những nhu cầu thực tế nêu trên là lý do

để em đi sâu nghiên cứu các phương pháp tối ưu hình dạng và kích thước kết cấu cơ khí Và trong nhiều kết cấu cơ khí thì kết cấu có dạng tròn xoay đối xứng trục là

phổ biến nhất Vì vậy em chọn hướng nghiên cứu của đề tài luận văn là “ Nghiên cứu tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục ”

Ý Nghĩa Khoa Học Và Thực Tiễn Của Đề Tài

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ở chổ: Đưa ra một phương pháp tính toán tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay, đó là xác định được hình dạng và kích thước tối ưu chi tiết tròn xoay khi chịu tác dụng của các tải trọng khác nhau, góp phần tăng năng suất và chất lượng thiết kế trong các cơ sở sản xuất

cơ khí trong nước

Trang 11

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

Mục tiêu chương này nhằm giới thiệu một cách khái quát về tối ưu hóa hình dạng và kích thước chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục, phân biệt được tối ưu kiểu dáng, hình dạng và kích thước của chi tiết, xác định được biến thiết kế, hàm mục tiêu và các ràng buộc của bài toán tối ưu Giới thiệu tình hình nghiên cứu tối ưu trong và ngoài nước từ đó nêu lý do để thực hiện đề tài luận văn và phương pháp thực hiện đề tài

1.1 Giới thiệu tối ưu hóa hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

Tối ưu hóa hình dạng, tối ưu hóa kiểu dáng và tối ưu hóa kích thước là phần chính yếu của kỹ thuật tối ưu hóa kết cấu Trong đó tối ưu hóa hình dạng và kích thước nhằm mục đích xác định hình dạng và kích thước tối ưu của kết cấu, nhưng dáng sản phẩm không thay đổi

Vấn đề tối ưu hóa hình dạng và kích thước kết cấu cơ khí đã được nghiên cứu đầu tiên bởi Galileo (1638) [1] Ông đã đưa ra một sơ đồ logic lựa chọn hình dáng dầm chịu uốn với độ bền không thay đổi Sau đó các thuật toán tính toán tối

ưu đã liên tục phát triển dựa trên cơ sở các hàm tiêu chuẩn Bernoulli, Euler và Lagrange Cauchy là người có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực lý thuyết tối ưu khi ông đưa ra thuật toán tìm kiếm Gradient vào năm 1847 [1]

Đến năm 1960, phương pháp số kết hợp với các các phương pháp lập trình toán học để giải quyết những thuật toán tối ưu Từ đó sự phát triển tối ưu hóa kết cấu cơ khí gắn liền với quá trình phát triển của máy tính

Sự mở rộng khái niệm thiết kế tối ưu hình dạng và kích thước kết cấu cơ khí diễn ra những năm 1970 Ngành công nghiệp hàng không và ô tô đã hỗ trợ chính cho việc nghiên cứu tối ưu hình dạng kết cấu Wasiutynsky, Brandt, Sheu và Prager

Trang 12

đã biên soạn lại một cách tổng quan tài liệu về thiết kế tối ưu kết cấu Ông Seireg

giới thiệu một cách tổng quan các phương pháp sử dụng các kỹ thuật tối ưu hình

dạng và kích thước trong thiết kế các chi tiết máy chẳng hạn như: Bánh răng, các ổ

bi, trục, …Nhưng chỉ dừng lại ở lý thuyết tổng quát về thiết kế tối ưu

Tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục là

một phần của tối ưu hóa các sản phẩm cơ khí Trong thực tế nhiều sản phẩm cơ khí

có dạng tròn xoay đối xứng trục Các đĩa quay, các xylanh, các bình áp xuất, , là

những ví dụ minh họa Một số hình ảnh minh họa chi tiết dạng tròn xoay đối xứng

trục

Hình 1.1: Đĩa xích Hình 1.2: Bánh răng

Hình1.3: Bánh đai Hình 1.4: Bộ lazăng bánh xe

Trang 13

1.2 Tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

1.2.1 Định nghĩa các dạng tối ưu hóa chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

Sơ đồ phân loại tối ưu hóa chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục được minh họa ( Hình 1.5 )

1.2.1.1 Tối ưu hóa kiểu dáng

Tối ưu hóa kiểu dáng kết cấu nhằm tìm ra những ý tưởng thiết kế khi ta thiết

kế sơ bộ ban đầu Mục đích tối ưu hóa kiểu dáng tìm cách phân bố vật liệu tốt nhất cho kết cấu Như vậy người thiết kế có thể loại bỏ những phần vật liệu không cần thiết nhưng vẫn bảo đảm kết cấu chịu được tải trọng tác dụng Tối ưu hóa kiểu dáng

là công cụ xử lý trước cho tối ưu hình dạng và kích thước ( hình 1.6)

Hình1 5: Sơ đồ phân loại tối ưu hóa kết cấu cơ khí

Tối ưu hóa chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

Tối ưu hóa kiểu dạng

Hình 1.6: Sơ đồ quá trình tối ưu hóa kết cấu

Không gian thiết kế ban đầu

Tối ưu kiểu dáng

Tối ưu hình dạng

Trang 14

1.2.1.2 Tối ưu hóa hình dạng

Tối ưu hóa hình dạng kết cấu dựa vào kiểu dáng kết cấu có sẵn Mục tiêu là tìm hình dạng tối ưu kết cấu Tối ưu hình dạng không thể thay đổi kiểu dáng cấu trúc của kết cấu trong suốt quá trình giải Sau khi tối ưu hình dạng thu được kiểu dáng kết cấu tương tự với kiểu dáng kết cấu được thiết kế ban đầu ( Hình 1.7)

Hình1.7: Thiết kế tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết:

a) Hình dạng thiết kế ban đầu; b) Hình dạng sau khi thiết kế tối ưu

1.2.1.3 Tối ưu hóa kích thước

Trong bài toán tối ưu kích thước mục tiêu chính là xác định sự phân bố chiều dày tối ưu của kết cấu Thông thường tối ưu hóa hình dạng và kích thước đã được kết hợp thành quá trình chung, bởi vì khi hình dạng thay đổi thì kích thước cũng sẽ thay đổi theo

a)

b)

Trang 15

1.2.2 Khái niệm bài toán tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

Dạng chung của bài toán toán tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục gồm có: Các biến thiết kế, hàm mục tiêu và hệ ràng buộc

1.2.2.1 Các biến thiết kế

Còn gọi là các véctơ thiết kế, là những đại lượng đặc trưng của kết cấu, có thể thay đổi trong quá trình tối ưu Các đại lượng này có thể là kích thước hình học, tính chất cơ học, vật lý của vật liệu kết cấu

Biến thiết kế về kích thước hình học có thể là chiều rộng, chiều cao của tiết diện, diện tích mặt cắt ngang hoặc chiều dày của chi tiết Biến thiết kế về tính chất

cơ lý của vật liệu là mô đun đàn hồi, hệ số poison

Về mặt toán học, tập hợp đầy đủ n biến thiết kế của một kết cấu được biễu diễn thành một véctơ X = { x1, , x2, … xn}, gọi là véctơ biến thiết kế trong không gian thiết kế

Ta cũng có thể chuyển bài toán cực tiểu hóa sang cực đại hóa bằng cách đổi dấu hàm mục tiêu :

min F(X) = max(-F(X))

Trang 16

1.3.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Những vấn đề thiết kế tối ưu kết cấu đã được trình bày và giải quyết bởi nhiều tác giả từ vài trăm năm nay Một trong những phương pháp thiết kế tối ưu sớm nhất là thiết kế tối ưu cường độ ( 1939 ) bởi Wasiutynski Ấn bản chuyên đề xuất hiện ở giai đoạn thời điểm chiến tranh Sách giáo khoa của STANLEY (1952 ) trình bày một cách bao quát những nghiên lý và phương pháp thiết kế tối ưu khối lượng kết cấu.Trong tài liệu ở Balan, một khảo sát xu hướng hiện đại trong thiết kế tối ưu của kết cấu tòa nhà được giới thiệu bởi Wasiutynski và Brandt (1962)

Thiết kế tối ưu hình dạng kết cấu cơ khí diễn ra những năm 1970 Ngành công nghiệp hàng không và ô tô đã hỗ trợ chính cho việc nghiên cứu tối ưu hình dạng kết cấu cơ khí Một số đề tài nghiên cứu như: Thiết kế tối ưu đĩa quay [2], thiết kế tối ưu đĩa và phần tử dạng vỏ chịu tác dụng áp suất và lực quán tính [12]

Năm 1995, trung tâm nghiên cứu Lewis ở Cơ quan quản lý hàng không và vũ trụ quốc gia NASA (National aeronautics and space administration) đã nghiên cứu phương pháp tối ưu kết cấu cho bánh răng của động cơ máy bay với chiều dày chi tiết không đổi [16]

Trang 17

Năm 2003, Một số đề tài nghiên cứu tối ưu như: Thiết kế tối ưu hình dạng, kích thước kết cấu cơ khí [8], luận văn về tối ưu hình dạng kết cấu bằng vật liệu Polyme [3]

Nhìn chung các thiết kế tối ưu hình dáng các đĩa, bánh răng, trục, … chỉ trình bày một cách khái quát chung về lý thuyết, chứ chưa đi sâu vào các mơ hình cụ thể

1.3.2 Tình hình nghiên cứu ở Việt Nam

Ở Việt Nam, thiết kế kết cấu các chi tiết dạng trịn xoay chẳng hạn như: Bánh răng, đĩa xích, bánh đai, trục,… chủ yếu dựa vào kinh nghiệm là chính Khi thiết kế chỉ quan tâm đến khả năng chịu lực, ứng suất của chi tiết, hầu như khơng quan tâm đến hình dạng tối ưu của chi tiết Kỹ thuật tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng trịn xoay cịn khá mới mẻ ở các cơ sở sản xuất

Thiết kế tối ưu về hình dạng cĩ một số đề tài nghiên cứu như: Tính tốn thiết

kế thân xe buýt [ 22 ], tối ưu hình dạng kết cấu trên cơ sở độ tin cậy [ 23], nghiên cứu tự động hĩa thiết kế đường hình đáp ứng nhu cầu đa dạng của ngành tàu cá Việt Nam [ 23 ]

1.4 Xác định đề tài nghiên cứu

Khi chúng ta ứng dụng cơng cụ tối ưu hĩa hình dạng và kích thước kết cấu vào trong thiết kế sẽ tăng năng suất và chất lượng sản phẩm Hiện tại tối ưu hĩa hình dạng và kích thước kết cấu cơ khí là lĩnh vực khá mới mẻ ở nước ta

Với tính chất mới mẻ ở Việt Nam và những nhu cầu thực tế nêu trên là lý do

để chọn hướng nghiên cứu đề tài là tối ưu hình dạng và kích thước kết cấu cơ khí,

và trong nhiều kết cấu cơ khí thì kết cấu cĩ dạng trịn xoay đối xứng trục là phổ

biến nhất Vì vậy em chọn hướng nghiên cứu của đề tài luận văn là “ Nghiên cứu tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết máy dạng trịn xoay đối xứng trục ”

Trang 18

1.5 Đối Tượng Nghiên Cứu Của Đề Tài

Là chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục, một số chi tiết máy tròn xoay

đối xứng trục thường gặp như: Bánh răng, đĩa xích, bánh đai, các xylanh và các bình chịu áp suất…

1.6 Mục tiêu nghiên cứu

- Xây dựng mô hình toán học cụ thể một chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục

- Giải bài toán tối ưu hình dạng và kích thước của chi tiết theo phương pháp giải tích và dùng phương pháp số để kiểm tra kết quả tính toán

1.7 Phương pháp nghiên cứu:

Ở đây luận văn sử dụng công cụ chính là: Phần mềm MATLAB và Phần mềm ANSYS để giải bài toán tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết máy dạng tròn xoay đối xứng trục

1.8 Phạm vi nghiên cứu

Chỉ nghiên cứu tính toán tối ưu hình dạng và kích thước trên mô hình đĩa quay tròn xoay và chịu tác dụng của lực phân bố đều Đĩa quay làm bằng vật liệu thép

Trang 19

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA CHI TIẾT

DẠNG TRÒN XOAY ĐỐI XỨNG TRỤC

Mục tiêu chương này phân tích các phương pháp cơ bản giải bài toán tối ưu,

từ đó lựa chọn phương pháp phù hợp cho đề tài luận văn

2.1 Phân loại các bài toán tối ưu hình dạng và kích thước chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

Bài toán tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục là trường hợp riêng của bài toán tối ưu hóa kết cấu Do đó có thể áp dụng các phương pháp giải bài toán tối ưu hóa kết cấu để giải bài toán tối ưu hình dạng và kích thước các chi tiết dạng tròn xoay đối xứng trục

Bài toán tối ưu hóa kết cấu bao gồm:

- Bài toán không ràng buộc với một biến thiết kế

- Bài toán không ràng buộc với nhiều biến thiết kế

- Bài toán có ràng buộc với nhiều biến thiết kế

- Bài toán quy hoạch động

2.2 Bài toán không ràng buộc với một biến thiết kế

Bài toán tối ưu được đặt ra như sau:

Cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm U = f(x)

Ở đây x được giả thiết là giá trị bất kỳ không bị giới hạn, nhưng vì trong hầu hết các biến thiết kế trong kết cấu cơ khí phải là số thực dương, do đó: 0  x

Một số phương pháp cơ bản giải bài toán trường hợp này là:

- Phương pháp chia đôi

- Phương pháp mặt cắt vàng

- Phương pháp Fibonacci

Trang 20

2.3 Bài toán không ràng buộc với nhiều biến thiết kế

Bài toán tối ưu được đặt ra như sau:

Cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm U = f(x)

Ở đây X = { x1, …, xn } là vecto thiết kế

Hầu hết các biến thiết kế trong kết cấu cơ khí phải là số thực dương,

Trong đó: {Xk}, {Xk+1} là nghiệm bước lặp k và k+1

H -1 (X k ) nghịch đảo của ma trận Hesse tại điểm { X k }

F(Xk ) Vecto gradient của hàm mục tiêu tại điểm { Xk }

Trang 21

x F

F x

Lấy dấu + với bài toán max, lấy dấu – với bài toán min

2.4 Bài toán có ràng buộc với nhiều biến thiết kế

Bài toán có ràng buộc với nhiều biến thiết kế chia làm 2 loại:

- Bài toán quy hoạch tuyến tính

- Bài toán quy hoạch phi tuyến

2.4.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

Trong kỹ thuật, nhiều bài toán tối ưu có hàm mục tiêu và hàm ràng buộc là các hàm tuyến tính

Biểu thức toán học của bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng:

j j

U   c x  max hoặc min

ở đây xj là các biến thiết kế Hàm ràng buộc :

Có nhiều thuật toán để giải bài toán qui hoạch tuyến tính với nhiều biến thiết

kế Phương pháp thông dụng nhất để giải bài toán thiết kế trường hợp này là phương pháp thuật toán đơn hình và phương pháp đồ thị

i = 1 m

j = 1 n

Trang 22

2.4.1.1 Phương pháp đơn hình

Phương pháp này Dantzig công bố vào 1947 Phương pháp này thích hợp cho giải bằng máy tính Và phương pháp này có sẵn trong hầu hết các thư viện máy tính

Sử dụng các phép biến đổi tuyến tính:

1 Một ràng buộc a ijb icó thể đưa về ràng buộc a ij b i

2 Một ràng buộc bất đẳng thức a ijb icó thể đưa về ràng buộc đẳng thức bằng cách thêm vào biến đệm xi+n ≥ 0( n số các biến thiết kế, m số phương trình ràng buộc)

Cơ sở thuật toán:

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng như sau:

Trang 23

Với n+m cột tiếp theo, hàng trên cùng ghi tên các biến theo thứ tự x1,

x2…,hàng tiếp theo là các hệ số tương ứng với biến trong hệ ràng buộc và hàm mục tiêu

Cột cuối cùng ghi giá trị các hệ số bi

Bước 3: Xác định phần tử xoay asp, s là hàng xoay, p là cột xoay

Trên hàng U chọn cột có giá trị lớn hơn 0, lớn nhất, cột tương ứng với phần

tử đó là cột xoay p

Nếu trên cột p không có thêm số dương nào khác, tức là không tồn tại phương án mới tốt hơn Nếu có thêm số dương thì số dương đó chính là phần tử xoay và hàng tương ứng với nó là hàng xoay s

Nếu trên cột p có nhiều số dương, ta lập các tỉ số giữa số dương trên cùng hàng và bi so sánh các tỉ số này, tỉ số nào lớn nhất thì số dương tương ứng với nó là phần tử xoay, từ đó xác định hàng xoay s

Bước 4: Lập bảng mới

Thay tên biến đệm trên dòng xoay s thành biến của cột xoay p là xp

Tạo hàng chính bằng cách chia hàng s ở bảng cũ cho a sp

Các phần tử của hàng khác tính theo qui tắc:

aij = aij - aip asj ( 2.2)

Nghĩa là:

Bước 5: Tiếp tục quá trình lập bảng tiếp theo cho đến khi cho đến khi các hệ số của

hàng U đều ≤ 0 thì dừng Cột cuối cùng của bảng cho ta giá trị các biến của phương

án tối ưu và giá trị hàm Zmax

2.4.1.2 Phương pháp đồ thị:

Phương pháp này được sử dụng thích hợp đối những bài toán 2 biến

Xét bài toán tuyến tính 2 biến

Phần tử hàng mới = Phần tử hàng cũ - aip x phần tử hàng chính

Trang 24

Tìm X = [ x1, x2 ]T sao cho hàm U = c1x1 + c2x2 đạt cực đại

Để tìm nghiệm bài toán ta thực hiện các bước sau

Bước 1: vẽ miền D mà X thỏa mãn các ràng buộc Gọi D là miền nghiệm

khả dĩ Miền D là một đa giác, mỗi cạnh được xác định từ một phương trình ràng buộc

Bước 2: Cho U một giá trị U0 nào đó, vẽ đường thẳng:

x2 =U0/c2 – (c1/c2)x1

Bước 3: Thay đổi U0 ta được các đường thẳng song song nhau, còn gọi là các đường mức Trên mỗi đường mức bất kỳ điểm X  D đều cho hàm mục tiêu có cùng một giá trị U U0 càng lớn thì, đường mức càng xa gốc

Nghiệm tối ưu là điểm X  D , trên đường mức xa gốc 0 nhất

Trường hợp đường mức nào đó tiếp xúc với D tại một điểm ( đỉnh), ta có điểm đơn trị

Trường hợp đường mức tiếp xúc với cạnh của D, ta có nghiệm đa trị

Trang 25

2.4.1 Bài toán quy hoạch phi tuyến

Trong các bài toán toán thiết kế cơ khí, các hàm ràng buộc và hàm mục tiêu thường là phi tuyến

Có 3 phương pháp giải bài toán quy hoạch phi tuyến phổ biến:

+ Phương pháp nhân tử Lagrange

+ Quy hoạch hình học

+ Phương pháp Gradient

2.4.2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange

Biểu thức toán học của bài toán quy hoạch phi tuyến có dạng:

Max U(x) Hàm ràng buộc gi (x) =0

Ở đây x là vector thiết kế = [ x1, …., xn ] n > m

Giải 2 phương trình trên ta tìm được i và nghiệm tối ưu x*

2.4.2.2 Phương pháp quy hoạch hình học

Quy hoạch hình học (QHHH) là một trong các phương pháp qui hoạch toán được Duffin, Peterson và Zenner phát triển Phương pháp này dùng để giải các bài toán tối ưu có dạng như sau:

Hàm mục tiêu và các ràng buộc là các đa thức, mỗi số hạng của đa thức là tích của các biến mang số mũ, các hệ số của đa thức là dương

i = 1 m

j = 1 n

i = 1 m

Trang 26

Dạng bài toán như sau:

Tìm vecto X* sao cho hàm mục tiêu sau đạt cực tiểu:

kij

kj i i j

Cực tiểu hóa hàm: g0 (X); X = [ x1,…,xn]T (a)

Thỏa mãn điều kiện g1(X) ≤ 1;… gm(X) ≤ 1 (b)

x1 > 0, x2 > 0, …, xn > 0 (c) Trong đó:

N0 + N1 + …+ Nm = N

( 2.8)

Trang 27

Bài toán đối ngẫu

ij i i

Giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu có quan hệ sau đây:

Từ định lý cơ bản về mối quan hệ giữa bài toán gốc và đối ngẫu cho phép thay việc giải bài toán ( 2.8) bằng bài toán (2.9)

bài toán gốc = Tổng số biến ∆ trong bài toán đối ngẫu (N)

- Số phương trình ràng buộc = Số lượng phần tử λ(∆)λ(∆) ( m)

- Tổng các số hạng của hàm

gốc g 0 (X) = Tổng số hạng trong điều kiện chuẩn hóa ( N 0 )

- Số lượng biến gốc xi = Số phương trình của điều kiện trực giao (n)

Cực đại hóa hàm

Trang 28

Trang 29

và nhanh nhất với phương án tối ưu Do đó hướng vecto gradient của hàm mục tiêu được chọn làm hướng di chuyển Minh họa vấn đề này trên ( Hình 2.2 )

Hình (a) các đường mức ứng với giá trị khác nhau của hàm mục tiêu U (dạng tuyến tính) Các đường biên ec, cd, df, biểu thị các điều kiện ràng buộc tới hạn có dạng tuyến tính Giả sử ban đầu ta xuất phát từ điểm a nằm trong miền nghiệm Ta di chuyển theo hướng có lợi là hướng vecto gradient vuông góc đường mức U ( Vì trên hướng đó giá trị hàm U tăng nhanh nhất ) Theo hướng đó ta di chuyển đến điểm b nằm trên đường biên của miền nghiệm Từ điểm b tiếp tục theo hướng vecto gradient nhưng điểm mới lại vượt ra ngoài miền nghiệm, vì vậy ta đổi hướng di chuyển Hình (a) di chuyển men theo các đường biên là tốt nhất, từ b đến

c, từ c di chuyển đến d Đây là điểm cuối cùng của phương án tối ưu

Hình (b) hàm mục tiêu U phi tuyến, các điều kiện ràng buộc tuyến tính Ta xuất phát từ điểm a di chuyển đến điểm b nằm trên đường biên theo hướng vecto gradient vuông góc hàm mục tiêu U Từ b men theo đường biên di chuyển đến điểm

d

cf

a

x2

x1

(b)0

bb’

0

U1

Hình 2.2

Trang 30

Hình (c) hàm mục tiêu và ràng buộc đều có dạng phi tuyến, ta xuất phát từ điểm a bất kì trong miền nghiệm, men theo hướng vecto gradient vuông góc hàm mục tiêu để đi đến điểm b nằm trên đường biên Vì điều kiện ràng buộc có dạng phi tuyến, từ điểm b ta chọn hướng di chuyển thích hợp bb’ trên hình (c) sao cho điểm mới vẫn nằm trong miền nghiệm

Với bài toán quy hoạch tuyến tính, giải phương pháp gradient bao giờ cũng tồn tại một phương án tối ưu Khi bài toán quy hoạch phi tuyến không thỏa mãn tính lồi phương pháp gradient chỉ có phương án tối ưu cục bộ

Phương pháp gradient có 2 trường hợp :

Trường hợp hàm mục tiêu có dạng tuyến tính hoặc phi tuyến, các điều kiện ràng buộc có dạng tuyến tính

Giả sử có bài toán tối ưu :

a x b



i = 1, , m

xj ≥0 Khi hàm mục tiêu tuyến tính, hàm U có dạng :

1

n

j j j

( 2.14)

( 2.15)

Trang 31

Để cho giá trị hàm mục tiêu tăng nhanh nhất từ x0 ta men theo hướng vecto gradient của hàm mục tiêu Phương án tốt hơn sẽ là :

x1 = x0 + d0 Trong đó

 : hằng số dương, độ dài của bước

d0 : vecto chuyển vị của vecto gradient ứng với hàm mục tiêu tại điểm x0

Vecto gradient của hàm mục tiêu có dạng :

0

n

c c d

1 Khi tăng , một số biến có khả năng triệt tiêu, để bảo đảm biến mới xj,1

(tại điểm x1 ) không âm, thỏa mãn điều kiện sau :

Trang 32

0

i i i

Trong số chỉ số i ứng với điều kiện ràng buộc thứ i

Vì những lý do trên đây, giá trị  phải lấy bằng giá trị bé nhất trong 2 giá trị 1 và

2

Khi một điểm mới có khả năng vượt ra khỏi miền nghiệm, ta không thể đi theo hướng vecto gradient của hàm mục tiêu, mà phải di chuyển theo hướng vecto khác, chẳng hạn vecto đơn vị {r} Giả sử x1 là một điểm nằm trên đường biên ứng với điều kiện ràng buộc thứ i, ta kí hiệu điểm đó là xv Nếu từ xv ta di chuyển theo hướng vecto {r}, số gia của hàm mục tiêu f ( xv).{r} Tại điểm xv có khả năng một số biến triệt tiêu, chẳng hạn biến xj,v = 0 Để biến xj không âm phải thỏa mãn điều kiện :

(2.19)

(2.20)

Trang 33

xj = xj,v + .rj 0

Nhưng vì :

xj,v = 0 và  > 0 nên rj ≥ 0 (a)

Mặt khác để bảo đảm điểm mới không vượt khỏi miền nghiệm, ta phải có :

Ứng với điều kiện ràng buộc tới hạn :

Vậy để chọn hướng vecto r, ta giải bài toán qui hoạch phi tuyến :

Cực đại hóa hàm

Uv = f (xv) {r}

Với điều kiện

Trang 34

 

   

0 0;

Với điều kiện :

[ai].{r} ≤ 0 đối với các điều kiện ràng buộc tới hạn

[aj].{r} = 0 j ≤ i đối với điều kiện ràng buộc mang dấu

Khi các ràng buộc có dạng tuyến tính, ta chọn vecto {r} sao cho hướng di chuyển là hướng men theo các đường biên của miền nghiệm

Cực đại hóa hàm :

U = 2 x1 + x2 Với điều kiện :

5x1 + x2 ≤ 30 3x1 + x2 ≤ 20 1.5 x1 +x2 ≤ 14

x1, x2 ≥ 0

(2.22) (2.21)

(b) (a)

Đối với các điều kiện ràng buộc tới hạn

Đối với các điều kiện ràng buộc mang dấu đẳng thức Nếu xj, v = 0

Trang 35

Trên hình (2.3) các đường ec, cd, df biểu thị các đường biên ứng với điều kiện tới hạn Giả sử xuất phát từ điểm a ( 1, 2)

Phương án đầu tiên { x0} = [ 1, 2]T

20

21

d d d

2,1

x x

Trang 36

Các ràng buộc điều kiện viết lại dưới dạng ma trận như sau :

          

Trang 37

Chọn  = 2 = min

23 /11

15 / 711.5 / 4

2,1

1 23 2 57 / 11

2 11 1 45 / 11

x x

Điểm x1 ứng với điểm b, hình (2.6) Như vậy sau khi xác định độ dài bước λ,

ta di chuyển từ điểm a đến điểm b Điểm mới này nằm trên đường biên ứng với điều kiện ràng buộc tới hạn thứ nhất , đến đây ta tiếp tục di chuyển theo hướng vecto r

Phương án tối ưu bài toán này là 1

2

1/ 5 1

r r

Trang 38

Vì x 1,1 = 57/11 > 0 và d 1,1 < 0 nên xét tới điều kiện (2.19 )

1,1

57 /11

285 111/ 5

x d

Trang 39

Điểm x2 trùng điểm c, đây là giao điểm của 2 đường biên ứng với điều kiện tới hạn thứ nhất và thứ hai

Đến đây ta tiếp tục men theo đường biên với điều kiện tới hạn thứ 2 Vì độ dốc nó là -3, không cần giải (2.30) nên ta chọn vecto 1

2

1/ 3 1

r r r

2,3

48

x x

x

    

    Đây là điểm tối ưu của bài toán

Điểm x2 trùng điểm d của bài toán, đây là điểm tối ưu của bài toán

Suy ra Umax = 16

Nếu tiếp tục ta sẽ xác định được 1

2

2 / 3 1

r r r

  , kiểm tra điều kiện

f(x).{r}= -1/3 <0, nên quá trình tính toán kết thúc

Trường hợp hàm mục tiêu có dạng phi tuyến, các điều kiện ràng buộc

mang dấu có dạng phi tuyến, các điều kiện ràng buộc mang dấu đẳng thức có dạng tuyến tính

Bài toán có dạng :

U = f ( x1, , xn) Với điều kiện :

Trong đó :

(a)

(b) (c)

(2.23)

1

( , , ) ( , , )

Trang 40

U : hàm phi tuyến, điều kiện ( 2.23b) có dạng phi tuyến, (2.23c) có dạng tuyến tính ( 2.23b) gọi là điều kiện ràng buộc 1, (2.23 c) điều kiện ràng buộc 2

Cách giải

+ Chọn 1 điểm xuất phát x0 nằm trong miền nghiệm và di chuyển theo hướng vecto gradient của hàm mục tiêu Điểm mới xác định theo công thức :

x1 = x0 + d0 + Giá trị lấy bằng giá trị nhỏ nhất của 1 và 2. Giá trị 1 tính theo công thức :

1 = min j[ -xj, o / dj, o ] xj, o >0 ; dj,o < 0 + Giá trị 2 tính theo công thức : gi(x1) = bi

Trong đó chỉ số i ứng với điều kiện ràng buộc loại 1 thứ i, x1 là một điểm

Trong đó i ứng với điều kiện tới hạn 1, j ứng với điều kiện tới hạn 2 Ẩn là σ

và vecto r, điểm xv nằm trên đường biên

Sau khi có r ta xác định giá trị  và tìm các điểm mới x2, x3 tương tự như trên

(2.24)

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	2,14 MB