Nghiên cứu thiết kế tối ưu hoá kết cấu khung xe gắn máy

Một số đặc điểm của phương pháp qui hoạch toán học: • Có thể xác định được các đối tượng bị phá hủy khi chịu tác dụng của tải trọng khác nhau trong hệ thống kết cấu phức tạp • Các ràng b

Nội dung luận văn trình bày một số lý thuyết tối ưu và ứng dụng lý thuyết trên

để giải bài toán tối ưu kết cấu Kết cấu khung sườn dạng 2D được miêu tả là sự liên kết của các chi tiết dạng tấm và các chi tiết khung có tiết diện hình tròn và hình chữ nhật, lực tác dụng lên khung sườn áp dụng theo TCVN 7238-2003 Mục tiêu của bài toán là tối ưu hóa trọng lượng, cụ thể là diện tích mặt cắt ngang các chi tiết khung của kết cấu Ứng dụng lý thuyết tối ưu, luận văn trình bày phương pháp phần tử hữu hạn

để phân tích, kết hợp giữa phương pháp chuỗi tuyến tính Taylor và phương pháp đơn hình để giải bài toán tối ưu hệ thanh dàn và khung phằng So sánh kết quả đạt được với kết quả ứng dụng phần mềm Ansys, từ đó đề suất phương pháp giải bài toán tối ưu khung sườn bằng phần mềm Ansys Xử lí kết quả tối ưu bằng cách hiệu chỉnh các giá trị của biến thiết kế, phù hợp theo tiêu chuẩn của nhà sản xuất

This content of thesis presents some of optimal theories and applys them for solving optimum structural problems 2D of structural frame is described by shell and beam parts conecting by welding and apply TCVN 7283-2003 standard for loading on frame We considered the problem of minimizing the mass of frame, especially are cross section of pipe and hole rectangle beam The thesis used finite element method for analysis structure and combined Taylor’s sequence of linear approach and simplex method to solve optimal structure of truss and beam problems It compared the result

of numeral method to result of using Ansys software, so we trend solving to optimum structure of frame problems by Ansys software The postprocessor of optimal result is presented by modification of design variables which is suitable to standard of production

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1 Tình hình nghiên cứu các chi tiết dạng khung trên thế giới và trong nước

1.1.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Quá trình nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu được thế giới nghiên cứu từ rất lâu

Khái niệm đầu tiên về tối ưu hóa hình dáng được Galileo Galilei thể hiện trong tài liệu “lí thuyết về hình dạng vật thể với sự cân bằng độ bền” ở thế kỷ 16 Nội dung

đã thể hiện một cách hệ thống phương pháp nghiên cứu quá trình gãy vỡ các vật liệu dòn Ông miêu tả ảnh hưởng của hình dạng chi tiết đến độ bền

Ở thế kỷ 17 và 18, các nghiên cứu của Lagrange và Hamitol đã góp phần

hoàn thiện quá trình tính toán dao động Kết quả đó như là cơ sở để giải quyết một

số vấn đề tối ưu hóa kết cấu

Ví dụ: tối ưu thiết kế cho các trụ, các thanh chịu xoắn hay các dầm công xôn với việc tối ưu hóa diện tích mặt cắt ngang được xác định bằng tính toán dao động Theo kết quả điều tra của Khoa Hàng Không Vũ Trụ, trường Đại Học Kyoto, Nhật Bản [20], quá trình nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu có thể tổng kết như sau

• Từ trước cho đến 1980: Quá trình phân tích kết cấu trở nên phổ biến,

thay thế quá trình kiểm tra cơ lí-tính Quá trình tối ưu hóa kết cấu không được áp dụng một cách khả thi vì đòi hỏi các loại máy tính có tốc độ xử lí cao

• Những năm 1980: Việc phân tích kết cấu trở thành một công cụ thiết kế

Mặt dù rất phát triển, quá trình tối ưu hóa kết cấu hầu hết chỉ dùng lại ở quá trình nghiên cứu

• Những năm 1990: Cùng với sự phát triển của các phần mềm thiết kế

3D(CAD) và các phần mềm tính toán (CAE), quá trình phân tích kết cấu

và tối ưu hóa kết cấu góp phần làm giảm thời gian cho một chu kì thiết kế sản phẩm

• Từ năm 2000 đến nay: Quá trình phân tích kết cấu đã hoàn toàn thay thế

quá trình kiểm tra cơ-lí tính ở một vài sản phẩm.Mặt dù chấp nhận nó như

là một công cụ thiết kế, quá trình tối ưu hóa kết cấu dường như vẫn chưa đạt đến xu hướng phổ biến

Một số nghiên cứu trên thế giới những năm gần đây về tối ưu hóa khung chi tiết được tham khảo trong tài liệu [20]

1.1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Đối với lĩnh vực cơ khí, các chi tiết dạng khung chiếm một khối lượng lớn về khối lương trên toàn sản phẩm, tuy nhiên việc nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu sản phẩm khung đa số chỉ áp dụng cho các sản phẩm của ngành xây dựng, rất ít đề cập đến các sản phẩm cơ khí

Ví dụ như:

• Mô phỏng và phân tích tính ổn định của cơ hệ đàn dẻo

• Tính toán tối ưu hóa kết cấu thép cánh rỗng định hình

• Tính toán tối ưu kết cấu dàn không gian theo giải thuật di truyền

• Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tầng số dao động của kết cấu khung dầm

• Tối ưu hóa kiều dáng cho sản phẩm cơ khí [6]

• Nghiên cứu tính toán tối ưu hóa thân xe buýt [7]

1.2 Tổng quan về các loại khung xe gắn máy

Chức năng: khung sườn xe gắn máy gồm 2 chức năng

• Chịu tải trọng tĩnh khi xe đứng yên

• Chịu tải trọng động khi xe hoạt động

Phân loại: khung xe gắn máy hiện tại được chia làm 2 loại: xe đua và xe dân dụng 1.2.1 Khung sườn xe đua:

Khung sườn đua được thiết kế có thể lắp ráp với động cơ có dung tích lớn từ 125cc đến 750cc và thậm chí 1250cc

Hình 1.1-Kiểu khung sườn chung cho các loại xe đua

Bộ phận giảm xóc( suspension) phía sau được thiết kế nghiên về phía trước, gần với trọng tâm xe hơn Tùy vào các hãng thiết kế, bộ phân giảm xóc có thể là

đơn hoặc đôi

Hình 1.2- Khung sườn và kiểu dáng xe đua Ducati 749

Hình 1.2 thể hiện kết cấu khung sườn của xe đua Ducati 749 của hãng Honda, thế

hệ xe đua của tương lai Khung sườn được thiết kế từ loại thép ống ALS450 độ bền cao, kết cấu khung tam giác với các gân chịu lực được gia cố

1.2.2 Khung sườn xe dân dụng

Khung sườn xe dân dụng được chia làm hai loại bao gồm xe tay ga và xe số

• Khung sườn xe số( cub): khởi đầu cho dòng xe gắn máy là các loại xe cub với kết cấu khung sườn dạng tấm

Hình 1.3- Khung sườn điển hình cho dòng xe cub cổ điển

Dựa vào kết cấu trên, tiết diện ngang của khung thường có dạng chữ U, ghép 2 phần khung sườn trái phải bằng các mối hàn Kết cấu trên ta thường thấy ở các loại xe Dream, cub 50cc, cub 70cc…

Với đòi hỏi về sự tiện lợi và giảm chi phí, các loại xe cub cũng sử dụng kiểu kết cấu ống, tăng không gian cho người sử dụng và giảm giá thành

Hình 1.4- Khung sườn xe Angle EZ 110cc Kiểu khung sườn xe cub thiết kế như trên với không gian lớn, tiện cho người sử dụng để các vật dụng cá nhân ( nón bảo hiểm, ví tiền …)

• Kiểu khung xe tay ga: được thiết kế gầm thấp, thường sử dụng kết cấu ống

để tạo nhiều không gian trống Phần động cơ được lắp giữa khung sườn, còn bình xăng có thề lắp phía trước ( dưới chân người ngồi trước) hoặc phía sau

kế có thể dẫn đến lời giải sai và có bất kì một ràng buộc nào không đạt giá trị tới hạn thì cũng xem như vi phạm Về tồng quát, không thể đoán trước được ràng buộc nào là yếu tố cần thiết cho loại bài toán này

1.3.2 Các phương pháp tiêu chuẩn tối ưu

Các phương pháp tiêu chuẩn tối ưu giả sử rằng các tiêu chuẩn liên quan đến ứng xử kết cấu thỏa mãn tại điểm tối ưu Fully Stress Design(FSD) là tiêu chuẩn điển hình cho các phương pháp trên FSD cho rằng mỗi phần tử tối ưu kết cấu phải chịu ứng suất giới hạn dưới tác dụng của ít nhất một ngoại lực Ưu điểm của tiêu chuẩn này là gắn với ý nghĩa vật lý rõ ràng, biểu diễn toán chặc chẽ, dễ lập trình cho máy tính, hội tụ nhanh ngay cả với bài toán nhiều biến Nhược điểm của phương pháp này là chứng minh tính hội tụ của bài toán đôi khi gặp khó khăn, phạm vi ứng dụng không rộng bằng phương pháp qui hoạch toán học

Cơ sở toán học của các phương pháp tiêu chuẩn tối ưu là phương pháp nhân tử

Lagrange

,λ ∑ λ (1.1)

Trong đó λ gọi là các nhân tử Lagrange, hàm (1.3) còn gọi là hàm mục tiêu mở

rộng Điều kiện cần để tồn tại cực trị của (1.3) là

∑ λ 0; 1 (1.2) hay ∑ λ / 1 (1.3)

Điều kiện (1.5) còn gọi là điều kiện Kuhn-Tucker.

1.3.3 Phương pháp qui hoạch toán học

Phương pháp qui hoạch toán học(MP) giải bài toán tổng quát sử dụng thuật

toán tìm kiếm bằng phương pháp số Đặc điểm chung của phương pháp là tìm

nghiệm tối ưu trong miền thiết kế bằng cách xuất phát từ điểm lựa chọn ban đầu, từ

đó tìm hướng đến điểm tốt hơn X1, X2… ,Xi sao cho hàm mục tiêu F(X) không thề

nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) được nữa MP được xem là phương pháp tổng quát, có hiệu

quả khi giải bài toán tối ưu nói chung và bài toán kết cấu nói riêng

Một số đặc điểm của phương pháp qui hoạch toán học:

• Có thể xác định được các đối tượng bị phá hủy khi chịu tác dụng của tải

trọng khác nhau trong hệ thống kết cấu phức tạp

• Các ràng buộc đa dạng về ứng xử kết cấu được khảo sát như chuyển vị,

ứng suất, độ bất ổn định, đáp ứng động…cũng như các giới hạn về biến

thiết kế

• Hàm mục tiêu tổng quát được thể hiện là hàm chi phí nhưng không giới

hạn ở việc tối ưu trọng lượng kết cấu

1.3.4 Phương pháp tối ưu tiến hóa

Xie và Steven là người đề xuất phương pháp này vào năm 1993 Nội dung

phương pháp này như sau: xuất phát từ kết cấu ban đầu, loại bỏ một số phần tử có

ứng xuất nhỏ Tiêu chuần loại bỏ dựa vào tỉ số giữa ứng xuất phấn tử và ứng suất

cực đại trong kết cấu, kí hiệu là α Với α

được lặp cho đến khi không còn phần tử nào có α < αo Tiếp theo, αo sẽ tăng lên một lượng ε, được gọi là bước tiến hóa Quá trình phân tích-loại trừ được lặp với ε thường lấy bằng (1÷5%)αo Quá trình dừng lại khi đạt được sự đồng đểu ứng suất trong kết cấu

Như vậy, phương pháp tối ưu này tương đối đơn giản, dễ thực hiện với sự trợ giúp của máy tính Về bản chất, phương pháp này tương tự phương pháp tiêu chuẩn tối ưu Ví dụ với hệ kết cấu thanh dàn, có thể sử dụng phương pháp này để giải bài toán tối ưu cấu trúc

1.3.5 Phương pháp giải thuật di truyền

Thuật giải di truyền(GA) hình thành dựa trên quan niệm cho rằng quá trình tiến hóa tự nhiên là quá trình hoàn hảo nhất, hợp lí nhất và tự nó mang tính tối ưu

GA mô phòng các hiện tượng tự nhiên: kế thừa và đấu tranh sinh tồn để cải tiến giải pháp trong không gian giải pháp GA được thừa nhận là một công cụ rất hiệu quả trong tối ưu hóa kết cấu, bao gồm tối ưu kích thước, hình dáng và cấu trúc

Một số đặc điểm của giải thuật di truyền trong tối ưu hóa kết cấu

• GA có thể làm việc với bài toán tối ưu mà biến có thể là rời rạc hoặc liên tục GA là một phương pháp hiệu quả đối với bài toán tối ưu có biến thiết

1.4 Xác định mục tiêu nghiên cứu

Vịêc nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu dạng khung đối với các sản phẩm cơ khí nói riêng và sản phầm của ngành kỹ thuật khác nói chung thực sự rất cần thiết Quá trình tối ưu hóa mang lại nhiều lợi ích cho doanh nghiệp sản xuất như cải tiến mẫu

mã, giảm khối lượng vật liệu, giảm giá thành, tăng năng suất…Tại Việt Nam, quá

trình tối ưu hóa kết cấu khung chỉ tập trung chủ yếu ở ngành xây dựng, đối với các sản phẩm cơ khí còn rất hạn chế Với nhu cầu cần thiết như trên, luận văn này mong

muốn góp phần vào việc nghiên cứu tối ưu hóa các chi tiết trong lĩnh vực cơ khí, cụ thể nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu khung xe gắn máy

1.5 Nội dung nghiên cứu

• Nghiên cứu các cơ sở lí thuyết giải bài toán tối ưu hóa kết cấu

• Nghiên cứu các ứng dụng của phần mềm thiết kế CAD/CAE trong việc tối ưu hóa kết cấu ( Ansys 9.0)

• Phân tích kết cấu khung sườn, đơn giản hóa các chi tiết có diện tích hình tròn và hình chữ nhật bằng các chi tiết thanh dàn và khung

• Áp dụng lý thuyết để giải bài toán tối ưu hóa trọng lượng kết cấu cho

hệ thanh dàn, khung phẳng So sánh với kết quả tính bằng phần mềm Ansys

• Mô hình hóa khung sườn xe máy dạng 2D, phân tích lực tác dụng, giải bài toán tối ưu khung sườn bằng phần mềm Ansys

• Xử lí và đánh giá kết quả nhận được từ phần mềm tối ưu

1.6 Phạm vi nghiên cứu

Trong quá trình làm việc, khung xe chịu rất nhiều các yếu tố ảnh hưởng từ bên ngoài Do đó, để đảm bảo hoàn thành mục tiêu nghiên cứu của đề tài cần giới hạn phạm vi nghiên cứu như sau

• Chỉ nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu chi tiết cụ thể trên khung sườn

• Điều kiện nghiên cứu: tải trọng tĩnh, áp dụng đối với khung sườn theo tiêu chuẩn thử nghiệm Việt Nam ( TCVN 7238-2003) Không áp dụng cho các điều kiện thực tế có sự tác động về nhiệt độ, môi trường, mặt đường… và các yếu tố con người gây ra

• Mô hình bài toán ở dạng phẳng (2D)

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

• Phân tích đàn hồi kết cấu khung như bài toán dầm, khung, dàn Loại phân tích này yêu cầu hệ phương trình tuyến tính Điển hình cho loại phân tích này gồm hai phương pháp: phương pháp lực và phương pháp chuyển vị

• Phân tích đàn hồi kết cấu liên tục như bài toán tấm phẳng, vỏ mỏng Phương pháp phân tích là phương pháp phần tử hữu hạn

• Phân tích đàn dẽo kết cấu khung, dựa trên hai phương pháp phân tích tĩnh

và động kết cấu Sử dụng phân tích đàn dẻo, tải trọng phá hủy và đáp ứng của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng được xác định

Tuy nhiên trong giới hạn luận văn chỉ giới thiệu hai phương pháp phân tích đàn hồi kết cấu khung và kết cấu liên tục

2.1.1 Phân tích đàn hồi kết cấu khung

Trong phân tích đàn hồi tuyến tính, chúng ta cho rằng các chuyển vị thẳng hay chuyển vị góc là tuyến tính dưới lực tác dụng Do đó, bất kỳ sự tăng lên của chuyển vị đều có nguyên nhân từ lực tác dụng Tất cả các chuyển vị được xem là rất nhỏ, để kết quả chuyển vị không ảnh hưởng đáng kể đến dạng hình học của kết cấu

và không làm biến đổi lực trên các chi tiết Phần lớn các kết cấu thực tế được thiết

kế chỉ chịu biến dạng nhỏ và tuyến tính Mục tiêu phân tích của kết cấu là xác định nội lực, ứng xuất, chuyển vị dưới lực tác dụng Lực tác dụng phải thỏa mãn điều kiện cân bằng và tạo ra biến dạng phù hợp với tính liên tục của kết cấu và các điều kiện hỗ trợ Hai phương pháp phổ biến nhất cho loại phân tích này là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị

2.1.1.1 Phương pháp lực

Phương pháp lực xem các phản lực như là biến phân tích, số phản lực này cân bằng với số bậc tự do của kết cấu Các giá trị lực này sẽ được xác định bằng điều kiện phù hợp Với các giá trị đã biết của phản lực, tất cả các giá trị nội lực, ứng suất, chuyển vị được xác định bằng cộng tác dụng của ngoại lực và phản lực

Phương trình cho bài toán kết cấu giải bằng phương pháp lực [9] như sau

(2.1) Với

[F]:ma trận độ mềm, Fij đại diện cho chuyển vị tại vị trí phản lực thứ i và kết cấu cơ bản thứ j

{N}:vectơ biến các phản lực

{δp}:vectơ chuyển vị tương ứng với tải trọng trong kết cấu cơ bản

{δo}:vectơ chuyển vị thực tế tương ứng với phản lực

(thông thường {δo}={0})

Điều quan trọng khi giải bài toán bằng phương pháp lực chính là tính toán ma trận

độ mềm [K] mà ma trận này được xác từ việc chọn phản lực Với các phản lực khác nhau sẽ cho ra ma trận mềm [K] khác nhau Nếu gọi {D} là vectơ chuyển vị và {A}

là vectơ lực tại các điểm rời rạc của kết cấu thì ta có phương trình tác động của ngoại lực và phản lực lên kết cấu cơ bản như sau

{D}={Dp} + [FD]{N} (2.2) {A}={Ap} + [FA]{N} (2.3) Với

{Dp}, {Ap}: vectơ chuyển vị và lực do tác dụng tải trọng lên kết cấu cơ bản [FD], [FA]: ma trận chuyển vị và lực do tác dụng phản lực đơn vị lên kết cấu

cơ bản

Các bước thực hiện giải bài toán bằng phương pháp lực như sau:

• Xác định bậc tự do của kết cấu, chọn các phản lực và kết cấu cơ bản Việc xác định kết cấu cơ bản bằng cách bỏ đi các kết cấu thừa

• Các hệ số của [F], {δp}, [FD], {Dp}, [FA] và {Ap} được tính toán ở kết cấu

Cần lưu ý rằng {δo} là hằng số, do đó [F], {δp}, [FD] và {Dp} phụ thuộc vào thông

số hình học và diện tích mặt cắt ngang, [FA] và {Ap} phụ thuộc vào dạng hình học của kết cấu Do đó, nếu biến thiết kế là diện tích mặt cắt ngang thì [FA] và {Ap} sẽ

là hằng số trong suốt quá trình tối ưu

2.1.1.2 Phương pháp chuyển vị

Phương pháp chuyển vị là phương pháp thêm vào các ràng buộc để chóng lại

sự dịch chuyển tại vị trí liên kết Chuyển vị tại các vị trí liên kết được chọn làm biến phân tích, chúng được xác định bằng các điều kiện cân bằng Với việc xác định các chuyển vị tại liên kết đó, ta có thể xác định nội lực, ứng xuất, và chuyển vị tại vị trí liên kết khác bằng cách cộng tác dụng của ngoại lực và các chuyển vị đã biết Phương trình giải bài toán bằng phương pháp chuyền vị [9]:

(2.4) Với:

[K]:là ma trận cứng, phần tử Kij đại diện cho lực thứ i trong hệ tọa tọa độ gây

ra chuyển vị đơn vị thứ j Kij được tính trong kết cấu ngàm

{r}: biến vectơ chuyển vị

{RL}: vectơ lực tưng ứng với biến chuyển vị trong kết cấu cơ bản

{Ro}: vectơ ngoại lực tưng ứng với biến chuyển vị (thông thường {Ro}={0}) Tất cả các phần tử trong phương trình (2.4) tham khảo trong hệ tọa độ toàn cục của

hệ thống kết cấu Gọi vectơ {R}= {Ro}-{RL} thì phương trình (2.4) trở thành

[K]{r}={R} (2.5)

Vectơ biến chuyển vị {r} được tính từ việc giải hệ phương trình (2.5) Ma trận cứng [K] được xác định duy nhất từ kết cấu ban đầu Các chuyển vị khác {D} và nội lực {A} được xác định tử hệ phương trình sau

tác dụng lên kết cấu ngàm Các bước thực hiện khi giải bài toán kết cấu bằng phương pháp chuyển vị như sau :

• Xác định vị trí và hướng của chuyển vị trong liên kết

• Tính toán các hệ số của [K], {R}, {DL}, [KD], {AL} và [KA]

• Biến vectơ chuyển vị {r} được tìm từ hệ phương trình (2.5)

• Tính toán chuyển vị {D}, nội lực {A} tại các vị còn lại

Lưu ý rẳng các phần tử của [K], [KD], {DL}, [KA] là các hàm phụ thuộc vào dạng hình học và dện tích mặt cắt ngang Các phần tử của {R}, {AL} chỉ phụ thuộc vào dạng của kết cấu

2.1.2 Phân tích đàn hồi kết cấu liên tục

Tất cả phương pháp phân tích kết cấu về cơ bản đều được giải bằng phương trình vi phân từ các điều kiện cân bằng và thích hợp Lời giải thường giới hạn trong một số trường hợp khi lực phân bố, điều kiện biên…được mô tả bằng các phương trình toán học Nhưng đối với các kết cấu phức tạp, phương pháp số thường được sử dụng nhiều hơn, điển hình như phương pháp phần tử hữu hạn Trong thực tế, kết cấu liên tục như tấm phẳng, vỏ mỏng hay chi tiết khối thường được thay thế bởi các kết cấu cân bằng bao gồm các phần tử rời rạc hay phần tử hữu hạn [9]

Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, điều cần thiết đầu tiên là thay thế kết cấu liên tục bằng kết cấu rời rạc để có thể giải bài toán bằng phương pháp số

Các bước thực hiện việc rời rạc hóa như sau :

• Kết cấu được phân chia thành các phần tử hữu hạn như đường thẳng hoặc mặt phẳng

• Các phần tử được xem là liên kết tại các nút, phù hợp với điều kiện biên của phần tử Bậc tự do của nút phụ thuộc vào chuyển vị của nút trong kết cấu và được gọi là tham số chuyển vị nút

• Hàm chuyển vị với các tham số chuyển vị nút được chọn làm giới hạn chuyển vị cho mỗi phần tử Dựa trên hàm chuyển vị, ma trận cứng [K] được xác định từ mối quan hệ lực tại nút và chuyển vị tại nút, quá trình xác định trên dựa trên nguyên lý công ảo hoặc nguyên lý thế năng nhỏ nhất

Việc chọn một hàm chuyển vị tốt cũng rất quan trọng, vì nếu chọn sai sẽ dẫn đến kết quả phân tích sai Hàm chuyển vị phải có số ràng buộc chưa biết bằng với số bậc tự do của kết cấu và thể hiện đầy đủ trạng thái của các hệ số ứng suất và biến dạng Phương pháp này áp dụng đầu tiên cho bài toán ứng suất phẳng với phần tử tam giác

θxk

ωk

x z y i

j k

(b) (a)

Hình 2.1 phần tử tam giác 2D, (a) ứng suất phẳng, (b) phần tử chịu uốn

Xét phần tử hai chiều như hình 2.3, hàm chuyển vị được viết như sau

{f}=[P]{H} (2.8) Với

{f}: vectơ chuyển vị ( u, v: đối với tấm phẳng; u,v, ω: đối với tấm chịu uốn)

[P]: hàm theo hệ tọa độ x0y

{H}: vectơ các hệ số chưa biết

Gọi {r}e là vectơ chuyển vị nút phần tử, [C] ma trận tọa độ nút Ta có quan hệ giữa {r}e và [C] như sau

Thế phương trình (2.9) vào phương trình (2.8) ta có

{f}=[P][C]-1{r}e = [L]{r}e với [L]=[P][C]-1 (2.10) Vectơ biến dạng {ε}e (gồm biến dạng thường, biến dạng trượt, uốn hoặc xoắn) được biểu diễn:

{ε}e=[B]{r}e (2.11) Với [B]: ma trận tính biến dạng được xác định bằng đạo hàm của [L]

Vectơ ứng xuất phần tử {σ}e (gồm ứng suất trượt, moment uốn và xoắn, lực trượt…) được biểu diễn theo định luật Hooke

{σ}e = [D]({ε}e - {εo}e) +{σo}e (2.12) Với {εo}e ,{σo}e là biến dạng và ứng suất ban đầu của phần tử, {ε}e biến dạng của phần tử Thế phương trình (2.11) vào phương trình (2.12) ta có

{σ}e = [D][B]{r}e – [D]{εo}e) +{σo}e

hay {σ}e = [S]{r}e – [D]{εo}e) +{σo}e (2.13) trong đó [S]=[D][B] gọi là ma trận tính ứng suất phần tử

Gọi {Q}e là vectơ lực tập trung lên nút phần tử và {q} là lực phân bố trên diện tích của phần tử Ta viết phương trình tổng thế năng cho các phần tử, áp dụng nguyên lí tổng thế năng nhỏ nhất bằng không, ta có phương trình sau đây:

Gọi [K] là ma trân cứng kết của kết cấu, được xác định bằng cách lắp ráp các ma trận cứng phần tử lại với nhau, {r} là vectơ chuyển vị, {R} là vectơ tổng các lực tác dụng thì ta có phương trình sau

Xét bài toán tấm phẳng, đẳng hướng có độ dày h=1.0 như hình 2.2, cạnh dưới cùng được ngàm chặc, chuyển vị dọc theo đường đối xứng trục của chi tiết u=0 Hệ số Possion ν=0.25, modul đàn hồi E=1.0, lực phân bố tác dụng lên tấm phẳng q=1

Xác định phân bố ứng xuất trên tấm phẳng

Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để rời rạc hóa chi tiết, chỉ xét một nửa chi tiết bên phải Các chi tiết rời rạc có dạng phần tử tam giác, lực tác dụng qui về các đầu nút và tọa độ các nút trong hệ tọa độ biểu diễn ở hình 2.2b

{R}T={0.5, 0, 0, 1.0, 0, 0, 0, 0.5, 0, 0}

Xác định ma trận cứng phần tử [K]e=

Với các phần tử rời rạc là phần tử tam giác ta có: V

00

Trong đó: C1=E/(1-ν2) ; C2=ν ; C12=C1(1- C2)/2 ( ν là hệ số Possion =0.25)

Các hệ số của matrận [B] xác định bằng các tích phân ma trận [L] theo x và y

(c)

u=0 v=0

u=0 v=0

u=0 v=0

u=0 v=1.89

u=0.24 v=1.93 u=0.5 v=2.05

u=0.36 v=1.06

u=0.15 v=0.92

…Một số phương pháp phân tích tiếp theo sử dụng để biến đổi các ma trân trên thành các ma trận đơn giản, dễ áp dụng tính toán Tuy nhiên không có phương pháp nào là phù hợp cho tất cả các trường hợp, với mỗi bài toán cụ thể sẽ chọn một phương pháp cụ thể để giải, sao cho dễ áp dụng và thời gian tính toán là nhỏ nhất Các phương pháp như sau [9]:

• Phương pháp trực tiếp: cho lời giải chính xác và áp dụng cho các bài toán

có sự thay đổi nhỏ về kết cấu

• Phương pháp lặp: phù hợp cho bài toán có sự hiệu chỉnh nhỏ với một chi tiết lớn của kết cấu Vectơ chuyển vị gốc {r*} được xem là giá trị ban đầu cho giải thuật lặp để hiệu chỉnh hệ thống các phương trình

• Phương pháp xấp xỉ: áp dụng cho các bài toán kết cấu lớn với đòi hỏi không cao về độ chính xác Phương pháp này về cơ bản sử dụng chuỗi Taylor mở rộng và cho kết quả tác động tức thì đến các biến thiết kế

2.2 Phương pháp tiêu chuẩn tối ưu

Thiết kế tối ưu được quan tâm như một quá trình lặp mà mỗi chi kỳ lặp gồm hai bước như sau:

• Phân tích kết cấu cho thiết kế hiện tại

• Thiết kế lại, ở đây biến thiết kế được hiệu chỉnh để hàm mục tiêu đạt cực tiểu nhưng vẫn thỏa mãn các điểu kiện ràng buộc ban đầu

Tiêu chuẩn tối ưu thường được tham khảo như là phương pháp không trực tiếp Trong phương pháp này, một vài tiêu chuẩn quan hệ với ứng xử vật liệu hay kết cấu được định nghĩa và cho phép khi tiêu chuẩn được thỏa mãn thì điểm tối ưu được tìm ra Phương pháp này thường không tổng quát bằng phương pháp qui hoạch toán học và phụ thuộc vào những ứng xử đặc biệt của kết cấu, quá trình hội

tụ cũng không chắc chắn Các tiêu chuẩn tối ưu như ứng suất và chuyển vị với biến thiết kế là kích thước chi tiết sẽ được trình bày trong phần này của luận văn Ngoài

ra còn các tiêu chuẩn khác như độ bất ổn định, đáp ứng động, các ứng xử phi tuyến…[9]

2.2.1 Công thức toán tổng quát

Bài toán tối ưu kích thước chi tiết (ví dụ như diện tích mặt cắt ngang) thường

Trong đó, {C} là vectơ các hệ số đại diện cho khối lượng riêng và chiều dài các chi

tiết, {X} là biến thiết kế đại diện cho diện tích mặt cắt ngang Các ràng buộc trong

phương trình (2.18) có thể miêu tả như sau

{XL}-{X} ≤ 0 (điều kiện ràng buộc về kích thước) {r}-{rU} ≤ 0 (điều kiện ràng buộc về chuyển vị)

{σ}-{σU} ≤ 0 (điều kiện ràng buộc về ứng suất)

Áp dụng phương pháp tải trọng ảo để phân tích, chuyển vị {r} và {σ} có thể được biển diễn như sau

Từ kết quả trên cho ta hệ phương trình tối ưu hóa với các ràng buộc về tiêu chuẩn tối ưu như sau

000

Như đã trình bày ở phần trên, phương pháp tiêu chuần tối ưu lấy hàm Lagrange là

cơ sở toán học được viết lại như sau

Phương trình trên có J ràng buộc, điều kiện tối ưu phải thỏa mãn

0 i=1, … , n (2.21)

Theo điều kiện Kuhn-Tucker, nhân tử Lagrange λ thỏa mãn điều kiên sau

λ 0 với {λ} ≥ 0 Trong đó là vectơ gradient của F, là ma trận xác định các ràng buộc

2.2.2 Tiêu chuẩn giới hạn ứng suất

Tiêu chuẩn giới hạn ứng suất (FSD) cho rằng mỗi phần tử tối ưu kết cấu phải chịu ứng suất giới hạn dưới tác dụng của ít nhất một ngoại lực Nếu quá trình phân tích thể hiện một chi tiết vượt quá giới hạn ứng suất cho phép, thì quá trình hiệu chỉnh thiết kế sẽ tăng kích thước của chi tiết đó lên để giảm ứng suất Trong quá trình tối ưu theo tiêu chuẩn FSD không quan tâm đến giới hạn chuyển vị, nếu chi tiết nào được giới hạn về kích thước thì sẽ được đưa vào biến thiết kế để tính toán FSD có hàm mục tiêu là cực tiểu hóa trọng lượng kết cấu Tuy nhiên khi áp dụng điểu kiện tối ưu Kuhn-Tucker cho tiêu chuẩn này, một vài trường hợp không có kết quả hội tụ [9]

Áp dụng tiêu chuẩn trên có hai phương pháp:

• Phương pháp xấp xỉ bậc nhất

• Phương pháp xấp xỉ bậc không

2.2.2.1 Phương pháp xấp xỉ bậc nhất

Phương pháp này áp dụng chuỗi Taylor mở rộng cho vectơ ứng suất {σ}

trong chu kì thứ (k+1) tại điểm tối ưu Xk+1

Trong đó , là các giá trị tại điểm thiết kế thứ k là ma trận đạo

hàm bậc nhất tính tại điểm Xk Tại vòng lặp (k+1), mục tiêu tìm kiếm là ứng suất

sẽ cân bằng với {σU}, phương trình trên trờ thành

σh theo X i được xác định như sau

(2.24)Trong đó δih là hệ số Kronecker

1,  

0,  

Nếu kết cấu được xác định ở trạng thái tĩnh và xem Y i như là một biến thiết kế ta sẽ

có ∂A h /∂X i=0 và ∂Y i /∂X i =1, xét trường hợp (i=h) phương trình (2.23) viết cho vòng lặp thứ k như sau

Thế phương trình (2.24) vào phương trình (2.22), ta xác định được biến thiết kế tối

ưu tại vòng (k+1)

2.2.2.2 Phương pháp xấp xỉ bậc không

Phương pháp này sử dụng tỉ lệ ứng xuất, cho rằng ảnh hưởng của lực phân

bố trong kết cấu gây ra ứng suất cho một thành phần nào đó là không đáng kể Biến

thiết kế tại vòng lặp thứ (k+1) xác định như sau:

Phương pháp trên bao gồm chuỗi các chu kì phân tích mà kết quả của vòng lặp thứ

k được sử dụng để hiệu chỉnh kích thước (tăng hoặc giảm) của chi tiết nhằm đạt

được ứng suất giới hạn Để quá trình hội tụ nhanh chóng đạt được, ta có thể thêm

vào hệ số v trong phương trình (2.26)

v ớ i v > 1 Việc xác định hệ số v phụ thuộc vào quá trình thực nghiêm cho từng loại kết cấu

Tương tự cho phương pháp sử dụng tỉ lệ ứng suất, Venkayya đề suất giải

thuật lặp dựa trên tiêu chuẩn công biến dạng Tiêu chuẩn được phát biểu rằng: trong

quá trình thiết kế tối ưu, công biến dạng của mỗi phần tử sẽ tạo ra một hằng số tỉ lệ

giữa nó và công hữu ích Công biến dạng hữu ích được định nghĩa là tổng năng

lượng biến dạng lưu trữ, nếu ứng suất của mỗi phần tử nằm trong giới hạn ứng suất

thông thường Ứng suất giới hạn thông thường có thể khác với ứng suất giới hạn

thực tế, nhưng đảm bảo không vực quá ứng suất giới hạn thực tế là được

Phương trình mô tả công hữu ích cho phần tử thứ i chỉ chịu lực dọc trục:

Trong đó , là ứng suất và biến dạng giới hạn thông thường, là chiều dài các

phần tử, E là modul đàn hồi, là diện tích mặt cắt ngang Nếu gọi , lần lượt là

lực dọc trục và biến dạng tương ứng của phần tử, thì ta có phương trình mô tả công

2.2.3 Tiêu chuẩn giới hạn chuyển vị

Tiêu chuẩn giới hạn chuyển vị cho rằng chuyển vị tại một vị trí trong kết cấu tối ưu được cân bằng với chuyển vị cho phép [9]

2.2.3.1 Tiêu chuẩn ràng buộc về chuyển vị

Xét kết cấu với một điều kiện tải trọng đơn, áp dụng tiêu chuẩn tối ưu

chuyển vị tại vị trí tối ưu r=r U, hệ phương trình (2.20) trở thành

Về tổng quát, biến thiết kế trong kết cấu được chia làm hai nhóm: biến bị động và chủ động Một biến thiết kế được xem là bị động khi giá trị của nó được xác định

bằng các phương pháp như giới hạn kích thước, giới hạn ứng suất hoặc phương

pháp nào đó khác với ràng buộc chuyển vị Xét trong một kết cấu có I biết thiết kế chủ động (I ≤ n), kết cấu có chuyển vị ban đầu r0 thì hệ ràng buộc sẽ được miêu tả như sau

Từ phương trình trên ta xác định được √λ ∑ , thế vào phương trình

(2.29) ta xác định X h

/ ∑ h= 1,…, I Các công thức trên đang xét bài toán với một ràng buộc, khi ta xét bài toán có J ràng buộc và I biến thiết kế chủ động, hệ phương trình cho bài toán tối ưu như sau

Một phương pháp khác sử dụng tiêu chuẩn tối ưu cho các ràng buộc chuyển

vị có thể kể đến là phương pháp ma trận chuyển vị Áp dụng nguyên lý tải trọng ảo, chuyển vị rj được biểu diễn như sau

(2.31)

Với là vectơ tải trọng ảo có giá trị đơn vị tại vị trí thứ j và bằng không tại các

vị trí khác, {r} là vectơ chuyển vị tương ứng với tải trọng thực tế {R} Vectơ chuyển vị khả dĩ tương ứng với tại trọng ảo

[K] là ma trận cứng kết cấu, thế vào phương trình (2.31) ta có

Với {R} là vectơ ngoại lực tác dụng Trong kết cấu thông thường, {R} độc lập với

với biến thiết kế {X i} nên ∂R/∂ Xi =0 , phương trình (2.33) trở thành

Khi [K] h là hàm tuyến tính với X h thì , phương trình trên được viết lại như sau

Nếu số ràng buộc là duy nhất J=1, hệ số λ ∑ 1 thì X h được xác định

∑ h= 1, …, I (2.36)

2.3 Phương pháp qui hoạch toán học

2.3.1 Qui hoạch tuyến tính

Phương pháp qui hoạch tuyến tính là một phương pháp qui hoạch toán học

cơ bản, tất cả các ràng buộc và hàm mục tiêu được thể hiện bằng các phương trình tuyến tính Ưu điểm của phương pháp khi giải bài toán tối ưu kết cấu [2], [9]:

• Nghiệm tối ưu đạt được ở dạng toàn cục sau vài lẩn lặp, không phải là dạng tối ưu cục bộ

• Thích hợp cho việc lập trình tính toán bằng máy tính, thời gian giải bài toán với số biến và ràng buộc lớn có thể chấp nhận được

• Dữ liệu đầu vào đơn giản và chỉ nhập vào các biến ràng buộc khác không

• Một số bài toán phi tuyến thực tế thường được xấp xỉ bằng các phương trình tuyến tính và có thể giải bằng giải thuật qui hoạch tuyến tính

Công thức tổng quát cho bài toán qui hoạch tuyến tính

∑   , ,   i= 1, … , m

  0 j= 1 … , n

Trong đó aij, bi, Cj là các hệ số, {X}T={X1,…, Xn) là vectơ biến thiết kế

Qui hoạch tuyến tính bao gồm 3 phương pháp chính

• Phương pháp đồ thị: phù hợp cho bài toán 2 biến

• Phương pháp đơn hình

• Qui hoạch tuyến tính nguyên

2.3.1.1 Phương pháp đơn hình

Phương pháp đơn hình do nhà toán học Dantzig.G.B đưa ra vào năm 1947

Nội dung phương pháp này là mở rộng của phương pháp đồ thị, đối với bài toán n

biến {x1, x2 …xn}, với m ràng buộc Phương pháp đơn hình có hai cách giải: trực tiếp và lập bản Tuy nhiên cách giải lập bảng tổng quát hơn vì có thể thực hiện đối

với các trường hợp dấu của ràng buộc khác nhau (≤ , =, ≥ ) [2]

Trường hợp tổng quát của bài toán:

Biến đổi các ràng buộc và hàm mục tiêu

• Đối với các ràng buộc (2.37a), thêm biến bù xn+i ≥ 0

• Đối với các ràng buộc (2.37b), thêm biến giả tạo xn+i ≥ 0

• Đối với các ràng buộc (2.37c), thêm biến giả tạo và biến bù

Biến giả tạo ứng với ràng buộc (a) được đánh số từ n+1 đến n+m 1 Biến giả tạo ứng

với ràng buộc (2.37b), (2.37c) được đánh số từ n+m 1 +1 đến n+m 1 + m 2 Trong hàm mục tiêu, các hệ số ứng với biến bù cj=0, các hệ số ứng với biến giả tạo cj có giá trị

cj=M=max{ , | |, | |

Các bước thực hiện lập bảng đơn hình như sau:

• Đưa hàm mục tiêu về dạng ∑ 0 với các biến đệm cj

• Lập bảng gồm m+1 hàng và n+m+2 cột Trong đó tên các biến x1, x2 được ghi ở hàng trên cùng, cột cuối cùng ghi các giá trị bi (tương ứng các phương trình ràng buộc theo hàng )

• Xác định các phần tử xoay a sp (s là hàng xoay, p là cột xoay) Trên hàng Z chọn cột có giá trị dương lớn nhất, trên cột đó chọn phần tử xoay (a sp) có

tỉ số lớn nhất giữa phần tử đó và bi

• Lập bảng mới bằng cách thay tên biến phụ trên dòng xoay s thành X p Tạo

hàng chính bằng cách chia hàng s ở bảng cũ cho a sp Các phần tử ở hàng khác được xác định theo công thức:

• Tiếp tục quá trình lập bảng tiếp theo cho đến khi các hệ số của hàng Z đều

bé hơn hoặc bằng 0 Cột cuối cùng bi cho ta các giá trị của biến tối ưu và giá trị hảm Zmax

Khuyết điểm khi giải bài toán bằng phương pháp đơn hình là số vòng lặp không xác định được, với bài toán nhiều biến thì quá trình tạo bảng đơn hình mới mất nhiều thời gian và dễ nhầm lẫn các hệ số

2.3.1.2 Qui hoạch tuyến tính nguyên

Bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên còn gọi là bài toán qui hoạch rời rạc, trong đó các biến yêu cầu là các số nguyên Thực tế tính toán tối ưu kết cấu, biến nguyên có thể là số thanh dàn, thanh dầm, số dây cáp hay chiều dày của tấm mỏng , đường kính ống theo tiêu chuẩn…

Dạng bài toán như sau:

0  à  ê Với bài toán có giá trị biến lớn, phương pháp xấp xỉ liên tục có thể có hiệu quả nhưng mặt khác phương pháp này có thể không đạt được nghiệm tối ưu thực Xét ví

dụ như hình 2.3, nếu giải bài toán liên tục bằng phương pháp đồ thị sẽ cho nghiệm tối ưu tại điểm Z1 , giải theo phương pháp xấp xỉ sẽ có giá trị tối ưu tại điểm Z3 (3,2) nhưng nghiệm tối ưu nguyên thực là điểm Z2 (4,1) Trong bài toán hai chiều, chúng

ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra nhiều điểm gần điểm tối ưu liên tục để tìm

ra nghiệm tối ưu thực, nhưng đối với bài toán có nhiếu biến trở lên thì phương pháp này không thực hiện được

Một số phương pháp được đề suất để giải bài toán trên Phương pháp đầu tiên đề suất cho rằng giá trị biến là liên tục Nếu tại một điểm tối ưu nào đó có giá trị biến

là không nguyên thì ta thêm vào các ràng buộc sao cho điểm tối ưu đó là không khả thi Quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi tìm được nghiệm tối ưu nguyên Ngoài ra còn có một số phương pháp khác như phương pháp ‘branch and bound’, phương pháp R.E Gomory …[9]

1 2 3 4

X 2

X 1

Z 3 Z 2 Z 1 (Z1>Z 2 )

Hình 2.3

2.3.2 Qui hoạch phi tuyến

Bài toán qui hoạch phi tuyến tổng quát được miêu tả như sau:

0      1, … , (2.38)

0      1, … , (2.39) Với X={X1, , Xn} là vectơ biến thiết kế, hàm mục tiêu Z và các ràng buộc ,

được biểu diễn là hàm phi tuyến theo biến X Bài toán phi tuyến được chia

ra làm hai loai: phi tuyến có ràng buộc và phi tuyến không ràng buộc Tuy nhiên với

bài toán tối ưu hóa kết cấu thì luôn luôn có các quan hệ ràng buộc về ứng xuất, chuyển vị, do đó trong phần này của luận văn chỉ giới thiệu các phương pháp giải bài toán phi tuyến có ràng buộc Các phương pháp giải cho bài toán qui hoạch phi tuyến không ràng buộc có thể tham khảo trong phần tài liệu tham khảo [2], [9]

Điểm tối ưu thực

Điểm tối ưu với biến liên tục Điểm tối ưu

nguyên xắp xỉ

2.3.2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange

Phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp thường được sử dụng nhiều nhất để giải bài toán tối ưu Hàm Lagrange đối với bài toán có ràng buộc như phương trình (2.38), (2.39) như sau [2]

(λi là nhân tử Lagrange)

Với bài toán qui hoạch lồi, hàm mục tiêu F(X) và ràng buộc gi(X) là khả vi thì vectơ

X* là nghiệm của bài toán nếu thỏa mãn điều kiện

Hệ (2.40), (2.41) được gọi là điều kiện Kuhn-Tucker

Các trường hợp riêng cho bài toán

• Với bài toán không yêu cầu X ≥ 0, gi(X) là tuyến tính thì điều kiện trên chỉ

Gradient của hàm mục tiêu: , , … ,  

Các trường hợp xảy ra cho bài toán phi tuyến

• Hàm mục tiêu là tuyến tính, hệ ràng buộc là hàm phi tuyến

• Hàm mục tiêu là phi tuyến, hệ ràng buộc là hàm tuyến tính

• Hàm mục tiêu và hệ ràng buộc là hàm phi tuyến

Phương pháp Gradient là một phương pháp lặp, quá trình tính được thực hiện theo công thức [2]:

(2.42)

Trong đó k > 0 biều thị bước lặp thứ k, d > 0 là hệ số xác định bước tiến theo hướng

Gradient, là vectơ gradient của hàm mục tiêu tại điểm {Xk} Phương pháp Gradient luôn hội tụ, nếu {Xk} không hội tụ thì ta lấy giá trị d nhỏ đi, khi d đủ nhỏ

thì {Xk} sẽ hội tụ về điểm tối ưu

Xét trường hợp bài toán tối ưu có hàm mục tiêu là phi tuyến, hệ ràng buộc là hàm tuyến tính

Phương pháp giải thực hiện theo các bước sau:

• Gọi X0, X1 là 2 điểm thuộc miền D tương ứng với các giá trị hàm mục tiêu

là Z0, Z1 (Z1>Z0)

• Xác định bước tiến d của vectơ gradient từ phương trình (2.42) Điều kiện

để chọn d cần thỏa mãn X1 có các biến không âm và thuộc miền D

,  ;  , (2.43) Điều kiện X1 thuộc miền D:

TF

Để thỏa mãn 2 điều kiện trên, min ,

• Xác định vectơ di chuyển {r} mới: việc xác định vectơ {r} khi một điểm

Xk+1 nào đó không thuộc miềm D, thì tại bước lặp thứ k ta phải thay đồi

hướng di chuyển của hàm mục tiêu Khi đó ta sẽ tìm {r} từ các ràng buộc sau:

Quá trình tối ưu đạt được khi 0

Phương pháp Gradient nếu giải cho bài toán tuyến tính (hàm mục tiêu và hệ ràng buộc là tuyến tính) thì cách giải tương tự như bài toán phi tuyến nhưng vectơ gradient được xác định: , , … , với cj là các hệ số của hàm mục tiêu ∑

2.3.2.3 Phương pháp tuyến tính hóa

Phương pháp này làm đơn giản hóa bài toán qui hoạch phi tuyến, tìm cách đưa về dạng bài toán tuyến tính tương đương với sai số chấp nhận được Việc tuyến tính hóa có thể được thực hiện bằng cách khai triển các hàm phi tuyến trong bài toán ban đầu theo chuỗi Taylor, giữ lại các số hạng tuyến tính

Phương pháp này được trình bày như sau [2]

Hàm mục tiêu: Z = F(X) = F(x1, x2,…, xn) → max

Hệ ràng buộc: gi(x1, x2,…, xn) ≤ 0 ; j= 1÷ m

xi ≥ 0 ; i= 1÷ n Giả thiết F(X) và gi(X) đều là các hàm phi tuyến, khả vi trong và ngoài miền D Chọn trước một điểm {X0} = {x01, x02, …, xn} Khai triển các hàm F(X) và gi(X) tại lân cận {X0}, đưa bài toán phi tuyến trên về bài toán tuyến tính như sau

00

      (2.46)

Giải bài toán (2.46) bằng các phương pháp qui hoạch tuyến tính như phương pháp

đồ thị, phương pháp đơn hình…, ta tìm được nghiệm tối ưu {X1*} Thay {X1*} vào {X0} để có kết quả tốt hơn, quá trình lặp tiếp tục cho đến khi {Xn*}và {Xn+1*} thỏa mãn điều kiện sai số ban đầu Sau khi tìm được nghiệm tối ưu {Xn*}, thay vào hàm mục tiêu để xác định giá trị cực đại Zmax = F(Xn*)

Bài toán tối ưu giải bằng phương pháp chuỗi tuyến tính hóa Taylor phụ thuộc rất nhiều vào giá trị ban đầu {X0} Nếu chọn biến {X0} tốt thì bài toán sẽ nhanh chóng đạt được nghiệm tối ưu, mặt khác nếu chọn biến xuất phát {X0} không tốt, bài toán sẽ cho nghiệm tối ưu sai và phải giải lại bằng một biến xuất phát {X0} khác Vì vậy, trong các bài toán tối ưu kết cấu có thể chọn nghiệm xuất phát là phương án thiết kế thông thường, từ đó tối ưu hóa để có phương án tốt hơn

2.3.3 Các phương pháp qui hoạch toán học khác

Ngoài các phương pháp qui hoạch tuyến tính và phi tuyến như trên, còn có

một số nhóm các phương pháp qui hoạch khác như qui hoạch hình học, qui hoạch động và qui hoạch ngẫu nhiên …được áp dụng cho từng loại bài toán tối ưu cụ thể

khác nhau Trong giới hạn luận văn chỉ trình bày khái quát phương pháp qui hoạch hình học và qui hoạch động, các phương pháp khác có thể xem trong tài liệu tham khảo [2], [9]

2.3.3.1 Phương pháp qui hoạch hình học

Qui hoạch hình học là một phương pháp qui hoạch toán, được Duffin, Peterson và Zener phát triển Phương pháp này áp dụng để giải bài toán có dạng đặc biệt sau đây [2]:

• Hàm mục tiêu và các ràng buộc là các đa thức, mỗi số hạng của đa thức là tích của các biến mang số mũ, các hệ số của đa thức là dương Do đặc điểm hệ số dương nên bài toán thuộc dạng qui hoạch lồi, vì vậy cực tiểu địa phương đồng nhầt với cực tiểu chung

• Dạng bài toán phức tạp nên có thể biền đổi về bài toán tương đương đơn giản hơn.Nghiệm tối ưu tìm được thông qua việc giải một hệ phương trình đại số tuyến tính

2.3.3.2 Qui hoạch động

Lý thuyết qui hoạch động do nhà toán học người Mỹ Richard Bellman đề xuất và phát triển trong những năm 1950 Phương pháp giải dựa trên nguyên tắc có thể chia quá trình giải bài toán tối ưu thành nhiều giai đoạn liên tiếp Giai đoạn sau chứa các thông tin đã được xử lý tối ưu ở giai đoạn trước đó Phương án tối ưu ở giai đoạn cuối cùng chính là phương án tối ưu chung cần tìm Dạng bài toán này thường gặp trong thiết kế tối ưu một số dạng kết cấu như kết cấu dàn, có xét đến từng thanh riêng rẻ hoặc từng nhóm thanh

Theo phương pháp giải này, một bài toán có n biến được chuyển thành một dãy n bài toán con một biến, dễ dàng tìm ra được nghiệm tối ưu Tùy thuộc vào

dạng của hàm mục tiêu và các ràng buộc, trong các bước khác nhau có thể sử dụng một phương pháp hay phối hợp một số phương pháp khác Do đó bài toán qui hoạch động rất đa dạng, tùy thuộc vào người thiết kế sử dụng kết hợp như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất và nhanh nhất [2]

2.4 Lựa chọn phương pháp giải bài toán tối ưu

Việc lựa chọn phương pháp nào để giải cho bài toán tối ưu thực sự rất khó khăn, nếu chọn phương pháp sai sẽ làm mất thời gian và công sức cho bản thân người thiết kế, đôi khi còn đưa ra những kết luận sai lầm trong thiết kế Về cơ bản,

để chọn phương pháp giải thích hợp thông thường xác định theo 4 bước sau [2]:

• Dạng bài toán: cần xem xét bài toán thuộc dạng nào Bài toán có thể là dạng tuyến tính hay phi tuyến dựa vào hàm mục tiêu và ràng buộc để phân loại Số lượng ẩn nhiều hay ít, có tính ngẫu nhiên hay xác định và các tham số khác của bài toán Bài toán có hay không có ràng buộc, nếu ràng buộc phức tạp thì đưa bài toán về qui hoạch động, sử dụng phương pháp lagrange …

• Khả năng thực hiện: xem xét khả năng sử dụng các chương trình lập trình

có sẵn hay phải lập trình thêm phần nào Khả năng viết chương trình giải thuật toán…Độ khó khi lấy đạo hàm của các hàm mục tiêu và hệ ràng

buộc Đa phần bài toán có hàm mục tiêu là tuyến tính còn hệ ràng buộc dạng phi tuyến ở mẫu số

• Yêu cầu với kết quả thu được: mức độ chính xác yêu cầu đối với nghiệm tối ưu phụ thuộc vào ý nghĩa vật lý của các điều kiện ràng buộc như độ bất

ổn định, độ bền, chuyển vị…Ngoài ra còn phải quan tâm đến độ chính xác của phương pháp được chọn, nên sử dụng thêm một số phương pháp khác

để tham khảo kết quả Sau khi tính toán nên so sánh kết quả tối ưu với kết quả thiết kế thông thường để có những điều chỉnh phù hợp với thực tế

• Dạng kết cấu và phương pháp thường sử dụng: các dạng kết cấu phổ biến như dàn, dầm, khung hay tấm phẳng đều có thể tối ưu hóa để giảm tối đa trọng lượng Tuy nhiên hàm mục tiêu thường được chọn chung là trọng lượng hoặc thể tích kết cấu, nhưng do dạng biến thiết kế của từng loại khác nhau nên phương pháp chọn để giải cũng khác nhau Với bài toán dàn thì thường áp dụng phương pháp tiêu chuẩn tối ưu hoặc phương pháp trực tiếp do biến thiết kế đơn giản (1/Ai) Với bài toán khung có thể giải bằng phương pháp tuyến tính hóa các ràng buộc, đưa bài toán về qui hoạch tuyến tính để giải bằng phương pháp đơn hình Với kết cầu phức tạp

có thể sử dụng các phần mềm tính toán như Mathematica hoặc Maple để

giải, tuy nhiên đòi hỏi người thiết kế phải có khả năng chuyên môn về lập trình

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN TỐI ƯU CHO HỆ THANH DÀN VÀ KHUNG PHẲNG

3.1 Phân tích kết cấu khung sườn

Kết cấu khung sườn trên hình 3.1 bao gồm 6 chi tiết chính, các chi tiết được liên kết với nhau bằng các mối hàn Tại các vị trí hàn, mối hàn phải ngấu đều, đủ

kích thước, không khuyết tật

• Chi tiết 1 (ống trước): tiết diện hình tròn, có tác dụng để liện kết với bộ

giảm xóc trước

• Chi tiết 4 (ống chính): tiết diện hình tròn, là chi tiết chịu lực chính trong kết cấu khung sườn và sử dụng để lắp ráp với động cơ xe

• Chi tiết 2 và 3 dạng tấm dùng để gia cố liên kết giữa chi tiết số 1 và số 4

• Chi tiết 5: dạng tấm, gồm 2 chi tiết đối xứng bên trái và phải có tác dụng lện kết giữa phần trước và sau khung sườn và tạo không gian cho khoang chứa đồ

• Chi tiết 6 (ống sau): tiết diện hình chữ nhật, gồm 2 chi tiết đối xứng bên trái và phải, có tác dụng chịu lực cho phần sau khung sườn và lắp ráp với

Với kết cấu phức tạp bao gồm sự liên kết của nhiều loại chi tiết như trên, để giải bài toán tối ưu khung sườn ta cần phân tích riêng biệt các chi tiết ống có tiết diện tròn và các chi tiết ống có tiết diện hình chữ nhật Cụ thể như sau

• Với các chi tiết ống có tiết diện tròn ta sẽ đơn giản hóa bằng các thanh dàn

có cùng tiết diện, phân tích và giải bài toán tối ưu cho hệ thanh dàn

• Với các chi tiết có tiết diện hình chữ nhật ta sẽ đơn giản hóa bằng các khung dầm có tiết diện đặc (A=bxh), phân tích và giải bài toán tối ưu cho

hệ khung

Với kết quả đạt được từ hai bài toán trên, ta sẽ áp dụng để giải cho bài toán kết cấu khung sườn ở chương 4

3.2 Hệ thanh dàn

3.2.1 Phân tích phần tử thanh theo phương pháp PTHH

Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục [1]

Xét một phần tử thanh có hai điểm nút chịu biến dạng dọc trục, chịu tải trọng

phân bố dọc trục p(x) như hình 3.2 Phần tử thanh trên có hai bậc tự do là hai chuyển vị tại hai đầu của thanh Gọi u(x) là hàm chuyển vị của phần tử có thể xấp xỉ

Hình 3.2-Phần tử thanh chịu tải trọng phân bố dọc trục

với: véctơ chuyển vị:

ma trận hàm dạng: 1

Để xác định các chuyển vị ta áp dụng phương trình (2.16)

với A: diện tích mặt cắt ngang của phần tử

Vectơ tải {P}e được xác định như sau:

với α: hệ số giãn nở vì nhiệt của phần tử

ΔT: độ biến thiên nhiệt độ

Phần tử thanh trong dàn phẳng [1]

Trong dàn phẳng, khi tính theo PP PTHH, người ta xem mỗi mắc dàn là một đỉnh nút, mỗi thanh dàn là một phần tử chịu biến dạng dọc trục Xét phần tử thanh

bất kì mà nút 1 và 2 tương ứng nút thứ i và j theo chỉ số tổng thể Các nút này có

các chuyển vị theo phương x và y là (q’2i-1, q’2i) và (q’2j-1, q’2j), các chuyển vị tương ứng theo phương dọc trục thanh sẽ là q1 và q2

Hình 3.3-Phần tử thanh trong giàn phẳng

Từ hình 3.3 ta dễ dàng lập được mối quan hệ giữa chuyển vị theo phương dọc trục

và phương x,y

    (3.2)

Trong đó: l ij , m ij là cosin chỉ phương của trục phần tử (trục x’) đối với hệ trục tổng thể x’y’ Từ phương trình (3.2) có thể viết lại như sau:

⇒      

đx

        3.3

với Le là chiều dài phần tử

Nếu ta gọi α là góc nghiêng giữa trục phần tử (tính từ phần tử đầu i đến phần tử cuối j) đối với trục x’ của hệ tổng thể x’y’ thì lij, mij sẽ được tính như sau