Bài giảng Đại số tuyến tính: Định thức của ma trận - Lê Xuân Thanh

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột) 4 Một số tính chất sâu hơn của định thức 5 Một số ứng dụng của định thức. Tính ma trận nghịch đảo[r]

Định thức của ma trận

Lê Xuân Thanh

Nội dung

1 Giới thiệu khái niệm định thức

Phép thế

Định nghĩa định thức ma trận

2 Các tính chất cơ bản của định thức

Đa tuyến tính

Thay phiên

Chuẩn hóa

3 Một số phương pháp tính định thức

Khai triển Laplace

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)

4 Một số tính chất sâu hơn của định thức

5 Một số ứng dụng của định thức

Tính ma trận nghịch đảo

Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

6 Thảo luận

Nội dung

1 Giới thiệu khái niệm định thức

Phép thế

Định nghĩa định thức ma trận

2 Các tính chất cơ bản của định thức

Đa tuyến tính

Thay phiên

Chuẩn hóa

3 Một số phương pháp tính định thức

Khai triển Laplace

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)

4 Một số tính chất sâu hơn của định thức

5 Một số ứng dụng của định thức

Tính ma trận nghịch đảo

Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

6 Thảo luận

Nguồn gốc khái niệm định thức

Khái niệm định thức nảy sinh từ việc nhận diện các dạng đặc biệt của hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ: Hệ phương trình tuyến tính

a11x1 + a12x2= b1

a21x1 + a22x2= b2

có nghiệm duy nhất

x1= b1a22 − b2a12

a11a22 − a21a12 , x2=

b2a11 − b1a21 a11a22 − a21a12 với điều kiện a11a22− a21a12 ̸= 0 Giá trị

a11a22 − a21a12

được gọi là định thức của ma trận hệ số

[

a11 a12 a21 a22

]

.

Nội dung

1 Giới thiệu khái niệm định thức

Phép thế

Định nghĩa định thức ma trận

2 Các tính chất cơ bản của định thức

Đa tuyến tính

Thay phiên

Chuẩn hóa

3 Một số phương pháp tính định thức

Khai triển Laplace

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)

4 Một số tính chất sâu hơn của định thức

5 Một số ứng dụng của định thức

Tính ma trận nghịch đảo

Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

6 Thảo luận

Phép thế

Một phép thế bậc n là một song ánh

Ví dụ: Ánh xạ σ ∗:{1, 2, 3} → {1, 2, 3} xác định bởi

σ ∗ (1) = 2, σ ∗ (2) = 3, σ ∗(3) = 1

là một phép thế bậc 3.

Phép thế σ bậc n thường được biểu thị dưới dạng

σ =

(

)

.

Ví dụ:

Phép thế σ ∗ nêu trên có biểu thị σ ∗=

(

)

Ánh xạ đồng nhất là phép thế id =

(

1 2 n

1 2 n

)

.

Tập hợp các phép thế

Tập hợp tất cả các phép thế bậc n được ký hiệu bởi S n

Ví dụ: S3 có 6 phép thế:

σ1=

(

)

, σ2=

(

1 2 3

1 3 2

)

, σ3=

(

1 2 3

2 1 3

)

,

σ4=

(

2 3 1

)

, σ5=

(

)

, σ6=

(

1 2 3

3 2 1

)

.

Nhận xét: S n có n! phần tử.

Phép thế sơ cấp

Phép đổi chỗ hai phần tử khác nhau i, j ∈ {1, 2, , n} và giữ

nguyên các phần tử khác được gọi là một phép thế sơ cấp.

Ký hiệu:

σ =

(

1 i j n

1 j i n

)

= (i, j).

Ví dụ:

σ6=

(

)

= (1, 3).

Tích các phép thế

Tích τ σ của hai phép thế τ, σ ∈ S n là ánh xạ hợp thành

τ σ =

(

)

.

Chú ý:

Khi viết τ σ, phép thế σ tác động trước.

Có thể mở rộng cho tích của nhiều phép thế.

Nếu τ σ = id, thì τ được gọi là nghịch đảo của σ, ký hiệu: σ −1.

Ví dụ:

Với σ2 =

(

1 2 3

1 3 2

)

và σ5 =

(

)

ta có

σ5σ2=

(

)

(

1 2 3

2 1 3

)

.

Nghịch đảo của σ5 =

(

)

là σ4 =

(

1 2 3

2 3 1

)

Dấu của phép thế

Dấu của phép thế σ ∈ S n là số sau đây

sgn(σ) =∏

i ̸=j

Ví dụ: Với phép thế σ ∗=

(

)

ta có

sgn(σ ∗) = σ

∗(1)− σ ∗(2)

1− 2

σ ∗(2)− σ ∗(3)

2− 3

σ ∗(1)− σ ∗(3)

1− 3

= 2− 3

1− 2

3− 1

2− 3

2− 1

1− 3 = 1.

Nhận xét:

sgn(σ) ∈ {+1, −1} ∀σ ∈ S n.

sgn(id) = 1.

Phép thế sơ cấp (i, j) có dấu bằng -1.

sgn(τ σ) = sgn(τ )sgn(σ) ∀τ, σ ∈ S n.

sgn(σ −1 ) = sgn(σ).

Nội dung

1 Giới thiệu khái niệm định thức

Phép thế

Định nghĩa định thức ma trận

2 Các tính chất cơ bản của định thức

Đa tuyến tính

Thay phiên

Chuẩn hóa

3 Một số phương pháp tính định thức

Khai triển Laplace

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)

4 Một số tính chất sâu hơn của định thức

5 Một số ứng dụng của định thức

Tính ma trận nghịch đảo

Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

6 Thảo luận

Định nghĩa định thức ma trận

detA = |A| = ∑

σ ∈S n sgn(σ)a σ(1)1 a σ(2)2 a σ(n)n

Chú ý:

Tổng trên có n! số hạng.

Khái niệm định thức chỉ áp dụng với các ma trận vuông.

Định thức của ma trận cỡ n × n được gọi là định thức cấp n.

Viết

a11 a12 a1n a21 a22 a2n

a n1 a n2 a nn

thay cho







a11 a12 a1n a21 a22 a2n

a n1 a n2 a nn







.

Ví dụ

det(a ij)n ×n = ∑

σ ∈S n sgn(σ)a σ(1)1 a σ(2)2 a σ(n)n

Định thức cấp 1:

det(a) = a ∀a ∈ R.

Định thức cấp 2:

a11 a12

= a11 a21

= a11a22− a21a12.

Định thức cấp 3:

=

= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32

Ví dụ số

Bài tập:

Tính

51 −23

Tính

3 −1 2

.

Tính

.

Hệ quả: định thức của ma trận chuyển vị

Với A = (a ij)n ×n ta có detA t = detA.

Chứng minh: Theo định nghĩa định thức, ta có

detA t= ∑

σ ∈S n

sgn(σ)a 1σ(1)a2σ(2) a nσ(n)

Xét σ ∈ S n bất kỳ Nếu k = σ(j), thì j = σ −1 (k) và a jσ(j) = a σ −1 (k)k.

Do đó

a1σ(1)a2σ(2) a nσ(n) = a σ −1(1)1a σ −1(2)2 a σ −1 (n)n ∀ σ ∈ S n Hơn nữa, ta có sgn(σ −1 ) = sgn(σ) Do đó

detA t= ∑

σ −1 ∈S n

sgn(σ −1 )a σ −1(1)1a σ −1(2)2 a σ −1 (n)n

= detA.

Nội dung

1 Giới thiệu khái niệm định thức

Phép thế

Định nghĩa định thức ma trận

2 Các tính chất cơ bản của định thức

Đa tuyến tính

Thay phiên

Chuẩn hóa

3 Một số phương pháp tính định thức

Khai triển Laplace

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)

4 Một số tính chất sâu hơn của định thức

5 Một số ứng dụng của định thức

Tính ma trận nghịch đảo

Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

6 Thảo luận

Định thức: hàm của các vec-tơ cột

Xét ma trận vuông cấp n:

A =



















.

Các vec-tơ cột của ma trận A lần lượt là:



















, α2=





































.

Ta có thể coi detA như một hàm của các vec-tơ cột của A:

detA = det(α1, α2, , α n ).

Nội dung

1 Giới thiệu khái niệm định thức

Phép thế

Định nghĩa định thức ma trận

2 Các tính chất cơ bản của định thức

Đa tuyến tính

Thay phiên

Chuẩn hóa

3 Một số phương pháp tính định thức

Khai triển Laplace

Biến đổi sơ cấp theo hàng (cột)

4 Một số tính chất sâu hơn của định thức

5 Một số ứng dụng của định thức

Tính ma trận nghịch đảo

Phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính

6 Thảo luận

Tính chất đa tuyến tính của định thức

Định thức ma trận là một hàm tuyến tính với mỗi cột của nó (khi cố định các cột khác)

det(α1, , aα j + bβ j , , α n)

=a det(α1, , α j , , α n) +b det(α1, , β j , , α n ).

Ví dụ minh họa:

−24 =

4 −4 2

5 −5 4

= (−1)

+ 4

= (−1)0 + 4 (−6)

=−24

Chứng minh tính chất đa tuyến tính của định thức

Ký hiệu

α j=



a1j .

a nj





 , β j=



b1j .

b nj







Ta có

det(α1, , aα j + bβ j , , α n)

σ ∈S n

sgn(σ)aσ(1)1 (aa σ(j)j + bb σ(j)j) a σ(n)n

=a∑

σ ∈S n

sgn(σ)aσ(1)1 a σ(j)j a σ(n)n+b∑

σ ∈S n

sgn(σ)aσ(1)1 b σ(j)j a σ(n)n

=a det(α1, ,α j , , α n) + b det(α1, ,β j , , α n).

thay cho







a11 a12 a1n a21 a22 a2n...

a11 a12 a1n a21 a22 a2n

a n1 a n2 a nn... a22 a2n

a n1 a n2 a nn







.