Tích vô hướng Euclid trên R n Một số khái niệm. Nội dung[r]
Trang 1Không gian vec-tơ với tích vô hướng
Lê Xuân Thanh
Trang 2Nội dung
1 Tích vô hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm
Các tính chất
2 Không gian vec-tơ với tích vô hướng
Khái niệm
Phép chiếu trực giao
Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn
Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Trang 3Tích vô hướng Euclid trên R Một số khái niệm Nội dung
1 Tích vô hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm
Các tính chất
Khái niệm
Phép chiếu trực giao
Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn
Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Trang 4Tích vô hướng Euclid trên R Một số khái niệm Tích vô hướng Euclid trên mặt phẳng R2
Cho u = (u1, u2) và v = (v1, v2) trênR2
Tích vô hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi
u· v := u1v1 + u2v2.
Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi
∥u∥ :=√u2+ u2 (=√
u· u).
Góc θ ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi
cos θ := u1v1 + u2v2
√
u2+ u2√
v2+ v2
(
= u· v
∥u∥∥v∥
)
.
Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu u · v = 0 Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi
d(u, v) :=
√
(u1− v1)2+ (u2− v2)2 (=∥u − v∥).
Trang 5Tích vô hướng Euclid trên R Một số khái niệm Tích vô hướng Euclid trên Rn
Cho u, v ∈ R n , với u = (u1, , un) và v = (v1, , vn)
Tích vô hướng (hay tích trong) của u với v được định nghĩa bởi
u· v :=
n
∑
i=1 uivi = u1v1+ + u nvn
Độ dài của vec-tơ u được xác định bởi
∥u∥ := √u· u
(
=
√
u2+ + u2
)
Góc θ ∈ [0, π] giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi
cos θ := u· v
∥u∥∥v∥
(
= u1v1 + + u nvn
√
u2+ + u2√
v2+ + v2
)
.
Vec-tơ u được gọi là vuông góc với vec-tơ v nếu u · v = 0 Khoảng cách giữa vec-tơ u và vec-tơ v được xác định bởi d(u, v) := ∥u − v∥
(
=
√
(u1− v1)2+ + (u n − vn)2
)
.
Trang 6Tích vô hướng Euclid trên R Các tính chất Nội dung
1 Tích vô hướng Euclid trên Rn
Một số khái niệm
Các tính chất
Khái niệm
Phép chiếu trực giao
Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn
Phép trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt
Trang 7Tích vô hướng Euclid trên R Các tính chất Tính chất của tích vô hướng Euclid trên Rn
Cho c ∈ R và u, v, w ∈ R n Ta luôn có:
u· v = v · u.
u· (v + w) = u · v + u · w.
c(u · v) = (cu) · v = u · (cv).
u· u = ∥u∥2
u· u ≥ 0, và u · u = 0 ⇔ u = 0.
∥cu∥ = |c|∥u∥.
Chứng minh: Coi như bài tập.
Trang 8Tích vô hướng Euclid trên R Các tính chất
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Chứng minh:
Trường hợp u = 0 ta có|0 · v| = 0 = 0∥v∥ = ∥u∥∥v∥.
Xét trường hợp u̸= 0 Với mọi t ∈ R ta có:
0≤ (tu + v) · (tu + v) = (u · u)t2+ 2(u· v)t + v · v.
Đặt a = u · u, b = 2(u · v), c = v · v Do u ̸= 0, nên a > 0.
Chú ý rằng, với a > 0, tam thức bậc hai at2+ bt + c ≥ 0 ∀ t ∈ R khi và
chỉ khi
b2− 4ac ≤ 0
⇔ b2≤ 4ac
⇔ 4(u · v)2≤ 4(u · u)(v · v)
⇔ |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥.
Trang 9Tích vô hướng Euclid trên R Các tính chất
Bất đẳng thức tam giác
Chứng minh:
Ta có
∥u + v∥2= (u + v)· (u + v)
= u· u + 2(u · v) + v · v
=∥u∥2+ 2(u· v) + ∥v∥2
≤ ∥u∥2+ 2|u · v| + ∥v∥2
≤ ∥u∥2+ 2∥u∥∥v∥ + ∥v∥2 (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)
= (∥u∥ + ∥v∥)2
.
Trang 10Tích vô hướng Euclid trên R Các tính chất Định lý Pythagor
khi và chỉ khi ∥u + v∥2= ∥u∥2+ ∥v∥2.
Chứng minh:
Từ chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta có
∥u + v∥2=∥u∥2+ 2(u· v) + ∥v∥2.
Từ đó ta suy ra
u vuông góc với v
⇔ u · v = 0
⇔ ∥u + v∥2=∥u∥2+∥v∥2.