Bài giảng Đại số tuyến tính: Không gian vec-tơ - Lê Xuân Thanh

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [ x 1 ,.[r]

Không gian vec-tơ

Lê Xuân Thanh

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng

xuất phát từ gốc tọa độ

tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0

y

x 1

2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

u = (2, 3)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1, u2+ v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R:

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng

xuất phát từ gốc tọa độ

tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0

y

x 1

2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

u = (2, 3)

v = (3, 1)

u + v = (5, 4)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1 , u2+ v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R:

c · u = c · (u1, u2) := (cu1, cu2).

Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2

Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng

xuất phát từ gốc tọa độ

tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2).

0

y

x 1

2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

u = (2, 3) 2u = (4, 6)

Phép cộng hai vec-tơ:

u + v = (u1, u2) + (v1, v2) := (u1+ v1 , u2+ v2).

Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R:

c · u = c · (u1, u2) := (cu1, cu2).

Tính chất

Cho 0 = (0, 0), u, v, w ∈ R2, c, d ∈ R Ta có

u + v∈ R2

u + v = v + u.

(u + v) + w = u + (v + w).

u + 0 = u.

∃ − u ∈ R2: u + (−u) = 0.

c · u ∈ R2

c · (u + v) = c · u + c · v.

(c + d) · u = c · u + d · u.

c(d · u) = (cd) · u.

1· u = u.

Vec-tơ trong không gian tọa độ Descartes R3 Một vec-tơ là

một đoạn thẳng có hướng

xuất phát từ gốc tọa độ

tới một điểm đích nào đó.

Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi

tọa độ điểm đích:

u = (u1, u2, u3).

Phép cộng hai vec-tơ:

u+v = (u1, u2, u3)+(v1, v2, v3) := (u1+v1, u2+v2, u3+v3) Phép nhân vec-tơ với vô hướng c ∈ R:

c · u = c · (u1, u2, u3) := (cu1, cu2, cu3).

Tính chất

Cho 0 = (0, 0, 0), u, v, w ∈ R3, c, d ∈ R Ta có

u + v∈ R3

u + v = v + u.

(u + v) + w = u + (v + w).

u + 0 = u.

∃ − u ∈ R3: u + (−u) = 0.

c · u ∈ R3

c · (u + v) = c · u + c · v.

(c + d) · u = c · u + d · u.

c(d · u) = (cd) · u.

1· u = u.

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính

Định nghĩa không gian vec-tơ

Tập hợp V ̸= ∅ là không gian vec-tơ trên R nếu V được trang bị

Phép cộng vec-tơ:

+: V × V → V

(u, v) 7→ u+v,

Phép nhân vec-tơ với vô hướng:

◦:R × V → V

(c, u) 7→ c ◦ u,

thỏa mãn các tiên đề sau:

1 u+v = v+u ∀ u, v ∈ V,

2 (u+v)+w = u+(v+w) ∀ u, v, w ∈ V,

3 ∃ 0 ∈ V : u+0 = u ∀ u ∈ V,

4 ∀ u ∈ V ∃ u ′ ∈ V : u+u′= 0,

5 c ◦(u+v) = c ◦u+c ◦v ∀ c ∈ R, u, v ∈ V,

6 (c + d) ◦ u = c ◦u+d ◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,

7 c ◦ (d ◦ u) = (cd) ◦u ∀ c, d ∈ R, u ∈ V,

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, , xn]

là một không gian vec-tơ với các phép toán

[x1, , xn]+[y1, , yn ] = [x1+ y1, , xn + y n ],

c ◦ [x1, , xn ] = [cx1, , cxn] (với c ∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực







x1

x n







là một không gian vec-tơ với các phép toán







x1

x n





+



 . y1

y n



 =







x1+ y1

x n + y n











x1

x n





 =







cx1

cx n





 (với c ∈ R).

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, , xn]

là một không gian vec-tơ với các phép toán

[x1 , , xn]+[y1, , yn ] = [x1 + y1 , , xn + y n ],

c ◦ [x1 , , xn ] = [cx1 , , cxn] (với c ∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực







x1

x n







là một không gian vec-tơ với các phép toán







x1

x n





+



 . y1

y n



 =







x1+ y1

x n + y n











x1

x n





 =







cx1

cx n





 (với c ∈ R).

Ví dụ

Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ

với phép cộng và phép nhân thông thường

Tập hợpRn các hàng n-thành phần thực [x1, , xn]

là một không gian vec-tơ với các phép toán

[x1 , , xn]+[y1, , yn ] = [x1 + y1 , , xn + y n ],

c ◦ [x1 , , xn ] = [cx1 , , cxn] (với c ∈ R).

Tập hợpRn các cột n-thành phần thực







x1

x n







là một không gian vec-tơ với các phép toán







x1

x n





+



 . y1

y n



 =







x1+ y1

x n + y n





 , c ◦







x1

x n





 =







cx1

cx n





 (với c ∈ R).

Ví dụ

Tập hợp M m,n các ma trận thực m hàng, n cột

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(a ij)m ×n +(b ij)m ×n = (a ij + b ij)m ×n ,

c ◦ (a ij)m ×n = (ca ij)m ×n (với c ∈ R).

Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b]

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(f+g)(x) = f(x) + g(x),

(c ◦ f)(x) = cf(x) (với c ∈ R).

Ví dụ

Tập hợp M m,n các ma trận thực m hàng, n cột

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(a ij)m ×n +(b ij)m ×n = (a ij + b ij)m ×n ,

c ◦ (a ij)m ×n = (ca ij)m ×n (với c ∈ R).

Tập hợp C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b]

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(f+ g)(x) = f(x) + g(x), (c ◦ f)(x) = cf(x) (với c ∈ R).

Ví dụ

Tập hợp P n (x) các đa thức

theo một ẩn x,

với hệ số thực,

có bậc KHÔNG QUÁ n

là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường:

(an x n + + a0)+(bn x n + + b0) = (an + bn)x n + + (a0 + b0),

c ◦ (an x n + + a0) = can x n + + ca0 (với c ∈ R). Chú ý:

Khẳng định trên không đúng nếu đặt điều kiện

“đa thức có bậc chính xác bằng n”.

Khẳng định trên vẫn đúng nếu bỏ điều kiện

“đa thức có bậc≤ n”.

Khi đó ta ký hiệu tập hợp P(x) thay cho Pn(x).

Ví dụ

Cho (V,+, · ), (W, +, ·) là các không gian vec-tơ Tập hợp

V × W := {(v, w) | v ∈ V, w ∈ W}

là một không gian vec-tơ với các phép toán

(v, w)+(v ′ , w ′ ) = (v+ v ′ , w + w ′ ),

c ◦ (v, w) = (c · v, c · w) (với c ∈ R).

Một số tính chất

Cho (V,+, ◦) là một không gian vec-tơ Ta có:

Phần tử 0∈ V là duy nhất.

Với mỗi u∈ V, tồn tại duy nhất phần tử u ′ ∈ V thỏa mãn

u+u′ = 0.

Phần tử u′ như vậy được ký hiệu là−u.

0◦u = 0 với mọi u∈ V.

c ◦ 0 = 0 với mọi c ∈ R.

c ◦u = 0 =⇒ c = 0 hoặc u = 0.

(−c) ◦ u = c ◦(−u) = −(c ◦ u) với mọi c ∈ R, u ∈ V.

( m

∑

c i

)

◦



∑n uj



 =∑m ∑n (ci◦uj) với ci∈ R, u j ∈ V.

Nội dung

1 Khái niệm không gian vec-tơ

Không gian vec-tơ phổ thông

Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát

Không gian vec-tơ con

2 Mô tả không gian vec-tơ

Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Cơ sở và số chiều

Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở

3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận

Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết

Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính