Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 2

PhÇn thèng kª to¸n sÏ giíi thiÖu nh÷ng kiÕn thø ¬ b¶n nhÊt vÒ mét sè bµi to¸n quan träng trong thèng kª bµi to¸n ­í l­îng tham sè, bµi to¸n kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª vµ bµi to¸n t­¬n[r]

Phần 2 Thống kê toán

Thốngkêtoán rađờigắnliềnvớinhu tiễn tựnhiên-xãhộivà sử phát triển lâu đời nhất Nội dung thốngkê toánlà xây dựng phươngpháp thu thập, sắpxếp và xửlý sốliệu thốngkê (số liệuthống kêở đây thểlà những tính định tính những tínhđịnh lượng) Thông qua pháthiện, phảnánh nhữngquy luậtvề mặt lượng hiện tượng, sốthốngkê giúp kiểm tra, đánhgiá hiện tượngtựnhiên, vấnđềkinhtế như vấnđềxãhội.Từđóđưaranhữngquyếtđịnh,

dự báovà định phát triển sự vật,hiệntượng nghiên Phần thống kêtoán sẽ giớithiệu những kiến bảnnhất về một sốbài toánquan trọng trong thốngkêbàitoán lượngthamsố,bàitoánkiểmđịnhgiảthuyếtthốngkêvàbàitoántương quanhồiquy

Chương 3

Quátrìnhnghiên thốngkêgồm giaiđoạn:thuthậpsốliệu,xửlýtổnghợpvàphân

dựbáo Trong thuthập sốliệu thườngáp dnghai hình yếu: báo thống kê

địnhkỳvàđiềutrathốngkê.Chươngnàynhằmgiớithiệumộtsốvấn đề quantâmkhibắt

đầu làmmộtbàitoánthốngkê, đólàgiaiđoạnthuthậpvà xửlýsốliệu

3.1 Tổng thể và mẫu

Địnhnghĩa 3.1.1 Toànbộtậphợp phầntửđồngnhấttheomộtdấu hiệunghiên định tính định lượngnào đó gọi là tổngthể nghiên (population) (haytổngthể

thể (sizeofpopulation),thường kíhiệulàN

Vớimỗi tổng thểta không nghiên tiếptổng thể đómà thông qua mộthay nhiều dấu hiệu trưng tổng thể đó, gọi là dấu hiệu nghiên dấu hiệu này thể là định tính định lượng (ta thể gọi là biến địnhtính biến địnhlượng) Chẳng hạn, để nghiên dài bông lúa một giống lúa nào đó thì dấu hiệu nghiên

ở đây mang tính định lượng là dài bông; khi nghiên một loại bệnh mới xuấthiệntrêngia tạiđồngbằng Bộthì tínhmàtaquantâmđếnởđâylà tính mangtínhđịnhtính,xtmỗi thểgia trongtổngthểthì không loạibệnhmà

ta quantâm

3.1.2 Mẫu vàphương pháp mẫu

Định nghĩa 3.1.2 Mộttập hợp thể lấy ra từtổng thể gọi là mẫu(sample)

Sốlượng thểtrongmộtmẫugọilà mẫu(sizeofsample), thườngkíhiệulàn Chú ý rằng mẫu thườngnhỏ hơn rất nhiều so với tổng thể Từ tổng thểđã ta thể lấyranhiều mẫu nhauvới một n.Tập hợptất

mẫu thể lấy ra từ tổng thể gọi làkhông gian mẫu (sample Thay vì nghiên tất thể mặttrongtổngthể ta sang nghiên một bộphận tổngthểlàmẫuvì vậymẫuphảiđạidiệnmột quannhất tổngthể.Taquan tâmđến phươngpháp lấymẫusau đây:

a)Lấymẫungẫunhiênkhônghoànlại:Đólàphươngpháplấymẫubằng đánhsố thểtrongtổngthểtừ1đếnN.Rútngẫunhiênlầnlượtn thểđưavàomẫutheomộttrong hai sau

- Mẫu ngẫu nhiên đơn giản: Từ tổng thể N người ta dùng rút thămđơn giản ra n phầntử mẫu theo một bảng số ngẫunhiên nào đó u điểm phươngpháp này là php thu một mẫu tính đại diện php suy rộng kết quả mẫu tổngthể vớimột saisố định điểm phươngpháp này làphải

toànbộdanh tổngthểnghiên mặt phí mẫukhá lớn

-Mẫungẫunhiênhệthống:Làloạimẫungẫunhiênđã đơngiảnhoátrong trongđó phầntửđầutiên một ngẫunhiên, sauđódựatrêndanh đã

đánh số tổng thểđể ra phầntửtiếptheovào mẫutheomộtthủ nàođó

điểm phươngpháp nàylàdễ saisốhệthốngkhidanh tổngthểkhông sắpxếpmột ngẫu nhiênmàlạitheomộttrậttự quannàođó

b)Lấymẫungẫunhiên hoànlại:Đánhsố thểtrongtổngthểtừ1đếnN.Rútngẫu nhiêntừtổngthểra1 thể,ghi tính thểnàyrồitrả thểđóvềtổngthể, tính vừa ghilại làphầntửđầutiên mẫu định phầntửtiếptheo mẫu

làm tươngtựnhưtrên

Từphươngpháplấymẫungẫunhiên hoànlạitathấy suấtđểmỗi thể mặttrong mẫuđềulà 1/N.Mỗi thể thể mặtnhiềulầntrongmẫu.Dễthấy,với n,số lượng mẫutrongtrườnghợplấymẫukhônghoànlạilàA n

N,sốlượng mẫutrongtrường hợplấy hoànlạilà A n N = N n

.KhiN lớnhơnrấtnhiềusovới n thìA n

,khiđó lấymẫuhoànlại vàkhônghoànlại ta kếtquảsai khôngđáng kể

Lấy mẫutheo lớp: Chia tổngthể ra làmk lớp Rồi từ mỗi lớplấy ngẫunhiên ra một

số thểđưa vàomẫu Nếusốlượng thểởlớpthứ ilà N i thìsố thể vào mẫu lớpnàylà n i nênthỏa mãnđiềukiện

n i

n ≈ N i

N d)Lấymẫutheo kì:Trong kiểmtra lượngsảnphẩm nghiệp sảnxuất theodây lấymẫungẫunhiênsẽgặpkhókhănvàtốnkm Phươngpháp lấymẫu theo kỳ tỏ ra hiệu quả trong nền sản xuất nghiệp hiện đại Cứ sau một kỳ gồm T sảnphẩmlấy ramộtsản phẩmđểđưa vàomẫu Đểtránhsự trùnglặp kỳ sản xuất ra sảnphẩm tốt,xấu dây với kỳ lấy mẫu, ta thểthay đổi kỳ

T trong đợtlấymẫu nhauvới mẫuphảiđạidiệnmột quannhất

phươngpháplấymẫutrênlà phươngphápphổbiếntrong thuthập dữliệu lấymẫutốt,xấutheonghĩa quanhaykhôngảnhhưởngrất lớnđến đưara kết luận hay khôngvề tính mặttrongtổngthể

Chú ý3.1.3 Từ kết quảtập mẫu ta thể suy ra kết quả tổng thể bởi vậy baogiờ thể phảisailầmnhấtđịnh.Độsai lớnhaybph vàophương pháp xây dựng mẫu và mẫu Độ trongthống kê thường gọi là độ tin (degree of kếtluận, kíhiệulàγ.Nếugọiα làtỉlệsaisót (hay ý nghĩa) kếtluậnthìα = 1 − γ

3.1.3 Mẫu ngẫunhiên

Sauđây, mẫu hiểu là mẫu lặplại và lấy theo phương pháp ngẫu nhiên đơn giản Giảsử trưngbiếnX ởmỗi thểởtổngthểlàmộtbiếnngẫunhiên, gọilà biến ngẫu nhiên hàm phânphối suấtF (x) Tatiến hành mộtphp lấy mẫu ngẫu nhiên n.GọiX i là biếnngẫunhiên giátrị X thểthứ itrongmẫu, ta thấy X i là biếnngẫunhiên phânphối suấtvớiX.Vớimỗimẫu thểX i

sẽ giá trị địnhlàx i.Do lấymẫu lậpnêndãyX 1 , X 2 , , X n là biếnngẫu nhiên lập

Địnhnghĩa3.1.4 Mẫungẫu nhiên(randomsample) n làtậphợp n biếnngẫu nhiên lậpX 1 , X 2 , , X n thànhlậptừ biếnngẫunhiênX và quyluậtphân phối suấtvớiX,kýhiệulàW = (X 1 , X 2 , , X n )

Giảsử X 1 nhận giá trị x 1,X 2 nhận giá trị x 2, X n nhận giá trị x n Tập hợpn giá trị

x 1 , x 2 , , x n tạo thành một giátrị mẫu ngẫu nhiên, hay gọi là mẫu thể, ký hiệu

w = (x 1 , x 2 , , x n )

Ví d3.1.5 Xttổngthểlà tậpsinhviênViệt Nam,biếnngẫu nhiên X là

mỗi sinh viên Xt một mẫu n = 10, gọi X i là sinh viên thứ i

trongmẫu,khiđóW = (X 1 , X 2 , , X 10 )làmộtmẫungẫunhiên hiệnmộtphpthửđối với mẫu ngẫunhiên trên, là tiến hànhđo 10sinh viên vào mẫuta thu mẫu thể x 1 = 1, 50; x 2 = 1, 52; x 3 = 1, 60; x 4 = 1, 65; x 5 = 1, 70; x 6 = 1, 81; x 7 =

1, 63; x 8 = 1, 77; x 9 = 1, 55, x 10 = 1, 58 (đơnvịlàmt), bộsố

(1, 50; 1, 52; 1, 60; 1, 65; 1, 70; 1, 81; 1, 63; 1, 77; 1, 55; 1, 58)

là mộtmẫu thể(haymộtthểhiện) mẫungẫunhiên(X 1 , X 2 , , X 10 )

Chúý3.1.6 Với xâydựngmẫungẫunhiênnhưtrênthì biếnngẫunhiênX 1 , X 2 , , X n

X

hàm phânphối suất F (x) mà thamsố trưng bằng tham

số trưng X, là:

3.2.1 Sắp xếp số liệu nghiệm

Đểkhai vàxửlý thôngtin đựngtrongdãysốliệunàyta sắpxếpsố liệu nhằm nhận ra trưng dãy số liệu đó Thông thường ta sắp xếpsố liệu theo thứtự tăngdần Dãysốliệunàyưuđiểmhơndãysốliệubanđầu, ta thểdễdàngnhậnbiếtgiátrị nhỏ nhất và giá trị lớnnhất số liệumẫu, biết biên độ daođộng sốliệu mẫu Với sắpxếpnày tadễdàng nhậnbiết số liệu mặttrongmẫu mộtlần vì

số liệubằng nhau xếp liềnnhau Một số phươngpháp thường dùngđể sắpxếpsố liệunhư sau

a)Phươngphápliệtkê Liệtkêtất phầntử mẫu Chẳnghạn,với mộtmẫu n,ta thểviết x 1 = 2, 5; x 2 = 2, 6; , x n = 3, 0

điểm sắp xếp này là không mô tả mẫu lớn, tính toán tạp, khôngkhoa

b)Phươngphápdùngbảngtầnsốvàbảngtầnsuất.Giảsửtừtổngthể biếnngẫunhiên

X rútramộtmẫungẫunhiên n,trongđógiátrịx 1 xuấthiệnvới tầnsốn 1,giá trị x 2 xuất hiệnvới tần sốn 2 , , giátrị x k xuất hiệnvới tần sốn k, đósau khi x i đã sắp xếptheo trình tự tăng dầngiá trị thể mẫu, ta thể mô tả mẫu thể bằng bảngphânphốitầnsố nghiệmsau

x i x 1 x 2 x i x k

n i n 1 n 2 n i n k

với n 1 + n 2 + + n k = n.Dòngtrênghi giátrị thể mẫutheothứtựtăngdần, dòngdướighitần sốtươngứng.Tầnsốmẫulà số thể tính X = x i trongmẫu Bảng tầnsố tanhiềuthôngtin hơndãysố liệu sắpxếptheothứtự tăngdần Ngoàinhững thôngtin nhưdãy sốliệusắpxếptheothứ tựtăngdần, quabảngtần sốta thể biết

sốliệu nào mặtnhiềunhất, sốliệunào mặtítnhấttrongmẫu

Gọif i = n i

n , (i = 1, , k)làtầnsuất thể tínhx i trongmẫu,ta bảngphân phốitầnsuất nghiệmnhư sau

x i x 1 x 2 x i x k

fi f1 f2 fi fk

với f 1 + f 2 + + f k = 1.Ngoài nhữngthôngtin nhưbảng tầnsố mẫu, ta biết

tỷlệphầntrămđónggóp sốliệumẫu

Ví d 3.2.1 Gặt ngẫu nhiên100 điểm trồnglúa một vùng, ta thu số liệu sắpxếpthànhbảngsau:

Năngsuất(tạ/ha) 21 24 25 26 28 32 34

Sốđiểmgặttương ứng 10 20 30 15 10 10 5

Bảngphânphốitầnsuất nghiệm:

f i 0, 1 0, 2 0, 3 0, 15 0, 1 0, 1 0, 05

Nhữngphươngpháptrên ưuđiểmlàmô tả mẫu lớn,nhưng điểm làkhó mô tả mẫuliên Khi mẫulớn và tính địnhlượng tổng thểlà một biếnngẫu nhiênliên thìngườitathườngdùng phươngpháp sau

Phươngphápphânkhoảng Phân sốliệutheolớpvới mộtđộrộngđểthuậntiện phân và xửlýsốliệu.Giảsửx min làgiátrị nhỏnhất,x max làgiátrịlớnnhất

số liệu.Chia khoảng(x min , x max )thànhk khoảng đều nhauvớiđộ rộng mỗikhoảng là

h = x max − x min

Ngườita minh rằngsốkhoảng tốiưutheo k = 1+3, 322 lg n

Ta bảngsau(gọi làbảng ghplớp)

Khoảng x 0 − x 1 x 1 − x 2 x k−1 − x k Tần sốdữliệutrongkhoảng n 1 n 2 n k trongđón i làsố thể tínhX thỏamãnx i−1 6 X 6 x i , i = 1, 2, , n trongmẫu Phươngpháp này ưu điểmlà mô tả mọidữ liệu, khoảng dầy thì

tính toántrênmáytínhthuậnlợi

Víd3.2.2 Tiếnhànhđongẫunhiên100 đàntrồngtrongmộtkhurừngtáisinhsau

10năm, tathu sốliệu sắpxếpthànhbảngsau:

Chiều (m) 3, 5 − 4, 5 4, 5 − 5, 0 5, 0 − 5, 5 5, 5 − 6, 0 6, 0 − 6, 5

Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) lấy từ biến ngẫu nhiên X hàm phân phối

Định nghĩa3.2.3 Hàmphân phối nghiệm mẫu (hayhàm phân phốimẫu) biến ngẫunhiênX,kíhiệulàF n (x),làmộthàmsốtheobiếnsố xvà địnhnhư sau:

F n (x) = m

trongđómlàsốphầntử mẫu trịsốnhỏhơnx (X i < x).Với xâydựnghàmF n (x)

như trên thì rõràng là saukhi lấy mẫu rồithì phân phốinày địnhhoàn toàn Theo (3.3),F n (x)làtầnsuất biếnngẫunhiênX nhậngiá trịnhỏhơnxứngvớin php thử lậpnên định nghĩaF n (x)trong(3.3) tươngđươngvới địnhnghĩaluật phânphốiP n

địnhbởi:

P n (X = X i ) = 1

Như vậy rõ ràng là hàm phânphối mẫu là hàmphân phối suất và khi mẫu tăng vô hạn thìhàm phânphối nghiệm F n (x)tiến dầnđến hàmphânphối suất F (x)

tổng thể Do đó thể dùnghàm phânphối nghiệm mẫuđể biểudiễn một gần

đúngquyluật phânphối suấtF (x) tổng thể

Víd3.2.4 Điềutra độsâubệnhtrên một đồngngô,ngườitakiểmtra ngẫunhiên

Hãylậphàm phânphối nghiệm

Giải:Theo địnhnghĩata hàmphânphốimẫu định là

+Vớix < 0 thìF n (x) = 0; +Với0 < x ≤ 1thìF n (x) = 242

500 = 0, 484; +Với1 ≤ x < 2thìF n (x) = 242 + 185

427

500 = 0, 854; +Vớix ≥ 2thìF n (x) = 1

VậyF n (x) =











0, 484 0 < x ≤ 1;

0, 854 1 ≤ x < 2;

3.2.3 Biểu diễn số liệu bằng biểu đồ

Phươngpháp này thường dùng trongthống kê mô tả Sau khithu thập sốliệu vào mộtmẫuvà sắpxếpsố liệuthànhbảng tầnsố,bảngtần suấthaybảng ghplớp,người ta biểu diễn sốliệu đó bằng biểuđồ để minh họa mậtđộ phân bố hiện tượng ngẫu

thống kênhưbiểuđồhìnhtròn, hình biểuđồđường,biểu đồhình thang, sử dng loạibiểuđồnàođểbiểudiễnsốliệu hợpph vào tính trưngmà

tanghiên (biếnđịnhtínhhaybiếnđịnhlượng), ph vàophươngphápsắpxếpsốliệu

a) Biểu đồ tần số Nếu sốliệu sắp xếpphân loại theotần số thì người ta thường dùng loạibiểuđồsauđểbiểudiễn:

-Biểuđồtầnsố hình gồmnhiềuhình nhật,mỗi tínhứngvới một hình nhật, đáy trùng với hoànhbiểu thị tínhtương ứng, tungbiểu thị tần sốvàđộ mỗi hình nhậtthểhiện tầnsố tính

-Biểuđồđườngtầnsốhayđa tầnsốlàđườngnối điểm(x 1 , n 1 ), (x 2 , n 2 ), , (x k , n k )

Ví d 3.2.5 Để nghiên lượng tập sinhviên nămthứ nhất ởmột trường đại ngườitathốngkêđiểm tổngkếttheoxếploạiA, B, C, D 400 sinhviênnămthứnhất ngẫunhiêntừdanh và thu bảngsốliệu sau

Hãy vẽbiểuđồhìnhtròn vàhình biểu diễnkếtquả tập 400 sinhviêntrên

Giải Ta thểtổnghợp sốliệutrongbảngtrêndướidạngbảngthốngkêsauđểthuậntiện

biểudiễn số liệubằngbiểuđồhìnhtròn

Đánhgiá Tầnsố Tần suất Phần trăm tròn

50

100

150

200

250

300

35

260

93

12

f i

x i Hình3.1:Biểuđồtầnsốhình

65%

A C

32%

9%

D

3%

B

Hình3.2:Biểuđồhìnhtròn b)Biểuđồtầnsuất.Nếudữliệusắpxếpphânloạitheotầnsuấthaytỷlệphầntrămthìngười

- Biểu đồ hình tròn là biểu đồ gồm nhiều hình quạt, mỗi hình quạt biểu diễn tỷ lệ phần trăm mỗi tínhsovớitoànbộ tínhthu ở mẫu

-Biểuđồđườngtầnsuấthayđa tầnsuấtlàđườngnối điểm(x 1 , n 1

n ), (x 2 ,

n 2

n ), ,

(x k , n k

n ).Gọip i = P (X = x i ),theođịnhnghĩathốngkêvề suấtthì

n i

n → p i khin → ∞,

điềunàynghĩalàkhin lớnthìtungđộ biểuđồđườngtầnsuấtxấpxỉtungđộ biểuđồ

đường suất tìm.Dođóbiểuđồđườngtầnsuấtgiúptahìnhdungdạnghàmmậtđộ biếnngẫunhiênX

Ví d 3.2.6 Hãy vẽ đa tần suất bảng số liệukiểm tra kết quả thi môn toán 20

sinh:

Giải Ta bảngtần suất

f i 0, 1 0, 2 0, 4 0, 25 0, 05

Biểuđồđườngtần suất dạngnhưhình3.3.

0, 1

0, 2

0, 4

0, 6

f i

Hình3.3:Biểuđồ đườngtầnsuất

động quan hailoạibiểuđồtrên sự nhau Biểuđồhìnhtròn dùng

đểbiểuthịmốiquanhệ mỗiloại tínhvớitoànbộ;biểuđồhình dùngđểnhấn mạnhsố lượng sựlàtầnsố mỗi tính trongmẫuthôngquađộ

Hailoạibiểuđồnày dùngđểmô tả số liệu biếnđịnh lượng.Nhiềukhi ngườitaphảitậphợpsốliệu biếnđịnhlượngtrênnhữngnhómđã phânloại tổng thể Chẳnghạn, ngườita thểnghiên thunhậptrung bình ngườidântheo nhóm giới tính,nghề nghiệp theo vùngđịa lý nhautrongmột gia Trong những trường hợpđó, ta thểdùng đồthị hìnhtròn hình để mô tảsố liệuthu thập

3.3 trưng mẫu ngẫu nhiên

3.3.1 Hàm thống kê

Để nghiên biến ngẫu nhiên X trong tổng thể, nếu rút một mẫu ngẫu nhiên

(X 1 , X 2 , , X n )thì mới một vàikết luậnsơ bộvà rời về X,vì giátrị X i mẫu quy luật phân phối suất với X,song quy luật này lại định hoàntoàn.Nhưngnếutổnghợp biếnngẫunhiênX 1 , X 2 , , X nnàylạithìtheoluậtsốlớn

sẽ lộnhữngquy luậtmới làm sở đểnhận địnhvề biếnngẫu nhiên X trong tổngthể tổnghợpmẫu(X 1 , X 2 , , X n ) hiệndướidạngmộthàmnàođó

ký hiệulàG = f (X 1 , X 2 , , X n ).Vớimẫu thể(x 1 , x 2 , , x n )thìg = f (x 1 , x 2 , , x n )

là giátrị thểmà thốngkêG = f (X 1 , X 2 , , X n )nhậntương ứngvớimẫuđã

Nhưvậy,về thốngkêlàmộthàm biếnngẫunhiên, dođónó làmột biến ngẫunhiêntuân theomột quyluậtphânphối suất nhấtđịnhvà tham số trưngnhưkỳ vọng,phươngsai, thống kê vớiquyluậtphânphối suất

là sởđểsuyrộng thôngtin mẫu dấuhiệunghiên tổngthể

3.3.2 Trung bình mẫu

Giảsửtừtổngthể biếnngẫunhiên X,talậpmộtngẫunhiên(X 1 , X 2 , , X n )

n

Định nghĩa 3.3.1 Một thống kê gọi là một trung bình mẫu (sample mean) nếu nó là trungbình số giá trịmẫu,kí hiệulàX, làX địnhbởiX = 1 n

n

P

i=1

X i

Chú ý3.3.2 (i)Khi hiện mộtphp thửđốivới mẫungẫunhiên, nósẽnhậnmột mẫu thể (x 1 , x 2 , , x n ),dođótrungbìnhmẫu nhậnmột giátrị thể, kíhiệulàx

(ii)Trungbìnhmẫulà mộtthốngkênênnó làmộtbiếnngẫunhiên,do đónó

tham số trưng tương ứng nhưkì vọng toán, phương sai Nếubiến ngẫu nhiên X

kì vọngtoánE(X)và phươngsai V (X)thì

E(X) = E(X); V (X) = V (X)

σ(X)

√

Vậy bất kì biếnngẫu nhiên phân phối theoquy luật nào, trung bình mẫu X kỳ vọng toánbằngkỳvọng toán biếnngẫunhiên phươngsaiV (X) nó nhỏhơn

n lầnsovới phươngsai biếnngẫunhiên nghĩalà giátrị thể X ổnđịnh

X.

3.3.3 Phương sai mẫu

Địnhnghĩa3.3.3 Phươngsaimẫu(sample kíhiệulàS 2

,làmộtthốngkê định bởi

S 2 = 1 n

n

X

i=1

X i 2 − ( 1

n

n

X

i=1

X i ) 2 = X 2 − (X) 2

Chú ý3.3.4 (i)Hoàn toàntươngtự nhưtrungbình mẫu,khi một mẫu thể thìphương

saimẫusẽ nhậnmộtgiátrị thể, kíhiệulà s 2

(ii)Phươngsaimẫu làmộtthốngkênênnó làmộtbiếnngẫunhiên tham

số trưng định.Nếubiếnngẫunhiên X kìvọngtoánE(X)vàphươngsaiV (X)

thì

E(S 2 ) = n − 1

3.3.4 Phương sai điều mẫu

Định nghĩa 3.3.5 Phương sai điều mẫu (samplestandard kí hiệulà S ′ 2

, là mộtthốngkê địnhbởi

S ′ 2 = 1

n − 1

n

X

i=1

(X i − X) 2 = n

n − 1 S

2

Chúý3.3.6 (i)Phươngsaiđiều mẫuS ′ 2

làmộtthốngkê,khi mẫu thểthìphương

saiđiều mẫu làmộtsố định,kíhiệu s ′ 2

(ii)Cũng giốngnhư phươngsai mẫuS 2 ,phươngsai điều mẫuS ′ 2

làmột biến ngẫunhiênvà nó tính sau:

Từ (3.6) và (3.7) ta thấy với bất kì biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nào thì

phươngsaimẫuS 2

kìvọngtoánbằng

n − 1

n lầnphươngsai biếnngẫu nhiên

X, và phương sai điều mẫu S ′ 2

kì vọng toán đúng bằng phương sai biến ngẫu nhiên X.

Định nghĩa 3.3.7 Độ tiêu mẫu (sample error) và độ tiêu điều

mẫu (sample standard error) lần lượt kí hiệu là S và S ′

, tính bởi S = √

S 2 và

S ′ = √

S ′ 2

Khi mẫu thểthìđộ tiêu mẫuvà độ tiêu điều mẫu

s, s′.