Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 1

Ngay ¶ khi tiÕn hµnh n php thö kh¸ víi ïng mét hÖ ®iÒu kiÖn th× tÇn sè vµ tÇn suÊt ña n lÇn thö nµy òng ã thÓ kh¸ tÇn sè vµ tÇn suÊt ña n lÇn thö tr­í.. Tuy nhiªn tÇn suÊt ã tÝnh æn ®Þnh[r]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM

-

BỘ MÔN TOÁN LÝ

GIÁO TRÌNH NỘI BỘ

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Dành cho sinh viên tất cả các ngành học

(Tài liệu lưu hành nội bộ)

Thái Nguyên, năm 2017

Phần1.Lýthuyết suất 5

1.1 Giải tổhợp 6

1.1.1 Quy 6

1.1.2 Quy nhân 7

1.1.3 Hoánvị 7

1.1.4 Chỉnh hợp 8

1.1.5 Chỉnh hợplặp 8

1.1.6 Tổ hợp 9

1.1.7 Phươngphápgiải mộtbàitoángiải tổhợp 9

1.2 Phpthửvà biến 10

1.2.1 Phpthử 10

1.2.2 Biến (sựkiện) 1

1.2.3 Quanhệgiữa biến 1

1.2.4 Phân mộtbiến theohệđầyđủ 13

1.3 định nghĩavề suất 14

1.3.1 Địnhnghĩa điểnvề suất 14

1.3.2 Địnhnghĩathốngkêvề suất 17

1.3.3 Nguyênlý suất lớnvà suất nhỏ 18

1.4 định lý bản 19

1.4.1 Địnhlý suất 19

1.4.2 Địnhlýnhân suất 20

1.4.3 Địnhlý suấttoànphần- ĐịnhlýBayes 23

1.4.4 ĐịnhlýBernoulli 26

Bài tập 1 28 2 BiếnngẫunhiênvàQuyluật phânphối suất 33 2.1 Biếnngẫunhiên 33

2.2 Quyluậtphânphối suất biếnngẫu nhiên 34

2.2.1 Bảngphânphối suất biếnngẫunhiênrời 35

2.2.2 Hàmphânphối xuất 37

2.2.3 Hàmmậtđộ suất 40

2.3 tham số trưng biếnngẫunhiên 43

2.3.1 Kỳvọngtoán 44

2.3.2 Phươngsai 48

2.3.3 Độ 50

2.4 Mộtsốquyluật phânphối suấtthôngdng 51

2.4.1 Quyluậtkhông-một 52

2.4.2 Quyluậtnhị 52

2.4.3 QuyluậtPoisson 53

2.4.4 Quyluật N(a, σ 2 ) 54

2.4.5 Quyluậtkhibìnhphương-χ 2 60

2.4.6 QuyluậtStudent-T(n) 61

2.4.7 địnhlí giớihạn 62

Bàitập 2 66 Phần2.Thốngkêtoán 70 3 Cơsởlýthuyếtmẫu 71 3.1 Tổngthểvà mẫu 71

3.1.1 Tổngthểvà tổngthể 71

3.1.2 Mẫuvàphươngpháp mẫu 71

3.1.3 Mẫungẫunhiên 73

3.2 phươngpháp môtảmẫungẫunhiên 74

3.2.1 Sắpxếpsốliệu nghiệm 74

3.2.2 Hàmphânphối nghiệm mẫu 75

3.2.3 Biểudiễnsốliệubằngbiểuđồ 76

3.3 trưng mẫungẫunhiên 79

3.3.1 Hàmthốngkê 79

3.3.2 Trungbìnhmẫu 79

3.3.3 Phươngsai mẫu 80

3.3.4 Phươngsai điều mẫu 80

3.3.5 Độ tiêu mẫu vàđộ tiêu điều mẫu 80

3.3.6 Saisốtiêu 81

3.3.7 tính trưngmẫu 81

3.3.8 Tầnsuất mẫu 84

Bàitập 3 84 4 lượngthamsố 87 4.1 Phươngpháp lượngđiểm 87

4.1.1 Phươngpháp hàm lượng(phươngpháp mômen) 87

4.2 Phươngpháp lượngbằngkhoảngtin 90

4.2.1 Kháiniệm 90

4.2.2 lượngkỳvọng biếnngẫunhiên phânphối 91

4.2.3 lượng kì vọng toán biến ngẫu nhiên không theo quy luật phân phối 97

4.2.4 lượngkhoảng tỉlệ 97

Bàitập 4 100 5 Kiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê 106 5.1 Kháiniệm 106

5.1.1 Giảthuyếtthốngkê 106

5.1.2 Tiêu kiểmđịnh giảthuyếtthốngkê 107

5.1.3 Miền bỏgiảthuyếtthống kê 107

5.1.4 Giátrịquansát tiêu kiểmđịnh 107

5.1.6 sai lầm phảikhikiểmđịnh 108

5.1.7 Thủ kiểmđịnhgiảthuyếtthốngkê 108

5.2 Kiểmđịnhgiảthuyếtvề giátrịtrungbình 108

5.2.1 Đãbiếtphươngsai 109

5.2.2 Chưabiếtphươngsai 110 5.3 Kiểmđịnhsự bằngnhau hai kỳvọng hai biếnngẫunhiên phânphối 113 5.4 Kiểmđịnhgiảthuyết suất 116 5.4.1 Trường hợpmộttổng thể 116 5.4.2 Trường hợphai tổngthể 117 Bài tập 5 118 6 Tươngquanvàhồiquy 123 6.1 Đồthịphântán 123

6.2 Hệsốtươngquan 124

6.2.1 Phân ýnghĩahệsốtươngquan 124

6.2.2 Hệsốtươngquanmẫu 125

6.2.3 Kiểmđịnhgiảthuyếtvề giátrị ρ 127

6.3 Hồiquytuyếntínhđơngiản 128

6.3.1 Môhìnhhồiquy tuyếntínhđơngiản 128

6.3.2 Phươngtrình hồiquytuyếntínhđơngiản tổngthể 129

6.3.3 Phươngtrình đườnghồiquytuyếntínhmẫu 130

Lời nói đầu

suất thống kê" là một môn thiết đối với sinhviên khối trường Kinh tế-Nông-Lâm-Sinh-Y bởi nội dung phong phúvà sự ứng dng rộng rãi nó trong nhiều lĩnh

nhau khoa tự nhiên, kỹ thuật, y và kinh tế-xã hội Đã nhiều giáotrình viết môn này,tuynhiênnhóm giảmongmuốnviết một giáo trìnhphùhợpvới nộidung trình Trường Đại Nông Lâmđểsinh viên thể tiếp môn nàyvà môn sởngànhsau đó, như nhậtvới

trìnhthituyểnsauđại mônToán thốngkê Đại TháiNguyên khối ngànhNông-Lâm-Sinh-Y

Giáotrình gồmhai phần Phần I: "Lý thuyết suất" hai Chương 1 trangbị những kiến bản về giải tổ hợp, những khái niệm nền tảng, những định lý quan trọng lýthuyết suất điển Chương2quantâmđếnkháiniệmtrungtâm suất

là biếnngẫu nhiênvà quy luậtphânphối suất, thamsố trưng nó.Mộtsố quy luậtphânphối suất thôngdngvà định lývề luật sốlớn,định lýgiới hạn

trình bàytrong này Phần II: "Thốngkê toán" gồm 4 Chương 3 trình bày

về sởlýthuyếtmẫu: phươngpháp mẫu,sắpxếpmẫu, trưng mẫu.Chương

4vàChương5quantâmđếnhaibàitoán bảnlà lượngthamsốvàkiểmđịnhgiảthuyết

thốngkê bàitoánvềtươngquanvàhồiquytuyếntínhđơngiản đề đếnởChương

6.Phần làmộtsốbảngph thôngdng

Bạn thểtự môn suấtthốngkê"với giáotrìnhnàynếuđã trang

bịmộtsố kiến bảnvềGiải điểnvà Đạisốtuyếntính kháiniệmmới nhậtthêm thuật ngữbằngtiếngAnhđểbạn thểlàm quenvới thuậtngữ đó khi ngoài Hệ thống ví d lựa ít nhiều liên quan đến bài toán thườnggặptrong tế lĩnh Nông,Lâmnghiệp,Sinh bàitậpở mỗi

dành bạn giải quyết thông qua vận dng lý thuyết và lời giải ví d trong

Trongnhững kiến rộnglớn về lýthuyết suấtvà thốngkê toán, để lựa nhữngvấn đề thiếtviếttrongkhuônkhổmột giáotrìnhnhỏsao phùhợpvới nội dung trình ở đại đáp ứng những tiêu đã đề ra là rất khó khăn và không tránh khỏi sai sót giả mong muốn nhận những nhận xt gópý

đồngnghiệp, sinhviên vàbạn để giáotrình hoànthiệnhơn

Phần 1 Lý thuyết suất

Sựkhông rấtphổbiếntrongthếgiớimàtađangsống:từ vấnđề thếgiới

tự nhiên như nắng, mưa, giông, bão, đến vấn đề về đời sống trị, xã hội

người.Ngay Sinh-Lão-Bệnh-Tử- mộtquyluậttấtyếumàai biết,là đường

mà mỗi đờingười đều phải trải quathì nhìn nằmngoài sự điều khiển

ta Tuy nhiên, sự không làm sống ta trởnên thúvị hơn rất nhiều Hãythử tưởng tượng xemthế giới này sẽ trở nênbuồn tẻ, ngắt đến nàonếu nhưmọithứđều thểbiết một hoànhảo?

Lýthuyết suấtlà mộtngành khoa Toán lập suy luận mangtính định lượng về sự không thông qua đó nghiên những quy luật tất nhiên ẩn dấu sau những hiệntượngmangtínhngẫunhiênnhằm php dựbáo hiệntượng ngẫunhiênđó

sẽ xảy ra như thế nào Chính vì vậy, phương pháp lý thuyết suất ứng dng

Chương 1

Chương này dành đểgiới thiệu kháiniệm nền móng suất: php thử, biến ngẫunhiên,biến sơ địnhnghĩavề suất giớithiệuở 1.3và

nhân, địnhlýtoànphần,Bayesvà địnhlýBernoulli

này dành đểtóm lại kiến về giải tổhợp màsinh viên đã trong trìnhphổ thông bài toángiải tổhợp gọi là bài toán

"đếm":đếmsốkếtquả,đếmsốkhảnăngxảy ra,đếm giảiquyếtvấn đề, nói

là đếm sốlượng nhữngđối tượng nàođó màhầu hết loại đối tượng đề đến đều thể môtả như là một dãy phần tử thỏamãn những điều kiệnnhất định Ta thể mô phỏngmộtbàitoángiải tổhợpnhưsau

Bàitoán "Chon, k ∈ N vàtậphợpE = {x 1 , x 2 , , x n }gồm n phầntử nhau.Có bao nhiêudãyx 1 x 2 x k phầntử lấytừtậpE vàthỏa mãn tính N 1 , N 2 , ?"

Cónhiều giảiquyếtbàitoántrêntùytheo lấyk phầntửvà phươngphápsắpxếp

để ta nhữngkếtquả nhau

1.1.1 Quy

Giảsửmột thể hiệntheomộttrongkphươngánA 1 , A 2 , , A k,trong

đó mỗi phươngán A i n i hiện và hiệnphương án A i không trùng với hiệnphươngánA j nếu i 6= j,với mọii, j = 1, , k.Khiđó,

Ví d1.1.1 Một tổgồm 3sinh viênở TháiNguyên, 3sinhviên ở YênBái, 4sinh viênở Tuyên Quangvà 4sinhviên ởHà Giang Cần 3sinhviên tỉnhđể đilaođộng Hỏi baonhiêu

Giải Phươngán1: 1 3sinhviênởTháiNguyên;Phươngán2: 1 3

sinh viên ởYên Bái;Phươngán 3: 4 3sinhviên ở Tuyên Quang;Phươngán 4:

4 3sinhviên ởHàGiang.Vậy, n = 1 + 1 + 4 + 4 = 10

Chú ý rằng, bản quy trên là đếmsố phần tử tậphợp hữu hạn không giaonhau Tuy nhiên,trongnhiều trườnghợp,ta đếm sốphầntử hợphaitậphợphữu hạn giao ∅ Nếuký hiệun( •)là sốphầntử một tậphợpnàođó thìta quy

mởrộngsau:

Víd1.1.2 Mộthộinghịkhoa tếgồm100ngườibiếttiếngAnh,60ngườibiếttiếng Pháp, 20ngườibiết hai thứtiếng và 50người lạikhông biết haithứ tiếngtrên Hỏi Hội nghịkhoa đó baonhiêungười?

Giải Gọitậphợpnhững ngườibiếttiếngAnhlàA,những ngườibiếttiếngPháp làB.Khiđó tậphợpnhữngngườibiếttiếngAnh PháplàA ∪B.Theobàirata n(A) = 100; n(B) =

A i hiện bởi1trongn i vớimọii = 1, , k.Khiđó, n 1 n 2 n k

hiện nóitrênvà tagọilàquy nhân Rule)

Ví d 1.1.3 Biển số xe ô tô gồm 7ký tự, trong đó 2 ký tự đầu là mã số tỉnh, ký tự thứ ba

là một trong bảng 26 tiếng Anh, ký tự tiếp theolà một số tập

nhấtbao nhiêubiểnsốxe nhau?

Giải Vì mãsố tỉnhđã địnhnên ta 26 xếp ởvị trí thứba và

10 số mỗivị trítrongbốnvịtrí lại.Theo quy nhân, ta

1.1.3 Hoán vị

Địnhnghĩa1.1.4 Mộthoánvị(permutation) nphầntử tậpE là sắpxếpnphần

Số hoánvị nphầntử,kýhiệuP n,là

Víd 1.1.5 (i) Có3ngườiA, B, C xếpvào3 ngồi.Ta P 3 = 3! = 1 ì 2 ì 3 = 6

xếpnhưsau:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Giải Rõ ràng mỗi số gồm3 số nhau tạora từ 1, 2, 3 là một hoánvị 3 phầntử

1.1.4 Chỉnh hợp

Địnhnghĩa1.1.6 Một hợp(arrangement) k nphầntử(0 < k 6 n)làmộtdãy thứtự gồmk phầntử nhau lấytừtậpE

Số hợp k nphầntử,kýhiệuA k

n,là

Víd1.1.7 Sinhviênnămthứnhất TrườngĐại NôngLâmphải 5 phầntrong một kỳ,mỗingày 2 phần.HỏirằngPhòngĐàotạo Trường baonhiêu xếpthờikhóabiểu trongngày?

sẽ nhau nếu ítnhấtmột phần nhau thứ tự phần nhau Vì thế

xếpthờikhóabiểutrongngàylà

1.1.5 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 1.1.8 Một hợp lặp(arrangement with repetition) k n phần tử là mộtdãy thứtựgồmk phầntử(khôngnhấtthiết nhau) lấytừtậpE

Số hợplặp k n phầntử,kýhiệu A k

n,là

n = n k

Víd1.1.9 Có5 hàngkhông quenbiết nhau vào muahàngởmột hànggồm

7quầy.Giảsử hàngvào muahàngở quầymột ngẫunhiên.Hỏi bao

nhiêu để 5ngườivào7quầynóitrên?

Giải Vì mỗingười đều 7 quầynên số để 5người vàomua hàngmột ngẫunhiêntại7 quầy là

1.1.6 Tổ hợp

Định nghĩa 1.1.10 Một tổhợp k n phầntử (0 < k 6 n) làmột tập gồmk phầntử tậpE

Số tổhợp k n phầntử,kýhiệuC k

n,là

Vì

n!

k

n ,

nên một lấyra k phầntử thì làmột lấy ran − k phầntử lại Ta một sốtrườnghợp biệtsau

Ví d1.1.11 (i)Chọnngẫunhiênra 2ngườitừmộtnhóm3ngườiA, B, C.Khiđó,

(ii)Có5 sinh, ra 2 sinhđểđi lớp, hỏi mấy

Giải Rõ ràngsố ra 2 sinh bất kỳtrong số 5 sinh là số tổ hợp 2

1.1.7 Phươngpháp giải một bài toán giải tổ hợp

suấtsaunày.Trongquátrìnhgiảimộtbàitoángiải tổhợp, đòihỏinhiềutư duynhất là"nhậndạng"xembàitoánđó đếmnào Nói điềuquan trọngnhất là phânbiệt,sosánh kháiniệmtrênđểáp dng đúng

dùng.Do đó,ta mộtsốnhậnxt sau

a) Về lấy phầntử:Tathườngdùng4 để lấyrak phầntửtừn phầntử

1.Lấytheonghĩa tổhợp

3.Lấyrak phầntử,mỗilầnlấytừngphầntửmộtvà khônghoànlại.

4.Lấyrak phầntử,mỗilầnlấytừngphầntửmộtvà hoànlại

-Trong 4 trên, hai đầu phầntử lấyra đồngthờimột lần, hai sau phầntử lấylầnlượttừngphầntửmột,lấyk lần

-Trong3 đầu, phầntử lấyralà nhau Trongkhiđó,ở 4, phần

tử lấy ra thể nhữngphầntử lấy lặplại

- 3phânbiệtvới hai đầuở lấyk lầnhaylấy1lần

- 1phânbiệtvới 2ở kểđếnthứtự phầntửlấy rahaykhông

b) Về mối quan hệ giữa khái niệm: Hoán vị là trường hợp biệt hợp khi

tổngkết sau.ChotậpE gồmnphầntử địnhnhưtrên, k, n > 1.

Khái niệm Chỉnhhợp Chỉnhhợplặp Hoánvị Tổhợp Tổ hợplặp Tính 1)Cóthứ tự 1)Cóthứtự 1)Cóthứtự 1)Khôngthứ tự 1) Khôngthứtự trưng 2)Khônglặp 2)Cólặp 2)Khônglặp 2)Khônglặp 2) Cólặp

n = (n−k)! n! A k

n = n k P n = n! C k

n = k!(n−k)! n! C k

n = C k n+k−1

1.2 Php thử và biến

1.2.1 Php thử

Trong tế,đểnhằmmột nàođó,nhiềukhita phảikhảosát,thuthậpdữ liệuthôngqua quansát hiệntượngtrongtự nhiênhaytrongphòngthínghiệm

Mộtthí nghiệm hay một quan sát hiện tượng tự nhiên, xã hội vấn đề về kỹ thuậtvới mộthệđiềukiệnnàođó gọilàphpthử (experiment)

Cóhailoại phpthử: Phpthửkhông ngẫu nhiênlàphp thửmà khi tiếnhànhta đã

dự đoán kết quả nó, hạn nếuđun điềukiện bìnhthường (dướiápsuất 1

atmotphe) thì sẽ sôi ở 100 0

là php thử không ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong giáo trình này, ta để đến php thử ngẫu nhiên, là loại php thử mà ta không thể biết

một kết quả nó sẽnhư thếnàovà từ naytrởđi tasẽ dùngthuật ngữ

"phpthử" ngắngọnthay thuậtngữ"phpthửngẫunhiên"

Víd1.2.1 thínghiệmsauđâylà php thử:(i)Tung mộtđồngtiềnvàquansát xem xuấthiệnmặt sấphay mặtngửa

100

1.2.2 Biến (sự kiện)

Định nghĩa1.2.2 (i)Khi mộtphp thử hiện, mộtkết quảmàta quansát gọi

là biến sơ (simpleevent)

(ii)Tậphợpgồmmộtsốbiến sơ gọi làbiến ngẫunhiên(randomevent)và thường kýhiệubởi A, B, C,

(iii) Tập hợp gồm tất biến sơ gọi là không gian mẫu (sample

thường kýhiệulàS

(iv)Biến khôngthểxảyrakhi hiệnphpthử gọilàbiến rỗng(emptyevent) (ký hiệulà∅)

(v)Biến luônxảyrakhi hiệnphpthử gọilàbiến event) (ký hiệulàΩ)

Chú ý1.2.3 Mộtbiến sơ luônlà mộtbiến ngẫunhiênnhưng lại nhìn khôngđúng.NếutagọiV làtậphợpgồm biến ngẫunhiênthìtrong mộtphpthử,

số phầntử V sẽlớnhơn sốphầntử khônggianmẫuS rấtnhiều

Ví d 1.2.4 (i) Gieo một đồngtiền đối và đồng Kýhiệu H là biến "Đồng tiền xuất hiện mặtsấp" và T làbiến "Đồng tiền xuất hiệnmặt ngửa" Khi đóH, T làhai biến sơ phpthửtrênvà khônggianmẫulà S = {H, T }

(ii)Gieo một đốivàđồng KýhiệuE i làbiến "Xuấthiệni ở

một mặt 7 làbiến rỗng; xuấthiệnmộtmặt số 6 6 và> 1" là

lẻ", là biến ngẫunhiên php thửđã vàkhônggian mẫulà

(iii) Tiến hành xt nghiệm và ghilại nhóm máu một số người Ký hiệu A là biến

"NgườimangnhómmáuA"; Blàbiến "NgườimangnhómmáuB"; AB làbiến "Người mang nhómmáu AB"; O là biến "Ngườimang nhómmáu O" Khiđó biến sơ

1.2.3 Quan hệ giữa biến

Trong tế, đôikhimộtbiến thể tạothànhnhưlàtổ hợp mộtsốbiến Cho A và B là hai biến bất kỳ Taxt một số mốiquan hệ giữa và mô tả

Định nghĩa 1.2.5 (i) Biến A gọi là ko theo (imply)biến B nếu A xảy ra thì B

xảyra, ký hiệulà A ⇒ B A ⊂ B) Nếu Ako theoB và B kotheoA thìA và

B gọilàhaibiến bằng nhau(equalevents), kýhiệulàA = B

(ii)Hợp (union) haibiến Avà B,kýhiệu bởi A ∪ B,làbiến xảyra khi và khiítnhất mộttronghaibiến A B xảyra `

(iii)Giao haibiến A và B,kýhiệu bởiA ∩ B,là biến xảyra khi

và khi haibiến AvàB xảyra

(iv)Hiệu haibiến A vàB,kýhiệubởiA \ B,làbiến xảy rakhivà khi AxảyranhưngB khôngxảyra

(v)Haibiến AvàB gọilàxung (mutually khivà khinếubiến

A xảyrathìbiến B khôngxảyra và lại,nghĩalàA ∩ B = ∅.

làmột biến Nghĩalàta A = Ω \ A.

Ta thểmô tả kháiniệmtrênbằng sơđồVennnhưsau

Hình1.1:Hợp haibiến Avà B

Hình1.2:Giao haibiến AvàB

Hình1.3:Hiệu hai biến AvàB

A

A

Ω

Hình1.4:Biến đốilậpA biến A

Chú ý1.2.6 (i) Ta thể mởrộngmối quanhệ giữa biến một sốhữu hạnbấtkỳ biến

(ii)Từ Định nghĩa 1.2.2,ta thấyngay haibiến đốilập thìxung nhưng lại thì nhìn khôngđúng Víd biến E i (i = 1, , 6)trong phpthử gieomột

làxung với nhau từngđôi,nhưng biến E i khôngđối lậpvới biến E j,với mọii 6= j

(iii)Tathườngviết biến AB thay biến giaoA ∩ B.NếuAvà B làhai biến

(iv)NếuAvà B làhaibiến xung thì biến AvàB;AB vàAB; AB vàAB

xung vớinhau

(v)Php hợpvà giao biến tính giaohoán, kếthợpvàphânphối.Nghĩalà

Saukhimở rộng quanhệ trên một sốhữu hạn biến taxt khái niệmquan trọngsau

Định nghĩa1.2.7 biến A 1 , , A n gọilà mộthệ đầyđủ biến (system of mutually and exhaustiveevents)nếuthoảmãnhaiđiềukiện:

(i)Chúngxung vớinhautừngđôi một,nghĩalà A i ∩ A j = ∅,vớimọii 6= j

Nếukhảnăngxảyra biến đólànhưnhauthìtagọilàhệđầyđủđồngkhảnăng(system

of equallylikelyandexhausiveevents)

php thử,ta thểviết nhiềuhệ đầyđủ nhau.Để bạn thểhiểurõhơnvà thể sosánh kháiniệmtrên, taxt vídsau

Ví d 1.2.8 Gieo một GọiE i là biến xuất hiện mặt i với

xuất hiệnmặt số lẻ".Hãymôtả biến A, B, A + B, AB, A thôngqua biến sơ vàviết hệđầyđủ biến

Giải Rõràngkhônggian mẫu phpthửtrên làS = {E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 , E 6 }và

với nhau từng đôi và A, B là hai biến đối lập nên php thử trên hai hệ đầy đủ là

1.2.4 Phân một biến theohệ đầy đủ

Qua ví d trên, ta thấy rằngđối với mỗi một php thử, thể viết nhiều hệ

đầy đủ nhau và tậptất biến sơ trong khônggian mẫu luôn lậpthành một

hệ đầyđủgọilàhệ đầyđủđồng khảnăng định hệ đầyđủvà dùnghệnào trong số hệ đólà rất quan trọngtrong giải bàitoán suất, biệt là bài