Bài giảng Vật lý 1: Chương 7 - Lê Quang Nguyên

[r]

Trang 1

Định luật Gauss

Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com

Nội dung

1 Thông lượng dòng nước

2 Thông lượng ñiện trường (ñiện thông)

3 Định luật Gauss

4 Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss

5 Bài tập áp dụng

1 Thông lượng dòng nước – 1

• Xét một dòng nước chảy thẳng ñều với vận tốc v,

và một mặt phẳng (S), ñặt vuông góc với dòng

chảy

• Thông lượng Φ của nước qua (S) (thể tích nước

qua (S) trong một ñơn vị thời gian):

• Ф = v.S

v

S

Thể tích nước trong hình trụ này sẽ ñi qua (S) trong một giây

• Nếu (S) tạo một góc với dòng nước thẳng ñều,

• thông lượng của nước qua (S) là:

• Dấu của Ф phụ thuộc vào góc α.

v

α

n

S n v

⋅

=

Φ cosα

Thể tích nước trong hình trụ nghiêng này

sẽ ñi qua (S) trong một giây

Trang 2

Mặt cong (S)

Dòng nước

• Dòng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ

• Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS.

dS

v n

• Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dòng chảy

qua ñó là thẳng ñều Do ñó,

• thông lượng qua dS là:

• v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS.

• Thông lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng thông

lượng qua tất cả các phần dS:

dS n v vdS

⋅

=

( )∫

∫ Φ= ⋅

= Φ

S dS n v

v

• Nếu mặt (S) là một mặt kín thì ta quy ước chọn n

hướng ra ngoài mặt (S)

• Do ñó thông lượng nước qua một mặt kín = lưu

lượng nước ñi ra ở một bên trừ ñi lưu lượng nước

ñi vào ở phía bên kia

Thông lượng ra

là dương

Thông

lượng

vào là âm

n

2 Thông lượng ñiện trường – Định nghĩa

• Tương tự, chúng ta cũng ñịnh nghĩa thông lượng ñiện trường qua một mặt (S) bất kỳ là:

• với E, n là vectơ ñiện trường và pháp vectơ trên

dS.

• Điện thông cũng là số ñại số

• Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng ñược chọn hướng ra ngoài

∫

∫ Φ= ⋅

=

Φ

)

( S E n dS

Trang 3

2 Thông lượng ñiện trường – Ý nghĩa

• Điện thông qua mặt dS vuông góc với ñiện trường

là dΦ = EdS,

• dΦ = số ñường sức ñi qua dS.

• Do ñó ñiện thông Φ qua (S) bằng tổng số ñường

sức qua (S)

• Φ > 0 khi các ñường sức ñi theo chiều của pháp

vectơ,

• Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại

• Φ qua một mặt kín = số ñường sức ñi ra trừ số

ñường sức ñi vào

E

3a Định luật Gauss – 1

• Điện thông qua một mặt kín (S) bằng tổng các

ñiện tích bên trong (S) chia cho ε0:

0 )

(S εin

S

Q dS n

=

1 5

2 q q q

Điện trường do tất

cả các ñiện tích có mặt tạo ra, nhưng chỉ các ñiện tích bên trong (S) mới

ñóng góp vào ñiện

thông qua (S) Tại sao?

3a Định luật Gauss – 2

Ф > 0

q > 0

Ф < 0

q < 0

Ф = 0

q

3b Định luật Gauss & dòng nước – 1

Nước vào

Lưu lượng qua (S) = 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào = Nước ra

Trang 4

Nước vào

Lưu lượng qua (S) > 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào < Nước ra

Cá phun nước ~ ñiện tích dương

Nước vào

Lưu lượng qua (S) < 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào > Nước ra

Cá uống nước ~ ñiện tích âm

Nước vào

Lưu lượng qua (S) = 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào = Nước ra

Cá ở ngoài không thể thay ñổi lưu lượng

4a Divergence (div) – ñịnh nghĩa

• Xét một mặt kín nhỏ (∆S) bao quanh một ñiểm M(x,y,z).

• Thể tích giới hạn bởi mặt kín này là ∆V và ñiện thông qua (∆S) là ∆Φ.

M(x,y,z) (∆S)

∆V

E

Trang 5

4a Divergence (div) – ñịnh nghĩa (tt)

• Giới hạn của ∆Ф/∆V khi (∆S) tiến rất gần tới M

ñược gọi là divergence của ñiện trường tại M:

• Như vậy divergence là thông lượng tính trên một

ñơn vị thể tích trong (∆S)

V

E

∆Φ

=

→

∆lim0

div

4b Divergence trong tọa ñộ Descartes

• Trong tọa ñộ Descartes divE tại M(x,y,z) có biểu

thức:

• trong ñó các ñạo hàm riêng ñược thực hiện ở vị trí

M(x,y,z).

z

E y

E x

E

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

=

div

4c Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss

• Áp dụng ñịnh luật Gauss cho (∆S), trong ñó có

chứa ñiện tích ∆Q:

• Chia hai vế cho thể tích ∆V trong mặt kín rồi lấy

giới hạn khi ∆V tiến tới không:

0

ε

Q

∆

=

∆Φ

V

Q

∆

=

∆

∆Φ

→

∆

→

0

div

ερ

=

E

Mật ñộ ñiện tích

ở M

5a Bài tập 1 – ñối xứng trụ

• Cho một dây không dẫn ñiện, dài vô hạn, tích

ñiện ñều với mật ñộ λ > 0 Tìm ñiện trường ở khoảng cách r tính từ trục của dây.

• Nhận xét:

• Dây có tính ñối xứng trụ, tức là ñối xứng ñối với trục của nó

• Do ñó ñiện trường do dây tạo ra cũng có tính ñối xứng trụ

Trang 6

5a Trả lời BT 1 – 1

• Do tính ñối xứng trụ, ñiện trường có tính chất như

sau:

• Đường sức ñiện trường là những ñường thẳng

xuyên tâm trong các mặt phẳng cắt trục ñối xứng

• Xét một mặt trụ ñồng trục với dây;

• Điện trường vuông góc với mặt trụ này và có ñộ

lớn không ñổi trên ñó

E

λ

l

Nhìn từ trên xuống

Nhìn ngang

Mặt trụ

ñồng trục

r

• Xét mặt kín (S) gồm mặt trụ ñồng trục với dây, có

bán kính r và chiều cao l và hai ñáy của nó.

• Điện thông qua (S) bằng ñiện thông qua mặt bên

hình trụ:

• Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì:

• Do ñó:

rl E dS

=

Φ ∫

0

0 λ ε

ε

l

Q in = ⋅

=

Φ

r

E

0

2πελ

=

5b Bài tập 2 – ñối xứng phẳng

• Cho một bản phẳng vô hạn, không dẫn ñiện, tích

ñiện ñều với mật ñộ σ > 0 Xác ñịnh ñiện trường ở khoảng cách r tính từ bản phẳng.

• Nhận xét:

• Hệ có tính ñối xứng ñối với mặt phẳng ñi qua bản tích ñiện,

• do ñó ñiện trường do bản tạo ra cũng ñối xứng ñối với bản phẳng

Trang 7

5b Trả lời BT 2 – 1

• Điện trường này có ñặc ñiểm:

• Đường sức là những ñường thẳng song song

vuông góc với bản phẳng tích ñiện, có chiều ñối

xứng qua bản

• Trên một mặt phẳng song song với bản thì ñiện

trường có ñộ lớn không ñổi

E

Mặt trụ kín vuông góc với bản

Đáy (A)

E

A

Nhìn ngang

• Xét mặt kín (S) là một mặt trụ vuông góc với bản,

nhận bản làm mặt phẳng ñối xứng

• Điện thông qua (S) bằng hai lần ñiện thông qua

mặt ñáy (A):

• Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì:

EA dS

E dS n E

A A

) ( )

=

0

0 σ ε

ε

A

Q in

Φ

0

2σε

=

E

5c Bài tập 3 – ñối xứng cầu

• Một vỏ cầu mỏng bán kính R có ñiện tích q > 0

phân bố ñều trên bề mặt Tìm ñiện trường do vỏ cầu tạo ra ở bên trong và bên ngoài nó

• Nhận xét:

• Hệ có tính ñối xứng cầu ñối với tâm của vỏ cầu,

• ñiện trường do hệ tạo ra cũng có tính ñối xứng cầu ñối với tâm vỏ cầu

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	626,09 KB