• Điện thế tạo bởi một hệ ñiện tích ñiểm bằng tổng ñiện thế của tất cả các ñiện tích ñiểm thuộc hệ.[r]
Trang 1Điện thế
Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle@zenbe.com
Nội dung
1 Công của lực tĩnh ñiện
2 Thế năng tĩnh ñiện
3 Điện thế
4 Lưu số của trường tĩnh ñiện
5 Bài tập áp dụng
1 Công của lực tĩnh ñiện – 1
• Xét ñiện tích thử q0
chuyển ñộng trong
ñiện trường tạo bởi q,
từ M ñến N, theo
ñường cong (C)
• Công của lực tĩnh
ñiện là:
∫
→
⋅
=
N M C
MN q E d r
W
) ( 0
q
dr
F = q0E
M
N
q0
(C)
E
1 Công của lực tĩnh ñiện – 2
• Phân tích vectơ dịch chuyển
dr thành hai thành phần
vuông góc và song song với
ñiện trường (phương bán
kính r).
• Chỉ có thành phần song song có ñóng góp vào công:
q0E
q
dr
Edr q r d E q
δ
2 0 2
0
r
dr q kq dr r
q k q
δ
dr┴
Trang 21 Công của lực tĩnh ñiện – 3
• Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau:
• Suy ra:
• Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi,
• chỉ phụ thuộc vị trí ñầu và cuối
• Kết quả trên cũng ñúng với một ñiện trường bất
kỳ
−
=
r
q q k d
δ
N M
MN
r
q q k r
q q k r
q q k W
∆
−
=
= ∫δ
2a Thế năng tĩnh ñiện – 1
• Cho ñiện tích thử q0 chuyển ñộng trong một ñiện trường từ M ñến N, theo ñường cong (C)
• Công của lực tĩnh ñiện là:
∫
→
⋅
=
N M C
MN q E d r W
) ( 0
dr
F = q0E
M
N
E
q0
(C)
2a Thế năng tĩnh ñiện – 2
• Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi,
chỉ phụ thuộc vào vị trí ñầu và vị trí cuối
• Do ñó người ta có thể ñịnh nghĩa thế năng tĩnh
ñiện U của hệ (ñiện tích thử + ñiện trường):
• U là một hàm của vị trí; tích phân ñược thực hiện
theo một ñường cong bất kỳ nối M và N
• UM − UN = −∆U là ñộ giảm thế năng tĩnh ñiện
giữa M và N Thế năng biến ñổi thành công
∫ ⋅
=
M N
M U q E d r
2a Thế năng tĩnh ñiện – 3
• Nếu chọn thế năng tại một ñiểm P nào ñó bằng không (chọn P làm gốc thế năng) thì thế năng tĩnh
ñiện tại ñiểm M là:
• Tích phân ñược thực hiện theo một ñường cong bất kỳ nối M và P
∫ ⋅
M
M q E d r
Trang 32b Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 1
• Xét hai ñiện tích ñiểm q1 and q2 cách nhau một
khoảng r.
• Theo công thức trên thế năng tĩnh ñiện của hệ là:
• E1 là ñiện trường tạo bởi q1
∫
∞
⋅
=
r
r d E
q
U 2 1 Gốc thế năng ở ∞, tích phân thực hiện trên ñường qua hai
ñiện tích, từ r tới ∞.
E1
q2 dr
∞
2b Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 2
• Suy ra:
• Để tạo nên một hệ hai ñiện tích ñiểm, năng lượng cần cung cấp ít nhất phải bằng thế năng tĩnh ñiện của hệ
∫
∞
=
⋅
=
r
dr q kq r
r d r q kq
r
q q k
2c Thế năng tĩnh ñiện của một hệ ñiện tích ñiểm
• Xét một hệ ñiện tích ñiểm bất kỳ
• Năng lượng tĩnh ñiện của hệ bằng tổng năng
lượng tĩnh ñiện của tất cả các cặp ñiện tích thuộc
hệ
• (i, j) chỉ cặp ñiện tích q i , q j, cách nhau một
khoảng r ij
• U là năng lượng tối thiểu cần cung cấp ñể tạo nên
hệ
∑
=
)
,
( j i ij
j i
r
q q k
U
3a Điện thế
• Điện thế tại M ñược ñịnh nghĩa là:
• Điện thế chỉ phụ thuộc vào ñiện trường chứ không phụ thuộc vào ñiện tích thử
• Độ giảm ñiện thế giữa hai vị trí M và N trong
ñiện trường là:
∫ ⋅
=
M
M
q
U
0
∫ ⋅
=
∆
−
=
M N
Đơn vị ñiện thế là J/C
hay Volt (V)
Trang 43b Điện thế tạo bởi một ñiện tích ñiểm
• Điện trường do ñiện tích ñiểm q tạo ra:
• Nếu gốc thế năng P ở vô cùng và ñường lấy tích
phân là ñường thẳng thì:
3
r
r
q
k
E
=
∫
=
r
P
M
M
r
dr kq r
r d r kq
r
q
k
V M =
E
M
∞
dr
3c Điện thế tạo bởi hệ ñiện tích ñiểm
• Điện thế tạo bởi một hệ ñiện tích ñiểm bằng tổng ñiện thế của tất cả các ñiện tích ñiểm thuộc hệ
• Nếu hệ là một phân bố ñiện tích liên tục,
• ta chia hệ làm nhiều phần nhỏ vi phân, sao cho mỗi phần ñược coi như một ñiện tích ñiểm
• Tổng sẽ ñược thay thế bằng tích phân
3d Tìm ñiện trường từ ñiện thế
• Độ giảm ñiện thế giữa hai ñiểm rất gần nhau:
• Mặt khác ta có:
• Suy ra:
dz E dy E dx E r d E
r d V dz
z
V dy y
V dx x
V
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
V
E =−grad
z
V E
y
V E
x
V
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
3e Mặt ñẳng thế – Định nghĩa
• Mặt ñẳng thế là tập hợp các ñiểm có cùng một ñiện thế trong ñiện trường
• Ví dụ, mặt ñẳng thế trong ñiện trường do một
ñiện tích ñiểm q tạo ra là các mặt cầu có tâm ñặt
tại q:
• Minh họa
const z
y x
V( , , )=
const r
const r
q k
Trang 53e Mặt ñẳng thế – Tính chất
• Điện trường vuông góc với mặt ñẳng thế,
• và hướng theo chiều giảm của ñiện thế
• Khi một ñiện tích ñiểm dịch chuyển trên một mặt
ñẳng thế thì công của lực tĩnh ñiện bằng không
4a Lưu số của trường tĩnh ñiện - 1
• Cho một ñường cong (C) trong không gian có
ñiện trường, lưu số của ñiện trường trên (C) ñược ñịnh nghĩa là:
∫ ⋅
=
Γ
)
(C
C E d r
dr
E
E
(C)
4a Lưu số của trường tĩnh ñiện - 2
• Công thực hiện khi ñiện tích
dịch chuyển trên một ñường
kín (C) thì bằng không
• Vậy lưu số ñiện trường theo
một ñường kín luôn luôn
bằng không:
• Trường tĩnh ñiện là một
trường không có xoáy: ñường
sức không khép kín
• So sánh với dòng chảy: minh
họa
( )
0
C
E dr⋅ =
∫
( )
C
q ∫ E dr⋅ =
4b Rotation – Định nghĩa
• Xét một ñường cong kín (C) nhỏ bao quanh một
ñiểm M(x, y, z).
• Gọi diện tích giới hạn trong (C) là ∆S, pháp vectơ của mặt phẳng trong (C) là n, và lưu số của ñiện
trường trên (C) là ∆Γ
• Rotation của ñiện trường ở M, ký hiệu là rotE,
ñược ñịnh nghĩa như sau:
S n
E
S ∆
∆Γ
=
⋅
→
∆lim0
(C)
n
∆S
M
dr
Trang 64b Rotation – Tính chất
• Hình chiếu của rotE trên một phương n là:
• Mật ñộ lưu số trên một ñường khép kín nhỏ
vuông góc với phương ñó
n
M
rotE
rotE.n
4b Rotation – Tính chất (tt)
• Đối với trường tĩnh ñiện thì lưu số trên một
ñường kín luôn luôn bằng không, nên:
• Người ta chứng tỏ ñược là rotE có dạng:
0 rotE =
k
5a Bài tập 1 Lưỡng cực ñiện là một hệ gồm
hai ñiện tích ñiểm +q và −q, ñặt
cách nhau một khoảng d.
Chọn trục z là trục ñi qua hai
ñiện tích ñiểm và ñặt gốc tọa ñộ
O ở ñiểm giữa của chúng
Định nghĩa vectơ momen lưỡng
cực ñiện:
Vectơ d hướng từ −q ñến +q.
+q
–q d
z
O
d q p
=
5a Bài tập 1 (tt) Hãy tìm:
(a) Điện thế do lưỡng cực ñiện tạo ra ở khoảng
cách r lớn hơn nhiều so với d Viết kết quả thu
ñược qua momen lưỡng cực ñiện
(b) Điện trường từ biểu thức của ñiện thế
Trang 75a Trả lời BT 1 – 1
M
r
r +
r –
θ
+q
–q
d
x z
+
r
q k V
−
r
q k V
5a Trả lời BT 1 – 2
• Điện thế ở ñiểm M(r,θ):
• Khi r >> d ta có gần ñúng:
• Suy ra:
=
−
=
− +
+
−
−
r r kq r
r kq
2
d r
2 2
cos cos
r
p k r
d kq
d
r +
r –
θ
dcosθ
5a Trả lời BT 1 – 3
• Trở lại tọa ñộ Descartes:
• Suy ra:
• Vậy:
r z z
x
5
3
r
xz kp x
V
∂
∂
−
=
x
z
r
θ
3
z x
z kp
r
z
kp
V
+
=
=
5
2 2
3
r
r z kp z
V
∂
∂
−
=
5a Trả lời BT 1 – 4
• Suy ra ñộ lớn của ñiện trường:
• Minh họa
2 2 4 2 2
3z
r r
kp E
E
θ
2
3 1+3cos
=
r kp E