Thanh ñược thả không vận tốc ñầu khi ñang nằm ngang.[r]
Trang 1Vật rắn
Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung
1 Vận tốc góc và gia tốc góc
2 Momen ñộng và momen lực ñối với một trục
3 Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay
4 Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay
5 Chuyển ñộng lăn
1a Vị trí góc
• Khi vật rắn quay quanh một
trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm
ñều chuyển ñộng tròn, với
tâm ở trên trục quay
• Chọn một chất ñiểm thuộc vật
rắn, có vị trí cho bởi các tọa
ñộ cực r, θ.
• θ cũng là vị trí góc của cả vật
rắn, chứ không phải của riêng
chất ñiểm ñang xét
r θ
∆θ < 0, ω < 0
cùng chiều kim ñồng hồ
1b Vận tốc góc
• Trong thời gian ∆t vật rắn
quay ñược một góc:
• Vận tốc góc trung bình ñược ñịnh nghĩa như sau:
i
f θ θ
∆
t
av
∆
∆
ω
θ f
θ i
∆θ
∆θ
∆θ > 0, ω > 0
ngược chiều kim ñồng hồ
Trang 21b Vận tốc góc (tt)
• Vận tốc góc tức thời là một
vectơxác ñịnh bởi:
• với u z là vectơ ñơn vị trên
trục quay z, hướng theo
chiều thuận ñối với chiều
ngược chiều kim ñồng hồ
• Mọi chất ñiểm trong vật rắn
quay ñều có cùng vận tốc
góc
z
u
ω
ω =
ω
z
ω
z
1c Gia tốc góc
• Gia tốc góc trung bình:
• Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi:
• Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia tốc góc
t
av
∆
∆
α
dt
α =
z
u dt
α
ω
1d Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài
• Ta có:
• Đạo hàm theo thời gian cho ta:
• hay tổng quát hơn nữa:
• R là vị trí của chất ñiểm ñối
với một ñiểm gốc bất kỳ trên
trục quay
r
r
R
v
×
=ω
r
×
=ω
θ r s
z
ω
r v
R
1e Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài
• Gia tốc tiếp tuyến:
• Gia tốc pháp tuyến:
( )
dt
d r dt
r d dt
dv
=
=
=
r
( )2 2
n
r v
a
ω
2
n
u t
a t
a n
Trang 32a Phụ lục toán
• Xét hình chiếu trên trục z
của vectơ R × A,
• R là vị trí của chất ñiểm ñối
với gốc O trên trục quay,
• còn A là một vectơ xác ñịnh
ở vị trí ñang xét
• Chúng ta cần tìm một biểu
thức thuận tiện cho ñại
lượng:
(R A) (z R A) uz
⋅
×
=
×
z
u z
A
R
2a A useful formula (cont.)
• From vector calculus we get:
• Applying it here gives:
• Resolve R in to r|| parallel and
r perpendicular to z-axis, we
have:
• Furthermore:
(a b) c (b c) a (c a) b
⋅
×
=
⋅
×
=
⋅
×
(R A) u z (u z R) A
⋅
×
=
⋅
×
r u r u r u R
×
=
× +
×
=
t
z r r u
=
×
z
u z
R
r||
r
u t
u z
u t r
= 0
2a Phụ lục toán (tt)
• A t là hình chiếu của A trên
phương pháp tuyến
• hay:
• l là chiều dài tay ñòn của A.
(R×A)z =r u t ⋅A =rA t
(R×A)z =r u t ⋅A =rAcosϕ
l
(R×A)z =r u t ⋅A =±lA
r
φ
φ
A
t
l
r φ
π–φ
A
t
l
2b Momen ñộng ñối với trục quay
• Momen ñộng ñối với trục
quay z là hình chiếu của momen ñộng trên z.
• Với chất ñiểm ở vị trí R và
có ñộng lượng p:
• Dùng công thức trong phụ lục toán vừa rồi ta ñược:
( ) z
z R p u
⋅
×
=
rmv rp
z
u z
R
r
u t p
Trang 42b Momen ñộng ñối với trục quay (tt)
• Biểu diễn qua vận tốc góc ta có:
• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn:
• Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược
ñịnh nghĩa là:
• Vậy:
( )ω 2ω
mr r
rm rmv
ω
i
i i
z m r
∑
=
i
i
i r
m
ω
I
L z =
2c Momen lực ñối với trục quay
• Momen lực ñối với trục
quay z là hình chiếu của momen lực trên z.
• Với một chất ñiểm:
• Theo phụ lục ta có thể viết:
(+) khi lực có xu hướng quay chất ñiểm ngược chiều kim ñồng hồ
( ) z
z R F u
⋅
×
= τ
lF
z =± τ
z
u z
R F
F
l
3a Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay
• Khi vật rắn quay quanh trục z:
• Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay.
tot
dL
,
z tot z
dL
∑±
=
i
i
i F l dt
d
lực ñối với trục quay
3b Bài tập 3.1
• Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng
nhất khối lượng M, bán kính R ñối với:
• (a) trục ñối xứng của vành,
• (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một ñiểm trên vành tròn
Trang 53b Trả lời bài tập 3.1
• Chia vành làm nhiều phần
tử nhỏ khối lượng dm, ta có:
• Dùng ñịnh lý Steiner:
• Suy ra:
2 2
2
MR dm
R dm
r
2
Md I
2 2
2MR
MR
I
R dm
(a) (b)
d
một số vật thường gặp
3c Bài tập 3.2
• Một ròng rọc có dạng như hình vẽ
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R1, tác ñộng một
lực T1 nằm ngang lên nó
• Phần dây quấn quanh hình
trụ bán kính R2 tác ñộng
một lực T2 hướng thẳng ñứng xuống
3c Bài tập 3.2 (tt)
(a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác
ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z.
(b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 =
15,0 N và R2 = 0,50 m,
– Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay,
– Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc
ñầu nó ñứng yên?
3c Trả lời bài tập 3.2
• Momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với
trục quay z là:
• Thay bằng số ta có:
• τ z > 0, ròng rọc quay ngược chiều kim ñồng hồ
tot z R T R T
Trang 63.d Bài tập 3.3
• Hai vật khối lượng m1 và
m2 ñược nối với nhau
bằng một dây nhẹ, dây
vắt qua hai ròng rọc
không ma sát (hình vẽ)
• Mỗi ròng rọc có momen
quán tính I và bán kính R.
• Tìm gia tốc của mỗi vật
và các sức căng dây
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1
Newton cho
• m1trên y hướng xuống:
• m2trên y hướng lên:
• ròng rọc quanh trục z
hướng ra ngoài:
1 1 1
1a m g T
g m T a
(T T )
R
(T T2)
R
m1g
T1
2g
T2 y
R
T1
T’
mg
N
R
T2
T’
mg N
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2
• Hai vật có gia tốc bằng nhau:
• Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên
vành ròng rọc = vận tốc vật:
• Ta có hệ phương trình sau:
a a
a
R =
v
R =
ω
1 1
1a m g T
g m T
a
T T
R
/
2 2
(1) (2) (3) (4)
3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3
• Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược:
• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức
căng
(m m )g a
R
I m
2 2
1
2 1
2
R
I m
m
g m m a
+ +
−
=
Trang 74a Động năng của vật rắn quay
• Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng
cách r ñối với trục quay:
• Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng
năng của vật rắn quay:
2 1 2 2
1 2
2
1mv mωr mr ω
2 2
2
i
i
i r m K
2
2
1
ω
I
K =
4b Công trong chuyển ñộng quay
• Công sơ cấp:
• Ta có:
• Do ñó:
• Suy ra công và công suất:
( R)dt F
dt v F
×
⋅
=
⋅
(ω ) ( ) ω
⋅
×
=
×
F
θ τ ω τ ω
∫
=
f
i
d
θ
θ
θ
z
ω
R
F dr
4c Bài tập 4.1
• Một thanh ñồng nhất chiều
dài L, khối lượng m có thể
quay không ma sát quanh
một trục ngang ñi qua một
ñầu thanh Thanh ñược thả
không vận tốc ñầu khi
ñang nằm ngang Tìm:
• (a) vận tốc góc khi thanh ở
vị trí thẳng ñứng,
• (b) vận tốc khối tâm ở vị
trí ñó
4c Trả lời bài tập 4.1 - 1
• Vì không có ma sát nên
cơ năng thanh bảo toàn:
• Khối tâm là ñiểm ñặt của toàn bộ trọng lượng, do
ñó thế năng trọng trường của thanh là:
( + )=0
∆
=
2 2
1Iω
K
∆
CM
g mgy
U =
Thế năng trọng trường của một vật rắn:
U g = mgy CM