Giáo trình Matlab trong điều khiển tự động: Phần 2

[r]

§1. KHÁI NIỆM CHUNG 

  Symbolic  Math  Toolboxes  kết  hợp  tính  toán  bằng  chữ  vào  môi  trường 

MATLAB. Các toolbox này bổ sung các tiện ích số và đồ thị với các kiểu tính  toán toán học khác nhau. 

Calculus  đạo  hàm,  tích  phân,  giới  hạn,  tổng  và  chuỗi 

Taylor  Linear Algebra  nghịch  đảo,  định  thức,giá  trị  riêng,  phân  tích  và 

dạng chính tắc của ma trận. 

Simplification  phương pháp rút gọn các biểu thức đại số 

Solution of Equations  giải bằng chữ và bằng số các phương trình đại số 

và vi phân  Variable‐Precision 

Arithmetic 

đánh giá độ chính xác của các biểu thức đại số 

Special  Mathematical 

Function 

các hàm toán học đặc biệt của các ứng dụng toán  học kinh điển 

Động  lực  tính  toán  nằm  dưới  các  toolbox  là  nhân  Maple,  một  hệ  thống  tính toán được phát triển đầu tiên ở trường đại học Waterloo, Canada và sau 

đó  tại  Eidgenroessiche  Technische  Hochschule  Zurich,  Thuỵ  sĩ.  Maple  được  thương mại hoá và hỗ trợ của công ty Waterloo Maple. 

§2. KHỞI ĐỘNG TOOLBOX 

1. Các đối tượng chữ: Trong phần này chúng ta sẽ xem xét cách tạo và dùng 

các đối tượng chữ. Chúng ta cũng sẽ xem xét các biến chữ mặc định. Symbolic  Math Toolbox định nghĩa một kiểu dữ liệu MATLAB mới gọi là đối tượng chữ 

hay sym. Bên trong, một đối tượng chữ là một cấu trúc số liệu mà nó lưu biểu 

diễn chuỗi các kí tự. Symbolic Math Toolbox dùng các đối tượng chữ để biểu 

diễn các biến chữ, các biểu thức chữ, các ma trận chữ. 

2. Tạo các biến và các biểu thức chữ: Lệnh sym cho phép ta xây dựng các biến 

và các biểu thức chữ. Ví dụ lệnh: 

a = sym(ʹalphaʹ) 

tạo ra các biến chữ là x và a với x là x và a là alpha. 

  Giả  sử  ta  muốn  ta  muốn  dùng  biến  chữ  để  biểu  diễn  tỉ  lệ  vàng 

2

5

1 +

=

rho = sym(ʹ(1 + sqrt(5))/2ʹ) 

Bây giờ ta có thể thực hiên các phép toán khác nhau với rho. Ví dụ : 

f = rho^2 ‐ rho ‐ 1 

   f = 

(1/2+1/2*5^(1/2))^2‐3/2‐1/2*5^(1/2) 

Ta rút gọn biểu thức: 

  simplify(f) 

   ans = 

0 

Bây giờ giả sử ta muốn giải phương trình bậc 2 f = ax2 + bx+c. Phát biểu: 

f = sym(ʹa*x^2 + b*x + cʹ) 

gán  biểu  thức  chữ  ax2 +  bx  +  c  cho  biến  f.  Tuy  nhiên  trong  trường  hợp  này 

Symbolic Math Toolbox không tạo ra các biến tương ứng với các số hạng a, b, 

c và x trong biểu thức. Để thực hiện các phép toán bằng chữ(ví dụ tích phân,  đạo hàm, thay thế v.v) trên f ta phải tạo các biến một cách rõ ràng, nghĩa là cần  viết: 

a = sym(ʹaʹ) 

b = sym(ʹbʹ) 

c = sym(ʹcʹ) 

x = sym(ʹxʹ)  hay đơn giản là : 

syms a b c x 

Nói  chung  là  ta  có  thể  dùng  sym  hay  syms  để  tạo  các  biến  chữ  nhưng  nên  dùng syms để tiết kiệm thời gian.  

2. Biến đổi giữa số và chữ: 

  a. Tạo các biến thực và phức: Lệnh sym cho phép ta mô tả các thuộc tính  toán học của các biến chữ bằng cách dùng tuỳ chọn real. Phát biểu: 

 x = sym(ʹxʹ,ʹrealʹ); 

 y = sym(ʹyʹ,ʹrealʹ); 

hay hiệu quả hơn: 

z = x + i*y 

tạo ra biến chữ x và y có thuộc tính là số thực. Đặc biệt: 

f = x^2 + y^2 

thực sự là số không âm. Như vậy z là biến phức và các lệnh: 

conj(x)  conj(z)  expand(z*conj(z)) 

cho kết quả: 

return the complex conjugates of the variables 

x 

x ‐ i*y  x^2 + y^2 

Lệnh conj là toán tử tạo số phức liên hợp. 

Để xóa thuộc tính real của x ta dùng lệnh: 

syms x unreal 

hay: 

x = sym(ʹxʹ,ʹunrealʹ) 

Lệnh clear x không xoá thuộc tính số real của x. 

b. Tạo các hàm trừu tượng: Nếu ta muốn tạo một hàm trừ tượng(nghĩa là 

một hàm không xác định) f(x) cần dùng lệnh: 

f = sym(ʹf(x)ʹ) 

Khi này f hoạt động như là f(x) và có thể xử lí bằng các lệnh toolbox. Ví dụ để  tính vi phân bậc 1 ta viết: 

df = (subs(f,ʹxʹ,ʹx+hʹ) – f)/ʹhʹ 

hay 

syms x h 

df = (subs(f,x,x+h)–f)/h 

trả về: 

df = 

(f(x+h)‐f(x))/h 

ứng dụng này của hàm sym sẽ rất hữu ích trong biến đổi Fourrier, Laplace và 

z. 

c. Dùng sym để truy cập các hàm của Maple: Ta có thể truy cập hàm giai  thừa k! của Maple khi dùng sym. 

kfac = sym(ʹk!ʹ) 

Để tính 6! hay k! ta viết (lưu trong ct5_1.m): 

syms k n  subs(kfac,k,6)  ans = 

720  subs(kfac,k,n)  ans = 

n! 

hay nếu tính 12! ta cũng có thể viết: 

prod(1:12) 

d. Ví dụ tạo ma trận chữ: Một ma trận vòng là ma trận mà hàng sau có 

được bằng cách dịch các phần tử của hàng trước đi 1 lần.Ta tạo một ma trận  vòng A bằng các phần tử a, b và c: 

syms a b c 

A =  [a b c; b c a; c a b] 

kết quả: 

A = 

[ a, b, c ]  [ b, c, a ]  [ c, a, b ] 

Do A là ma trận vòng tổng mỗi hàng và cột như nhau: 

sum(A(1,:))  ans = 

a+b+c  sum(A(1,:)) = = sum(A(:,2))   ans = 

1 

Bây giờ ta thay A(2,3) bằng beta và b bằng alpha: 

  syms alpha beta 

A(2,3) = beta; 

A = subs(A,b,alpha) 

A = 

[ a, alpha, c] 

[ alpha, c, beta] 

[ c, a, alpha] 

Từ ví dụ này ta thấy dùng các đối tượng chữ cũng tượng tự như dùng số trong  MATLAB. 

lập thường rất rõ ràng. Ví dụ xem bảng sau: 

g = sin(at+b)  g = sin(a*t+b) 

Nếu ta tìm đạo hàm của các hàm này nhưng không mô tả biến độc lập  (nghĩa là đạo hàm theo biến nào) thì kết quả là:  

f’ = nxn‐1  

gʹ = acos(at + b) 

hʹ =J v (z)(v/z)‐Jv+1(z).  

Như vậy các biến độc lập là x, t và z. MATLAB hiểu các biến độc lập là  các chữ thường và nằm ở cuối bảng chữ cái như x, y, z. Khi không thấy các chữ  cái này, MATLAB sẽ tìm chữ gần nhất và coi đó là biến độc lập. Các biến khác  như  n,  a,  b  và  v  được  coi  là  hằng  hay  thông  số.  Tuy  nhiên  ta  có  thể  lấy  đạo  hàm của f theo n bằng cách viết rõ biến độc lập ra. Ta dùng các lệnh sau để tạo 

ra các hàm( lưu trong ct5_2.m): 

syms a b n nu t x z 

f = x^n; 

g = sin(a*t + b); 

h = besselj(nu,z); 

Để đạo hàm hàm f ta viết: 

  diff(f); 

  ans = 

     x^n*n/x 

Trong ví dụ trên x là biến độc lập. Nếu muốn tính đạo hàm của f theo n ta cần  viết: 

diff(f,n)     ans = 

     x^n*log(x) 

4. Tạo các hàm toán học bằng chữ: 

a. Dùng các biểu thức chữ: Các lệnh: 

syms x y z 

t = atan(y/x) 

f = sin(x*y)/(x*y) 

tạo ra các biểu thức chữ r, t và f. Ta có thể dùng các lệnh diff, int, subs hay các 

lệnh Symbolic Math Toolbox khác để xử lí các biểu thức như vậy. 

b. Tạo các M‐file: M‐file cho phép ta dùng các hàm tổng quát hơn. Ví dụ 

ta  muốn  tạo  ra  hàm  sinc  =  sin(x)/x  ta  sẽ  viết  một  M‐file  (sinc.m)  có  nội  dung 

như sau: 

function z = sinc(x) 

if isequal(x,sym(0)) 

    z = 1; 

else 

    z = sin(x)/x; 

end 

Ta có thể mở rộng các ví dụ như vậy cho các hàm và biến khác nhau. 

§3. TÍNH TOÁN 

1. Đạo hàm: Ta tạo biểu thức chữ: 

syms a x 

f = sin(a*x)  Vậy thì: 

df = diff(f) 

tính đạo hàm của hàm f(x) theo x. Kết quả là: 

df = 

cos(a*x)*a 

Để tính đạo hàm của f theo a ta viết: 

dfa = diff(f,a) 

kết quả: 

dfa= 

cos(a*x)*x 

f = xn  f’ = nxn‐1

f = x^n  diff(f) hay diff(f,x) 

g = sin(at+b)  g’ = acos(at+b) 

g = sin(a*t+b)  diff(g) hay diff(g,t) 

h = Jv(z)  h’  =  Jv(z)(v/z)  ‐ 

Jv+1(z) 

h = besselj(nu,z)  diff(h) hay diff(h,z) 

Để tính đạo hàm bậc 2 của f theo x và a ta viết: 

diff(f,2)   ans = 

‐ sin(a*x)*a^2  diff(f,x,2) 

ans = 

‐ sin(a*x)*x^2 

Hàm diff có thể dùng đối số là ma trận. Trong trường hợp này đạo hàm được  thực hiện trên từng phần tử. Ví dụ: 

syms a x 

A = [cos(a*x),sin(a*x);‐sin(a*x),cos(a*x)] 

kết quả: 

A = 

[ cos(a*x),   sin(a*x)] 

[‐sin(a*x),   cos(a*x)] 

lệnh : 

dy = diff(A) 

cho kết quả: 

dy = 

[ ‐sin(a*x)*a,   cos(a*x)*a] 

[ ‐cos(a*x)*a,   ‐sin(a*x)*a] 

Ta khảo sát biến đổi từ toạ độ Euclid(x,y,z) sang tạo độ cầu (r, λ, ϕ) thực hiện  bằng các công thức: 

x = rcosλcosϕ 

y = rcosλsinϕ  z= rsinλ 

Để  tính  ma  trận  Jacobi  J  của  phép  biến  đổi  này  ta  dùng  hàm  jacobian.  Định 

nghĩa toán học của J là: 

) , , r (

) z , y , x ( J

ϕ λ

∂

∂

Để  dễ  viết  ta  dùng  kí  tự  l  thay  cho  λ  và  f  thay  cho  ϕ.  Các  lệnh  (lưu  trong 

ct5_5.m): 

syms r l f 

y = r*cos(l)*sin(f); 

z = r*sin(l); 

J = jacobian([x; y; z], [r l f]) 

cho ta kết quả: 

J = 

[ cos(l)*cos(f),    –r*sin(l)*cos(f),     –r*cos(l)*sin(f) ] 

[ cos(l)*sin(f),   –r*sin(l)*sin(f),   r*cos(l)*cos(f)] 

[ sin(l),       r*cos(l),              0] 

và lệnh : 

detJ = simple(det(J)) 

cho: 

detJ = 

–cos(l)*r^2 

Chú ý là đối số thứ nhất của hàm jacobian phải là vec tơ cột và đối số thứ hai 

là vec tơ hàng. Hơn nữa do định thức của ma trận Jacobian là biểu thức lượng 

giác khá phức tạp nên ta dùng lệnh simple để thay thế và rút gọn. 

Bảng sau tổng hợp hàm diff và hàm jacobian 

f = exp(ax + b)  syms a b x 

f = exp(a*x + b) 

dx

df

diff(f,x) 

da

df

a d

f d 2

2

r = u2 + v2

t = arctan(v/u) 

syms r t u v 

r = u^2 + v^2 

t = atan(v/u)  )

v , u (

) , r ( J

∂

∂

2. Giới hạn: Đạo hàm của một hàm là giới hạn sau đây nếu nó tồn tại : 

h

) x ( ) h x ( lim )

x ( f

0 h

− +

=

′

Symbolic  Math  Toolbox  cho  phép  giới  hạn  của  một  hàm  một  cách  trực  tiếp  hơn. Lệnh: 

syms h n x 

dc = limit( (cos(x+h) – cos(x))/h,h,0 ) 

cho kết quả: 

dc = 

–sin(x) 

và : 

limit( (1 + x/n)^n,n,inf ) 

cho: 

ans =  exp(x) 

minh  hoạ  2  trong  số  các  giới  hạn  quan  trọng  của  toán  học:đạo  hàm(trong  trường hợp cosx) và hàm mũ. Trong khi nhiều giới hạn : 

) x ( lim

a

là “hai phía”(nghĩa là kết quả như nhau cho dù x tiến tới bên phải hay bên trái  của a) lại có những hàm giới hạn phải và trái khác nhau. Do đó 3 giới hạn: 

x

1 lim , x

1 lim , x

1 lim

0 x 0 x 0

cho 3 kết quả khác nhau: không xác định , ‐∞ và +∞ 

Trong trường hợp không tồn tại gới hạn Symbolic Math Toolbox trả về kết quả  NaN. Ví dụ: 

limit(1/x,x,0)  

cho: 

ans = 

NaN 

Lệnh: 

limit(1/x,x,0,ʹleftʹ) 

cho: 

ans = 

–inf  Lệnh: 

limit(1/x,x,0,ʹrightʹ) 

cho: 

ans = 

inf 

Như vậy limit(f) tương đương với limit(f,x,0). Bảng sau cho các giới hạn: 

Hàm toán học  Lệnh MATLAB 

) x ( lim

0

) x ( lim

a

limit(f,a)  )

x ( lim

a

) x ( lim

a

3. Tích phân: 

a. Các vấn đề chung: Nếu f là một biểu thức chữ thì int(f) tìm một biểu 

sau: 

1 n

x dx

x

1 n n

+

int(x^n,x) 

∫

π

= 2

0

1 dx ) x 2

int(sin(2*x),0,pi/2) hay  int(sin(2*x),x,0,pi/2) 

g = cos(at+b) 

a

1 dt )

(

g = cos(a*t + b)  int(g) hay   int(g,t) 

) z ( J dz ) z

(

int(besselj((1,z),z)   

Khi MATLAB không tìm được tích phân nó viết lại lệnh đã nhập vào. 

b. Tích phân với hằng số thực: Một trong các vấn đề khi tính tích phân là 

giá trị của các thông số. Ta xét hàm   Hàm này rõ ràng là có giá trị dương  với mọi k và x và có dạng hình chuông. Giá trị của hàm tiến đến 0 khi x→±∞  với mọi số thực k. Ta lấy ví dụ 

2

) kx (

e−

2

1

k =  và vẽ đồ thị của hàm bằng các lệnh ( 

lưu trong ct5_6.m): 

syms x 

k = sym(1/sqrt(2)); 

f = exp(–(k*x)^2); 

ezplot(f) 

Tuy nhiên nhân Maple không coi k2 và x2 là những số dương mà chỉ là các biến  hình thức, không có thuộc tính toán học. Do vậy khi tính   bằng các  lệnh: 

dx

e (kx)2

∫

∞

∞

−

−

syms x k; 

f = exp(–(k*x)^2); 

int(f,x,–inf,inf)  

kết quả sẽ là: 

Definite integration: Canʹt determine if the   integral is convergent. 

Need to know the sign of ‐‐> k^2  Will now try indefinite integration and then take limits. 

Warning: Explicit integral could not be found. 

ans =  int(exp(–k^2*x^2),x= –inf inf) 

Trong phần sau chúng ta sẽ xét cách làm cho MATLAB hiểu rằng k là số thực 

và do đó coi k2 là số dương. 

c. Các biến thực theo sym: Chú ý là Maple không thể xác định được dấu 

của k2. Vậy chúng ta giải quyết khó khăn này như thế nào? Câu trả lời là làm 

cho k trở thành số thực bằng dùng lệnh sym. Một đặc điểm có ích của sym gọi 

là  tuỳ  chọn  real  cho  phép  ta  khai  báo  k  là  biến  thực.  Do  vậy  tích  phân  trên 

hoàn toàn tính được trong toolbox nhờ các lệnh: 

syms k real  int(f,x,–inf,inf) 

kết quả là: 

ans =  signum(k)/k*pi^(1/2) 

Chú ý là k bây giờ là đối tượng chữ trong vùng làm việc của MATLAB và là  biến thực trong vùng làm việc của Maple. Khi nhập lệnh: 

   clear k  

ta chỉ xoá được k trong vùng làm việc của MATLAB. Muốn là cho k không còn 

là số thực trong vùng làm việc của Maple ta phải dùng lệnh: 

syms k unreal. 

Ta có bảng sau: 

Hàm toán học  Lệnh MATLAB  kx

e ) x

f = exp(‐k*x) 

∫ (x)dx  int(f) hay int(f,x) 

∫

1

0 dx ) x

int(f,x,0,1) 

2

) kx ( e ) x (

g=exp(‐(k*x)^2) 

∫

∞

∞

−

dx ) x (

int(g,x,‐inf,inf)   

4.  Tính  tổng:  Ta  có  thể  tính  tổng  biểu  thức  chữ  khi  chúng  tồn  tại  bằng  cách 

dùng lệnh symcum.V í dụ chuỗi : 

⋅

⋅ + +

3

1 2

1

cho tổng là π2/6 còn chuỗi : 

  1 + x2 + x3 +. . . 

cho tổng là 1/(1‐x). Các tổng được tính như sau (lưu trong ct5_7.m): 

syms x k  s1 = symsum(1/k^2,1,inf)  s2 = symsum(x^k,k,0,inf)  s1 = 

1/6*pi^2  s2 = 

‐1/(x‐1)   

5. Chuỗi Taylor: Cho hàm f(x). Phát biểu: 

T = taylor(f,8) 

cho kết quả: 

T =  1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6 

là  khai  triển  Taylor  của  f(x)  lân  cận  x  =  0(khai  triển  MacLaurin)  có  chứa  8  số  hạng khác 0. Phát biểu: 

syms x 

g = exp(x*sin(x)) 

tạo ra khai triển Taylor của f(x) tại x = 2 và chứa đến 12 số hạng khác 0. Ta vẽ  các  hàm  này  lên  cùng  một  đồ  thị  để  thấy  được  khả  năng  xấp  xỉ  của  chuỗi 

Taylor với hàm thực g (lưu trong ct5_8.m): 

 xd = 1:0.05:3; 

 yd = subs(g,x,xd); 

 ezplot(t, [1,3]); 

 hold on; 

 plot(xd, yd, ʹr‐.ʹ)   title(ʹXap xi Taylor ʹ); 

 legend(ʹHamʹ,ʹTaylorʹ) 

Tiếp đó ta dùng lệnh: 

1 2 3 4 5 6

x

Xap xi Taylor

Ham Taylor

pretty(T) 

để in kết quả dưới dạng các biểu thức toán học dễ đọc. 

6. Tính toán mở rộng: Ta xét hàm: 

x cos 4 5

1 )

x (

+

Các lệnh: 

syms x 

f = 1/(5+4*cos(x)) 

lưu biểu thức chữ định nghĩa hàm f(x). 

  Symbolic Math Toolbox cung cấp một bộ các lệnh dễ dùng để vẽ đồ thị 

các  biểu  chữ,  bao  gồm  các  đường  cong  trong  mặt  phẳng(ezplot),  các  đường  đẳng  mức(ezcontour  và  ezcontourf),  các  mặt  cong(ezsurf,  ezsurfc,  ezmesh  và  ezmeshc), đồ thị trong toạ độ cực(ezpolar) và đường cong dưới dạng thông số 

ta xem cách dùng hàm ezplot vẽ đồ thị hàm f(x). Đồ thị của hàm như sau: 

Phạm vi mặc định khi vẽ đồ thị của hàm là [‐2π ÷ 2π ]. Để chỉ cụ thể phạm vi 

vẽ đồ thị ta dùng lệnh: 

ezplot(f,[a b]) 

Lúc này đồ thị của hàm được vẽ trong đoạn [a, b] 

Bây giờ ta tìm đạo hàm bậc 2 của f(x): 

f2 = diff(f,2)  f2 = 

32/(5+4*cos(x))^3*sin(x)^2+4/(5+4*cos(x))^2*cos(x) 

Ta có thể nhập lệnh: 

f2 = diff(f,x,2). 

Ta vẽ đồ thị của f2: 

ezplot(f2)  axis([–2*pi 2*pi –5 2]) 

Từ đồ thị ta thấy rằng giá trị của f”(x) nằm trong khoảng [‐4 , 1]. Giá trị max và  min của f”(x) xuất hiện tại f”’(x)=0. Phát biểu: 

f3 = diff(f2); 

cho  

32/(5+4*cos(x))^3*sin(x)^2+4/(5+4*cos(x))^2*cos(x) 

và :  

pretty(f3) 

cho: 

2 3

4

3

)) x cos(

4 5 (

) x sin(

4 )) x cos(

4 5 (

) x cos(

) x sin(

96 ))

x cos(

4 5 (

) x sin(

384

+

− +

+

Ta rút gọn f3 và viết lại dưới dạng dễ đọc: 

f3 = simple(f3); 

pretty(f3) 

Kết quả là:  

4

2 2

)) x cos(

4 5 (

) 25 ) x cos(

80 ) x cos(

80 ) x sin(

96 )(

x sin(

4

+

− +

+

Bây giờ ta tìm các giá trị zero cuả f3 bằng lệnh: 

z = solve(f3) 

kết quả cho ta ma trận: 

[                0] 

[ atan((–255–60*19^(1/2))^(1/2)  ,  10+3*19^(1/2))] 

[ atan(–(–255–60*19^(1/2))^(1/2),      10+3*19^(1/2))] 

[ atan((–255+60*19^(1/2))^(1/2)/(10–3*19^(1/2)))+pi] 

[ –atan((–255+60*19^(1/2))^(1/2)/(10–3*19^(1/2)))–pi] 

Mỗi hàng là một nghiệm của f”’(x). Lệnh: 

format;  

zr = double(z) 

converts the zeros to double form. 

zr = 

    0 

    0 

0      2.4483        –2.4483 

Như  vậy ta đã tìm được 5 nghiệm. Tuy nhiên đồ thị của f3 cho thấy ta chưa 

ezplot(f3)  hold on; 

plot(zr,0*zr,ʹroʹ)  plot([–2*pi,2*pi], [0,0],ʹg‐.ʹ); 

title(ʹZeros of f3ʹ) 

Điều này xảy ra do f”’(x) chứa số hạng sinx, bằng 0 tại các giá trị nguyên lần π 

được tất cả các nghiệm bằng cách biến đổi zr = [0 zr(4) pi 2*pi ‐zr(4)] bằng cách  nhân 2π và có zr = [zr‐2*pi zr zr+2*pi] 

Bây giờ ta vẽ zr đã biến đổi lên đồ thị của f3: 

plot(zr,0*zr,ʹkxʹ) 

biến chữ trong f2: 

  f20 = subs(f2,x,0) 

để tìm giá trị tương ứng của f”(0). Kết quả là: 

  f20 =  

    0.0494 

Trên  đồ  thị  của  f”(x)  giá  trị  này  chỉ  là  cực  tiểu  địa  phương.  Ta  thể  hiểu  điều  này trên đồ thị bằng các lệnh: