TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANGKHOA SƯ PHẠM SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN TÍCH PHÂN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC KHÔNG NGUYÊN LÊ CÔNG NHÀN AN GIANG, THÁNG 10 NĂM 2015...
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP
BÀI TOÁN BIÊN TÍCH PHÂN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC KHÔNG NGUYÊN
LÊ CÔNG NHÀN
AN GIANG, THÁNG 10 NĂM 2015
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP
BÀI TOÁN BIÊN TÍCH PHÂN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN BẬC KHÔNG NGUYÊN
LÊ CÔNG NHÀN
AN GIANG, THÁNG 10 NĂM 2015
Trang 3CHẤP NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG
Đề tài nghiên cứu khoa học: "Sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán biêntích phân cho phương trình vi phân phi tuyến bậc không nguyên", do tác giả LêCông Nhàn, công tác tại khoa Sư phạm, trường Đại học An Giang thực hiện Tácgiả đã báo cáo kết quả nghiên cứu và được Hội đồng khoa học và Đào tạo TrườngĐại học An Giang thông qua ngày
Thư ký(ký tên)
Phản biện 1 Phản biện 2
Chủ tịch Hội đồng
(ký tên)
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin kính gửi đến Ts Lê Xuân Trường, lời cảm ơn sâu sắc nhất
vì những ý kiến quý báu của Thầy dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiện
đề tài này
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Nghiên Cứu Khoa Học
và Hợp Tác Quốc tế, Phòng Hành Chính Tổng Hợp và Phòng Kế hoạch tài vụtrường Đại học An Giang; Phòng Hành Chính Tổng Hợp trường Đại học Khoahọc Tự Nhiên T.p Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoànthành đề tài
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Bộ môn Toán, Khoa Sư Phạm,Trường Đại học An Giang đã giúp đỡ, trao đổi, thảo luận, đóng góp ý kiến vàtạo mọi điều kiện thuận cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài
Long Xuyên, ngày 19 tháng 10 năm 2015
Người thực hiện
Lê Công Nhàn
Trang 5TÓM TẮT KẾT QUẢ
Đề tài nghiên cứu tính tồn tại nghiệm của phương trình vi phân phi tuyếnbậc không nguyên
cDq0+u(t) = f t, u(t),cDp0+u(t) , t ∈ (0, 1)
với điều kiện biên dạng tích phân
αu(0) + u0(0) = βR01u(s)ds,
u(1) + γu0(1) = ηR01u(s)ds,
trong trường hợp resonance, với 0 < p ≤ 1 và 1 < q < 2 Bằng cách sử dụng bậcCoincidence của Mawhin kết hợp với các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm đề tài
đã thu được kết quả về điều kiện đủ cho tính tồn tại nghiệm của bài toán trên.Điểm thú vị của đề tài là chỉ ra được cách xây dựng các toán tử chiếu P và Qmột cách tổng quát cho cả hai trường hợp số chiều của hạt nhân của toán tử viphân cDq0+ là dimKerL = 1 và dimKerL = 2
Từ khóa: tính tồn tại nghiệm, phương trình vi phân phi tuyến bậc khôngnguyên, điều kiện biên dạng tích phân, resonance, bậc Coincidence, đánh giá tiênnghiệm
Trang 6This research concerns about the existence of the solutions of the followingnonlinear fractional differential equation
cDq0+u(t) = f t, u(t),cDp0+u(t) , t ∈ (0, 1)
associated with the integral boundary conditions
αu(0) + u0(0) = βR01u(s)ds,
u(1) + γu0(1) = ηR01u(s)ds,
at resonance, where 0 < p ≤ 1 and 1 < q < 2 By using Mawhin’s Coincidencedegree combining with prior estimate technique, the research obtains a sufficientconditions for the existence of at least one solution of the above problem Theinterested point of this research is the general way to construct the projectors Pand Q for both cases dimKerL = 1 and dimKerL = 2
Keywords: existence, nonlinear fractional differential equation, integral ary condition, resonance, Coincidence degree, prior estimate
Trang 7bound-LỜI CAM KẾT
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Những kết luậnmới về khoa học của công trình nghiên cứu này chưa được công bố trong bất kỳcông trình nào khác
Long Xuyên, ngày 19 tháng 10 năm 2015
Người thực hiện
Lê Công Nhàn
Trang 8MỤC LỤC
Chấp nhận của hội đồng i
Lời cảm ơn ii
Tóm tắt kết quả iii
Abstract iv
Lời cam kết v
Lời nói đầu viii
Ký hiệu xi
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Giới thiệu 1
1.2 Giải tích hàm và đại số tuyến tính 1
1.3 Phép tính vi tích phân bậc không nguyên 7
1.4 Lý thuyết bậc Tô pô 12
1.4.1 Giới thiệu 12
1.4.2 Bậc Brouwer 13
1.4.3 Bậc Leray-Schauder 16
1.4.4 Bậc Coincidence 20
Chương 2 Bài toán biên dạng tích phân cho phương trình vi phân bậc không nguyên 25
2.1 Giới thiệu 25
2.2 Dạng phương trình toán tử của bài toán 27
2.3 Tính chất Fredholm của toán tử L 28
2.4 Toán tử giả nghịch đảo KP của toán tử L 32
2.5 Tính chất L-compact của toán tử N 34
2.6 Kết quả về tính tồn tại nghiệm 36
Chương 3 Kết luận 45
3.1 Kết quả đạt được 45
Trang 93.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 45Tài liệu tham khảo 47
Trang 10LỜI NÓI ĐẦU
Nhiều bài toán trong khoa học và vật lý được mô tả bởi phương trình vi phân,phương trình tích phân, phương trình vi tích phân hay phương trình đạo hàmriêng thường dẫn đến phương trình toán tử có dạng
với L là toán tử tuyến tính và N là toán tử phi tuyến tác động trên các khônggian véc tơ tô pô X và Z
Trong trường hợp L là khả đảo, bài toán được gọi là trường hợp non-resonance
và khi đó phương trình tương đương với
x = L−1N x
Trong trường hợp này, tính tồn tại nghiệm của bài toán giải được bằng cách sửdụng các định lý điểm bất động hoặc áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder Một
số kết quả sử dụng phương pháp này có thể xem [11], [12] và [29]
Ngược lại, trong trường hợp L không khả đảo, bài toán được gọi là trườnghợp resonance và được nghiên cứu đầu tiên bởi Lyapunov [18] khi nghiên cứuphương trình tích phân liên quan đến bài toán trong hệ động lực chất lỏng vàSchmidt [28] khi nghiên cứu lý thuyết phương trình tích phân phi tuyến Phươngpháp được hai tác giả trên sử dụng được gọi là phương pháp Lyapunov-Schmidt,với cách tiếp cận như sau: bằng cách xây dựng các phép chiếu P : X → X và
Q : Z → Z sao cho
ImP = KerL và KerQ = ImL
Không gian X và Z có thể biểu diễn lại như sau
X = KerL ⊕ KerP, Z = ImL ⊕ ImP,
và do đó mỗi x ∈ X có biểu diễn x = x0 + x1, với x0 = P x ∈ KerL và x1 =(I − P )x ∈ KerP Vì vậy phương trình (1) tương đương với
Lx = (I − Q)N x, QN x = 0
hay
x − P x = L−1(I − Q)N x, QN x = 0, (2)
Trang 11trong đó L−1(I − Q) : Z → dom(L) ∩ KerP Từ đây ta thu được hệ
x1 = L−1(I − Q)N (x0+ x1) , QN (x0+ x1) = 0 (3)
Với mỗi x0 thì với một số điều kiện về tính trơn của N , phương trình thứ nhấtcủa hệ (3) có thể giải được bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động nhưĐịnh lý điểm bất động Banach, Schauder, Krasnosenki (xem [29]) hoặc sử dụngđịnh lý hàm ẩn ta thu được một nghiệm x1 phụ thuộc vào x0, ký hiệu x1(x0)
Và khi đó việc tìm nghiệm của (3) được đưa về bài toán tìm nghiệm của phươngtrình
x0 với x1 được xem như tham số Với một số điều kiện đủ về tính trơn của x1,thì phương trình có nghiệm x0(x1) và cuối cùng bài toán đưa về việc giải phươngtrình
x1 = L−1(I − Q)N (x0(x1) + x1)
bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Banach hoặc Schauder
Một hướng tiếp cận thứ ba cho hệ (3) là giải đồng thời cả hai phương trìnhcủa hệ Một trong những kết quả đầu tiên theo hướng tiếp cận này được Lazer[14] và Lazer & Leach [15], khi nghiên cứu nghiệm tuần hoàn của một phươngtrình vi phân cấp hai, đã đưa hệ (3) về phương trình điểm bất động và sử dụngĐịnh lý điểm bất động Schauder với điều kiện của thành phần phi tuyến N
lim
kxk→∞
kN xkkxk = 0.
Với chú ý rằng, trong bài toán nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phânthường, hệ (3) tương đương với bài toán điểm bất động có dạng
x = P x + J QN x + L−1(I − Q)N x, (4)
trong đó J : ImQ → KerL là một đẳng cấu tuyến tính Bằng cách sử dụng bậc
Trang 12Leray-Schauder với phương trình (4), Mawhin [19] đã chứng minh một số định lýtồn tại nghiệm Đặc biệt, Mawhin [20] đã đưa ra lý thuyết bậc Coincidence chomột lớp các ánh xạ nhiễu phi tuyến của ánh xạ Fredholm dạng L + N với N làL-compact Từ đó xây dựng một Định lý liên tục mà nó tổng quát được định lýliên tục của Leray-Schauder, [16].
Trong đề tài này, với hướng tiếp cận của Mawhin, tác giả nghiên cứu tính tồntại nghiệm của phương trình vi phân phi tuyến bậc không nguyên
cDq0+u(t) = f t, u(t),cDp0+u(t) , t ∈ (0, 1)
với điều kiện biên dạng tích phân
αu(0) + u0(0) = βR01u(s)ds,
u(1) + γu0(1) = ηR01u(s)ds,
trong trường hợp resonance, với 0 < p ≤ 1 và 1 < q < 2
Bố cục của đề tài gồm có bốn chương:
• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị và các kháiniệm cơ bản về giải tích hàm, đại số tuyến tính và phép tính vi tích phâncấp không nguyên
• Chương 2 Lý thuyết bậc tô pô
Chương này tác giả trình bày lý thuyết bậc tô pô, trước hết là bậc Brouwercho các ánh xạ liên tục trên không gian hữu hạn chiều, sau đó là bậc Leray-Schauder và cuối cùng là bậc Coincidence của Mawhin
• Chương 3 Bài toán biên dạng tích phân cho phương trình vi phân bậckhông nguyên
Đây là chương chính của đề tài, bằng cách sử dụng Định lý liên tục củaMawhin, tác giả thu được kết quả về tính tồn tại nghiệm cho bài toán đặtra
• Chương 4 Kết luận
Tác giả đúc kết lại các kết quả đạt được của đề tài và đề xuất hướng nghiêncứu tiếp
Trang 13KÝ HIỆU
Lp(a, b) : không gian các hàm giá trị thực mũ p khả tích
Lebesgue
k · kX : chuẩn trên một không gian định chuẩn X
C[a, b] : không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]
Cm[a, b] : không gian các mà có đạo hàm đến cấp m liên tục
trên [a, b]
AC[a, b] : không gian các hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b]
ACm[a, b] : không gian các hàm có đạo hàm đến cấp m − 1
liên tục tuyệt đối trên [a, b]
A+ : ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose của ma trận
A
Mm×n(C) : không gian các ma trận m dòng, n cột trên trường
KKerL : hạt nhân của toán tử L
ImL : ảnh của toán tử L
∂x j : đạo hàm riêng của fi theo biến xj
Jf(x0) : định thức của ma trận Jacobi của f tại x0
deg (f, Ω, p) : bậc của ánh xạ f tại p thuộc Ω
: kết thúc chứng minh
Trang 14Phần còn lại của chương được chia làm ba phần:
• Phần 1.2 trình bày kiến thức cơ sở về giải tích hàm và đại số tuyến tính
• Phần 1.3 trình bày khái niệm và các tính chất của phép tính vi tích phâncấp không nguyên
• Phần 1.4 trình bày lý thuyết bậc tô pô
1.2 GIẢI TÍCH HÀM VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Trong phần này, tác giả đề tài nêu lại một số kiến thức cơ bản về các khônggian hàm như không gian các hàm khả tích, các hàm liên tục, các hàm liên tụctuyệt đối và đặc trưng của các không gian này (xem Brezis [5], Zeidler [29], vàKilbas, Srivastava & Trujillo [13]) Sau đó tác giả trình bày một số kiến thức cơbản về ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose (xem Thomas [4])
Không gian các hàm khả tích
Cho Ω = [a, b], với −∞ ≤ a < b ≤ ∞ là một khoảng trong R Ta ký hiệu
Lp(a, b), 1 ≤ p ≤ ∞ là tập hợp các hàm giá trị thực đo được Lebesgue f trên Ωsao cho kf kp < ∞, ở đây
kf kp =
Z b a
|f (t)|p
1p, (1 ≤ p < ∞)
và
kf k∞ = ess sup
a≤t≤b
|f (t)|
Trang 15Khi đó Lp(a, b) là không gian Banach, với 1 ≤ p ≤ ∞.
Không gian các hàm liên tục
Cho E là một không gian metric, ta ký hiệu C(E) là không gian các hàm liêntục giá trị thực (có thể không bị chặn) f : E → R Không gian này không có mộtchuẩn tự nhiên trên nó Vì vậy sẽ tiện lợi hơn nếu ta xét không gian BC(E) cáchàm liên tục bị chặn với chuẩn
kf k∞ = sup
x∈E
|f (x)|
Ta chú ý rằng, nếu E là compact thì mỗi hàm liên tục f : E → R là bị chặn Do
đó trong trường hợp này, ta có thể viết C(E) = BC(E)
Bổ đề 1.1 BC(E) là không gian Banach
Chứng minh Chúng ta cần chỉ ra rằng nếu một dãy các hàm liên tục (fn)nhội tụđều đến một hàm f trên E thì f là một hàm liên tục trên E, và vì vậy f ∈ BC(E).Bây giờ với x ∈ E và ε > 0 cho trước, do tính chất hội tụ đều ta suy ra tồntại số nguyên dương N đủ lớn sao cho
Nhận xét 1.1 Trong bổ đề trên, giả sử hội tụ đều là cốt yếu Ví dụ trên khoảng
E = [0, 1], dãy hàm liên tục fn(t) = tnhội tụ từng điểm đến một hàm không liêntục
Trang 16Định lý sau đây chỉ ra rằng một dãy tăng các hàm hội tụ từng điểm thì cóthể suy ra hội tụ đều.
Định lý 1.1 (Dini) Cho E là một không gian metric compact Nếu (fn)n là mộtdãy tăng các hàm trong C(E) hội tụ từng điểm đến một hàm liên tục g thì fn → gđều trên E
Cho E là một không gian metric Một họ các hàm liên tục bị chặn F ⊂ BC(E)được gọi là đồng liên tục nếu với mỗi x ∈ E và ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
d (y, x) < δ suy ra |f (y) − f (x)| < ε,
với mọi f ∈ F Ở đây δ phụ thuộc vào x và ε nhưng không phụ thuộc vào f
Bổ đề 1.2 Cho E là một không gian metric compact và F ⊂ BC(E) là đồngliên tục Khi đó F là đồng liên tục đều Tức là, với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 saocho
d (y, x) < δ suy ra |f (y) − f (x)| < ε,
với mọi x, y ∈ E và mọi f ∈ F
Trong nhiều ứng dụng, chúng ta muốn xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ củamột bài toán và cố gắng thu được một dãy con hội tụ về nghiệm của bài toán.Một trong những định lý làm cơ sở cho phương pháp trên là tiêu chuẩn về tínhcompact trên không gian các hàm liên tục, Định lý Ascoli-Arzela
Định lý 1.2 (Định lý Ascoli-Arzela) Cho E là một không gian metric compact
và F ⊂ C(E) là một họ đồng liên tục và bị chặn đều, tức là,
sup
f ∈F
|f (x)| < +∞
với mọi x ∈ E Khi đó F là compact tương đối trong C(E)
Bây giờ nếu xét E = [a, b] (−∞ ≤ a < b ≤ ∞) thì C(E) = C[a, b] là mộtkhông gian Banach với chuẩn max cho bởi
Trang 17Không gian Cm[a, b] là không gian Banach với chuẩn max được định nghĩa nhưtrên Đặc biệt, C0[a, b] = C[a, b].
Như một hệ quả của Định lý Ascoli-Arzela, ta có tiêu chuẩn compact trên
Không gian các hàm liên tục tuyệt đối
Bây giờ xét [a, b], với −∞ < a < b < ∞ và ký hiệu AC[a, b] là không gian cáchàm số liên tục tuyệt đối trên [a, b] Komogorov và Fomin đã chứng tỏ rằng lớphàm AC[a, b] trùng với không gian các nguyên hàm của hàm khả tích Lebesgue
f ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c +
Z t a
ACn[a, b] =f : [a, b] → R : f(n−1)∈ AC[0, 1]
Đặc biệt, AC1[a, b] = AC[a, b]
Lớp các không gian này có các đặc trưng sau [xem Samko et al [27], Bổ đề2.4]
Bổ đề 1.3 Không gian ACn[a, b] chỉ gồm các hàm số f (t) có thể biểu diễn dướidạng
Trang 18ở đây ϕ ∈ L1(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) là các hằng số tùy ý và
(Ian+ϕ) (t) = 1
(n − 1)!
Z t a
(t − s)n−1ϕ(s)ds
Ta suy ra từ (1.2) rằng
ϕ(t) = f(n)(t), ck = f
(k)(a)k! (k = 0, 1, , n − 1)
Toán tử trên không gian định chuẩn
Cho X, Y là các không gian định chuẩn Khi đó L : X → Y được gọi là toán
Ánh xạ tuyến tính L : X → Y được gọi là ánh xạ compact nếu L(Ω) là tậpcompact tương đối trong Y với mọi tập con bị chặn Ω ⊂ X Một cách tươngđương, ánh xạ L : X → Y là compact khi và chỉ khi dãy (Lxn)n có một dãy conhội tụ với mọi dãy bị chặn (xn)n ⊂ X
H được gọi là một đồng phôi tuyến tính nếu H là song ánh và H, H−1 là cácánh xạ liên tục
Một ánh xạ tuyến tính P từ không gian X vào không gian con của nó Xn
Trang 19được gọi là phép chiếu nếu
P2x = P x, với mọi x ∈ X,
và P x = x với x ∈ Xn
Ma trận giả nghịch đảo Moore-Penrose
Cho A ∈ Mm×n Khi đó ma trận A+ ∈ Mn×m được gọi là ma trận giả nghịchđảo Moore-Penrose của ma trận A nếu thỏa các điều kiện sau:
Im(A) ⊕ Ker(A∗) = Cm và Im(A∗) ⊕ Ker(A) = Cn
(2) Với mỗi ma trận A ∈ Mm×n(C), ta có Ker(A∗) = Ker(A+) và Im(A∗) =Im(A+) Do đó ta có
Im(A) ⊕ Ker(A+) = Cm và Im(A+) ⊕ Ker(A) = Cn
(3) P = AA+ là phép chiếu trực giao lên ImA và Q = A+A là phép chiếu trựcgiao lên ImA∗
(4) I − P là phép chiếu trực giao lên KerA∗ và I − Q là phép chiếu trực giaolên KerA
(5) Với mỗi y ∈ ImA, ta có x = A+y là một nghiệm của phương trình Ax = y
Trang 201.3 PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN BẬC KHÔNG NGUYÊN
Trong phần này, tác giả trình bày định nghĩa tích phân cấp không nguyênRiemann-Liouville và đạo hàm cấp không nguyên trên một khoảng hữu hạn củađường thẳng thực và một số tính chất của chúng trong không gian các lớp hàmkhả tích và lớp hàm liên tục Các chứng minh chi tiết có thể tìm thấy trongchuyên khảo về phép tính vi tích phân cấp không nguyên của Samko, Kilbas &Marichev [27] và Podlubny [24]
Trước khi trình bày định nghĩa của tích phân và đạo hàm cấp không nguyên,tác giả giới thiệu hàm số Gamma và hàm Beta
Hàm Gamma và hàm Beta
Hàm Euler gamma Γ(z) được định nghĩa thông qua tích phân Euler loại hai
Γ(z) =
Z ∞ 0
Trang 21(α > 0) của hàm số f được định nghĩa bởi
(Iaα+f ) (t) = 1
Γ(α)
Z t a
Z t 0
(t − s)n−1f (s)ds
Đạo hàm cấp không nguyên Riemann-Liouville Dα
a +f cấp α > 0 của hàm fđược định nghĩa bởi
nZ t a
(t − s)n−α−1f (s)ds
trong đó n = [α] + 1 Đặc biệt, ta có
Da0+f (t) = f (t) và Dan+f (t) = f(n)(t), n ∈ N
với f(n) là đạo hàm thường cấp n của f
Không khó để kiểm tra trực tiếp rằng tích phân cấp không nguyên Liouville và đạo hàm cấp không nguyên Riemann-Liouville của các hàm lũy thừadạng (t − a)β−1 có cùng dạng với nó
Từ tính chất này ta suy ra kết quả sau
Hệ quả 1.1 Cho α > 0 và n = [α] + 1, khi đó phương trình Dα
a +f (t) = 0 nghiệm
Trang 22Trước hết là tính bị chặn của toán tử tích phân Iα
a + trên không gian Lp(a, b),
Lp(a, b) vào không gian Lq(a, b), với q = p/(1 − αp)
Kết quả tiếp theo đưa ra điều kiện tồn tại của đạo hàm Dα
a + trên không gian
k−α
+ 1Γ(n − α)
Z t a
Z t a
(t − s)−αf0(s)ds
Tính chất nửa nhóm của toán tử tích phân Iα
a + cho bởi kết quả sau
Bổ đề 1.6 Cho α > 0 và β > 0 Khi đó phương trình
Iaα+Iaβ+f
(t) =
Iaα+β+ f
(t)
thỏa hầu khắp nơi trên [a, b] nếu f ∈ Lp(a, b) Nếu α + β > 1 thì phương trìnhtrên thỏa với mọi t ∈ [a, b]
Trang 23Khẳng định sau cho thấy rằng toán tử đạo hàm Daα+ là nghịch đảo trái củatoán tử tích phân Iaα+.
Bổ đề 1.7 Nếu α > 0 và f ∈ Lp(a, b) (1 ≤ p ≤ ∞) thì
(Daα+Iaα+f ) (t) = f (t)
hầu hết trên [a, b]
Bổ đề trên suy ra kết quả sau về mối quan hệ giữa toán tử vi phân và tíchphân cấp không nguyên
Tính chất 1.2 Cho α > 0, m ∈ N và D = d/dx Khi đó, nếu các đạo hàm
(b) Nếu f ∈ L1(a, b) và fn−α∈ ACn[a, b] thì
α−j
Trang 24hầu khắp nơi trên [a, b] Đặc biệt, nếu 0 < α < 1 thì
k
Đạo hàm cấp không nguyên Caputo
Với α ∈ R+ và α /∈ N, đạo hàm cấp không nguyên Caputo cDα
(t − s)−αf0(s)ds
Đạo hàm Caputo có nhiều tính chất tương tự như đạo hàm Riemann-Liouvillenhưng đạo hàm Caputo của các hàm lũy thừa dạng (t − a)β−1 khác với đạo hàmRiemann-Liouville của chúng
Toán tử đạo hàm cấp không nguyên Caputo cDα
a + là nghịch đảo trái của Iα
a +với α ∈ R+
Bổ đề 1.10 Cho α ∈ R+ và f ∈ L∞(a, b) hoặc f ∈ C[a, b] Khi đó
(cDαa+Iaα+f ) (t) = f (t)
Bổ đề 1.11 Cho α ∈ R+ và n = [α] + 1 Khi đó nếu f ∈ ACn[a, b] hoặc
Trang 25Một trong những vấn đề cơ bản của toán học là nghiên cứu tính tồn tại nghiệm
và số nghiệm của phương trình
f (x) = 0 (1.4)
trong một miền Ω ⊂ Rn
Lý thuyết bậc tô pô được khái quát từ khái niệm winding number của mộtđường cong đóng trong giải tích phức, là một số nguyên chỉ tổng số vòng củađường cong quay quanh một điểm cho trước theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
Và một trong những ứng dụng quan trọng của nó là chỉ ra được số nghiệm tốithiểu của phương trình f (x) = 0
Trong mặt phẳng phức C, cho đường cong đóng định hướng thuộc lớp C1,
Γ ⊂ C và a là một điểm không nằm trên Γ hay a ∈ C\Γ Khi đó số nguyên
ω (Γ, a) = 1
2πiI
Γ
1
z − adz
được gọi là số winding number của Γ ứng với a ∈ C\Γ
Cho G là một miền liên thông đơn liên trong C, f : G → C là hàm giải tích
và Γ ⊂ G là một đường cong đóng lớp C1 sao cho f (z) 6= 0 trên Γ Khi đó
ω (f (Γ) , 0) = 1
2πiI
f (Γ)
1
zdz =
12πiI
Trang 26Từ đây ta suy ra f có ít nhất |ω (f (Γ) , 0)| không điểm trong G.
Phần còn lại tác giả trình bày
• Lý thuyết bậc Brouwer cho lớp ánh xạ liên tục trên không gian hữu hạnchiều
• Lý thuyết bậc Schauder cho lớp các ánh xạ liên tục compact
• Lý thuyết bậc Coincidence cho lớp các ánh xạ L-compact
Với p ∈ f (∂Ω), xét x0 ∈ Ω sao cho f (x0) = p hay x0 ∈ f−1(p) ∩ Ω Khi đó
Trang 27Rõ ràng định nghĩa của bậc tô pô đòi hỏi điều kiện khá chặt về f và do đó
nó không đáp ứng được yêu cầu tiết kiệm giả thuyết trong ứng dụng Tuy nhiên,nếu f là một hàm liên tục thì f có thể được xấp xỉ bởi một hàm số thỏa mãncác điều kiện của định nghĩa trên Khi đó ta có thể định nghĩa bậc của f thôngqua xấp xỉ đó và bậc của f không phụ thuộc vào xấp xỉ được chọn
Trước hết ta định nghĩa bậc tô pô cho lớp các hàm khả vi cấp hai
Định nghĩa 1.2 ([23]) Giả sử Ω ⊂ Rnlà một tập mở, bị chặn và f ∈ C2 Ω, Rn.Nếu p /∈ f (∂Ω) thì ta định nghĩa
deg (f, Ω, p) = deg (f, Ω, p0) ,
trong đó p0 là giá trị chính quy của f sao cho |p − p0| < d (p, f (∂Ω))
Trong định nghĩa trên tính tồn tại của giá trị chính quy được đảm bảo bởi
Bổ đề Sard và bậc tô pô của lớp hàm khả vi cấp hai không phụ thuộc vào cáchchọn các giá trị chính quy trong lân cận của p /∈ f (∂Ω) Các kết quả này đượccho bởi các bổ đề sau
Bổ đề 1.12 ([23], Bổ đề Sard) Cho Ω là một tập mở trong Rn và f ∈ C1(Ω).Khi đó µn(f (Sf(Ω))) = 0, trong đó µn là độ đo Lebesgue trong Rn và Sf(Ω) ={x ∈ Ω : Jf(x) = 0}
Trang 28trong đó g ∈ C2 Ω, Rn sao cho |g − f | < d (p, f (∂Ω)).
Các tính chất của bậc Brouwer được cho bởi định lý sau
Định lý 1.4 ([23]) Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở bị chặn, f ∈ C Ω, Rn và
p /∈ f (∂Ω) Khi đó bậc Brouwer deg (f, Ω, p) có các tính chất sau:
(1) (Tính chuẩn hóa) deg (I, Ω, p) = 1 khi và chỉ khi p ∈ Ω, trong đó I là ánh
deg (f, Ω, p) = deg (f, Ω1, p) + deg (f, Ω2, p)
Một hệ quả của Định lý 1.4 cho bởi kết quả sau
Định lý 1.5 ([23]) Cho f : B(0, R) ⊂ Rn → B(0, R) là một hàm số liên tục.Nếu |f (x)| ≤ R với mọi x ∈ ∂B(0, R) thì f có một điểm cố định trong B(0, R)
Từ Định lý 1.5, ta có Định lý điểm bất động nổi tiếng của Brouwer
Định lý 1.6 ([23], Định lý điểm bất động Brouwer) Cho C ⊂ Rn là một tậpcon không rỗng lồi đóng bị chặn và f : C → C là một ánh xạ liên tục Khi đó f
có điểm bất động trong C
Trang 29Một định lý quan trọng khác là Định lý Borsuk về bậc tô pô trên một tập đốixứng trong Rn.
Định lý 1.7 ([23], Định lý Borsuk) Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở bị chặn đối xứngchứa 0 Nếu f ∈ C Ω, Rn là hàm lẻ và 0 /∈ f (∂Ω) thì deg (f, Ω, 0) là số nguyênlẻ
Định lý sau chỉ ra mối liên hệ của bậc Brouwer giữa các không gian hữu hạnchiều khác nhau
Định lý 1.8 ([23]) Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở, bị chặn và f : Ω → Rm là mộthàm liên tục, với 1 ≤ m < n, và đặt g = I − f Khi đó, nếu y /∈ (I − f ) (∂Ω) thì
deg (g, Ω, y) = deg (gm, Ω ∩ Rm, y) ,
trong đó gm là hạn chế của g trên Ω ∩ Rm
Định lý sau cho thấy số winding number là một trường hợp đặc biệt của bậcBrouwer
Định lý 1.9 ([23]) Cho B(0, 1) ⊂ C là quả cầu đơn vị trong mặt phẳng phức,
Γ = ∂B(0, 1) và f : B(0, 1) → C là hàm khả vi cấp một Giả sử rằng a /∈ f (Γ),khi đó
deg (f, B(0, 1), a) = 1
2πiI
Năm 1934, Leray và Schauder trong bài báo [16] đã tổng quát bậc Brouwertrong không gian vô hạn chiều và được gọi là bậc Leray-Schauder Từ đó bậcLeray-Schauder trở thành một công cụ mạnh để giải quyết các kết quả về tồn tại
Trang 30nghiệm của các phương trình vi, tích phân và phương trình đạo hàm riêng phituyến.
Để định nghĩa bậc Leray-Schauder, trước hết ta cần kết quả về xấp xỉ mộtánh xạ compact bởi một ánh xạ hữu hạn chiều
Bổ đề 1.16 ([23]) Cho E là một không gian định chuẩn thực, Ω ⊂ E là một tậpcon mở bị chặn và T : Ω → E là một ánh xạ compact liên tục Khi đó với mỗi
ε > 0, tồn tại một không gian hữu hạn chiều F và một ánh xạ liên tục Tε: Ω → Fsao cho
deg (I − Tε1, Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε2}, 0) = deg (I − Tε2, Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε2}, 0)
Mặt khác Tεi : Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε2} → Fi, với i = 1, 2, nên theo Định lý 1.8, tađược
deg (I − Tε1, Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε2}, 0) = deg (I − Tε1, Ω ∩ Fε1, 0)
Trang 31deg (I − Tε2, Ω ∩ span{Fε1 ∪ Fε2}, 0) = deg (I − Tε2, Ω ∩ Fε2, 0)
Vì vậy ta có
deg (I − Tε1, Ω ∩ Fε1, 0) = deg (I − Tε2, Ω ∩ Fε2, 0)
Bây giờ ta có thể định nghĩa bậc Leray-Schauder như sau
Định nghĩa 1.4 ([23]) Cho E là một không gian định chuẩn thực, Ω ⊂ E làmột tập con mở bị chặn và T : Ω → E là một ánh xạ compact liên tục Giả sửthêm rằng 0 /∈ (I − T )(∂Ω) Khi đó theo Bổ đề 1.16, tồn tại ε0 > 0 sao cho
(1) (Tính chuẩn hóa) deg (I, Ω, 0) = 1 khi và chỉ khi 0 ∈ Ω;
(2) (Tính giải được) Nếu deg (I − T, Ω, 0) 6= 0 thì T (x) = x có nghiệm trong Ω;(3) (Tính bất biến đồng luân) Nếu Tt(x) : [0, 1] × Ω → E là hàm compact liêntục và Ttx 6= x với mọi (t, x) ∈ [0, 1] × ∂Ω thì deg (I − Tt, Ω, 0) không phụthuộc vào t ∈ [0, 1]
(4) (Tính cộng tính) Giả sử Ω1, Ω2 là hai tập mở rời nhau trong Ω và 0 /∈