SKKN mở rộng một số tiện ích của định lí vi et

Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém và đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào THPT tôi thấy ứng dụng của hệ thức Vi-et là rất rộng như: + Tìm tổng và tích của phương trì

PHỤ LỤC

A SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG

KIẾN

4

3 Những điểm khác biệt và tính mới của giải pháp so với giải pháp đã

và đang áp dụng

12

SÁNG KIẾN:

“Mở rộng một số tiện ích của định lí Vi-et”

A SỰ CẦN THIẾT, MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN SÁNG KIẾN

- Môn Toán là một môn khoa học tự nhiên đứng đầu trong mọi ngành khoa học kỹ thuật nên giảng dạy môn này đòi hỏi độ chính xác tuyệt đối với những phương pháp giảng dạy phù hợp, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức một cách có hệ thống

- Trong tình hình hiện nay, việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi là một công việc đặt ra thường xuyên trong các trường THCS Đây là một trong những nhiệm vụ quan trọng trong công tác giáo dục và đang được quan tâm đầu

tư thích đáng

- Để có được một đội ngũ học sinh giỏi tham gia các kì thi tuyển chọn của huyện việc bồi dưỡng học sinh giỏi không thể chỉ thực hiện trong chốc lát mà phải được bồi dưỡng thường xuyên và đều đặn trong mỗi tiết dạy hàng ngày Một vấn đề được đặt ra là mỗi bài toán đưa ra đều phải khai thác kĩ nhằm nâng cao khả năng tư duy, khả năng ứng dụng của học sinh

- Vì vậy người giáo viên phải có sự đầu tư công sức để xây dựng cho mình một phương pháp dạy tốt nhất để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, vận dụng tốt đặc biệt là biết cách lựa chọn phương pháp giải toán phù hợp với mỗi bài toán

cụ thể

B PHẠM VI TRIỂN KHAI THỰC HIỆN

Nội dung này được áp dụng trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 hoặc ôn thi vào các trường THPT hoặc các trường THPT chuyên

C NỘI DUNG

I Tình trạng giải pháp đã biết

- Đi sâu vào nghiên cứu và tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp tôi thấy phần Đại số lớp 9 học sinh được làm quen với kiến thức mới đó là định lí Vi-et

và các ứng dụng của nó Đây là dạng toán cơ bản tuy nhiên nó có rất nhiều ứng dụng nhiều dạng bài tập mà học sinh phải hiểu được

- Qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 và đã dạy tất cả các đối tượng học sinh

Giỏi, khá, trung bình, yếu, kém và đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi

và ôn thi vào THPT tôi thấy ứng dụng của hệ thức Vi-et là rất rộng như:

+ Tìm tổng và tích của phương trình bậc hai khi phương trình có nghiệm + Biết một nghiệm của phương trình bậc hai suy ra nghiệm còn lại

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

+ Lập một phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm,

- Trong thực tế giảng dạy khai thác định lí Vi-et và các ứng dụng của nó người dạy cũng như người học còn nghiên cứu sơ sài chưa khai thác triệt để các ứng dụng từ định lí Vi-et đặc biệt là khai thác các ứng dụng làm phong phú các

thể loại bài tập Vì thế tôi chọn đề tài “Mở rộng các tiện ích của định lí Vi-et”

Như vậy hệ thức Vi-et có rất nhiều ứng dụng tuy nhiên do còn hạn chế về

thời gian nghiên cứu và đối tượng học sinh nên tôi chỉ chọn hai ứng dụng: Lập

phương trình đường thẳng y = ax + b (d) với a ≠ 0 quan hệ với Parabol y = mx2

với m ≠ 0 và Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau bằng biểu thức cho trước

II Nội dung giải pháp

1 Mục đích của giải pháp

a Định lý Vi-et thuận:

Nếu phương trình ax2

+ bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì:

1 2

b

a c

a

1 2

1 2

- b

x + x =

c

x x =

a

* Hệ quả: Phương trình bậc hai ax2

+ bx + c = 0 (*)

- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = c

a

- c

b Định lý Vi-et đảo:

Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn 1 2

1 2

S P

x + x =

phương trình: t2

- St + P = 0 (Điều kiện: S2 - 4p 0)

Chú ý:

* Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2

nghiệm a 0

* Nếu a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1

* Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phương trình x + y = S

nghiệm phương trình: t2

– S.t + P = 0

2 Bản chất, nội dung của giải pháp

a Ứng dụng 1: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (d) với a ≠ 0 quan hệ với Parabol (P) y = mx 2

với m ≠ 0 Dạng 1:

Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a 0) đi qua 2 điểm A (xA;

yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2

(m 0)

* Cơ sở lý luận: Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: mx2

= ax + b mx2 - ax - b = 0

Từ đó theo Viet ta có: A B

A B

a

m

- b

m

(*)

Từ (*) tìm a và b Phương trình đường thẳng (d)

Dạng 2:

Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM)

* Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình:

mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2 Vận dụng hệ thức Viet, ta có:

1 2

1 2

x + x = a

- b

x x =

m

a và b

Phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho parabol (P) có phương trình: y = x2

Gọi A và B là 2 điểm (P) có hoành độ lần lượt là xA = - 1 ; xB = 2 Lập phương trình dường thẳng đi qua A và B

Giải:

Đây là một bài toán không khó nhưng hầu hết các em có lời giải như sau:

1

A

x

yA = (-1)2 = 1 vậy A(-1; 1)

2

B

x

yB = 22 = 4 vậy B(2; 4) Phương trình đường thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB) với a, b R

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = x + 2

Nếu linh hoạt suy nghĩ tìm phương pháp giải ta có thể cho được lời giải

“ngắn gọn” là do sử dụng định lí Vi-et

Phương trình đường thẳng (AB) cần tìm có dạng y = ax + b (AB)

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2

= ax + b

x2 - ax - b = 0 (*)

Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*)

Theo định lí Vi-et ta có: A B

A B

1 a

Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2

Ví dụ 2: Cho (P): y = x2

4 ; A (P) có hoành độ xA = 2 lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Giải:

Cũng như bài toán trên nếu không áp dụng dịnh lí Vi-et học sinh có lời giải như sau:

2 A A

4

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) với a, b R

A (d) 1 = 2a + b b = 1 – 2a

Vậy y = ax + 1 – 2a

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2

4 = ax + 1 – 2a 2

x - 4 a x - 4 + 8 a = 0 (*)

' 4 a + 4 - 8 a = 4 ( a - 1 )

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép

2

0

Từ a = 1 b = 1 – 2.1 = - 1

Phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x – 1

Nếu sử dụng định lí Vi-et ta có lời giải bài toán như sau:

Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

2

x

4 = ax + b x2 - 4ax - 4b = 0 (*)

Ta có: xA = 2 là một nghiệm kép của phương trình (*) (x1 = x2 = 2)

Theo Viet ta có: 1 2

1 2

x + x = 4 a

1 a

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1

Như vậy ở ví dụ 1 và 2 việc sử dụng định lí Vi-et để giải toán ta có lời giải “ngắn gọn” hơn, điều này giúp học sinh tìm tòi sáng tạo khi gặp những dạng toán khó hơn

b Ứng dụng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau bằng biểu thức cho trước

b.1 Phương pháp:

Có thể thực hiện các bước:

* Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm

x1, x2

* Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet, ta có:

1 2

1 2

f m

* Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trình có ẩn là tham số từ đó tìm được tham số (Chú ý cần đối chiếu tham số cần

tìm được với điều kiện để phương trình đầu có nghiệm số)

b.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho phương trình x2

– 2x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số) (1) a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x2 = 2x1

Giải:

a) Ta có: a = 1 ; b = -2 ; c = m

=> Δ' = 1 – m

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Δ' ≥ 0 1 – m ≥ 0 m ≤ 1 Vậy với m ≤ 1 thì phương trình (1) có nghiệm

b) Với phần b có nhiều em đưa ra như sau:

Từ kết quả phần a) ta có với m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

1

2

1

1

Theo bài ra ta có x2 = 2.x1 nên:

Phương trình ẩn m vô nghiệm

Nếu như học sinh chỉ xét 1 trường hợp thì không tìm được giá trị m thỏa mãn điều kiện đầu bài tuy nhiên x1 và x2 đồng nhất nên xét tiếp trường hợp thứ 2

1

3 1

1 - m =

9

9 9 (Thoả mãn điều kiện)

Vậy với m = 8

9 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: x2 = 2.x1

Tuy nhiên cách giải này dài và phức tạp nên ta có thể áp dụng định lí

Vi-et để giải bài tập này một cách đơn giản hơn như sau:

Từ kết quả phần a) ta có với m ≤ 1 thì phương trình có nghiệm

Theo định lí Vi-et ta có: 1 2

1 2

Thay x2 = 2.x1 vào biểu thức x1 + x2 = 2 ta có: x + 2 x1 1 2

1

2

2 x

3 4 x

3

m =

Vậy với m = 8

9

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2

– 2mx + m – 3 = 0 a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Tính 2 2

1 2

x + x theo m Tìm m để 2 2

1 2

x + x = 12

Giải:

a) Ta có: Δ = - m ' - m - 3 = m - m + 3 2

'

2

'

'

Δ > 0 với mọi m Vậy phương trình có nghiệm với mọi m

b) Ở câu b nếu học sinh sử dụng công thức nghiệm tìm x1 và x2 rồi tính giá trị biểu thức như sau:

'

Δ > 0 với mọi m phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

Ta có:

2 1

2 2

2

2

= 2 m + m - m + 3 + m - m + 3

= 4 m - 2 m + 6

Vậy x12

+ x2 2

= 4m2 - 2m + 6

Từ đó giải phương trình bậc 2 ẩn m: 4m2

- 2m + 6 = 12 để tìm điều kiện của m sao cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 2

1 2

Tuy nhiên cách tính 2 2

1 2

x + x rất phức tạp, dễ nhầm lẫn và sai sót trong quá trình làm bài Do đó ta có thể sử dụng định lí Vi-et để giải bài tập như sau:

Theo câu a ta có Δ' > 0 với mọi m phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi

m áp dụng định lí Vi-et ta có: 1 2

1 2

Vậy

Theo bài ra: x1 + x2 = 1 2

2

2

Giải phương trình bậc hai ẩn m ta có: a – b + c = 4 – (-2) - 6 = 0

Phương trình có nghiệm: m1 = - 1, m2 = 6 3

Vậy với m = - 1 và m 3

2 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2 2

Như vậy ở hai ví dụ trên học sinh thấy có x1, x2 thông thường các em sẽ

sử dụng công thức nghiệm như thế sẽ rất phức tạp và dễ nhầm lẫn Vì thế giáo viên cần hướng dẫn học sinh tư duy sáng tạo cần sử dụng định lí Vi-et

Qua một số ví dụ trên và hướng giải quyết đã nêu dẫn đến lời giải ngắn gọn khi sử dụng định lí Vi-et Điều này minh chứng thêm cho khảng định: Khi giải toán cần nắm vững thành thạo các phương pháp đặc trưng của từng loại toán Điều này rất cần thiết song để giải các bài toán phức tạp cần khai thác yếu tố riêng, đặc biệt của mỗi loại toán để có ý nghĩa sáng tạo đơn giản mà hiệu quả cao

3 Những điểm khác biệt và tính mới của giải pháp so với giải pháp đã

và đang được áp dụng

a Xây dựng hệ thức Vi-ét

- Sau khi học xong công thức nghiệm của phương trình bậc 2 tổng quát giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ

số thông qua biểu thức:

x1 + x2 = ?; x1.x2 = ? Từ đây, gợi ý học sinh tìm tòi thêm các mối liên hệ khác để khẳng định giá trị của 2 hệ thức trên

b Xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

Gồm các bài toán:

- Không giải phương trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm Không đối xứng giữa hai nghiệm

- Cho trước một nghiệm của phương trình bậc 2 Tìm nghiệm còn lại và tham số

- Tìm một số khi biết tổng và tích của chúng

- Lập một phương trình bậc 2 biết hai nghiệm cho trước; hoặc hai nghiệm

có liên quan tới hai nghiệm của một phương trình đã cho

- Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của một phương trình bậc 2 không phụ thuộc tham số

- Tìm điều kiện của tham số (tìm tham số) sao cho các nghiệm của một phương trình bậc 2 đã cho thoả mãn một hệ thức (1 điều kiện cho trước)

- Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước cùng dấu, trái dấu, dương, âm, …

III Khả năng áp dụng của giải pháp

1 Đối tượng áp dụng

- Sáng kiến này được áp dụng cho học sinh khối 9 ở trường THCS Từ nội dung cụ thể này chúng ta có thể vận dụng và mở rộng cho nhiều dạng bài tập khác nữa (như chủ đề về tam thức bậc 2 – Toán 9)

2 Quá trình tổ chức áp dụng thử.

- Xây dựng mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số) Với các hệ số a, b, c từ đó hình thành hệ thức

Vi-ét đến phát biểu được nội dung của định lý Vi-Vi-ét là một công việc có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc dạy toán theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở kiến tạo kiến thức mới sinh động và phong phú

- Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ra được các ứng dụng quan trọng như tìm tổng và tích các nghiệm số (không giải phương trình), … Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý toán học cũng như ý nghĩa của định lý với những bài toán có liên quan

- Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo có nhiều ứng dụng vào các bài tập:

+ Tìm 2 số biết tổng và tích

+ Lập một phương trình khi biết hai nghiệm

+ Nhẩm nghiệm phương trình

- Nêu ra một hệ thống ứng dụng của định lý Vi-ét vào các bài toán có ý nghĩa thiết thực trong rèn luyện kĩ năng và vận dụng hệ thức vào suy luận ở cấp

độ tư duy cao như: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham

số, …

- Thường xuyên động viên học sinh có thói quen giải một phương trình bậc hai, trước tiên là sử dụng Vi-ét Tạo cho học sinh một động hình (tập quán), giải nhanh (hợp lí) các bài toán có phương trình Đặc biệt là thói quen tính nhẩm trong các trường hợp đã nêu

- Thường xuyên “cảnh giác” cho học sinh trước khi sử dụng hệ thức Vi-ét

là tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) là một hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức trong suy luận và rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ trong giải toán cho học sinh

- Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán như: Bất đẳng thức, cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, … Đã làm phong phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý Vi-ét

- Ghi nhớ cho học sinh kinh nghiệm giải các bài toán về phương trình bậc hai luôn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt

- Khai thác triệt để, sâu sắc và phong phú một định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng về phương diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn học sinh giúp cho việc rèn luyện kĩ năng của các em được vững chắc hơn

3 Đánh giá

- Học sinh có hứng thú hơn khi tham gia vào bài dạy

- Học sinh nhiệt tình, sôi nổi, mạnh dạn hơn trong tiết học

- Học sinh nhận biết được nhiều kiến thức hơn

- Học sinh có những hiểu biết sâu rộng hơn

IV Hiệu quả, lợi ích thu được

- Số học sinh hiểu được kiến thức cơ bản của bài là 100%

- Các em nắm kiến thức cơ bản kỹ hơn, chịu khó tìm tòi, học hỏi

- Biết cách kết hợp linh hoạt các nội dung kiến thức với nhau, sâu chuỗi các chủ đề kiến thức đã học giúp các em có những hiểu biết toàn diện hơn Đoàn kết hơn trong học tập và các hoạt động, tình yêu thương, niềm tự hào được nhân thêm trong cuộc sống

V Phạm vi ảnh hưởng của giải pháp

- Với các ứng dụng phong phú đa dạng Định lý Viet đã có một vị trí quan trọng trong chương trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn còn có ý nghĩa với các lớp trên Cũng như việc mở rộng nó với phương trình bậc 3 Định lý này không chỉ có giá trị về phương diện thực hành định lượng mà nó còn có giá trị định tính một cách phong phú cho các nghiệm số của phương trình bậc 2

- Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phương trình bậc 2, bậc

3 Giúp cho người học rèn luyện các thao tác tư duy đặc biệt là khả năng suy luận 7 tính linh hoạt trong quá trình học tập môn toán

- Cung cấp cho học sinh một cách có hệ thống các nội dung và phương pháp của hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp học sinh hiểu sâu mối quan hệ giữa nghiệm số với các hệ số của một phương trình bậc 2, bậc

3 Từ đó hình thành ở học sinh một thói quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý toán học trong chương trình toán giúp cho các em rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ

- Nêu ra được các giải pháp giải từng loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp học sinh có được phương hướng giải quyết vấn đề có cơ sở lý luận Xây dựng cho học sinh một niềm tin trong học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái mới, cái hay trong quá trình học toán

- Bước đầu hình thành ở học sinh những thói quen, kỹ năng làm toán, học toán có phương pháp Trang bị cho học sinh phương pháp thực hành toán học