Tài liệu giảng dạy toán học 1

Sự liên hệ giữa tập con và tính chất đặc trưng của các phần tử Có mối liên hệ giữa mỗi tập con với một tính chất nào đó của các phần tử của tập hợp.. Quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp Mỗ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

TOÁN HỌC 1

ĐINH QUỐC HUY

AN GIANG, 6 - 2018

Tài liệu giảng dạy “Toán học 1”, do tác giả Đinh Quốc Huy, công tác tại khoa Sư phạm thực hiện Tác giả đã báo cáo nội dung và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Khoa thông qua ngày 25/05/2018, và được Hội đồng Khoa học và Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày …/6/2018

Tác giả biên soạn

ĐINH QUỐC HUY

NGUYỄN NGUYỆT NGA

Hiệu trưởng

AN GIANG, 6-2018

LỜI CẢM TẠ Xin cám ơn các đồng nghiệp và sinh viên đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành tài liệu giảng dạy này

Xin cám ơn các tác giả của những tài liệu mà tôi đã sử dụng trong quá trình hoàn thành tài liệu giảng dạy này

An Giang, ngày … tháng 6 năm 2018

Người thực hiện

ĐINH QUỐC HUY

LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan đây là tài liệu giảng dạy của riêng tôi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng

An Giang, ngày …., tháng 6 năm 2018

Người biên soạn

ĐINH QUỐC HUY

MỤC LỤC

Chương 1 TẬP HỢP 1

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1

1.1.1 Khái niệm tập hợp 1

1.1.2 Cách xác định một tập hợp 1

1.1.3 Tập hợp bằng nhau 2

1.1.4 Tập rỗng, tập đơn tử 3

1.1.5 Sơ đồ Venn 3

1.2 QUAN HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP 3

1.2.1 Tập con, quan hệ bao hàm 3

1.2.2 Một số tính chất của quan hệ bao hàm 4

1.2.3 Sự liên hệ giữa tập con và tính chất đặc trưng của các phần tử 5

1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 5

1.3.1 Giao của hai tập hợp 5

1.3.2 Hợp của hai tập hợp 6

1.3.3 Một số tính chất của phép hợp, phép giao 7

1.3.4 Hiệu của hai tập hợp 8

1.3.5 Sự liên quan giữa phép hiệu, phép hợp, phép giao của các tập hợp 9

BÀI TẬP 10

HƯỚNG DẪN 12

Chương 2 QUAN HỆ 16

2.1 TÍCH DESCARTES CỦA CÁC TẬP HỢP 16

2.1.1 Cặp sắp thứ tự 16

2.1.2 Tích Descartes của hai tập hợp 16

2.2 QUAN HỆ HAI NGÔI 17

2.2.1 Quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp 17

2.2.2 Quan hệ hai ngôi xác định trên một tập hợp 19

2.2.3 Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi 19

2.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 21

2.3.1 Định nghĩa quan hệ tương đương 21

2.3.2 Lớp tương đương 22

2.3.3 Tập thương 23

2.4 QUAN HỆ THỨ TỰ 24

2.4.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự 24

2.4.2 Tập sắp thứ tự 25

2.4.3 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất 25

2.4.4 Chặn trên, chặn dưới 26

2.4.5 Chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất 26

2.4.6 Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu 26

BÀI TẬP 28

HƯỚNG DẪN 31

Chương 3 ÁNH XẠ 37

3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ THÍ DỤ 37

3.1.1 Định nghĩa 37

3.1.2 Thí dụ 37

3.1.3 Hai ánh xạ bằng nhau 39

3.2 ẢNH VÀ TẠO ẢNH 39

3.2.1 Ảnh của một tập con qua một ánh xạ 39

3.2.2 Tạo ảnh của một tập hợp bởi một ánh xạ 40

3.3 CÁC LOẠI ÁNH XẠ ĐẶC BIỆT TÍCH ÁNH XẠ VÀ ÁNH XẠ NGƯỢC 41

3.3.1 Các loại ánh xạ đặc biệt 41

3.3.2 Tích các ánh xạ 45

3.3.3 Ánh xạ ngược 47

3.4 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 48

3.4.1 Chỉnh hợp lặp Ánh xạ từ tập hợp hữu hạn đến tập hợp hữu hạn 48

3.4.2 Chỉnh hợp không lặp Đơn ánh từ tập hợp hữu hạn đến tập hợp hữu hạn 49 3.4.3 Hoán vị Song ánh từ tập hợp hữu hạn đến chính nó 51

3.4.4 Tổ hợp chập m của n phần tử 51

BÀI TẬP 54

HƯỚNG DẪN 59

Chương 4 LOGIC MỆNH ĐỀ 70

4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 70

4.2 CÁC PHÉP TOÁN GIỮA CÁC MỆNH ĐỀ 70

4.2.1 Phép phủ định 70

4.2.2 Phép hội 70

4.2.3 Phép tuyển 71

4.2.4 Phép kéo theo 72

4.2.5 Phép tương đương 73

4.3 CÔNG THỨC VÀ LUẬT CỦA LOGIC MỆNH ĐỀ 74

4.3.1 Khái niệm công thức 74

4.3.2 Giá trị của công thức 74

4.3.3 Sự bằng nhau của hai công thức 75

4.3.4 Phép biến đổi công thức 77

4.3.5 Luật của logic mệnh đề 78

4.3.6 Đẳng thức và luật 79

Chương 5 LOGIC VỊ TỪ 80

5.1 HÀM MỆNH ĐỀ MỘT BIẾN 80

5.1.1 Các khái niệm 80

5.1.2 Miền đúng của hàm mệnh đề 81

5.2 CÁC PHÉP TOÁN CỦA LOGIC VỊ TỪ 82

5.2.1 Phép phủ định 82

5.2.2 Phép hợp 83

5.2.3 Phép tuyển 83

5.2.4 Phép kéo theo 84

5.2.5 Phép tương đương 84

5.3 CÁC LƯỢNG TỪ 85

5.3.1 Lượng từ tồn tại  85

5.3.2 Lượng từ với mọi  85

5.3.3 Sự liên hệ giữa lượng từ và phép phủ định 86

CHƯƠNG 6 ÁP DỤNG CÁC LUẬT LOGIC VÀO CHỨNG MINH VÀ GIẢI TOÁN 87

6.1 QUI TẮC SUY LUẬN 87

6.1.1 Định nghĩa 87

6.1.2 Luật và qui tắc suy luận 87

6.1.3 Các qui tắc suy luận thường gặp 88

6.2 ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC SUY LUẬN (CÁC LUẬT LOGIC) VÀO PHÉP CHỨNG MINH VÀ GIẢI TOÁN 88

6.2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 88

6.2.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 89

6.2.3 Phương pháp chứng minh qui nạp 90

BÀI TẬP 92

HƯỚNG DẪN 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO 101

9 Hình 9 Các tập hợp tương đương có lực lượng là 1, 2, 3 23

10 Hình 10 Các tập hợp tương đương có lực lượng là 4,5 23

CHƯƠNG 1 TẬP HỢP 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP

b Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp

         Nếu  X  là  tập  hợp  gồm  các  phần  tử  x  có  tính  chất  đặc  trưng  p  thì  ta  viết:      

X  =  { x / x có tính chất p}   hay X  =  { x / p(x)} 

Thí dụ 1.1.2.2.     Cho A = { x / x    , 5x 100}  

       B{2 /t t, 0 t 3}

1.2.1 Tập con, quan hệ bao hàm

– Nếu (x  A:  x  A    x  X) thì A   X

– Nếu A   X  thì  x  A : x   X

– Nếu  x  A : x   X thì A   X 

Khi A  X  ta nói: A bao hàm trong X  hay A chứa trong X; có thể nói ngược  lại: X  bao hàm A  hay X chứa A. Quan hệ giữa A và X gọi là quan hệ bao hàm. 

a) Mỗi tập hợp A khác rỗng bao giờ cũng có ít nhất hai tập con là tập rỗng và chính  tập A. Hai tập đó gọi là hai tập con tầm thường của tập A, các tập con khác gọi là tập  con thật sự của tập A. 

b) Nếu A là tập con thật sự của tập X thì A     và có một phần tử x  X  sao cho  

x  A. 

1.2.3 Sự liên hệ giữa tập con và tính chất đặc trưng của các phần tử

Có mối liên hệ giữa mỗi tập con với một tính chất nào đó của các phần tử của tập hợp. Ta có thể dùng tính chất đặc trưng của các phần tử để xác định một tập con 

BÀI TẬP

1.1. Cho   M x / 2 73 3x  ,      2  

N  x x x x    Viết các tập hợpMN M, N M N N M, \ , \  dưới dạng liệt kê các phần tử. 

b)  Tìm AB A, B A B B A, \ , \  

1.12.  Chứng minh rằng với mọi tập hợp A B  ta có:,  

( \A B) B A\  AB \ AB   -

x x

x x

CHƯƠNG 2 QUAN HỆ

2.1.2 Tích Descartes của hai tập hợp

Định nghĩa 2.1.2.1 Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, tích Descartes của A và B

là một tập hợp mà phần tử là các cặp sắp thứ tự (a, b) với a  A và b  B Tích Descartes của A và B là tập rỗng khi A là tập rỗng hay B là tập rỗng

Khi đó: AB = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

BA = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2,c) }

Thí dụ 2.1.2.2 Tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn tập tích Descartes



Chú ý:

a) Nếu A có n phần tử, B có m phần tử thì AB và BA có nm phần tử

b) Tích Descartes không có tính chất giao hoán Nếu A  B, A  , B   thì

2.2 QUAN HỆ HAI NGÔI

2.2.1 Quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp

Mỗi tập con của một tập X có khả năng biểu thị một tính chất đặc trưng nào đó

của các phần tử của tập hợp

Thí dụ 2.2.1.1 Cho X = { 10, 11, 12 }, Y = { 1, 2, 3, 4 } Gọi R là tập các cặp sắp

thứ tự (x, y) với x  X, y  Y trong đó x là bội số của y, khi đó:

R = { (10, 1), (10, 2), (11, 1), (12, 1), (12, 2), (12, 3), (12, 4) }

Ta thấy R là tập con của tập tích Descartes X  Y, tập này xác định quan hệ

“x là bội số của y” giữa các phần tử của tập X và các phần tử của tập Y, có nghĩa là:

x là bội của y khi và chỉ khi (x, y)  X  Y

Định nghĩa 2.2.1.1 Cho X, Y là hai tập tùy ý khác rỗng, một quan hệ hai ngôi trên

X  Y là một tập con R của tập tích Descartes X  Y

– Nếu (x, y)  R ta nói “x có quan hệ R với y” và ký hiệu x R y

– Nếu (x, y)  R ta nói “x không có quan hệ R với y” và ký hiệu x R/ y

 Một số bài toán khó trong chương trình toán tiểu học có thể xem là bài toán xác định quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp

Thí dụ 2.2.1.2 Trên bàn có ba cuốn sách giáo khoa Toán, Tiếng Việt, Mỹ thuật

được bọc bìa ba màu trắng, hồng, tím Cuốn bọc bìa màu tím đặt giữa hai cuốn Tiếng Việt và Mỹ thuật Cuốn Mỹ thuật và cuốn bìa màu hồng cùng mua một ngày Hãy xác định xem mỗi cuốn bọc bìa màu gì

(Với học sinh tiểu học, bài giải ngắn gọn hơn vì có thể dựa vào trực quan)

2.2.2 Quan hệ hai ngôi xác định trên một tập hợp

Định nghĩa 2.2.2.1 Cho tập X  , một quan hệ hai ngôi R xác định trên tập X là một tập con của tập X 2

Thí dụ 2.2.2.1 Quan hệ “bằng nhau” trong tập  xác định bởi tập con R của tập 2

 : R = { (x, y)   / x = y } Quan hệ R cũng có thể được xác định như sau: 2

2.2.3 Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi

Cho tập X  , trên X xác định quan hệ hai ngôi R, R có thể có các tính chất sau:

2.2.3.1 Tính phản xạ

R có tính phản xạ   a  X: a R a

R không có tính phản xạ   a  X : a R/ a (cần chỉ ra a là phần tử cụ thể)

Thí dụ 2.2.3.1 Quan hệ “chia hết cho” trong  có tính phản xạ vì: *

 a   : a = a.1 với * 1  *  aa

Thí dụ 2.2.3.2 Quan hệ “chia hết cho” trong  không có tính phản xạ vì:

Do đó a = akq mà a, k, q đều thuộc  nên k = q = 1  a = b *

Thí dụ 2.2.3.6 Quan hệ “” trong  không có tính phản đối xứng vì với 5, –5   ,

ta có 5  (–5) và (–5)  5 nhưng 5  (–5)

2.2.3.4 Tính bắc cầu

R có tính bắc cầu  ( a, b, c  X : a R b, b R c  a R c)

R không có tính bắc cầu  (a, b, c  X : a R b, b R c, a R/ c)

Thí dụ 2.2.3.7 Quan hệ “  ” trong  có tính bắc cầu vì:

Trong mặt phẳng , cho hình chữ nhật ABCD như hình vẽ Ta thấy :

AB//CD và CD//AB nhưng A

AB không song song với nó

D

B

C

Hình 8 Hình chữ nhật ABCD

2.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

2.3.1 Định nghĩa quan hệ tương đương Một quan hệ hai ngôi R trong X được gọi là quan hệ tương đương nếu thỏa các điều kiện:

Thông thường ta ký hiệu quan hệ tương đương là “ ~ ” , x ~ y đọc là “x tương đương với y”

Thí dụ 2.3.1.1 Quan hệ “ = ” trong các tập hợp số là quan hệ tương đương

Thí dụ 2.3.1.2 Quan hệ “đồng dư modul 5” trong  là quan hệ tương đương

Thí dụ 2.3.1.3 Quan hệ “” trong *

không là quan hệ tương đương vì không có tính chất đối xứng

Thí dụ 2.3.1.4 Quan hệ “ngồi cùng bàn” trong tập hợp các học sinh trong lớp là

quan hệ tương đương

2.3.2 Lớp tương đương

Định nghĩa 2.3.2.1 Cho X là một tập hợp trên đó xác định quan hệ tương đương ~,

a là một phần tử của X Ta gọi lớp tương đương của phần tử a là tập hợp các phần tử

của X tương đương với a a được gọi là phần tử đại diện của lớp tương đương

Ký hiệu: [a] hay a

 a = { x  X / x ~ a }

Thí dụ 2.3.2.1 Xét quan hệ “ngồi cùng bàn” trong tập hợp học sinh của một lớp, An

là một học sinh của lớp Lớp tương đương mà học sinh An làm đại diện là tập hợp các học sinh trong lớp ngồi cùng bàn với An (kể cả An)

Thí dụ 2.3.2.2 Xét quan hệ “đồng dư modul 3” trong  , ta có:

iii) x1x2  x1x2 =

Chứng minh: xem như bài tập

 Dựa vào định lý ta có thể phát biểu: một quan hệ tương đương trên tập X chia tập X

thành các tập con không rỗng, đôi một rời nhau (các lớp tương đương) sao cho mỗi

phần tử của X đều thuộc và chỉ thuộc một trong các tập con ấy và các phần tử trong

cùng một tập con thì tương đương với nhau

Chú ý: Khi hình thành khái niệm số tự nhiên (các số 1, 2, 3, 4, 5), sách giáo khoa

Toán 1 đã dùng các lớp tương đương với mức độ phù hợp

Hình 9 Các tập hợp tương đương có Hình 10 Các tập hợp tương đương có lực lượng là 1, 2, 3 lực lượng là 4, 5

2.3.3 Tập thương

Định nghĩa 2.3.3.1 Cho X  , trên X xác định quan hệ tương đương ~ Tập hợp

các lớp tương đương đối với đối với quan hệ ~ gọi là tập thương của tập X đối với

quan hệ ~ Ký hiệu: X/~

 X/~ = { a / a  X }

Thí dụ 2.3.3.1 Quan hệ đồng dư modul 3 trong  chia  thành các tập con là các

Nếu thiếu một trong ba tính chất trên thì R không là quan hệ thứ tự

 Trong trường hợp tổng quát người ta dùng ký hiệu “  ” để chỉ một quan hệ thứ tự bất kỳ

 Nếu có x R y với R là một quan hệ thứ tự, ta nói “x đi trước y” hay “y đi sau x”

(đối với quan hệ R)

Thí dụ 2.4.1.1 Quan hệ “  ” trên các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số

thực là quan hệ thứ tự

Thí dụ 2.4.1.2 Quan hệ “” trên *là quan hệ thứ tự

Thí dụ 2.4.1.3 Quan hệ “” trên  không là quan hệ thứ tự vì không có tính phản đối xứng

Thí dụ 2.4.1.4 Cho tập X bất kỳ, trong P(X) xác định quan hệ “” , quan hệ này là

quan hệ thứ tự

– Nếu tồn tại a, b thuộc X mà a R/ b và b R/ a thì R gọi là quan hệ thứ tự bộ phận và

X được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ R

Thí dụ 2.4.2.1 Tập  với quan hệ thứ tự “” là tập sắp thứ tự toàn phần

Thí dụ 2.4.2.2.Tập * với quan hệ thứ tự “” là tập sắp thứ tự bộ phận

Thí dụ 2.4.2.3 Tùy theo số lượng phần tử của tập X mà P(X) với quan hệ thứ tự

“  ” là tập sắp thứ tự toàn phần hay bộ phận

2.4.3 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất

Cho X là một tập sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự R , A  X

– Phần tử a  A gọi là phần tử nhỏ nhất của A (đối với quan hệ thứ tự R) nếu với mọi x  A ta luôn có a R x (a luôn đi trước x)

– Phần tử a  A gọi là phần tử lớn nhất của A (đối với quan hệ thứ tự R) nếu với mọi x  A ta luôn có x R a (a luôn đi sau x)

Thí dụ 2.4.3.1 Xét tập * với quan hệ thứ tự “” , A = {1, 2, 5, 7, 35, 70} Ta thấy:

70 1, 70 2, 70 5, 70 7, 70 35, 70 70 do đó 70 là phần tử nhỏ nhất của A đối với

2.4.4 Chặn trên, chặn dưới

Cho X là một tập sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự R , A  X

– Phần tử c  X được gọi là cái chặn trên của A (đối với quan hệ thứ tự R) nếu với

mọi x  A ta có x R c (c luôn đi sau x)

– Phần tử c  X được gọi là cái chặn dưới của A (đối với quan hệ thứ tự R) nếu với

mọi x  A ta có c R x (c luôn đi trước x)

Thí dụ 2.4.4.1 Xét tập  các số thực với quan hệ  thông thường, A   với

A = { x   / 4  x < 6} Khi đó, các số thực lớn hơn hay bằng 6 đều là chặn trên của

A; các số thực nhỏ hơn hay bằng 4 đều là chặn dưới của A

Thí dụ 2.4.4.2 Xét tập  các số tự nhiên với quan hệ  thông thường, A   với

A = { x   / x là bội của 2} Khi đó, A không có chặn trên; các số 0,1,2 đều là chặn

dưới của A

2.4.5 Chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất

Cho X là một tập sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự R , A  X

– Phần tử nhỏ nhất trong tập T(A) các chặn trên của A gọi là chặn trên nhỏ nhất của A

(thường gọi là chặn trên đúng)

– Phần tử lớn nhất trong tập D(A) các chặn dưới của A gọi là chặn dưới lớn nhất của

A (thường gọi là chặn dưới đúng)

Chặn trên nhỏ nhất, chặn dưới lớn nhất của A nếu có thì là duy nhất

Thí dụ 2.4.5.1 Trong tập *các số tự nhiên khác không xác định quan hệ “chia hết”,

quan hệ này là quan hệ thứ tự trên * Cho A = {a, b} khi đó chặn trên nhỏ nhất của

A là bội chung nhỏ nhất của a và b, chặn dưới lớn nhất của A là ước chung lớn nhất

của a và b

Thí dụ 2.4.5.2 Trong tập P(X) các các tập con của X với quan hệ thứ tự bao hàm

cho U = {A, B} (A, B là hai tập con của X), khi đó chặn trên nhỏ nhất của A là AB,

chặn dưới lớn nhất của U là A  B

2.4.6 Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu

Cho X là một tập sắp thứ tự theo quan hệ thứ tự R

– Phần tử m  X gọi là phần tử tối đại của X nếu từ x  X và m R x ta luôn suy ra được x = m

– Phần tử m  X gọi là phần tử tối tiểu của X nếu từ x  X và x R m ta luôn suy ra được x = m

Thí dụ 2.4.6.1 Xét tập A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } với quan hệ thứ tự “chia hết”, ta thấy:

A không có phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất

A có các phần tử tối tiểu là 2, 3, 5, 7

A có các phần tử tối đại là 5, 6, 7, 8

-

Chứng minh rằng  là một quan hệ tương đương

2.7 Cho X là tập các đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng Trên X xác định quan hệ

 như sau:  d d1 , 2  X d d : 1 2  d1 d2 Xét xem quan hệ có, không có tính chất nào trong 4 tính chất của quan hệ hai ngôi

2.8 Trên tập các số hữu tỉ, xác định quan hệ hai ngôi như sau:

2.9 Chứng minh rằng quan hệ xác định như sau là một quan hệ tương đương:

a) Liệt kê các phần tử của quan hệ 

b) Xét xem quan hệ  là quan hệ tương đương hay quan hệ thứ tự

2.11 Chứng minh rằng quan hệ  xác định như sau là một quan hệ tương đương:

Chứng minhlà một quan hệ tương đương

2.14 Trên tập  các số thực xác định quan hệ S như sau:

Chứng minh rằng S là một quan hệ tương đương

2.15 Trên tập    *xác định quan hệ  như sau:

Chứng minhlà một quan hệ tương đương

2.16 Trên tập các số thực, xác định một quan hệ hai ngôi T như sau:

3 3

Chứng minh quan hệ T là một quan hệ thứ tự

2.17 Cho tập X   Trên tập P(X) các tập con của X xác định quan hệ  như sau:

,

A B

Hãy xét quan hệ có, không có tính chất nào trong 4 tính chất của quan hệ hai ngôi

2.18 Cho tập X   Trên tập P(X) các tập con của X xác định quan hệ như sau: