Tài liệu bài tập đại số đại cương

Khi đó aman = am+n, amn= amn.Trường hợp X là nửa nhóm giao hoán thì abn= anbn với a, b ∈ X.Nếu phép toán hai ngôi trên X ký hiệu bằng dấu cộng + thì tổng của n phần tử đều bằng a được gọ

Lời nói đầu

Để đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên ngày một nâng cao, chúng tôi

đã biên soạn tài liệu “Đại số đại cương” dành cho sinh viên ngành Sư phạmToán trường Đại học An Giang Trong cuốn tài liệu đó chúng tôi đã đưa vàomột khối lượng lớn bài tập đa dạng và phong phú Để giúp sinh viên có một

bộ tài liệu hoàn chỉnh học tập môn Đại số đại cương, chúng tôi biên soạncuốn “Bài tập đại số đại cương”

Tài liệu “Bài tập Đại số đại cương” gồm có ba phần:

Phần I Tóm tắt lý thuyết và đề bài

Phần II Lời giải và hướng dẫn

Phần III Giới thiệu một số đề thi Cao học

Mỗi phần (I và II) gồm năm chương:

• Chương 1: Nửa nhóm và nhóm;

• Chương 2: Vành và trường;

• Chương 3: Vành đa thức;

• Chương 4: Vành chính và vành Euclide;

• Chương 5: Đa thức trên các trường số

Thứ tự các chương được trình bày theo đúng thứ tự trong tài liệu “Đại

số đại cương” nhằm giúp bạn đọc dễ sử dụng Hầu hết các bài tập trong tàiliệu “Bài tập đại số đại cương” được chúng tôi trình bày lời giải tương đối chitiết nhằm giúp sinh viên dễ dàng trong việc củng cố lý thuyết và giải các bài

tập tương tự So với tài liệu “Đại số đại cương” thì trong tài liệu này chúngtôi có đưa thêm một số bài tập nhằm giúp người đọc tham khảo và đi sâuhơn những nội dung đã được đề cập trong lý thuyết Ngoài ra còn có một sốbài tập được tuyển chọn từ các đề thi Cao học môn Đại số cơ sở của một sốtrường Đại học Sư phạm trong nước nhằm giúp sinh viên có điều kiện để ôntập và thi vào các lớp Cao học Phần III giới thiệu một số đề thi Cao họccủa các trường: Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại học Sư phạm Thành phố HồChí Minh; Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh và Đại họcHuế.

Một lời khuyên của chúng tôi đối với sinh viên là khi giải các bài tậptrong tài liệu không nên quá lệ thuộc vào phần lời giải có sẵn trong tài liệu,

mà trước hết hãy tự mình cố gắng tìm tòi lời giải, sau đó so sánh bài giảicủa mình với bài giải trong tài liệu nhằm rút ra những kinh nghiệm tronggiải toán Có như vậy cuốn tài liệu này mới thực sự có ích khi học môn Đại

số đại cương

Khi viết cuốn tài liệu này chúng tôi có tham khảo một số tài liệu củacác tác giả Hoàng Xuân Sính; Nguyễn Tiến Quang; Bùi Huy Hiền; Mỵ VinhQuang; Trần Huyên và một số tác giả khác được liệt kê ở trang cuối của tàiliệu này Nhân dịp này chúng tôi tỏ lòng biết ơn các tác giả nói trên Cuốicùng, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quí báu cho nộidung cũng như hình thức trình bày trong tài liệu của các bạn đồng nghiệptrong Bộ môn Toán và Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm cũng như các bạnsinh viên để cuốn sách này có thể được hoàn chỉnh tốt hơn

An Giang, tháng 06 năm 2013

Tác giả

Mục lục

Lời nói đầu i

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ ĐỀ BÀI 1

Chương 1 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 3

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 3

B BÀI TẬP 11

Chương 2 VÀNH VÀ TRƯỜNG 27

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 27

B BÀI TẬP 35

Chương 3 VÀNH ĐA THỨC 48

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 48

B BÀI TẬP 55

Chương 4 VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH EUCLIDE 62

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 62

B BÀI TẬP 66

Chương 5 ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG SỐ 74

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 74

B BÀI TẬP 80

II LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 85

Chương 1 NỬA NHÓM VÀ NHÓM 87

Chương 2 VÀNH VÀ TRƯỜNG 129

Chương 3 VÀNH ĐA THỨC 163

Chương 4 VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH EUCLIDE 195

Chương 5 ĐA THỨC TRÊN CÁC TRƯỜNG SỐ 221

MỘT SỐ ĐỀ THI CAO HỌC MÔN ĐẠI SỐ 247

TÀI LIỆU THAM KHẢO 269

Phần I TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ

ĐỀ BÀI

Chương 1

NỬA NHÓM VÀ NHÓM

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 NỬA NHÓM

1.1 Phép toán hai ngôi

Định nghĩa 1 Một phép toán hai ngôi trên tập hợp X là một ánh xạ

T : X × X → X(x, y) 7→ T (x, y)

Định nghĩa 2 Một tập con A của X được gọi là ổn định đối với phép toánhai ngôi T trên X nếu với mọi x, y ∈ A thì xT y ∈ A

Nếu phép toán T ổn định trên A thì

T : A × A → A(x, y) 7→ xT ycũng là một ánh xạ, do đó cũng là một phép toán trên A Phép toán nàytrên tập A được gọi là phép toán cảm sinh bởi phép toán T trên X

Định nghĩa 3 Phép toán hai ngôi T trong một tập hợp X được gọi là cótính chất kết hợp nếu với mọi x, y, z ∈ X thì

(xT y) T z = xT (yT z) ,

được gọi là có tính chất giao hoán nếu với mọi x, y ∈ X thì

xT y = yT x

Định nghĩa 4 Một phần tử e ∈ X được gọi là một đơn vị trái (đơn vị phải)của phép toán hai ngôi T trên X nếu với mọi x ∈ X thì eT x = x (xT e = x).Nếu e vừa là đơn vị phải vừa là đơn vị trái thì e gọi là một đơn vị hoặcmột phần tử trung hòa của phép toán hai ngôi

Định lý 1 Nếu e1 là đơn vị trái và e2 là đơn vị phải của phép toán hai ngôi

Phần tử x0 gọi là phần tử đối xứng của x nếu x0 vừa là phần tử đối xứngtrái vừa là phần tử đối xứng phải của x, tức là: x0T x = xT x0 = e

Nếu x có phần tử đối xứng thì x gọi là phần tử khả đối xứng

Định lý 2 Nếu phép toán T trên X kết hợp, x0 là phần tử đối xứng tráicủa x, x00 là phần tử đối xứng phải của x thì x0 = x00

Hệ quả 2 Nếu phép toán T trên X kết hợp thì phần tử đối xứng của mộtphần tử (nếu có) là duy nhất

1.2 Nửa nhóm

Định nghĩa 6 Cho tập hợp X cùng với một phép toán hai ngôi đã đượcxác định X được gọi là nửa nhóm nếu phép toán có tính chất kết hợp.Nếu phép toán trên X có phần tử trung hòa thì X được gọi là một vịnhóm

Nếu phép toán có tính chất giao hoán thì X được gọi là nửa nhóm giaohoán hay nửa nhóm abel

Định nghĩa 7 Cho X là một nửa nhóm, x1, x2, , xn là các phần tử của

X Ta gọi tích của ba phần tử x1, x2, x3 ký hiệu là x1x2x3 xác định như sau:

x1x2x3 = (x1x2)x3 = x1(x2x3)

Một cách tổng quát tích của n phần tử x1, x2, , xn là

x1x2· · · xn= (x1x2· · · xn−1)xn, với n ≥ 3Định lý 3 Giả sử x1, x2, , xn là n (n ≥ 3) phần tử của nửa nhóm X thì

x1x2· · · xn = (x1· · · xi) (xi+1· · · xj) · · · (xm+1· · · xn)

Định nghĩa 8 Trong một nửa nhóm X, lũy thừa bậc n (n ∈ N∗) của mộtphần tử a ∈ X là tích của n phần tử đều bằng a, ký hiệu là an Khi đó

aman = am+n, (am)n= amn.Trường hợp X là nửa nhóm giao hoán thì (ab)n= anbn với a, b ∈ X.Nếu phép toán hai ngôi trên X ký hiệu bằng dấu cộng (+) thì tổng của

n phần tử đều bằng a được gọi là bội n của a, ký hiệu là na Lúc đó quy tắctrên được viết là

ma + na = (m + n)a, n(ma) = (nm)a

và nếu X là nửa nhóm giao hoán thì n(a + b) = na + nb

Định lý 4 Nếu X là một nửa nhóm giao hoán thì tích

x1x2· · · xnkhông phụ thuộc vào thứ tự các nhân tử

2 NHÓM

2.1 Nhóm

Định nghĩa 1 Cho X là một nửa nhóm, X được gọi là một nhóm nếu thỏamãn các điều kiện sau:

Nếu tập hợp X là hữu hạn thì ta bảo X là một nhóm hữu hạn và số phần

tử của X gọi là cấp của nhóm Nếu X vô hạn, ta bảo X là nhóm vô hạn.Nếu phép toán trên X là giao hoán thì X gọi là một nhóm giao hoán haynhóm abel Khi X có cấp là n ta viết |X| = n

Định lý 1 Cho X là một nhóm Thế thì

a) Phép toán trên X có duy nhất một phần tử đơn vị

b) Mỗi phần tử của X chỉ có duy nhất một phần tử đối xứng

Định lý 2 Trong một nhóm, luật giản ước luôn luôn được thực hiện, nghĩa

là đẳng thức xy = xz(yx = zx) kéo theo đẳng thức y = z

Định lý 3 Một nửa nhóm X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sauđược thỏa mãn

a) X có một đơn vị trái e

b) Với mọi x ∈ X, có một x0 ∈ X sao cho x0x = e

Định lý 4 Với x, y là hai phần tử bất kì của nhóm X, ta có (xy)−1 =

Định lý 6 Một bộ phận A của một nhóm X là một nhóm con của nhóm

X nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thoả mãn

2.3 Nhóm con cyclic, cấp của một phần tử

Định lý 7 Giao của một họ bất kì những nhóm con của một nhóm X làmột nhóm con của X

Định nghĩa 3 Giả sử U là một bộ phận của một nhóm X Nhóm con A

bé nhất của X chứa U gọi là nhóm con sinh ra bởi U Trong trường hợp

A = X, ta nói rằng U là một hệ sinh của X và X được sinh ra bởi U Kýhiệu X = hU i

Định nghĩa 4 Một nhóm con A của X được gọi là nhóm con cyclic nếu Ađược sinh ra bởi một phần tử a ∈ X Phần tử a gọi là một phần tử sinh của

A Kí hiệu nhóm con cyclic sinh ra bởi a là hai

Cho nhóm X, nếu tồn tại a ∈ X sao cho X = hai thì X gọi là nhómcyclic

Định lý 8 Nhóm con cyclic hai của một nhóm X gồm và chỉ gồm tất cảcác phần tử của X có dạng am, m ∈ Z

Định lý 9 Cho X là một nhóm, e là phần tử đơn vị của X và a là mộtphần tử của X

a) Nếu không có số nguyên dương n nào sao cho an = e thì ai 6= aj,với mọi i, j ∈ Z và i 6= j Trường hợp này nhóm con sinh ra bởi a là

vô hạn

b) Nếu có một số nguyên dương m bé nhất sao cho am = e thì nhómcon sinh ra bởi a có m phần tử và hai = {e = a0, a1, a2, , am−1}.Định nghĩa 5 (Cấp của phần tử) Giả sử a là một phần tử bất kì của mộtnhóm X và A là nhóm con sinh ra bởi a Phần tử a gọi là có cấp vô hạn nếu

A là vô hạn; trong trường hợp này không có số nguyên dương n nào sao cho

an= e, hay an = e khi và chỉ khi n = 0

Phần tử a gọi là có cấp m nếu A có cấp m; trong trường hợp này m là

số nguyên dương bé nhất sao cho am = e Nói một cách khác, cấp của mộtphần tử a của nhóm X là cấp của nhóm cyclic mà nó sinh ra

Một phần tử a ∈ X có cấp 1 khi và chỉ khi a = e

Định lý 10 Mọi nhóm con của một nhóm cyclic đều là nhóm cyclic

2.4 Nhóm con chuẩn tắc

Định nghĩa 6 Cho X là một nhóm, A là một nhóm con của X Nhóm con

A gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu xA = Ax với mọi x ∈ X Nếu A lànhóm con chuẩn tắc của X thì ta ký hiệu AC X

Định lý 11 Cho A là nhóm con của nhóm X Khi đó các điều kiện sau đây

là tương đương:

a) A là nhóm con chuẩn tắc của X

b) xAx−1 = A với mọi x ∈ X, trong đó xAx−1 = {xax−1|a ∈ A}.c) x−1ax ∈ A với mọi x ∈ X, mọi a ∈ A

Định lý 12 (Định lí Lagrange) Cho X là một nhóm hữu hạn, A là nhómcon của X Khi đó cấp của X là bội của cấp của A

Hệ quả 2 Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ướccủa cấp của X

Hệ quả 3 Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố đều là cyclic vàđược sinh ra bởi một phần tử bất kì, khác phần tử đơn vị của nhóm

Hệ quả 4 Nếu X là một nhóm hữu hạn có cấp bằng n thì xn = e với mọi

x ∈ X

2.5 Nhóm thương

Định lý 13 Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X, thì:

a) Quy tắc cho tương ứng cặp (xA, yA) với lớp trái (xy)A là một ánh

xạ từ X/A × X/A → X/A

b) X/A cùng với phép toán hai ngôi (xA, yA) 7→ (xy)A là một nhóm,gọi là nhóm thương của X trên A

2.6 Đồng cấu nhóm

Định nghĩa 7 Một đồng cấu (nhóm) là một ánh xạ f từ một nhóm X đếnmột nhóm Y sao cho

f (ab) = f (a) f (b)với mọi a, b ∈ X Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của X.Một đồng cấu mà là một đơn ánh thì gọi là một đơn cấu Một đồng cấutoàn ánh thì gọi là một toàn cấu Một đồng cấu song ánh thì gọi là một đẳngcấu Một tự đồng cấu song ánh thì gọi là một tự đẳng cấu

Định nghĩa 8 (Ảnh và hạt nhân của đồng cấu nhóm) Giả sử f : X → Y

là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Ta kí hiệu

Im f = f (X) = {f (x)|x ∈ X} ,Ker f = {x ∈ X|f (x) = eY} = f−1(eY) , eY là đơn vị của nhóm Y.Khi đó Im f gọi là ảnh của đồng cấu f , Ker f gọi là hạt nhân của đồngcấu f

Định lý 14 Giả sử X, Y, Z là những nhóm và f : X → Y và g : Y → Z

là những đồng cấu Thế thì ánh xạ tích gf : X → Z cũng là một đồng cấu.Đặc biệt tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu

Định lý 15 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì:

a) f (eX) = eY

b) f (x−1) = [f (x)]−1 với mọi x ∈ X.

Định lý 16 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu nhóm X đến nhóm Y, A làmột nhóm con của X và B là nhóm con chuẩn tắc của Y Thế thì:

a) f (A) là một nhóm con của Y

b) f−1(B) là một nhóm con chuẩn tắc của X

Hệ quả 5 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì Im f là một nhóm con của Y và Ker f là một nhóm con chuẩn tắccủa X

Hệ quả 6 Giả sử f : X → Y là một toàn cấu từ nhóm X đến nhóm Y A

là một nhóm con chuẩn tắc của X Khi đó f (A) cũng là nhóm con chuẩn tắccủa Y

Định lý 17 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì:

a) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Im f = Y

b) f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu Ker f = {eX}

Định lý 18 (Định lý đồng cấu) Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từnhóm X đến nhóm Y p : X → X/ Ker f là toàn cấu chính tắc từ nhóm Xđến nhóm thương của X trên hạt nhân của f Thế thì:

a) Tồn tại duy nhất một đơn cấu f : X/ Ker f → Y , sao cho tam giácsau giao hoán

b) Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f = Im f = f (X)

Hệ quả 7 Với mọi đồng cấu f : X → Y từ một nhóm X đến nhóm Y , tacó

f (X) ' X/ Ker f

Nếu f là toàn cấu thì Y ' X/ Ker f

2.7 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của một họ nhóm

Cho X1, X2 là hai nhóm với phần tử trung hòa ký hiệu lần lượt là e1, e2.Trên tích Descartes X1× X2 = {(x1, x2)|x1 ∈ X1, x2 ∈ X2} ta xác định phéptoán bởi (x1, x2)(y1, y2) = (x1y1, x2y2) với mọi (x1, x2), (y1, y2) ∈ X1 × X2.Khi đó, X1×X2 lập thành một nhóm đối với phép toán đã cho Nhóm X1×X2được gọi là tích trực tiếp của các nhóm X1, X2 Nhóm tích X1× X2 là giaohoán nếu các nhóm X1, X2 đều là những nhóm giao hoán

Tích trực tiếp X1× X2 của các nhóm X1, X2 cũng được gọi là tổng trựctiếp của các nhóm này, và ta ký hiệu là X1 ⊕ X2 Các khái niệm tích trựctiếp và tổng trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng được áp dụng cho một họ vôhạn các nhóm

Cụ thể là: Cho một họ không rỗng những nhóm (Xα)α∈I mà các phéptoán đều ký hiệu bằng dấu (.) Khi đó tập hợp tích Descartes Q

α∈I

Xα với phéptoán xác định như sau

(yα)α∈I(yα)α∈I = (xαyα)α∈I

là một nhóm gọi là tích trực tiếp các nhóm Xα Ta cũng ký hiệu tích trựctiếp của họ nhóm (Xα)α∈I là Q

b) Với phép toán T , tập hợp R có lập thành một nửa nhóm không?1.2 Cho E cùng với phép toán ∗ là một nửa nhóm Với a ∈ E xét phéptoán T trong E xác định bởi xT y = x ∗ a ∗ y Chứng minh rằng E cùngvới phép toán T cũng lập thành nửa nhóm.

1.3 Trong tập hợp R xét phép toán

T : R × R → R(x, y) 7→ x + y − xyChứng minh:

a) R cùng với phép toán T lập thành một vị nhóm giao hoán

b) Với mọi x 6= 1 đều có phần tử đối xứng

1.4 Trong tập hợp X các số thực không âm xét phép toán

T : X × X → X(x, y) 7→px2+ y2

Chứng minh X cùng với phép toán T lập thành một vị nhóm giaohoán

1.5 Giả sử a và b là hai phần tử của một nửa nhóm X sao cho ab = ba.Chứng minh rằng (ab)n = anbn với mọi số tự nhiên n > 1 Nếu a và b

là hai phần tử sao cho (ab)n = anbn thì ta có thể suy ra được ab = bakhông?

1.6 Gọi X là tập hợp thương của Z trên quan hệ đồng dư theo mô đun n.a) Với mỗi cặp (C(a), C(b)) ta cho tương ứng lớp tương đương C(a + b)Chứng minh như vậy ta có một ánh xạ từ X × X đến X

b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán hai ngôixác định ở a)

c) Nếu với mỗi cặp (C(a), C(b)) ta cho tương ứng lớp C(ab) chứngminh khi đó X cũng là một vị nhóm giao hoán

1.7 Giả sử X là một tập hợp tùy ý Xét ánh xạ

(x, y) 7→ x

Chứng minh X là một nửa nhóm đối với phép toán hai ngôi trên Nửanhóm đó có giao hoán không? Có phần tử đơn vị không?

1.8 Gọi X là tập hợp thương của Z × N∗, trên quan hệ tương đương S xácđịnh bởi (a, b)S(c, d) khi và chỉ khi ad = bc Ta ký hiệu các phần tửC(a, b), của X bằng a

b, (a, b) ∈ Z × N∗

a) Với mỗi cặp a

b,

cd



ta cho tương ứng lớp tương đương ad + bc

bd .Chứng minh như vậy ta có một ánh xạ từ X × X đến X

b) Chứng minh X là một vị nhóm giao hoán đối với phép toán hai ngôi

ở a)

c) Nếu với mỗi cặp a

b,

cd



ta cho tương ứng lớp tương đương ac

bd.Chứng minh lúc đó X cũng là một vị nhóm giao hoán

1.9 Xét tích Descartes Nn(n ≥ 1), với N là vị nhóm cộng giao hoán các số

c) Tập hợp các số phức có dạng a + bi, a, b ∈ Z, với phép cộng

d) Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử là những số thực, cóđịnh thức bằng ±1 với phép nhân ma trận

e) Tập hợp gồm đa thức 0 và các đa thức ẩn x với hệ số thực, có bậckhông quá n, (n là số nguyên, n ≥ 0, cho trước) với phép cộng các

đa thức

1.11 Chứng minh rằng mọi nửa nhóm khác rỗng hữu hạn X là một nhómnếu và chỉ nếu luật giản ước thực hiện được với mọi phần tử của X.1.12 Cho X là một nhóm với đơn vị là e Chứng minh rằng nếu với mọi

(xα)α∈I(yα)α∈I = (xαyα)α∈I,

là một nhóm con của S(X) Tìm số phần tử của S(X, Y ) trong trườnghợp X có n phần tử và Y có k phần tử, 1 ≤ k ≤ n

1.18 Cho A và B là hai bộ phận của một nhóm X Ta định nghĩa

AB = {ab|a ∈ A, b ∈ B},

A−1= {a−1|a ∈ A}

Chứng minh các đẳng thức sau đây:

1.20 Cho A là một nhóm con của nhóm X và a ∈ X Chứng minh aA lànhóm con của X khi và chỉ khi a ∈ A.

1.21 Trong một nhóm X, chứng minh rằng nhóm con sinh ra bởi bộ phận

∅ là nhóm con tầm thường {e}, e là phần tử trung hòa của X

1.22 Giả sử S là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X Chứng minhrằng các phần tử của nhóm con sinh ra bởi S là các phần tử có dạng

x1x2· · · xn với các x1, x2, , xn thuộc S hoặc S−1 Tìm nhóm con củanhóm nhân các số hữu tỉ khác không sinh ra bởi bộ phận các số nguyêntố

1.23 Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị là e, a ∈ X có cấp là n Chứngminh rằng ak = e khi và chỉ khi k chia hết cho n

1.24 Cho a, b là hai phần tử tùy ý của một nhóm Chứng minh ab và ba cócùng cấp

1.25 Giả sử X là một nhóm cyclic cấp n và a ∈ X là phần tử sinh của nó.Xét phần tử b = ak Chứng minh rằng:

a) Cấp của b bằng n

d, ở đây d là ƯCLN của k và n.

b) b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi k nguyên tố với n Từ đó suy

ra số phần tử sinh của X

Áp dụng: Tính số phần tử có cấp 125 trong nhóm cyclic cấp 1000.1.26 Giả sử a, b là hai phần tử của một nhóm, và giả sử ta có cấp của a bằng

r, cấp của b bằng s và thêm nữa ab = ba Chứng minh rằng cấp của abbằng [r, s], với [r, s] là BCNN của r và s Đặc biệt nếu r, s nguyên tốcùng nhau thì cấp của ab bằng rs

1.27 Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con

1.28 Cho X và Y là những nhóm cyclic có cấp là m và n Chứng minh rằng

X × Y là một nhóm cyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau

1.29 Chứng minh rằng nếu X là một nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường

là {e} và X thì X là nhóm cyclic, hữu hạn cấp nguyên tố

1.30 1) Chứng minh rằng một nhóm abel cấp 6 là nhóm cyclic

b) Chứng minh G là nhóm cyclic Tìm tất cả các phần tử sinh củanhóm G

1.31 Cho A là một nhóm con của nhóm X Giả sử tập hợp thương X/A cóhai phần tử Chứng minh A là nhóm con chuẩn tắc của X

1.32 1) Chứng minh rằng trong nhóm các phép thế Sn, bộ phận An gồm

các phép thế chẵn là nhóm con chuẩn tắc của Sn

2) Trong nhóm đối xứng S4 (nhóm các phép thế bậc 4), hãy xét tínhchuẩn tắc của các nhóm con cyclic sinh bởi một vòng xích độ dài 3

1.33 Giả sử X là một nhóm cyclic vô hạn, và a ∈ X là một phần tử sinh.Gọi A là nhóm con của X sinh ra bởi a3 Chứng minh rằng các lớpghép trái của A bằng các lớp ghép phải của A và số các lớp đó bằng 3

1.34 Giả sử X là một nhóm, ta gọi C(X) = {a ∈ X|ax = xa, x ∈ X} là tâmcủa nhóm X

Chứng minh rằng C(X) là một nhóm con giao hoán của X và mọinhóm con của C (X) là một nhóm con chuẩn tắc của X

1.35 Tìm tất cả các nhóm con và nhóm con chuẩn tắc của nhóm các phépthế S3

1.36 Giả sử X là một nhóm, x và y là hai phần tử của X Ta gọi phần tửxyx−1y−1 là hoán tử của x và y Chứng minh rằng nhóm con A sinh rabởi tập hợp các hoán tử của tất cả các cặp phần tử x, y của X là mộtnhóm con chuẩn tắc của X gọi là nhóm các hoán tử, và nhóm thươngX/A là abel (Nhóm các hoán tử của X ký hiệu là [X, X])

1.37 Chứng minh rằng muốn cho nhóm thương X/H của một nhóm X trênnhóm con H của nó là abel, ắt có và đủ là nhóm con chuẩn tắc H chứanhóm các hoán tử của X.

a) Chứng minh rằng quan hệ R xác định trong G bởi xRy ⇔ (y =

x hoặc y = x−1 là một quan hệ tương đương

b) Giả sử S có m phần tử, chứng minh rằng m và n có tính chẵn

lẻ trái ngược nhau

2) Cho G là một nhóm có 2n phần tử Chứng minh rằng G có chứaphần tử cấp 2

1.42 Cho G là một nhóm hữu hạn, A và B là hai bộ phận của G sao cho

|A| + |B| > |G| Chứng minh G = AB

1.43 Cho G là một nhóm hữu hạn Chứng minh rằng với bất kỳ nhóm con

H của G, nếu |H| > 1

2|G| , thì H = G

1.44 Cho D là tập hợp các đường thẳng ∆ trong mặt phẳng có phương trìnhcho bởi y = ax + b, (a 6= 0, b là những số thực) Ánh xạ sau xác địnhmột phép toán hai ngôi trong tập hợp D

D × D → D(∆1, ∆2) 7→ ∆3

trong đó ∆1, ∆2, ∆3 lần lượt có phương trình y = a1x + b1, y = a2x +

p2 : G → G2(x1, x2) 7→ x2

q1 : G1 → G

x1 7→ (x1, e2)

q2 : G2 → G

x2 7→ (e1, x2)a) Chứng minh p1, p2 là những toàn cấu Xác định Ker p1 và Ker p2.b) Chứng minh q1, q2 là những đơn cấu Xác định Im q1 và Im q2 Từ

đó suy ra G1 đẳng cấu với A và G2 đẳng cấu với B

c) Chứng minh A và B là những nhóm con chuẩn tắc của G và AB =

BA = G

1.46 Xét nhóm X gồm các cặp số thực (a, b) với a 6= 0 Trên tập X, phépnhân được xác định bởi (a, b)(c, d) = (ac, bc + d) Chứng minh ánh xạ

ϕ : X → R∗, (a, b) 7→ a là đồng cấu nhóm và Ker ϕ ' R Với R lànhóm cộng các số thực

b) T1(2, R)/T2(2, R) ' R∗

1.48 Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu vớinhau (đẳng cấu với nhóm cộng các lớp đồng dư theo mô đun n).1.49 Chứng minh rằng mọi nhóm cyclic vô hạn đều đẳng cấu với nhau (đẳngcấu với nhóm cộng các số nguyên Z)

1.50 Giả sử X là một nhóm và Y là một tập hợp được trang bị một phéptoán Giả sử có một song ánh f : X → Y thỏa mãn tính chất f (ab) =

f (a)f (b) với mọi a, b ∈ X Chứng minh Y cùng với phép toán đã chotrong Y là một nhóm; thêm nữa là nhóm abel nếu X là nhóm abel, lànhóm cyclic nếu X là nhóm cyclic

1.51 Cho X và Y là hai nhóm cyclic có các phần tử sinh theo thứ tự là x

và y và có cấp lần lượt là s và t

a) Chứng minh rằng quy tắc ϕ cho tương ứng với phần tử xα phần tử(yk)α trong đó k là một số tự nhiên khác 0 cho trước, là một đồngcấu khi và chỉ khi sk là bội của t

b) Nếu sk = mt và ϕ là đẳng cấu thì (s, m) = 1

1.52 Cho X là một nhóm giao hoán Chứng minh rằng ánh xạ

a 7→ ak

với k là một số nguyên cho trước, là một đồng cấu Xác định Ker ϕ.1.53 Cho X là một nhóm Chứng minh rằng ánh xạ

a) Chứng minh rằng X cùng với phép toán đó là một nhóm

b) Chứng minh rằng nhóm con A sinh ra bởi phần tử (1, 0, 0) là chuẩntắc

c) Chứng minh rằng nhóm thương X/A đẳng cấu với nhóm cộng các

số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z

1.57 Chứng minh rằng:

a) Nhóm cộng các số thực đẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương.b) Nhóm cộng các số phức có dạng a + bi với a, b nguyên, đẳng cấu vớinhóm tích Z × Z

1.58 Cho X là một nhóm Với mỗi phần tử a ∈ X ta xét ánh xạ fa : X → Xxác định bởi x 7→ axa−1

a) Chứng minh fa là một tự đẳng cấu của X, gọi là tự đẳng cấu trongxác định bởi phần tử a

b) Chứng minh rằng các tự đẳng cấu trong lập thành một nhóm concủa nhóm các tự đẳng cấu của X.

c) Chứng minh một nhóm con H của X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu

fa(H) = H với mọi tự đẳng cấu trong fa của X Vì lí do đó, cácnhóm con chuẩn tắc cũng còn gọi là các nhóm con bất biến

d) Chứng minh ánh xạ a 7→ fa là một đồng cấu từ nhóm X đến nhómcác tự đẳng cấu trong của X đồng thời hạt nhân của đẳng cấu đó

a) Cấp của a ∈ X chia hết cho cấp của f (a)

b) Cấp của X chia hết cho cấp của f (X)

1.60 Chứng minh rằng nhóm Y là ảnh đồng cấu của một nhóm cyclic hữuhạn X khi và chỉ khi Y là nhóm cyclic và cấp của nó chia hết cấp củaX

phức của C∗ nằm trên trục thực và trục ảo Chứng minh rằng H làmột nhóm con của C∗ và nhóm thương C∗/H đẳng cấu với nhómnhân U các số phức có mô đun bằng 1

2) Chứng minh nhóm thương C∗/H xác định ở câu 1) đẳng cấu vớinhóm thương R/Z với R là nhóm cộng các số thực, Z là nhóm cộngcác số nguyên

1.64 Chứng minh rằng:

a) Nhóm thương của nhóm GL(n, R) các ma trận vuông cấp n khôngsuy biến có các phần tử là số thực trên nhóm con các ma trận cóđịnh thức bằng ±1 đẳng cấu với nhóm nhân các số thực dương.b) Nhóm thương của GL(n, R) trên nhóm con các ma trận có địnhthức dương là một nhóm cyclic cấp hai.

1.65 Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X thỏa A∩B = {e}

và X = AB

Chứng minh rằng X đẳng cấu với nhóm tích A × B

1.66 Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X Chứng minh:a) AB là một nhóm con chuẩn tắc của X

b) A ∩ B là một nhóm con chuẩn tắc của X và cũng là một nhóm conchuẩn tắc của A

c) Tồn tại một đơn cấu ϕ : X/(A ∩ B) → (X/A) × (X/B)

d) A/(A ∩ B) đẳng cấu với (AB)/B

1.67 Ký hiệu X là tập hợp các căn bậc n của đơn vị trong tập các số phức

a) Mọi nhóm cấp 4 hoặc đẳng cấu với Z4 hoặc đẳng cấu với Z2× Z2.b) Mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với Z6 hoặc đẳng cấu với S3.1.70 Chứng minh nhóm cộng các số hữu tỉ không đẳng cấu với nhóm nhâncác số hữu tỉ dương

1.71 Xét nhóm nhân C∗ các số phức khác 0 Ký hiệu Gklà tập các căn phứcbậc pkcủa đơn vị (p là một số nguyên tố và k là một số nguyên dương)

1.72 Chứng minh mệnh đề đảo của Định lý Lagrange không đúng: Chẳnghạn nhóm thay phiên A4 có cấp 12 nhưng không chứa nhóm con cấp6

1.73 Ký hiệu G = R∗× R, trong G xét phép toán ◦ như sau:



|x ∈ R∗



là một nhóm con giao hoán của G

1.74 1) Cho G là một nhóm Hãy chứng minh rằng G là nhóm cyclic cấp

nguyên tố khi và chỉ khi G có đúng hai nhóm con

2) Cho G là một nhóm abel hữu hạn và p là một số nguyên tố Chứngminh rằng nếu p là ước của cấp của G thì G có chứa phần tử cấp p

và do đó chứa nhóm con cấp p

1.75 1) Cho G là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G

có n phần tử Chứng minh rằng với mọi x ∈ G thì x2 ∈ H

2) Cho G là một nhóm cyclic cấp n Chứng minh rằng số phần tử sinhcủa G không thể là một số lẻ lớn hơn 1

1.76 1) Cho G là một nhóm cyclic hữu hạn có cấp n và d là một ước nguyên

dương của n Chứng minh rằng G có đúng một nhóm con cấp d vànhóm con này là cyclic

2) Tìm tất cả các nhóm con của

a) Nhóm cyclic cấp 12

b) Nhóm cyclic cấp 24.

1.77 1) Ký hiệu ϕ (n) là số các số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố

cùng nhau với n Giả sử G là một nhóm cyclic cấp m và n là mộtước nguyên dương của m Chứng minh rằng G có đúng ϕ (n) phần

tử cấp n

2) Cho G là một nhóm có cấp 8 thỏa mãn mọi phần tử khác phần tửđơn vị đều có cấp 2 Tìm tất cả các nhóm con của nhóm G

1.78 Cho G là một nhóm abel hữu hạn có cấp mn với (m, n) = 1 Đặt:

A = {x ∈ G |xm = e}, B = {x ∈ G |xn = e}, (e là phần tử đơn vị củanhóm)

Chứng minh A và B là các nhóm con của G thỏa A ∩ B = {e} và

1.80 1) Cho G là một nhóm Ký hiệu S (G) là nhóm các song ánh trên G

(gọi là nhóm đối xứng trên tập G) Chứng minh G đẳng cấu vớimột nhóm con của nhóm đối xứng S (G) của nó

2) Chứng minh rằng mọi nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với mộtnhóm con của nhóm các phép thế Sn

1.81 Cho Sn là nhóm các phép thế bậc n, n ≥ 2 Chứng minh rằng:

a) Sn chứa một nhóm con đẳng cấu với Sn−1

b) Sn chứa một nhóm con cyclic cấp n

1.82 Chứng minh rằng nhóm GL (n, R) các ma trận vuông thực không suybiến cấp n chứa một nhóm con đẳng cấu với nhóm GL (n − 1, R) các

ma trận vuông thực không suy biến cấp n − 1

1.83 Giả sử X là một nhóm cộng abel và End(X) là tập tất cả các tự đồngcấu của X Chứng minh:

a) End(X) là một nhóm abel với phép cộng xác định như sau:

(f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ End(X), ∀x ∈ X

b) End(Z) ∼= Z, End(Zn) ∼= Zn, End(Q) ∼= Q

1.84 Ký hiệu Aut(X) là tập tất cả các tự đẳng cấu của nhóm X Chứngminh:

a) Aut(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ

b) Aut(Z) ∼= Z2, Aut(Zn) ∼= Un (Un là nhóm nhân các phần tử khảnghịch trong Zn), Aut(Q) ∼= Q∗

1.85 Cho X là một nhóm Gọi ϕ là tự đẳng cấu của X xác định bởi ϕ(a) =

a−1, với mọi a ∈ X (Bài 1.53) và giả sử ϕ(a) 6= a với mọi a 6= e, e làđơn vị của nhóm

a) Hãy tìm cấp của ϕ trong nhóm Aut(X) (Nhóm các tự đẳng cấucủa X)

b) Giả sử X là nhóm hữu hạn cấp n, chứng minh n là số lẻ

1.86 Cho G là nhóm abel cấp vô hạn và mọi nhóm thương thực sự của Gđều có cấp hữu hạn (nhóm thương thực sự của G là nhóm thương G/Hvới H là nhóm con khác nhóm con đơn vị của G) Chứng minh rằng:a) Mọi phần tử khác đơn vị của G đều có cấp vô hạn và G là nhómhữu hạn sinh

1.88 Ký hiệu G là tập các số phức khác −1, trong G ta định nghĩa phéptoán sau:

a) H là một nhóm con chuẩn tắc của G

b) G/H ∼= R trong đó R là nhóm cộng các số thực

1.90 Chứng minh rằng một nhóm có đúng 3 nhóm con khi và chỉ khi nó lànhóm cyclic cấp p2 với p là một số nguyên tố nào đó

1.91 Mô tả tất cả các đồng cấu nhóm từ nhóm cộng Z21đến nhóm cộng Z40.1.92 Cho nhóm nhân các số phức khác không (C∗, ·) Đặt:

H = {z ∈ C| |z| = 1} =z = eit|t ∈ R a) Chứng minh H là nhóm con của C∗ và nhóm thương C∗/H đẳngcấu với nhóm nhân các số thực dương

b) Tìm cấp của phần tử z nếu z ∈ C∗\H Nếu z = eit ∈ H thì cấp của

z sẽ hữu hạn với giá trị nào của t?

c) Cho K là nhóm con của C∗ biết rằng |K| = n (n nguyên dương) và

P = {z ∈ C|zn = 1} Chứng minh K = P

d) Cho G là nhóm con của C∗ với [C∗ : G] = n (n nguyên dương).Chứng minh:

C∗ = {wn|w ∈ C} và G = C∗.1.93 Cho G là nhóm nhân cyclic cấp n sinh bởi phần tử x Chứng minhrằng với m, k là hai số nguyên bất kỳ, ta có hxmi = k khi và chỉ khi(m, n) = (k, n) ((m, n) là ƯCLN của m và n)

1.94 Cho H là nhóm con của một nhóm nhân G Chứng minh rằng nếu H

là một nhóm con chuẩn tắc của G và chỉ số [G : H] = p, với p là một

số nguyên tố, thì luôn tồn tại một phần tử a ∈ G để ap−1∈ H./

Định nghĩa 1 Tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong

X ký hiệu theo thứ tự bằng các dấu (+) và (.) và gọi là phép cộng và phépnhân được gọi là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

a) X cùng với phép cộng là một nhóm abel

b) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm

c) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng, nghĩa là

x (y + z) = xy + xz(y + z) x = yx + zxvới mọi x, y, z ∈ X

Phần tử trung hòa của phép cộng ký hiệu là 0 và gọi là phần tử khôngcủa vành Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) của một phần tử x ký hiệu

là −x và gọi là đối của x Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói X là vành

giao hoán Nếu phép nhân có phần tử trung hòa thì phần tử đó gọi là phần

tử đơn vị của vành X và thường ký hiệu là e hay 1 (nếu không có sự nhầmlẫn)

Định lý 1 Cho X là một vành, với mọi x, y, z ∈ X ta có:

a) x(y − z) = xy − xz, (y − z)x = yx − zx

b) 0x = x0 = 0

c) x(−y) = (−x)y = −xy, (−x)(−y) = xy

Hệ quả 1 a) Nếu vành X có đơn vị e và có nhiều hơn một phần tử

Định lý 4 Trong một vành X giao hoán có đơn vị, hai tính chất sau làtương đương:

a) X không có ước của không.

b) Luật giản ước được thực hiện đối với phép nhân cho những phần tửkhác không

Định nghĩa 3 Vành X được gọi là một miền nguyên, nếu X có nhiều hơnmột phần tử, giao hoán, có đơn vị và không có ước của 0

a) a − b ∈ A với mọi a, b ∈ A.

b) xa ∈ A và ax ∈ A với mọi a ∈ A và mọi x ∈ X

Định lý 8 Giao của một họ bất kì những ideal của một vành X là mộtideal của X

Định nghĩa 7 Giả sử U là một bộ phận của một vành X Ideal A bé nhấtcủa X chứa U gọi là ideal sinh ra bởi U, ký hiệu bởi hU i Nếu tập hợp U cóhữu hạn phần tử a1, a2, , an, thì A gọi là ideal hữu hạn sinh Nếu U = {a},thì ideal sinh ra bởi một phần tử gọi là ideal chính

Định lý 9 (Ideal sinh bởi một tập) Giả sử X là một vành giao hoán cóđơn vị và a1, a2, , an ∈ X Bộ phận A của X gồm các phần tử có dạng

x1a1+ x2a2 + · · · + xnan với x1, x2, , xn ∈ X là một ideal của X sinh bởi

Định lý 13 Nếu A là một ideal của vành X, thì tương ứng

(X/A) × (X/A) → X/A(x + A, y + A) 7→ xy + A

là một ánh xạ Hơn nữa X/A cùng với hai phép toán

(x + A, y + A) 7→ (x + y) + A(x + A, y + A) 7→ xy + A

là một vành gọi là vành thương của X trên A

1.6 Đồng cấu vành

Định nghĩa 8 Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ từ một vành X đếnmột vành Y sao cho

f (a + b) = f (a) + f (b)

f (ab) = f (a) f (b)với mọi a, b ∈ X

Một đồng cấu từ vành X đến chính nó gọi là một tự đồng cấu của X.Một đồng cấu đơn ánh gọi là đơn cấu Một đồng cấu toàn ánh gọi là toàncấu Một đồng cấu song ánh gọi là đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi

là một tự đẳng cấu

Nếu f : X → Y là một đẳng cấu từ vành X đến vành Y thì f là mộtsong ánh Ánh xạ ngược f−1 cũng là một đồng cấu và do đó là đẳng cấu.Khi đó ta nói X và Y đẳng cấu với nhau và ký hiệu X ' Y

Định nghĩa 9 (Ảnh và hạt nhân của đồng cấu vành) Giả sử f : X → Y làmột đồng cấu từ vành X đến vành Y Ta ký hiệu

Im f = f (X) = {f (x)|x ∈ X} ,Ker f = {x ∈ X|f (x) = 0Y} = f−1(0Y) , 0Y là phần tử không của vành Y.Khi đó Im f gọi là ảnh của đồng cấu f , Ker f gọi là hạt nhân của đồngcấu f

Định lý 14 Giả sử X, Y, Z là những vành, f : X → Y và g : Y → Z lànhững đồng cấu Thế thì tích ánh xạ

gf : X → Zcũng là một đồng cấu Đặc biệt tích của hai đẳng cấu là một đẳng cấu.Định lý 15 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến mộtvành Y Thế thì:

a) f (0X) = 0Y

b) f (−x) = −f (x), với mọi x ∈ X

Định lý 16 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến mộtvành Y , A là một vành con của X và B là một ideal của Y Thế thì:

a) f (A) là một vành con của Y

a) f là một toàn ánh nếu và chỉ nếu Im f = Y

b) f là một đơn ánh nếu và chỉ nếu Ker f = {0X}

Định lý 18 Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến mộtvành Y , p : X → X/ Ker f là toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thươngcủa X trên Ker f Thế thì:

a) Có một đồng cấu duy nhất f : X/ Ker f → Y sao cho tam giác sau

là giao hoán

X/ Ker f

Q Q Q

b) Đồng cấu f là một đơn cấu và Im f = Im f = f (X)

Hệ quả 4 Với mọi đồng cấu f : X → Y từ một vành X đến vành Y , ta có

f (X) ' X/ Ker f

Nếu f là toàn cấu thì Y ' X/ Ker f

1.7 Đặc số của vành

Định nghĩa 10 Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị e 6= 0 X gọi làvành có đặc số 0 (tương ứng, đặc số n, 0 < n < ∞) nếu trong nhóm cộng

X, phần tử đơn vị e có cấp vô hạn (tương ứng có cấp n)

Định lý 19 Cho X là một miền nguyên có đặc số n 6= 0 Thế thì:

b) X∗ cùng với phép nhân là một nhóm abel, với X∗ = X\{0}, 0 làphần tử trung hòa của phép cộng

c) Phép nhân phân phối đối với phép cộng

Định lý 1 Một miền nguyên hữu hạn là một trường

2.2 Trường con

Định nghĩa 2 Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của X ổn địnhđối với hai phép toán cộng và nhân trong X Nếu A cùng với các phép toáncảm sinh là một trường thì A được gọi là một trường con của trường X

Định lý 2 Giả sử A là một bộ phận có nhiều hơn một phần tử của mộttrường X Các điều kiện sau đây là tương đương:

a) A là một trường con của X

b) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A, x−1 ∈ A nếu x 6= 0.c) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy−1 ∈ A nếu y 6= 0

Định lý 3 Một miền nguyên X là một trường khi và chỉ khi X chỉ có haiideal là {0} và X

Hệ quả 1 Cho f : X → Y là một đồng cấu từ một trường X đến mộttrường Y Khi đó f hoặc là đồng cấu không hoặc là một đơn cấu

2.3 Trường các thương của một miền nguyên

Miền nguyên Z được chứa trong trường số hữu tỉ Q Hơn nữa Q là trường

số bé nhất chứa Z Mỗi một số hữu tỉ r ∈ Q, được viết dưới dạng r = ab−1 =a

b với a, b ∈ Z, b 6= 0 Ta gọi Q là trường các thương của miền nguyên Z Mởrộng điều này, ta xây dựng trường các thương X của miền nguyên X nhưsau:

Giả sử X là một miền nguyên Xét tập hợp

X × X∗ = {(a, b)|a, b ∈ X, b 6= 0} Trên X × X∗ ta xác định quan hệ hai ngôi cho bởi

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc

Đây là một quan hệ tương đương

Ta ký hiệu X là tập thương (X × X∗)/ ∼ và trên X ta xác định quy tắccộng và nhân các lớp để X trở thành một trường Cụ thể ta có:

Định lý 4 Tập thương X cùng với hai phép toán

(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)(a, b).(c, d) = (ac, bd)

là một trường Hơn nữa X chứa X như một vành con

Ta gọi X là trường các thương của miền nguyên X

Hệ quả 2 Trường các thương X của miền nguyên X là trường nhỏ nhấttrong tất cả những trường chứa X.

2.4 Ideal nguyên tố và ideal tối đại

Định nghĩa 3 Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị Một ideal P 6= Xcủa X được gọi là ideal nguyên tố nếu uv ∈ P thì u ∈ P hoặc v ∈ P , vớimọi u, v ∈ X Một ideal A 6= X của X được gọi là ideal tối đại nếu với bất

kỳ ideal B của X sao cho A ⊂ B ⊂ X thì B = X hoặc B = A

Định lý 5 Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị P và A là các idealcủa nó Khi đó:

a) X/P là miền nguyên khi và chỉ khi P là ideal nguyên tố

b) X/A là trường khi và chỉ khi A là ideal tối đại

Định lý 6 Cho X là một trường Nếu X có đặc số 0 thì X chứa trường conđẳng cấu với trường các số hữu tỉ Q Nếu X có đặc số p thì X chứa trườngcon đẳng cấu với trường Zp các lớp đồng dư theo mô đun p

Chứng minh các vành đó giao hoán có đơn vị

2.2 Chứng minh tập hợp các ma trận vuông cấp n với các phần tử là những

số nguyên lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ma trận.2.3 Chứng minh tập hợp các đa thức của ẩn x với hệ số nguyên lập thànhmột vành với phép cộng và phép nhân đa thức

2.4 Giả sử đã cho trong một tập hợp X hai phép toán cộng và nhân saocho: 1) X cùng với phép cộng là một nhóm; 2) X cùng với phép nhân

là một vị nhóm; 3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng Chứngminh X là một vành

2.5 Tìm các ước của không trong các vành sau:

a) Z12

b) Z2× Z4

c) M2(Z2)

2.6 Cho X là một vành có đơn vị ký hiệu bởi 1 U là tập hợp các phần tử

có nghịch đảo đối với phép nhân trong X Chứng minh rằng cùng vớiphép nhân, U lập thành một nhóm

2.7 Chứng minh tập hợp X = Z × Z cùng với phép toán

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1+ a2, b1+ b2)(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2, b1b2)

là một vành giao hoán, có đơn vị Hãy tìm tất cả các ước của khôngcủa vành này

2.8 Vành X được gọi là vành Bool nếu x2 = x, với mọi x ∈ X